Потім складається коваріаційна матриця змін вартостей стандартних позицій. За допомогою цієї матриці і формули дисперсії для суми нормально розподілених випадкових змінних можна розрахувати дисперсію вартості портфеля, яка складається зі стандартних позицій. Коваріаційна матриця множиться зліва і справа на вектор значень вартостей позицій, у результаті чого обчислюється значення дисперсії портфеля, звідки шляхом витягу квадратного кореня отримується його середнє квадратичне відхилення.
Нарешті, на основі властивостей нормального розподілу визначається значення ризикової вартості. Так, якщо довірчий інтервал заданий на рівні 95%, те величина ризикової вартості дорівнює 1,65 стандартного відхилення портфеля. Таким чином, величина ризикової вартості розраховується за наступною формулою:
де Z - кількість середніх квадратических відхилень, яка відповідає заданому довірчому інтервалу; t - часовий обрій; p - вектор розміру позицій; Q - ковариационная матриця змін вартості позицій.
Метод історичного моделювання (historical simulation) є відносно простим підходом, який, на відміну від аналітичного методу, не опирається на теорію ймовірностей і вимагає відносно невеликого числа припущень щодо статистичних розподілів для ринкових факторів ризику. Як і в аналітичному методі, вартості інструментів портфеля повинні бути попередньо представлені як функції ринкових факторів ризику.
Шуканий розподіл прибутків і збитків отримується емпіричним шляхом. Поточний портфель піддається впливу реальних змін значень ринкових факторів ризику, які спостерігалися в минулому, наприклад, за останні n періодів. Для цього будується n безлічей гіпотетичних значень ринкових факторів на основі їхніх нинішніх значень і процентних змін за останні n періодів. Таким чином, отримані гіпотетичні значення грунтуються на реальних даних, але не тотожні їм. На основі цих гіпотетичних наборів значень ринкових факторів розраховується n гіпотетичних значень вартості портфеля. Порівняння цих значень з поточною вартістю портфеля дає можливість знайти n величин прибутків і збитків, викликаних зміною ринкових факторів. Отримані величини також є гіпотетичними, тому що портфель міг мати різний склад протягом останніх n періодів. Останнім етапом є побудова емпіричного розподілу ймовірностей прибутків і збитків, отриманих у результаті змін вартості портфеля, і визначення величини ризикової вартості [15, c. 90].
Метод статистичних випробувань Монте-Карло (Monte-Carlo simulation) також відноситься до методів імітаційного моделювання, і в чинність цього він має ряд загальних особливостей з методом історичного моделювання. Основна відмінність полягає в тому, що в методі Монте-Карло не проводиться моделювання з використанням реально спостережуваних значень ринкових факторів. Замість цього вибирається статистичний розподіл, який добре апроксимує зміни ринкових факторів, і проводиться оцінка його параметрів. Для цієї мети часто використається розподіл Стьюдента або суміш нормальних розподілів. Потім на основі обраного розподілу за допомогою генератора псевдовипадкових чисел генеруються тисячі або навіть десятки тисяч гіпотетичних наборів значень ринкових факторів. Отримані значення використовуються для розрахунку величин прибутків і збитків, викликаних зміною вартості портфеля. На останньому етапі будується розподіл прибутків і збитків портфеля й визначається величина ризикової вартості.
Вибір методу розрахунку показника ризикової вартості буде визначатися складом і структурою портфеля, доступністю статистичних даних і програмного забезпечення, обчислювальними потужностями й рядом інших факторів.
Аналітичний метод поступається методам імітаційного моделювання в надійності оцінки ризиків портфелів, які складаються з опціонів і заснованих на них інструментів, вартість яких залежить від ринкових факторів нелінійним образом, особливо на порівняно значних тимчасових горизонтах. Метод історичного моделювання концептуально простий і найбільш доступний для розуміння вищого керівництва, однак його реалізація вимагає наявності тимчасових рядів значень по всіх використовуваних у розрахунках ринкових факторах, що не завжди можливо для сильно диверсифікованих портфелів. Особливо це стосується даних по процентних ставках для валют країн, які не мають розвинених фінансових ринків. Крім того, історичне моделювання припускає, що поведінка ринку в минулому буде повторюватися і в майбутньому, що в загальному випадку невірно. Головними труднощами при реалізації методу Монте-Карло є вибір адекватного розподілу для кожного ринкового фактору й оцінка його параметрів. Крім того, оцінка ризиків великих диверсифікованих портфелів на основі методу Монте-Карло вимагає значних витрат часу й технічних ресурсів. Ще одна проблема полягає в тому, що гіпотетичні розподіли ймовірностей ринкових факторів, використовувані в аналітичному методі й методі Монте-Карло, можуть не відповідати реальності. Звичайно емпіричні розподіли змін ринкових факторів мають значний ексцес у порівнянні з нормальним розподілом, тобто випадки значних відхилень від середнього значення зустрічаються частіше, ніж це передбачено нормальним розподілом [4, c. 194].
Варто підкреслити, що керування ринковим ризиком не вичерпується наведеними вище процедурами. Зокрема, ризик-менеджер зобов'язаний звертати увагу на коректність обраної ним моделі ринку, на репрезентативність використовуваних даних і правильність статистичних гіпотез. Тому при керуванні ринковим ризиком дуже корисним представляється також апостеріорний аналіз. Наприклад, обчисливши VаR для заданого портфеля, необхідно потім простежити, чи дійсно перевищення втрат над цим VаR відбувається лише в заданому малому відсотку випадків. Невідповідність фактичного відсотка перевищень теоретичному повинне наводити на думку про корекцію моделі або процедур обчислення VаR. На терміновому ринку ММВБ подібні процедури аналізу фактичних ризиків застосовуються вже давно.
При управлінні ринковим ризиком не варто також забувати, що хоча межі застосування VаR досить широкі (наприклад, вже існують розробки по впровадженню концепції VаR у процес вимірювання кредитного ризику), він не є панацеєю від всіх лих. Зокрема, VаR не може захистити від ризиків, пов'язаних з коливаннями цін всередині періоду підтримки позицій (наприклад, протягом торговельної сесії). Крім того, застосування VаR обмежене при врахуванні рідкісних, але досить небезпечних подій (типу «чорного вівторка» або банківської кризи). У таких випадках поряд з VаR варто застосовувати й інші методи.
ІІ ЗАСТОСУВАННЯ КОВАРІАЦІЙНОГО МЕТОДУ РОЗРАХУНКУ VAR НА ПРИКЛАДІ ФОНДОВОЇ БІРЖІ ПФТС
2.1 Методика розрахунку
Коваріаційний (variance-covariance) метод розрахунку величини VaR є єдиним інструментом, що дозволяє одержати оцінку VaR у замкнутому виді. В його основі лежить припущення про нормальний закон розподілу змін факторів ринкового ризику (щоденних доходностей ) - цін фінансових інструментів, котирувань цінних паперів), що й дозволяє здійснювати моделювання цінового ризику.
Оскільки ціни активів та їх відношення не можуть бути від'ємними, то в якості доходності активу (rt) зазвичай приймаються логарифмічні прирощування значень цін [18, c. 143]:
, де
rt - доходність активу в період часу t;
Pt - ціна активу в період часу t;
Pt-1 - ціна активу в період часу t-1.
Якщо логарифми відношень цін (безперервно нарощена доходність) розподі-лені нормально, то ці відношення будуть відповідати логнормальному розподілу:
, де
- нормальний закон розподілу;
- середнє значення доходності активу,
- дисперсія доходності активу.
Досить часто на практиці замість логарифмічних прирощувань використаються звичайні процентні зміни цін, оскільки, як можна переконатися шляхом розкладання в ряд Тейлора, для незначних ці величини будуть приблизно однаковими [18, c. 144]:
У випадку нормально розподіленої випадкової величини довірчий інтервал (1 - ) завжди характеризується єдиним параметром - квантілем , що показує положення певного значення випадкової величини (симетрично в обох хвостах розподілу) щодо середнього (E[rt] = ), вираженого в кількості стандартних відхилень доходності портфелю ().
, де
- волатильність (мінливість) активу;
- значення параметра доходності активу;
- середня очікувана доходність;
n - кількість днів (спостережень).
Так, для найбільше часто застосовуваних значень довірчого інтервалу в 95% й 99% відповідні квантілі будуть дорівнювати 1,65 й 2,33 (табличні дані) стандартних відхилень доходності портфелю.
На теоретичному рівні величина VaR в параметричному методі визначається формулою
і відображає не ціну (або вартість) як таку, а її найбільш очікувану зміну за один день.
Досить часто знак «-» опускають й оперують абсолютним значенням.
Для часових горизонтів, що перевищують один день, припускають, що дисперсія змін цін пропорційна тривалості часового горизонту прогнозування, що дозволяє одержати оцінку ринкового ризику шляхом простого масштабування одноденної величини, тобто VaR в цьому випадку розраховується за формулою:
.
Варто зазначити, що така оцінка буде прийнятною лише для порівняно невеликих інтервалів часу (не більше 10-15 днів), при цьому її точність падає зі збільшенням часового горизонту [18, c. 145].
Таким чином, центральною проблемою під час розрахунку величини VaR коваріаційним методом є знаходження дисперсії доходності фінансового інструменту.
2.2 Обчислення ризику на ринку акцій українських емітентів
за даними ПФТС за 2006 р.
На практиці варіаційно-коваріаційний метод розрахунку VaR має нижче наведений алгоритм.
На першому етапі визначається вихідний ряд показників (глибина розрахунку) - значень вартості певного портфелю для усіх фіксованих в історичному періоді станів ринку за 1-2 роки . У найпростішому випадку одного інструмента розглядається історичний ряд ринкових цін (котирувань), одержаних з показників ринкової статистики.
Як приклад застосування коваріаційного методу для оцінки ризиків на ринку акцій українських емітентів, за вихідний показник візьмемо індекс акцій ПФТС за 2006 рік (243 дні). Тобто, глибина розрахунку VaR складає 1 рік.
Рис. 1. Динаміка значень індексу ПФТС у 2006 р.
На другому етапі отриманий часовий ряд переводиться в ряд відносних змін за формулою:
Наведеному вище ряду значень відповідають наступні відносні зміни індексу на рисунку 2.
Рис. 2. Щоденні зміни значень індексу ПФТС у 2006 р.
Третім етапом, і першим специфічним кроком варіаційно-коваріаційного способу розрахунку VAR, є визначення параметрів розподілу, що найкращим чином наближають фактичний розподіл розглядуваного показника до нормального.
З точки зору статистики нормальний розподіл описується двома параметрами - математичним очікуванням і стандартним відхиленням - які для наведеного прикладу індекса ПФТС дорівнюють, відповідно, 0,16% й 1,15%.
Рисунок 3 ілюструє прийнятну точність наближення змін індексу ПФТС до нормального розподілу.
Рис. 3. Фактичний розподіл змін індексу ПФТС у 2006 р.
Далі визначається значення оберненого нормального розподілу відповідно до отриманих раніше параметрів:
– встановленим рівнем довіри - для короткої позиції, ризик для якої оцінюється по позитивних змінах, або
– оберненим довірчим рівнем (тобто 1 - ) - для довгої позиції (для яких ризик проявляються лише в зниженні ринкової ціни) й, відповідно, негативних змінах.
Для даного прикладу індексу ПФТС найбільш типовим значенням довірчого рівня відповідають наступні значення оберненого нормального розподілу (таблиця 1).
Таблиця 1
Відносне значення оберненого нормального розподілу.
Параметричне ( варіаційно-коваріаційне) моделювання
Рівень довіри | Найбільш ймовірне значення | Найменше значення VaR для довгої позиції | Найбільше значення VaR для короткої позиції | |
95% | 0,16% | 1,7% | 2,1% | |
97% | 2,0% | 2,3% | ||
99% | 2,5% | 2,8% |
Однак отримані значення VaR рівновіддалені від середнього значення лінійного тренду (VaR 2,0% та 2,3% з ймовірністю 97%), а тому варіаційно-коваріаційне моделювання не враховує асиметрію розподілу. Отже, різноманітні ймовірносні характеристики додатних і від'ємних коливань відносно тренда (наприклад, раптові, але суттєві падіння цін в умовах постійного незначного приросту) в цій моделі не враховуються.
На завершальному етапі отримані значення - відносна оцінка VAR - переводяться в абсолютний еквівалент - у випадку з використанням прямих вартісних ринкових або розрахункових показників (котирувань, курсів, індексів цін) множенням на поточну вартість позиції. Розрахунок абсолютного значення VaR для індексу ПФТС на 03.03.2006 (поточна вартість індексу = 432,83) подано в таблиці 2. Отже, інвестувавши у фондовий інструмент ПФТС 03.03.2006 року, ми могли б максимально втратити 9,09 пункти цього індексу протягом найближчої доби з ймовірністю 95% та глибиною розрахунку в 1 рік, тобто поточна вартість інструменту максимально могла б знизитися до позначки 423,74.
З ймовірністю 99% (рівнем довіри, рекомендованим Базельським комітетом з питань банківського нагляду) протягом 24 годин ми не могли б втратити більше, ніж 12,12 пункти індексу (мінімальна поточна вартість інструменту могла б становити 420,71).
Таблиця 2
Абсолютне значення VaR на 3.03.2006.
Параметричне ( варіаційно-коваріаційне) моделювання
Рівень довіри | Найменше значення VAR | Найбільше значення VAR | |
95% | 7,36 | 9,09 | |
97% | 8,66 | 9,96 | |
99% | 10,82 | 12,12 |
Представлений вище алгоритм відповідає розрахунку VaR для 1 інструмента. Для диверсифікованих портфелів розрахунок здійснюється за аналогічною схемою, але з використанням більш складного матричного математично-статистичного інструментарію.
Таким чином, варіаційно-коваріаційний метод розрахунку VaR є досить вдалим та прийнятним для оцінки ризику змін вартості фінансових інструментів. Він відрізняється концептуальною і розрахунковою простотою. Зміна вартості фінансового активу в цьому методі являє собою лінійну комбінацію доходностей факторів ризику, що мають нормальний розподіл. Такий підхід дозволяє розраховувати показник VaR на основі тільки поточної вартості портфелю та оцінок мінливості доходності факторів ризику, що особливо зручно для великих диверсифікованих портфелів. Серед інших переваг методу - відносно невеликі витрати на збір первинних даних, швидкість розрахунку (в методах стохастичного моделювання - метод Монте-Карло, історичного моделювання - робиться повна переоцінка портфелю), задовільна точність оцінки VaR в більшості випадків практичного застосування.
ІІІ МІЖНАРОДНИЙ ДОСВІД ЗАСТОСУВАННЯ VаR-АНАЛІЗУ
Історично вперше концепція ризикової вартості почала використовуватися великими банками наприкінці 1980-х - початку 1990-х рр. для вимірювання сукупного ризику трейдингового портфеля. Вважається, що ідея VaR належить Деннісу Везерстоуну, голові ради директорів банку J.P. Morgan, який хотів щодня в 16:15 одержувати звіт про максимальні втрати по всіх трейдингових позиціях у банку, очікуваних у найближчі 24 години. Цей звіт повинен був поміщатися на одній сторінці і бути зрозумілим раді директорів банку. Він був розроблений на початку 1990-х рр. і одержав популярність як “Звіт 415” [22].
У 1993 р. термін “Value-at-Risk” вперше з'явився в публічному документі, у доповіді Derivatives: practices and principles, підготовленому J.P. Morgan за замовленням “Групи Тридцяти” (G30), некомерційної організації, яка об'єднує найбільші фінансові організації США. У жовтні 1994 р. банк J.P. Morgan опублікував систему RiskMetrics™ і розмістив в Інтернеті у відкритому доступі її докладний опис. Водночас банк розробив програмний пакет FourFifteen по обчисленню VaR на основі методології RiskMetrics™. Завдяки маркетинговій кампанії з поширення RiskMetrics™ про концепцію ризикової вартості стало відомо менш великим фінансовим організаціям, нефінансовим корпораціям та інституціональним інвесторам. Швидкому поширенню RiskMetrics™ також сприяли невисока вартість ($25 тис.) і простота експлуатації первинного програмного пакета, виконаного на основі MS Excel у комбінації з елементами Visual Basic [22].
Уже в 1994 р. при проведенні в США опитування дилерів цінних паперів 43% всіх респондентів заявили, що вони використовують той або інший варіант VaR, а 37% повідомили про свій намір почати застосовувати його до кінця 1995 р. За даними опитування, проведеного в 1995 р. Нью-Йоркською школою бізнесу, 60% пенсійних фондів використають VaR. У 1998 р. група RiskMetrics™ вийшла зі складу J.P. Morgan і, будучи самостійною організацією, займається дослідженнями в області ринкового і кредитного ризику. [24]
