Однородный продукт, сосредоточенный в пунктах производства (хранения), необходимо распределить между пунктами потребления. Стоимость перевозки единицы продукции известна для всех маршрутов. Необходимо составить такой план перевозок, при котором запросы всех пунктов потребления были бы удовлетворены за счет имеющихся продуктов в пунктах производства и общие транспортные расходы по доставке продуктов были бы минимальными.
Примем следующие обозначения:
Номер пункта производства (хранения) (i=1, 2, …, m)
Номер пункта потребления (j=1, 2, …, n)
Количество продукта, имеющиеся в i-ом пункте производства
Количество продукта, необходимое для j-го пункта потребления
Стоимость перевозки единицы продукта из i-го пункта отправления в j-ый пункт назначения
Количество груза, планируемого к перевозке от i-го пункта отправления в j-ый пункт назначения Тогда, при наличии баланса производства и потребления:
математическая модель транспортной задачи будет выглядеть следующим образом: найти план перевозок
, где ;
минимизирующий общую стоимость всех перевозок
при условии, что из любого пункта производства вывозиться весь продукт , где
(4. 1)
и любому потребителю доставляется необходимое количества груза , где
(4. 2)
причем, по смыслу задачи
, …,
Для решения транспортной задачи чаще всего применяется метод потенциалов, при котором вводят обозначение вектора симплексных множителей или потенциалов:
Тогда:
, где ;
Откуда следует:
, где ;
При этом один из потенциалов можно выбирать произвольно, т. к. в системе (4. 1) и (4. 2) одно уравнение линейно зависит от остальных, а остальные потенциалы находятся, что для базисных значений.
Предположим, что однородный продукт, находящийся в трех пунктах производства (m=3), необходимо доставить в четыре пункта потребления (n=4). При этом матрица транспортных затрат на перевозку единицы продукта из любого пункта отправления в любой пункт назначения, вектор объемов запасов продукта в пунктах производства и вектор объемов продукта, необходимых пунктам потребления, имеют вид:
Тогда получается, что общий объем продукта в пунктах производства больше, чем требуется всем потребителям , т. е. имеем открытую модель транспортной задачи. Для того чтобы превратить открытую модель транспортной задачи в закрытую, необходимо ввести фиктивный пункт потребления с объемом потребления единиц,
при этом тарифы на перевозку продукта в этот пункт потребления будут равны нулю, т. к. фактического перемещения продукта не происходит. Тогда, первое базисное допустимое решение легко построить по правилу “северо-западного угла”. А т. к. оценки базисных клеток транспортной таблицы равны нулю, то, приняв, что, первая транспортная таблица и потенциалы имеют вид:
30
11
45
36
28
50
30
11
9
*
70
36
34
30
2
28
Т. к. наибольшая положительная оценка всех свободных клеток транспортной таблицы, соответствует клетке 14, то строим цикл пересчета: 14-13-23-24 и производим перераспределение поставок вдоль цикла пресчета:
9
*
®
®
0
9
36
34
45
25
То получаем второе базисное допустимое решение и находим новые потенциалы, полагая:
30
11
45
36
28
50
30
11
9
70
*
45
25
30
2
28
Т. к. теперь наибольшая положительная оценка всех свободных клеток транспортной таблицы, соответствует клетке 22, то строим цикл пересчета: 22? 12? 14? 24 и производим перераспределение поставок вдоль цикла пресчета:
11
9
®
®
0
20
*
25
11
14
Отсюда получаем третье базисное допустимое решение и находим новые потенциалы, принимая:
30
11
45
36
28
50
30
20
70
*
11
45
14
30
2
28
Т. к. наибольшая положительная оценка всех свободных клеток транспортной таблицы, теперь соответствует клетке 21, то строим цикл пересчета: 21-11-14-24 и производим перераспределение поставок вдоль цикла пресчета:
30
20
®
®
16
34
*
14
14
0
Получаем четвертое базисное допустимое решение и находим новые потенциалы, принимая:
30
11
45
36
28
50
16
34
70
14
11
45
30
*
2
28
Т. к. наибольшая положительная оценка всех свободных клеток транспортной таблицы, соответствует клетке 33, то строим цикл пересчета: 33-23-21-11? 14? 34 и производим перераспределение поставок вдоль цикла пресчета:
16
34
®
®
14
36
14
45
16
43
*
2
2
0
Получаем пятое базисное допустимое решение и находим новые потенциалы, опять принимая:
30
11
45
36
28
50
14
36
70
16
11
43
*
30
2
28
Теперь наибольшая положительная оценка всех свободных клеток транспортной таблицы, соответствует клетке 25, отсюда строим цикл пересчета: 25-23-33- и производим перераспределение поставок вдоль этого цикла пресчета:
43
*
®
®
15
28
2
28
30
0
Получаем пятое базисное допустимое решение и снова находим новые потенциалы, принимая:
30
11
45
36
28
50
14
36
70
16
11
15
28
30
30
Находим оценки всех свободных клеток таблицы:
Все , где ;
Т. к. получили таблицу для которой нет ни одной положительной оценки, следовательно, найдено оптимальное базисное допустимое решение:
при котором транспортные расходы по обеспечению продуктом всех четырех пуктов потребления будут наименьшими. При этом из второго пункта производства товар будет вывезен не полностью, т. е. там останется остаток продукта 28 единиц.
5. Распределение капитальных вложений
Задача о распределении капитальных вложений –это нелинейная задача распределения ресурсов между предприятиями одного производственного объединения или отрасли.
Предположим, что указано пунктов, где требуется построить или реконструировать предприятия одной отрасли, для чего выделена определенная сумма. При этом известен прирост мощности или прибыли для каждого предприятия, в зависимости от суммы капитальных вложений в это предприятие. Требуется найти такое распределение капитальных вложений между предприятиями, которое максимизирует суммарный прирост мощности или прибыли всей отрасли.
Примем следующие обозначения:
Номер предприятия (j=1, 2, …, n)
Общая сумма капитальных вложений
Сумма капитальных вложений в j-ое предприятие
Прирост мощности или прибыли j-го предприятия, если оно получит xj денежных единиц капитальных вложений Тогда, задача состоит в том, чтобы найти такие значения , , …, , при которых значение суммарного прироста прибыли или мощности всей отрасли:
было бы наибольшим, при ограничении общей суммы: , причем будем считать, что все переменные принимают только целые неотрицательные значения, т. е. : =0 или 1, или 2, или 3, …;
Эту задачу можно решить методом динамического программирования. Для этого необходимо ввести параметр состояния и функцию состояния :
Некоторое количество предприятий, для которых определяется параметр и функция состояния ()
Сумма капитальных вложений, выделяемая нескольким предприятиям ()
Максимальный прирост прибыли или мощности на первых предприятиях, если они вместе получат капитальных вложений Тогда, если из денежных единиц k-ое предприятие получит денежных единиц, то остаток денежных средств необходимо распределить между предприятиями от первого до так, чтобы был получен максимальный прирост прибыли или мощности . Следовательно, прирост прибыли или мощности k предприятий будет равен и нужно выбрать такое значение между 0 и , чтобы увеличение прибыли или мощности k предприятий было бы максимальным, т. е. : , где .
Если же k=1, то:
Допустим, что производственное объединение состоит из четырех предприятий (n=4). Общая сумма капитальных вложений равна 700 денежных единиц (b=700), при этом суммы выделяемые предприятиям кратны 100 денежным единицам. Значения функций приведены в таблице 3:
Таблица 3.
0
100
200
300
400
500
600
700
0
42
58
71
80
89
95
100
0
30
49
63
68
69
65
60
0
22
37
49
59
68
76
82
0
50
68
82
92
100
107
112
Для заполнения таблицы 5 необходимо в таблице 4 сложить значения функции со значениями и на каждой северо-восточной диагонали выбрать наибольшее число (отмечено звездочкой), указав соответствующие значение:
Таблица 4.
0
100
200
300
400
500
600
700
0
42
58
71
80
89
95
100
0
0
0
42*
58
71
80
89
95
100
100
30
30
72*
88
101
110
119
125
200
49
49
91*
107*
120
129
138
300
63
63
105
121*
134*
143*
400
68
68
110
126
139
500
69
69
111
127
600
65
65
107
700
60
60
Таблица 5.
0
100
200
300
400
500
600
700
0
42
72
91
107
121
134
143
0
0
100
200
200
300
300
300
Для заполнения таблицы 7 необходимо в таблице 6 сложить значения функции со значениями и на каждой северо-восточной диагонали выбрать наибольшее число (отмечено звездочкой), указав соответствующие значение:
Таблица 6.
0
100
200
300
400
500
600
700
0
42
72
91
107
121
134
143
0
0
0
42*
72*
91
107
121
134
143
100
22
22
64
94*
113*
129*
143
156
200
37
37
79
109
128
144*
158*
300
49
49
91
121
140
156
400
59
59
101
131
150
500
68
68
110
140
600
76
76
118
700
82
82
Таблица 7.
0
100
200
300
400
500
600
700
0
42
72
94
113
129
144
158
0
0
0
100
100
100
200
200
Теперь, в таблице 8, необходимо сложить значения функции со значениями , но только для значения , т. е. заполнить только одну диагональ: Таблица 8.
0
100
200
300
400
500
600
700
0
42
72
94
113
129
144
158
0
0
158
100
50
194
200
68
197*
300
82
195
400
92
186
500
100
172
600
107
149
700
112
112
Наибольшее число этой диагонали показывает максимально возможный суммарный прирост прибыли всех четырех предприятий данного производственного объединения, при общей сумме капитальных вложений в 700 денежных единиц, т. е. : денежных единиц
причем четвертому предприятию должно быть выделено:
денежных единиц
Тогда третьему предприятию должно быть выделено (см. табл. 7. ): денежных единиц
второму предприятию должно быть выделено (см. табл. 5. ):
денежных единиц
на долю первого предприятия остается:
денежных единиц
Таким образом, наилучшим является следующее распределение капитальных вложений по предприятиям:
которое обеспечивает производственному объединению наибольший возможный прирост прибыли:
денежных единиц
6. Динамическая задача управления запасами
Задача управления запасами –это задача о поддержании баланса производства и сбыта продукции предприятия, минимизирующего расходы предприятия на производство и хранение продукции. Предположим, что предприятие, производящее партиями некоторую продукцию, получило заказы наnмесяцев. Размеры заказов значительно меняются от месяца к месяцу, поэтому иногда лучше выполнять заказы сразу нескольких месяцев, а затем хранить готовую продукцию, пока она не потребуется, чем выполнять заказ именно в тот месяц, когда этот заказ должен быть отправлен. Поэтому необходимо составить план производства на этиn месяцев с учетом затрат на производство и хранение изделий. Примем следующие обозначения:
Номер месяца (j=1, 2, …, n)
Число изделий, производимых в j-ом месяце
Величина запаса к началу j-го месяца
Число изделий, которые должны быть отгружены в j-ом месяце
Затраты на хранение и производство изделий в j-ом месяце
Тогда, задача состоит в том, чтобы найти план производства компоненты которого удовлетворяют условиям материального баланса: , где
и минимизируют суммарные затраты за весь планируемый период:
причем по смыслу задачи , , при
Т. к. объем произведенной продукции на этапе j может быть настолько велик, что запас может удовлетворить спрос всех последующих этапов и при этом не имеет смысла иметь величину запаса больше суммарного спроса на всех последующих этапах, то переменная должна удовлетворять ограничениям:
Полученную задачу можно решить методом динамического программирования, для чего необходимо определить параметр состояния и функцию состояния :
Наличный запас продукции в конце k-го месяца ()
Минимальные затраты за первые месяцев:
Тогда, минимальные затраты за один первый месяц ():
Следовательно, минимальные затраты при :
, где
Если при этом функция затрат на хранение и производство изделий в j-ом месяце имеет вид:
, где
, при и , при
Затраты на оформление заказа (переналадку оборудования) в j-ом месяце
Затраты на хранение единицы продукции, переходящей из j? го месяца в месяц j+1
Затраты на производство (закупку) единиц продукции в j? ом месяце то минимальные затраты за один первый месяц ():
если ввести обозначение:
то следовательно, минимальные затраты при :
, где
Допустим, что предприятие заключило договора на поставку своей продукции на три месяца. Исходные данные приведены в таблице 9. При этом исходный запас товара на складе составляет две единицы, т. е.
Таблица 9.
Период k
1
2
3
Спрос ()
3
2
3
Затраты на оформление заказа ()
4
2
3
Затраты на хранение единицы запаса ()
1
1
1
Предполагается, что затраты на приобретение продукции составляют 5 руб. за каждую единицу для первых трех единиц и 7 руб. за каждую дополнительную единицу, т. е.
Положим , тогда:
Тогда, т. к. параметр состояния может принимать значения на отрезке:
т. е. , при этом каждому значению параметра состояния отвечает определенная область изменения переменной:
Однако на первом этапе объем производства не может быть меньше одной единицы, т. к. спрос, а исходный запас , при этом из балансового уравнения следует, что объем производства связан с параметром состояния соотношением:
т. е. каждому значению отвечает единственное значение , поэтому: , тогда:
Значения функции состояния приведены в таблице 10. :
Таблица 10.
0
1
2
3
4
5
9
15
21
29
37
45
1
2
3
4
5
6
Положим , тогда:
, где:
Здесь минимум берется по переменной , которая может изменяться в пределах:
где верхняя граница зависит от параметра состояния , который принимает значения на отрезке:
т. е. , при этом из балансового уравнения следует, что остаток товара на начало второго месяца связан с объемом производства и с параметром состояния соотношением:
Тогда:
()
*
*
Наименьшие из полученных значений , есть , т. е. :
причем минимум достигается при и , т. е. :
и
эти значения указываем в результирующей таблице 11.
Аналогично:
()
*
()
*
()
*
Таким образом:
Таблица 11.
0
1
2
3
21
27
34
41
0
2
3
3
3
Теперь положим, что , тогда:
, где:
Если оставлять продукцию к концу третьего периода не нужно, тогда параметр состояния принимает единственное значение, следовательно, переменная может изменяться в пределах:
а из балансового уравнения следует, что остаток товара на начало третьего месяца связан с объемом производства соотношением:
Тогда:
()
*
Следовательно, получаем:
причем минимум достигается при , т. е. :
Таким образом, получили минимальные общие затраты на производство и хранение продукции и последнюю компоненту оптимального решения:
Для нахождения остальных компонент оптимального решения, необходимо воспользоваться обычными правилами динамического программирования. Тогда т. к. , то , откуда , следовательно, из таблицы 11. :
или
Аналогично т. к. , то или , откуда или , следовательно, из таблицы 10. : или
Следовательно, получен оптимальный план производства, который имеет два варианта:
при этом, каждый вариант оптимального плана производства обеспечивает минимальные общие затраты на производство и хранение продукции в размере 39 денежных единиц.
7. Анализ доходности и риска финансовых операций
Финансовой называется операция, начальное и конечное состояние которой имеют денежную оценку и цель проведения которой заключается в максимизации дохода в виде разности между конечной и начальной оценками. При этом практически все финансовые операции проходят в условиях неопределенности и, следовательно, их результат невозможно предсказать заранее. Поэтому при проведении финансовой операции возможно получение как прибыли, так и убытка.
Поэтому задача анализа доходности и риска финансовой операций заключается в оценке финансовой операции с точки зрения ее доходности и риска. Наиболее распространенным способом оценки финансовой операций является представление дохода операции как случайной величины и оценка риска операции как среднего квадратического отклонения этого случайного дохода.
Например, если доход от проведения некоторой финансовой операции есть случайная величина , то средний ожидаемый доход – это математическое ожидание случайной величины : , где есть вероятность получить доход
Т. к. среднеквадратическое отклонение:
, где
это мера разбросанности возможных значений дохода вокруг среднего ожидаемого дохода, то его можно считать количественной мерой риска операции и обозначить как :
Допустим, что по четырем финансовым операциям , , , ряды распределения доходов и вероятностей получения этих доходов имеют вид:
2
6
8
4
2
3
4
10
0
1
2
8
0
4
6
10
Тогда т. к. , то средний ожидаемый доход каждой операции имеет вид:
Т. к. , то риски каждой финансовой операции имеют вид:
Нанесем средние ожидаемые доходы и риски каждой операции на плоскость (см. график 2. ). Тогда, чем правее точка на графике, тем более доходная операция, чем точка выше– тем более она рисковая.
Для определения операции оптимальной по Парето, необходимо на графике найти точку, которую не доминирует никакая другая точка.
Так как точка доминирует точку , если и , то из графика 2. видно, что 3-ая операция доминирует 2-ую операцию, а 1-ая операция доминирует 3-ую и 2-ую операции. Но 1-ая и 4-ая операции несравнимы, т. к. доходность 4-ой операции больше, но и риск ее тоже больше, чем доходность и риск 1-ой операции, следовательно, 1-я операция является оптимальной по Парето.
Для нахождения лучшей операции можно применить взвешивающую формулу, которая для пардает одно число, по которому можно определить лучшую операцию. Допустим, что взвешивающей формулой будет, тогда:
Отсюда видно, что 1-ая финансовая операция – лучшая, а 2-ая – худшая.
8. Оптимальный портфель ценных бумаг
Задача о формировании оптимального портфеля ценных бумаг –это задача о распределении капитала, который участник рынка хочет потратить на покупку набора ценных бумаг, по различным видам ценных бумаг, удовлетворяющих возможность получения некоторого дохода.
Из характеристик ценных бумаг наиболее значимы две: эффективность и рискованность. Т. к. эффективность –это некоторый обобщенный показатель дохода или прибыли, то ее считают случайной величиной, а ее математическое ожидание обозначают как. Рискованность ценных бумаг отождествляют со средним квадратическим отклонением, при этом дисперсию обычно называют вариацией и обозначают как, т. е. : , где
Примем следующие обозначения:
Номер вида ценных бумаг
Доля капитала, потраченная на закупку ценных бумаг i-го вида (сумма всех долей равна единице)
Эффективность ценных бумаг i-го вида, стоящих одну денежную единицу
Математическое ожидание эффективности
Ковариация ценных бумаг i-го и j-го видов
Вариация (дисперсия) эффективности
Рискованность ценных бумаг i-го вида
Эффективность портфеля (набора) ценных бумаг
Тогда, математическое ожидание эффективности портфеля ценных бумаг:
вариация портфеля ценных бумаг:
риск портфеля ценных бумаг:
Следовательно, математическая формализация задачи формирования оптимального портфеля ценных бумаг: Найти такое распределение долей капитала, которое минимизирует вариацию эффективности портфеля, при заданной ожидаемой эффективности портфеля. Тогда, если оптимальное решение обозначить как *, то:
означает рекомендацию вложить долю капитала в ценные бумаги i? го вида
Означает возможность проведения операции “short sale”, т. е. краткосрочного вложения доли капитала в более доходные ценные бумаги
Если на рынке есть безрисковые ценные бумаги, то решение задачи о формировании портфеля ценных бумаг приобретает новое качество.
Пусть:
Эффективность безрисковых ценных бумаг
Доля капитала, вложенного в безрисковые ценные бумаги
Средняя ожидаемая эффективность рисковой части портфеля
Вариация рисковой части портфеля
Среднее квадратическое отклонение эффективности рисковой части портфеля Тогда в рисковую часть портфеля вложена часть всего капитала, а т. к. считается, что безрисковые ценные бумаги некоррелированы с остальными, то ожидаемая эффективность всего портфеля ценных бумаг:
вариация портфеля ценных бумаг:
риск портфеля ценных бумаг:
Допустим, что задача состоит в нахождении распределения капитала, при формировании оптимального портфеля ценных бумаг заданной эффективности, состоящего из трех видов ценных бумаг: безрисковых эффективности 3 и некоррелированных рисковых, с ожидаемой эффективностью 5 и 9, риски которых равны 4 и 6, т. е. :
, , , ,
Тогда, вариации некоррелированных рисковых ценных бумаг первого и второго вида:
Следовательно, матрица ковариаций рисковых видов ценных бумаг и вектор? столбец ожидаемой эффективности рисковых видов ценных бумаг имеют вид:
Пусть - двухмерный вектор-столбец, компоненты которого равны 1, т. е. :
Тогда значение вектора-столбца оптимальных значений долей, вложенных в рисковую часть портфеля ценных бумаг:
Где:
Т. е. :
Таким образом, доли рисковых ценных бумаг в оптимальном портфеле: ,
Следовательно, доля безрисковых ценных бумаг в оптимальном портфеле:
Т. к. необходимость проведения операции “short sale” возникает, когда , то в данном случае, необходимость проведения операции “short sale” возникает, когда:
, т. е. когда .
Страницы: 1, 2
