Таким образом, единовременная нетто-ставка по страхованию на дожитие для лица в возрасте 40 лет сроком на 5 лет на 100000 манат составит 84250 манат.
Представим этот расчет в виде формулы, пользуясь указанными выше символами:
где пЕх - единовременная нетто-ставка по страхованию на дожитие для лица в возрасте х лет при сроке страхования п лет,
lп+х - число лиц, доживших до окончания срока страхования,
lх -число лиц, заключивших договор в возрасте х лет,
V- дисконтирующий множитель
S - страховая сумма.
Чем моложе застрахованный, тем дороже ему обходится договор страхования на дожитие, так как тем больше число доживающих до окончания срока. Чем длиннее срок, тем ниже ставка, так как больше дохода от процентов.
Теперь исчислим единовременную нетто-ставку по страхованию при тех же условиях, обозначив ее символом 5А40. Число умирающих на каждом году страхования, взятое из таблицы смертности, умножаем на соответствующие дисконтирующие множители и делим на число лиц, вступивших в страхование:
5А40=(374*0.97087+399*0.94260+427*0.91514+458*0.88849+492*0.86261)*100/92246= 2130 манат
Таким образом, страховая сумма составляет 100000 манат, ее страховая стоимость равна 2130 манат. При выплате по случаю смерти застрахованного все недостающие средства перераспределяются из взносов тех, кто дожил до окончания срока страхования, к ним добавляется доход от процентов.
Представим формулу в общем виде:
где пАх - единовременная нетто-ставка по страхованию на случай смерти для лица в возрасте х лет сроком на п лет.
dx, dx+1 ,..., dx+п-1 - числа умирающих в течении срока страхования,
V - дисконтирующий множитель, S - страховая сумма.
Рассмотрим теперь принципы построения единовременных ставок по страхованию пенсии или ренты.
Страхование ренты - это вид личного страхования, по которому страховщик обязуется уплачивать застрахованному лицу в установленные сроки регулярный доход. Одной из самых распространенных разновидностей такого страхования является страхование пенсии.
Страхование ренты бывает пожизненным или временным, немедленным или отсроченным, в зависимости оттого, выплачивается регулярный доход сразу после уплаты взносов или по истечении обусловленного периода.
Для вывода соответствующих формул применим следующий ход рассуждений. Допустим, что страховая организация обязалась выплачивать застрахованному лицу в возрасту х лет в течении всей его жизни ежегодно определенную денежную сумму и что эта выплата будет производиться с первого же года страхования в начале каждого года. Ее размер составляет 100000 манат. Предположим далее, что договоры заключили все лица в возрасте х лет. Тогда первая выплата будет произведена всем лицам lх немедленно после заключения договора страхования и составит lх манат.
Во втором году будет выплачено lх+1 манат. С момента заключения договора современная стоимость выплаты равна lx+1V манат.
Современная стоимость выплаты третьего года равна lx+2V2 манат, четвертого - lx+3V3, пятого и так далее. Последняя выплата будет спустя w-х лет, где w - предельный возраст таблицы смертности. Современная стоимость последней выплаты lwVw-x манат.
Современная стоимость финансовых обязательств страховщика, относящихся ко всем lx лицам, выразится суммой:
lх+ lх+1V+ lх+2V2+...+ lwVw-x.
Чтобы получить современную стоимость взаимных обязательств страховщика и страхователя по отношению к одному лицу, то есть найти единовременную нетто-ставку по страхованию пожизненной ренты - пренумерандо, то есть выплачиваемой застрахованному лицу в начале каждого страхового года, надо эту сумму поделить на число лиц, вступивших в страхование:
wax=(lх+ lх+1V+ lх+2V2+...+ lwVw-x)/lx
где wax - единовременная нетто-ставка по страхованию пожизненной ренты (пенсии) - пренумерандо.
Если рента выплачивается не пожизненно, а в течении определенного числа лет в начале каждого страхового года (пренумерандо) формула приобретет вид:
nax=(lх+ lх+1V+ lх+2V2+...+ lx+n-1Vn-1)/lx
если же в конце страхового года (постнумерандо):
nax=( lх+1V+...+ lx+nVn)/lx
5. Понятие коммутационных чисел. Методика расчета нетто-ставок через коммутационные числа
Показатели, необходимые для вышеуказанных расчетов, изменяются в таблицах смертности и дисконтирующих множителей. Однако, поскольку на практике приходится исчислять тарифные ставки для многих возрастов и на несколько различных сроков, пришлось бы складывать, перемножать и делить очень длинные ряды крупных чисел, что очень трудоемко. С целью упрощения расчета тарифов применяются специальные технические показатели - коммутационные числа:
Dx=lxVx
Nx=Dx+Dx+1+...+Dw
Cx=dxVx+1
Mx=Cx+...+Cw
Rx=Mx+...Mw
Рассмотрим принцип перевода в коммутационные числа формул, применяемых для расчета тарифов, на примере единовременной нетто-ставки по дожитию.
Известно, что, если числитель и знаменатель дроби умножить на одинаковое число, абсолютная величина ее не изменится.
Умножим правую часть формулы на Vx/Vx. Поскольку Vx/Vx=1, абсолютная величина останется той же. Таким образом,
(1)
В результате аналогичных преобразований остальные формулы примут следующий вид:для исчисления единовременной нетто-ставки на случай смерти на определенный срок
(2)
для пожизненного страхования на случай смерти
пожизненной ренты пренумерандо
временной ренты пренумерандо
Размер временной ренты постнумерандо. То есть выплачивается не в начале, а в конце года, исчисляется по формуле
Приведем в сокращенном виде таблицу коммутационных чисел. (Табл. 3)
Таблица 3.
х | Dx | Nx | Cx | Mx | Rx | |
0 | 100 000 | 2 894 942 | 1 730 | 15 674 | 832 317 | |
1 | 95 360 | 2 794 942 | 174 | 13 944 | 816 643 | |
2 | 92 406 | 2 699 582 | 88 | 13 770 | 802 699 | |
3 | 89 632 | 2 607 176 | 60 | 13 682 | 788 929 | |
4 | 86 957 | 2 517 544 | 55 | 13 622 | 775 247 | |
5 | 84 367 | 2 430 587 | 51 | 13 567 | 761 625 | |
6 | 81 861 | 2 347 220 | 47 | 13 516 | 748 058 | |
7 | 79 428 | 2 264 359 | 43 | 13 469 | 734 542 | |
8 | 77 070 | 2 184 931 | 38 | 13 426 | 721 073 | |
... | ... | ... | ... | ... | ... | |
18 | 56 994 | 1 509 203 | 69 | 13 031 | 588 340 | |
19 | 55 266 | 1 452 209 | 74 | 12 962 | 575 309 | |
20 | 53 583 | 1 396 943 | 78 | 12 888 | 562 347 | |
21 | 51 938 | 1 343 360 | 80 | 12 810 | 549 459 | |
... | ... | ... | ... | ... | ... | |
25 | 45 836 | 1 144 976 | 83 | 12 482 | 498 706 | |
26 | 44 419 | 1 099 140 | 84 | 12 399 | 486 224 | |
... | ... | ... | ... | ... | ... | |
31 | 37 914 | 890 437 | 88 | 11 972 | 425 076 | |
... | ... | ... | ... | ... | ... | |
35 | 33 341 | 745 815 | 96 | 11 611 | 377 721 | |
36 | 32 270 | 712 474 | 98 | 11 515 | 366 110 | |
... | ... | ... | ... | ... | ... | |
40 | 28 283 | 589 505 | 111 | 11 101 | 320 651 | |
41 | 27 341 | 561 222 | 115 | 10 992 | 309 548 | |
42 | 26 436 | 533 881 | 120 | 10 877 | 298 556 | |
43 | 25 538 | 507 445 | 125 | 10 757 | 287 679 | |
44 | 24 676 | 481 907 | 130 | 10 632 | 276 922 | |
45 | 23 825 | 457 231 | 136 | 10 502 | 266 290 | |
46 | 22 992 | 433 410 | 141 | 10 366 | 255 788 | |
... | ... | ... | ... | ... | ... | |
50 | 19 859 | 346 216 | 163 | 9 776 | 215 191 | |
51 | 19 122 | 326 357 | 169 | 9 607 | 205 421 | |
... | ... | ... | ... | ... | ... | |
55 | 16 300 | 254 171 | 198 | 8 888 | 168 035 | |
56 | 15 622 | 237 871 | 204 | 8 690 | 159 147 | |
... | ... | ... | ... | ... | ... | |
61 | 12 472 | 166 202 | 225 | 7 624 | 117 788 | |
... | ... | ... | ... | ... | ... | |
65 | 10 187 | 119 799 | 247 | 6 693 | 88 662 | |
66 | 9 641 | 109 612 | 253 | 6 446 | 81 969 | |
... | ... | ... | ... | ... | ... | |
70 | 7 566 | 74 202 | 275 | 5 399 | 57 727 | |
71 | 7 069 | 66 636 | 280 | 5 124 | 52 328 | |
... | ... | ... | ... | ... | ... |
Пользуясь табл. 3 , рассчитаем единовременные нетто-ставки по дожитию и на случай смерти, например, при условии х=40, п=5 по формулам (1) и (2):
5Е40=D45/D40*100=23825/28283*100=84 манат 25 коп
5А40=M40-M45/D40*100=11103-10502/28283*100=2 манат 13 коп
6. Методика перехода от единовременной к годичной нетто-ставке. Годичная нетто-ставка. Совокупная ставка на случай смерти и дожития, ее анализ
Ранее при расчетах нетто-ставки мы предполагали, что сумма подлежащих уплате взносов погашается единовременно в момент заключения договора страхования. Однако случаи единовременной оплаты страховых взносов практически встречаются редко. Большинству страхователей удобнее вносить платежи в течении всего срока страхования. Для этого исчисляются годичные нетто-ставки.
Уплачивая страховой взнос единовременно, страхователь расходует меньше денег, чем при уплате взносов в течении нескольких лет. Во-первых, при единовременной уплате большая денежная сумма поступает сразу в хозяйственный оборот и на нее нарастают проценты. При годичных же взносах часть дохода, получаемого за счет процентов, теряется и, следовательно, годичные ставки не могут быть заранее уменьшены на такую же величину, как единовременные. Во-вторых, при единовременном взносе все страхователи уплачивают свои взносы, при годичной же уплате по ряду договоров взносы не будут уплачены полностью, поскольку часть застрахованных умирает в течении срока страхования.
Следовательно, исчисляя размер годичной нетто-ставки, нельзя механически поделить единовременную ставку на число лет страхования. Нужно осуществить особый расчет с тем чтобы годичные ставки учитывали как потерю дохода на процентах, так и уменьшение числа застрахованных вследствии смертности.
Переход от единовременной нетто-ставки к годичной осуществляется посредством применения коэффициентов рассрочки.
Обычно условия страхования, предоставляют страхователю право помесячной уплаты взносов, ориентируются на возможность погашения полной суммы годичного взноса к концу страхового года. В ходе дальнейших рассуждений этот факт надо будет иметь ввиду.
Каким должен быть размер ежемесячного взноса? Представим, что все 40-летние лица (см. Таблицу смертности) обязались в конце каждого года страхования в течении 5 лет вносить страховой организации 10 000 манат. Тогда в конце первого года будет внесено 922 460 000 манат (l41*10 000 манат). Современная стоимость этой суммы равна lх+1V, то есть 922 460 000 манат * 0,97087, современная стоимость взносов второго года - lx+2V2, третьего - lx+3V3, п-го года - lx+nVn. Для каждого из вступивших в страхование сумма современных стоимостей годичных взносов составит:
(lx+1V+...+lx+nVn)/lx
Выше мы получили формулу для исчисления временной ренты - постнумерандо, которая послужит коэффициентом рассрочки:
nax=
Коэффициент рассрочки (рента - постнумерандо или пренумерандо) представляет собой стоимость взносов в размере 10 000 манат, производимых в течении определенного срока в конце или начале каждого страхового года.
В таблице 5 приведены коэффициенты рассрочки.
Таблица 5.
Срок уплаты, лет | Возраст, лет (х) | ||||
20 | 30 | 40 | 50 | ||
5 | 4.55 | 4.54 | 4.51 | 4.45 | |
10 | 8.45 | 8.41 | 8.30 | 8.06 | |
15 | 11.77 | 11.67 | 11.43 | 10.91 | |
20 | 14.59 | 14.41 | 13.96 | 13.07 |
Теперь рассчитаем годичные ставки.
Единовременная нетто-ставка, как было показано ранее, равна современной стоимости финансовых обязательств страховщика и страхователя. При единовременной оплате страхователь все свои финансовые обязательства выполняет в момент заключения договора. При годичных взносах он рассчитывается со страхователем постепенно. Очевидно, что общая сумма годичных взносов должна быть эквивалентна единовременному взносу. Однако она не равна ему в связи с двумя обстоятельствами. Во-первых, в течении срока страхования будет нарастать доход в виде процентов (i), во-вторых, часть страхователей не сможет полностью расплатиться вследствии смертности. Иначе говоря, единовременная нетто-ставка является современной стоимостью суммы годичных взносов, поскольку это рассроченные финансовые обязательства страхователя.
Мы установили, что современная стоимость годичного взноса в 10 000 манат представляет собой коэффициент рассрочки. Отсюда можно составить следующую пропорцию. Искомый годичный взнос так относится к 10 000 манат, как современная стоимость всех годичных взносов в размере 10 000 манат (коэффициенту рассрочки), или
nPx : 1=nEdx : nax
где пРх - годичный взнос
пЕдх - единовременный взнос
пах - коэффициент рассрочки
Следовательно, nPx=
то есть годичная нетто-ставка равна единовременной, деленной на коэффициент рассрочки, и наоборот, единовременная ставка равна годичной, умноженной на коэффициент рассрочки.
Абсолютные значения коэффициентов рассрочки близки к значению п - срока страхования, но несколько ниже его. В результате размеры годичных ставок получаются более высокими, чем если бы мы просто делили единовременную ставку на количество лет страхования. Таким путем возмещаются потери на процентах и учитывается постепенное уменьшение числа лиц, производивших взносы. Применив коэффициент рассрочки, исчислим годичные ставки для лица в возрасте 40 лет , заключившего договор страхования на 5 лет на сумму 100 000 манат. Годичная нетто-ставка по дожитию равна 18680 манат (84250 манат : 4,51): на случай смерти - 470 манат. (2130 коп: 4,51).
Поделив единовременные нетто-ставки на коэффициент рассрочки через коммутационные числа, получим рабочие формулы для исчисления годичных нетто-ставок постнумерандо:
на дожитие nPx=
на случай смерти nPx=
из приведенных в таблице 6 примеров видна закономерность изменения размеров нетто-ставок под влиянием вступительного возраста застрахованного и срока страхования.
Таблица 6.
Вступительный возраст застрахованного, лет | Нетто-ставка по страхованию, манат | ||
на дожитие | на случай смерти | ||
Срок страхования 5 лет | |||
20 | 18.76 | 0.16 | |
30 | 18.73 | 0.25 | |
40 | 18.68 | 0.47 | |
50 | 18.42 | 0.99 | |
60 | 18.00 | 2.03 | |
Срок страхования 10 лет | |||
20 | 8.64 | 0.18 | |
30 | 8.59 | 0.29 | |
40 | 8.45 | 0.56 | |
50 | 8.16 | 1.20 | |
60 | 7.59 | 2.45 |
Таким образом, чем моложе застрахованный, тем выше нетто-ставка на дожитие и тем ниже по страхованию на случай смерти. При этом размер ставок на дожитие в несколько раз превышает ставки на случай смерти. Однако эта разница по мере увеличения возраста уменьшается. Так, при 5-летнем сроке для 20-летнего лица нетто-ставка по дожитию равна 18760 манат , а по страхованию на случай смерти - лишь 160 манат. Для 60-летнего лица они соответственно равны 18000 манат. И 2030 манат.
Нетто-ставки по страхованию на дожитие и по страхованию на случай смерти в том виде, в каком мы их рассмотрели, входят как составные части в тарифы по смешанному страхованию жизни - наиболее распространенному виду долгосрочного страхования. В совокупной нетто-ставке на дожитие и на случай смерти преобладающий удельный вес имеет ставка по дожитию.
Список используемой литературы:
1. Страховое дело, Москва, 1985
2. Страхование от А до Я, ред. Л.И. Корчевская, Москва, 1996 год
3. Налогообложение банков и страховых фирм, Р.П. Крованов, Москва, 1996 г.
Страницы: 1, 2