1. В качестве показателя эффективности целесообразно взять издержки лесовосстановления. 2. В качестве управляемых переменных задачи следует взять:
x11 - площадь с 1 типом почвы, отводимой под культуру сосны; x12 - площадь с 1 типом почвы, отводимой под культуру ели;
x21 - площадь с 2 типом почвы, отводимой под культуру сосны; x22 - площадь с 2 типом почвы, отводимой под культуру ели;
x31 - площадь с 3 типом почвы, отводимой под культуру сосны; x32 - площадь с 3 типом почвы, отводимой под культуру ели.
3. Целевая функция:
c11 x11 + c11 x12 + c11 x13 + c11 x21 + c11 x22 + c11 x23 + c11 x31 + c11 x32 + c11 x33? ?? min, где
c11 - удельные затраты площади с почвой типа 1 для посадки сосны; c12 - удельные затраты площади с почвой типа 1 для посадки ели; c21 - удельные затраты площади с почвой типа 2 для посадки сосны; c22 - удельные затраты площади с почвой типа 2 для посадки ели; c31 - удельные затраты площади с почвой типа 3 для посадки сосны; c32 - удельные затраты площади с почвой типа 3 для посадки ели. 4. Ограничения:
4. 1. По использованию земли, га:
Ошибка! Неизвестный аргумент ключа.
4. 2. По бюджету, тыс. руб. :
Ошибка! Неизвестный аргумент ключа.
4. 3. По обязательствам, га:
для сосны
Ошибка! Неизвестный аргумент ключа.
для ели
Ошибка! Неизвестный аргумент ключа.
4. 4. Областные ограничения:
x11 ? 0, ...., x33 ? 0.
Пример 1. 2. Выбор состава машинно-тракторного парка.
Выбор структуры технического оснащения является необходимым элементом лесохозяйственного планирования. Машины различных марок, предназначенные для одних и тех же работ, обладают разными конструктивными параметрами и характеризуются неодинаковой эффективностью. Для каждого конкретного хозяйства требуется подобрать состав машинно-тракторного парка, наиболее полно отвечающий его особенностям. Рациональный подбор техники должен минимизировать приведенные затраты на производство заданных работ в требуемые сроки. Объемы работ, производительность агрегатов и приведенные затраты зависят от сложившихся погодных условий и множества других непредсказуемых факторов. Поэтому выбор структуры машинно-тракторного парка следует связать с решением стохастической задачи.
Постановка задачи.
1. В качестве показателя эффективностицелесообразно взять суммарные приведенные издержки на приобретение, обслуживание и эксплуатацию техники.
2. В качестве управляемых переменных задачи следует взять:
x1 - количество плугов - покровасдирателей;
x2 - количество плугов лесных;
x3 - количество плугов лесных ПЛ;
x4 - количество тракторов ЛХТ-55А;
x5 - количество тракторов ТДТ-55А;
x6 - количество тракторов МТЗ.
3. Целевая функция:
c1 x1 + c2 x2 + c3 x3 + c4 x4 + c5 x5 + c6 x6 ? ?? min,
где
c1 - приведенные затраты на плуг - покровасдиратель;
c2 - приведенные затраты на плуг лесной;
c3- приведенные затраты на плуг лесной;
c4 - приведенные затраты на трактор ЛХТ-55А;
c5 - приведенные затраты на трактор ТДТ-55А;
c6 - приведенные затраты на трактор МТЗ.
4. Ограничения:
4. 1. По условию обеспечения необходимой комплексной работы агрегатов: Ошибка! Неизвестный аргумент ключа. ,
где
hij = 1, если плуг j типа работает с трактором i типа;
hij = 0, в противном случае.
4. 2. По обязательствам выполнения требуемых работ, га:
Ошибка! Неизвестный аргумент ключа.
где
akj, k = 1, 2, ...., m, j = 1, ...., 3 - производительность плуга j типа на работе k типа;
bk , - объем работ k вида, подлежащих выполнению.
4. 3. Областные ограничения:
x1 ? 0, ...., x6 ? 0.
1. 2. 3. Метод статистического моделирования
Приведенные формулы (1. 6) и (1. 7) могут быть использованы для систем независимых случайных величин. Однако для технических систем, как правило, случайные параметры являются зависимыми. Причем эта зависимость не функциональная, а корреляционная. Поэтому для анализа случайных факторов, заданных распределением, широкое применение нашли теория марковских процессов и метод статистического моделирования (метод Монте-Карло).
В задачах принятия оптимальных решений широкое применение получил метод Монте-Карло. Основными особенностями этого метода, основанного на многократном повторении одного и того же алгоритма для каждой случайной реализации, являются: универсальность (метод не накладывает практически никаких ограничений на исследуемые параметры, на вид законов распределения); простота расчетного алгоритма; необходимость большого числа реализаций для достижения хорошей точности; возможность реализации на его основе процедуры поиска оптимальных параметров проектирования. Отметим основные факторы, определившие применение метода статистического моделирования в задачах исследования качества при проектировании: метод применим для задач, формализация которых другими методами затруднена или даже невозможна; возможно применение этого метода для машинного эксперимента над не созданной в натуре системы, когда натурный эксперимент затруднен, требует больших затрат времени и средств или вообще не допустим по другим соображениям.
1. 3. Учет неопределенных пассивных условий
Неопределенные факторы, закон распределения которых неизвестен, являются наиболее характерными при исследовании качества адаптивных систем. Именно на этот случай следует ориентироваться при выборе гибких конструкторских решений. Методический учет таких факторов базируется на формировании специальных критериев, на основе которых принимаются решения. Критерии Вальда, Сэвиджа, Гурвица и Лапласа уже давно и прочно вошли в теорию принятия решений. В соответствии с критерием Вальда в качестве оптимальной выбирается стратегия, гарантирующая выигрыш не меньший, чем "нижняя цена игры с природой":
Ошибка! Неизвестный аргумент ключа... (1. 17)
Правило выбора решения в соответствии с критерием Вальда можно интерпретировать следующим образом: матрица решений [Wir] дополняется еще одним столбцом из наименьших результатов Wirкаждой строки. Выбрать надлежит тот вариант, в строке которого стоит наибольшее значение Wir этого столбца.
Выбранное таким образом решение полностью исключает риск. Это означает, что принимающий решение не может столкнуться с худшим результатом, чем тот, на который он ориентируется. Какие бы условия Vjне встретились, соответствующий результат не может оказаться ниже W. Это свойство заставляет считать критерий Вальда одним из фундаментальных. Поэтому в технических задачах он применяется чаще всего как сознательно, так и неосознанно. Однако в практических ситуациях излишний пессимизм этого критерия может оказаться очень невыгодным.
Применение этого критерия может быть оправдано, если ситуация, в которой принимается решение, характеризуется следующими обстоятельствами: о вероятности появления состояния Vj ничего не известно;
с появлением состояния Vj необходимо считаться;
реализуется лишь малое количество решений;
не допускается никакой риск.
Критерий Байеса-Лапласав отличие от критерия Вальда, учитывает каждое из возможных следствий всех вариантов решений:
Ошибка! Неизвестный аргумент ключа... (1. 18)
Соответствующее правило выбора можно интерпретировать следующим образом: матрица решений [Wij] дополняется еще одним столбцом, содержащим математическое ожидание значений каждой из строк. Выбирается тот вариант, в строках которого стоит наибольшее значение Wir этого столбца.
Критерий Байеса-Лапласа предъявляет к ситуации, в которой принимается решение, следующие требования:
вероятность появления состояния Vj известна и не зависит от времени; принятое решение теоретически допускает бесконечно большое
количество реализаций;
допускается некоторый риск при малых числах реализаций.
В соответствии с критерием Сэвиджав качестве оптимальной выбирается такая стратегия, при которой величина риска принимает наименьшее значение в самой неблагополучной ситуации: Ошибка! Неизвестный аргумент ключа. (1. 19)
Здесь величину W можно трактовать как максимальный дополнительный выигрыш, который достигается, если в состоянии Vj вместо варианта Ui выбрать другой, оптимальный для этого внешнего состояния, вариант. Соответствующее критерию Сэвиджа правило выбора следующее: каждый элемент матрицы решений [Wij] вычитается из наибольшего результата max Wijсоответствующего столбца. Разности образуют матрицу остатков. Эта матрица пополняется столбцом наибольших разностей Wir. Выбирается тот вариант, в строке которого стоит наименьшее значение. Согласно критерию Гурвица выбирается такая стратегия, которая занимает некоторое промежуточное положение между крайним пессимизмом и оптимизмом:
Ошибка! Неизвестный аргумент ключа. (1. 20)
где
? - коэффициент пессимизма, выбираемый в интервале [0, 1].
Правило выбора согласно этому критерию следующее: матрица решений [Wij] дополняется столбцом, содержащим средние взвешенные наименьшего и наибольшего результатов для каждой строки (2. 6). Выбирается тот вариант, в строках которого стоят наибольшие элементы Wir этого столбца.
При ? =1 критерий Гурвица превращается в критерий Вальда (пессимиста), а при ? =0 - в критерий азартного игрока. Отсюда ясно, какое значение имеет весовой множитель? . В технических приложениях правильно выбрать этот множитель бывает так же трудно, как правильно выбрать критерий. Поэтому чаще всего весовой множитель? =0. 5 принимается в качестве средней точки зрения. Критерий Гурвица предъявляет к ситуации, в которой принимается решение, следующие требования:
о вероятности появления состояния Vj ничего не известно;
с появлением состояния Vj необходимо считаться;
реализуется лишь малое количество решений;
допускается некоторый риск.
Критерий Ходжа-Лемана базируется одновременно на критериях Вальда и Байеса-Лапласа: Ошибка! Неизвестный аргумент ключа... (1. 20)
Правило выбора, соответствующее этому критерию, формулируется следующим образом: матрица решений [Wij] дополняется столбцом, составленным из средних взвешенных (с постоянными весами) математического ожидания и наименьшего результата каждой строки. Отбирается тот вариант решения, в строке которого стоит наибольшее значение этого столбца.
При z=1 критерий преобразуется в критерий Байеса-Лапласа, а при z=0 превращается в критерий Вальда. Таким образом, выбор параметра z подвержен влиянию субъективизма. Кроме того, без внимания остается и число реализаций. Поэтому этот критерий редко применяется при принятии технических решений. Критерий Ходжа-Лемана предъявляет к ситуации, в которой принимается решение, следующие требования:
о вероятности появления состояния Vjничего не известно, но некоторые предположения о распределении вероятностей возможны;
принятое решение теоретически допускает бесконечно большое количество реализаций; допускается некоторый риск при малых числах реализаций. Общие рекомендаций по выбору того или иного критерия дать затруднительно. Однако отметим следующее: если в отдельных ситуациях не допустим даже минимальный риск, то следует применять критерий Вальда; если определенный риск вполне приемлем, то можно воспользоваться критерием Сэвиджа. Можно рекомендовать одновременно применять поочередно различные критерии. После этого среди нескольких вариантов, отобранных таким образом в качестве оптимальных, приходится волевым решением выделять некоторое окончательное решение. Такой подход позволяет, во-первых, лучше проникнуть во все внутренние связи проблемы принятия решений и, во-вторых, ослабляет влияние субъективного фактора. Кроме того, в области технических задач различные критерии часто приводят к одному результату.
Применение данных критериев с методической точки зрения удобно продемонстрировать на примере одной задачи.
Пример 1. 3. Обоснование состава ремонтной бригады.
На предприятии решается вопрос о создании ремонтной бригады. Основываясь на применениии критериев Вальда, Лапласа, Сэвиджа и Гурвица, определить наиболее целесообразное число членов бригады. Исходные данные сведены в табл. 1. 1, в ячейках которой занесены доходы при разных вариантах (стратегиях). Под стратегией понимается x -число членов бригады и R - количество станков, требующих ремонта.
Таблица 1. 1
x\R
40
30
20
10
5
50
100
180
250
4
80
70
80
230
3
210
180
120
210
2
300
220
190
150
1. Критерий Вальда. Как указывалось выше критерий Вальда выражается в двухь формах, зависящих от вида исходных данных.
Если исходными данными являются потери при различных стратегиях, то критерий выбирается в форме минимакса (минимальные потери из минимально возможных), то есть критерий (2. 6) имеет вид
Ошибка! Неизвестный аргумент ключа...
Таким образом, справа дописывается столбец максимумов по строкам. Таблица 1. 3
x\R
40
30
20
10
max
5
50
100
180
250
250
4
80
70
80
230
230
3
210
180
120
210
210
2
300
220
190
150
300
Для удобства запишем его в виде транспонированного вектора max uxR = т и выбираем минимальное значение 210. Таким образом, при данных условиях рациональным решением будет x=3, R=10, min uxR = 210.
Если в таблице фигурируют доходы при различных стратегиях, то критерий Вальда принимает форму максимина (максимум из минимумов), то есть критерий (2. 6) имеет вид
Ошибка! Неизвестный аргумент ключа...
Таким образом, справа дописывается столбец минимумов по строкам. Таблица 1. 3
x\R
40
30
20
10
Min
5
50
100
180
250
50
4
80
70
80
230
70
3
210
180
120
210
120
2
300
220
190
150
150
Тогда решающий столбец имеет вид max uxR = т. Максиминное значение равно 150. Таким образом, при данных условиях рациональным решением будет: x=2, R=10, max uxR = 150.
2. Критерий Лапласа. Как известно, критерий Лапласа предполагает, что все состояния системы равновероятны и рациональные решения выбираются по критерию: Ошибка! Неизвестный аргумент ключа...
При данных предыдущего примера в случае, если в таблице записаны потери при том или ином варианте, значение критериев подсчитывается так:
W1 = 0. 25 (50+100+180+250) = 145;
W2 = 0. 25 (80+70+80+230) = 115;
W3 = 0. 25 (210+180+120+210) = 180;
W4 = 0. 25 (300+220+190+150) = 215.
Таким образом наилучшим решением будет x=4, минимум потерь (наибольший выигрыш) равен 115.
3. Критерий Сэвиджа. В этом случае составляется новая матрица, элементы которой составляются по правилу:
Ошибка! Неизвестный аргумент ключа.
Составим матрицу W(xi, Rj) - матрицу сожалений для случая, когда uij - потери, используя предыдущие данные. Соответствующая матрица получается путем вычисления значений min(xi, Rj), равных 50, 70, 80 и 150 из столбцов 1, 2, 3, 4, соответственно
max W(xi, Rj)
0
30
100
100
100
W(xi, Rj)=
30
0
0
0
80
160
110
40
60
160
250
150
110
0
250
Таким образом, минимальные потери будут при x=2, когда max W(xi, Rj)=80. Отметим, что независимо от того, является функцией сожаления, определяющая потери. Поэтому здесь можно применить только минимаксный критерий.
4. Критерий Гурвица. В отличие от примененных выше "жестких" критериев, критерий Гурвица является "гибким", так как позволяет варьировать "степень оптимизма-пессимизма". Таким образом, этот критерий устанавливает баланс между случаями крайнего оптимизма или пессимизма, путем введения коэффициента веса? . Как указывалось выше, критерий записывается в виде: Ошибка! Неизвестный аргумент ключа.
