Изучение элементов теории множеств в начальном курсе обучения математике

75

Введение

Актуальность исследования. Современные перспективные подходы к организации системы школьного образования, в том числе и математического образования, определяются прежде всего отказом от единообразной, унитарной средней школы. Направляющими векторами этого подхода являются гуманизация и гуманитаризация школьного образования.

Гуманитаризация школьного математического образования реализуется как гуманитарная ориентация обучения математике. Гуманитарная ориентация является одним из основополагающих принципов новой концепции и выражается, условно говоря, тезисом «не ученик для математики, а математика для ученика», означающего постановку акцента на личность, на человека.

Этим определяется переход от принципа «вся математика для всех» к внимательному учету индивидуальных параметров личности - для чего конкретному ученику нужна и будет нужна в дальнейшем математика, в каких пределах и на каком уровне он хочет и может ее освоить. Иначе говоря, переход к конструированию курса «математики для всех», или, более точно, «математики для каждого».

Одной из основных целей учебного предмета «Математика» как компоненты общего среднего образования является формирование и развитие мышления человека, прежде всего абстрактного мышления, способности к абстрагированию и умения «работать» с абстрактными, «неосязаемыми» объектами. В процессе изучения математики формируются и важнейшие качества личности. В частности, в наиболее чистом виде может быть сформировано логическое (дедуктивное) мышление, алгоритмическое мышление, многие качества мышления - такие, как сила и гибкость, конструктивность и критичность и т.д.

Поэтому в качестве основополагающего принципа концепции школьного образования в аспекте «математики для каждого» на первый план выдвинут принцип приоритета развивающей функции в обучении математике. Иными словами, обучение математике ориентировано не столько на собственно математическое образование, в узком смысле слова» сколько на формирование личности с помощью математики.

В соответствии с этим принципом главной задачей обучения математике становится не изучение основ математической науки, как таковой, а общеинтеллектуальное, общекультурное развитие - формирование у учащихся в процессе изучения математики качеств мышления и качеств личности, необходимых для полноценного функционирования человека в современном обществе, для динамичной адаптации его к этому обществу.

Формирование условий для индивидуальной деятельности человека, основывающейся на приобретенных конкретных математических знаниях, для познания и осознания им окружающего мира средствами математики остается, естественно, столь же существенной компонентой школьного математического образования. С точки зрения приоритета развивающей функции конкретные математические знания в «математике для каждого» рассматриваются не столько как цель обучения, сколько как база организации полноценной интеллектуальной деятельности учащихся. Именно эта деятельность, как правило, оказывается более значимой для формирования личности учащегося и уровня его развития, чем те конкретные математические знания, которые послужили ее базой.

Знакомство с множествами и операциями над ними имеет важное значение для дальнейшего изучения многих вопросов школьной программы по математике и вместе с тем способствует интенсивному развитию мыслительных операций и речи учащихся: дети постоянно должны сравнивать объекты, выявлять в них сходство и различие, классифицировать, строить обобщения, выражать в речи и обосновывать наблюдаемые свойства и отношения.

Объект исследования: процесс обучения математике в начальной школе.

Предмет исследования: изучение элементов теории множеств в начальном курсе математики «Школа 2000...».

Решение данной проблемы определило цель исследования: рассмотреть теоретические основы обучения элементов теории множеств в начальном курсе математики «Школа 2000...».

В соответствии с целью исследования были поставлены следующие задачи:

- выявить теоретические основы изучения элементов теории множеств в начальных классах;

- изучить специфику программы по математике «Школа 2000...»;

- выявить уровень сформированности теоретико-множественных знаний и умений младших школьников, обучающихся по программе «Школа 2000...»;

- разработать методические рекомендации по изучению элементов теории множеств в программе по математике «Школа 2000...».

Гипотеза: если разработать методические рекомендации по особенностям обучения элементам теории множеств младших школьников в начальном курсе математики «Школа2000...» и использовать их в процессе обучения математике учащихся начальной школы, то это позволит повысить эффективность обучения элементам теории множеств младших школьников.

В ходе исследования были использованы следующие методы: анализ психолого-педагогической литературы по проблеме исследования, наблюдения за работой учащихся и учителей, анализ работ.

Практическая значимость заключается в разработке методических рекомендаций по организации знакомства младших школьников с элементами теории множеств.

1. Теоретические основы обучения математике в развивающей программе «Школа 2000…»

1.1 Множества и операции над ними

Понятие множества является одним из основных понятий математики и поэтому не определяется через другие. Его поясняют на примерах. Так, можно говорить о множестве букв в некотором слове, о множестве однозначных чисел.

Объекты, из которых образуется множество, называют его элементами.

В математике изучают не только те или иные множества, но и связи, отношения между ними.

Если множества А и В имеют общие элементы, т.е. элементы принадлежащие одновременно А и В, то говорят, что эти множества пересекаются. Если множества не имеют общих элементов, то говорят, что они не пересекаются.

Если каждый элемент множества В является элементом множества А, то говорят, что В - подмножество А, и пишется В А.

Множество В называется подмножеством множества А, если каждый элемент множества В является также элементом множества А. пустое множество является подмножеством любого множества ( А). любое множество является подмножеством самого себя (А А).

Продолжим рассмотрение отношений между множествами. Если каждый элемент множества В является элементом множества А и, наоборот, каждый элемент множества А является элементом множества В, то говорят, что множества А и В равны, и пишут: А=В.

Множества А и В называются равными, если А В и В А.

Из определения равных множеств вытекает, что равные множества состоят из одних и тех же элементов и порядок записи элементов множества не существен.

Все пустые множества равны.

Отношения между множествами наглядно можно представить с помощью кругов Эйлера. В том случае, если множества А и В имеют общие элементы, но не одно из них не является подмножеством другого, их изображают так, как это показано на рисунке 1.

рисунок 1.

Непересекающиеся множества А и В представляют при помощи двух кругов, не имеющих общих точек (рис.2).

рисунок 2.

Если множество В является подмножеством А, то круг, изображающий множество В, целиком помещается в круг, изображающий множество А (рис.3).

рисунок 3.

Равные множества представляют в виде одного круга (рис.4).

рисунок 4.

В математике часто приходится решать задачи, которые связаны с нахождением общих элементов двух или более совокупностей или с объединением нескольких совокупностей в одну. Обобщением таких ситуаций являются операции пересечения и объединения множеств.

Пересечением множеств А и В называется множество, состоящее из тех или только этих элементов, которые принадлежат как множеству А, так и множеству В.

Пересечение любых множеств А и В всегда существует и оно единственно.

Если представить множества А и В при помощи кругов Эйлера, то пересечение данных множеств изобразится закрашенной областью (рис.5).

рисунок 5.

В том случае, когда множества А и В не имеют общих элементов, то говорят, что их пересечение пусто и пишут: А В = .

Операция, при помощи которой находят пересечение множеств, называется так же пересечением.

Объединением множеств А и В называется множество, состоящее из тех и только тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств Аи В.

Объединение любых множеств А и В всегда существует, и оно единственно.

Объединение множеств А и В обозначают: А В.

Если представить множества А и В при помощи кругов Эйлера, то объединение данных множеств изобразится закрашенной областью (рис.6).

рисунок 6.

Операция, при помощи которой находят объединение множеств, называется также объединением.

Операции пересечения и объединения множеств подчиняются ряду законов. В частности они коммутативны, т.е. А В = В А и А В = В А для любых множеств А и В.

Ассоциативны, т.е. (А В) С = А (В С) и (А В) С = А (В С) для любых множеств А, В и С.

Разностью множеств А и В называется множество, содержащее те и только те элементы, которые принадлежат множеству А и не принадлежат множеству В.

Разность любых двух множеств А и В всегда существует и единственна.

Разность множеств А и В обозначают А\В.

Если представить множество А и В при помощи кругов Эйлера, то разность данных множеств изобразиться закрашенной областью. (рис. 7).

рисунок 7.

Операция, при помощи которой находят разность множеств, называется вычитанием.

В практической деятельности, и в частности в школьной, приходится выполнять вычитание множеств А и В в случае, когда одно из них является подмножеством другого. Тогда разность множеств А и В будет представлять закрашенной областью (рис.8). Эту разность называют дополнением множества В до множества А.

рисунок 8.

Дополнение множества В до множества А (В А) обозначают В'А.

1.2 Особенности развивающей программы «Школа 2000…»

Программа по математике для начальной школы 1-4 «Учись учиться» является частью единого непрерывного курса математики для дошкольной подготовки, начальной и средней школы образовательной программы «Школа 2000…». Курс математики для начальной школы в данной программе является, с одной стороны, непосредственным продолжением курса математического развития дошкольников «Ступеньки», а с другой - этапом, обеспечивающим непрерывность математической подготовки учащихся начальной школы при переходе их в среднюю школу.

Главной целью программы «Школа 2000…» является всестороннее развитие ребенка, формирование у него способностей к самоизменению и саморазвитию, картины мира и нравственных качеств, создающих условия для успешного вхождения в культуру и созидательную жизнь общества, самоопределению и самореализации личности. [26, 8].

Эта цель реализуется в соответствии с этапами познания и возрастными особенностями развития детей в системе непрерывного образования.

Учебно-воспитательный процесс в начальной школе по программе «Учись учиться» строится в соответствии с целями современного образования, основными характеристиками второго допонятийного этапа процесса познания (этапа первичной систематизации результатов предметных действий) и возрастной периодизацией психологического развития детей Д.Б.Эльконина.

В начальной школе происходит ситематизация познавательного опыта, накопленного детьми на дошкольной ступени, оформление мыслительных образов основных понятий и способов действий на основе выделения существенного в реальных объектах. Здесь же начинает системно формироваться опыт и понимание смысла учебной деятельности, в ходе которой дети учатся самостоятельно добывать знания, ставить перед собой цель, обдумывать и планировать свои действия, получать результат, осуществлять самоконтроль и самооценку. Они учатся делать выбор, работать в команде, аргументировать и согласовывать свои действия, при необходимости корректировать их… Другими словами, они «учатся учиться».

Согласование действий в ходе коллективной деятельности эффективно лишь тогда, когда каждый ее участник владеет правилами коммуникации (Г.П. Щедровицкий): может четко изложить и обосновать свою позицию (то есть выступить в позиции автора), умеет соотносить свои действия с принятыми договоренностями (позиция критика), способен выслушать и адекватно воспринять позицию другого (позиция понимающего). Поэтому формирование представлений о коммуникативном взаимодействии в ходе учебной деятельности в позициях автора, критика и понимающего является одной из приоритетных задач начального образования.

Начальная школа- важный этап становления личности ребенка. Формирование личностных качеств детей начинается с создания в классе атмосферы доброжелательности, такой образовательной среды, в которой обеспечивается потребность ребенка в «общении, любви и принадлежности». Ежедневно проживая оформленный в культуре процесс учения в его целостности, личностная установка ученика постепенно переакцентируется с первичной культурной нормы поведения - ориентировки на положительный совместный результат деятельности - к следующему уровню - ориентировке на процесс учения. У детей начинает формироваться неравнодушное отношение к своему делу, целеустремленность, трудолюбие, ценность «признания и уважения» в их главной «работе» - учебной деятельности. Задача учителя на данном этапе - «заменить» сильные стороны и уникальные особенности каждого ребенка, помочь ему приобрести первый позитивный опыт самостоятельного учебного действия, адекватной самооценки и самоизменения.

Приходя в школу, ребенок-первоклассник вливается в коллектив класса, который становится сферой его общения, самоутверждения и самореализации. Здесь он может выразить свою индивидуальность, приобрести помощь, поддержку и дружеское понимание, сопоставить личностную самооценку с тем, как его оценивают другие.

В соответствии с этапами развития коллектива (О.С. Анисимов) у ученика начальной школы важно сформировать ценность внесения максимального личного вклада в коллективную деятельность в ходе совместного решения учебной задачи.

В начальной школе начинается формирование системы знаний детей об окружающем мире. В отличие от дошкольной подготовке, где дети приобретают опыт наблюдения явлений и фиксирования их в языке, в начальной школе под руководством учителя они строят язык науки для объяснений причин этих явлений.

В программе по математике для начальной школы «Учись учиться» дети выделяют на уровне эмпирического обобщения основные математические понятия, такие, как число, величина, порядок, операция, фигура и др., исследуют свойства этих понятий и определяют их связь между ними. Здесь же они приобретают первый опыт самостоятельной теоретической деятельности, применяя, например, свойства сложения для упрощения вычисления.

Отбор содержания и последовательность изучения основных математических понятий осуществлялись в программе «Учись учиться» на основе системного подхода. Построенная Н.Я. Виленкиным и его учениками многоуровневая система начальных математических понятий (СНМП, 1980) позволила установить порядок введение в школьном математическом образовании фундаментальных понятий, обеспечивающих преемственные связи между ними и непрерывное развитие всех содержательно-методических линий курса математики 0-9.

Итак, целевые требования программы по математике для начальной школы «Учись учиться» могут быть определены следующим образом.

Деятельностные цели:

Развитие познавательных процессов и мыслительных операций.

Формирование представлений о коммуникативном взаимодействии и приобретение опыта коммуникации в позициях «автора», «понимающего» и «критика».

Формирования представлений о целях и функциях учения и приобретение опыта самостоятельной учебной деятельности под руководством учителя.

Воспитательные цели:

Формирование системы ценностей направленной на максимальную личную эффективность в коллективной деятельности.

Содержательные цели:

Формирование на основе системного подхода математических представлений, адекватных второму допонятийному этапу познания [26, 10].

Принципы построения содержания курса математике начальной школы «Учусь учиться»

Отбор содержания курса математики начальной школы в программе «Учусь учиться» осуществлялся в соответствии с требованиями, которые накладывает на учебное содержание дидактическая система деятельностного метода. Так, технология и система дидактических принципов деятельностного метода требуют, чтобы учебное содержание соответствовало сущности исторического процесса формирование науки, строилось в виде содержательных линий без повторений, обеспечивало связь с системой наук и с жизнью, предоставляло учащимся возможность выбора заданий всех уровней, соответствовало психофизиологическим особенностям развития детей, создавало условия для развития их творческих способностей и др.

Использование дидактической системы деятельностного метода создает условия для самостоятельного построения детьми нового знания в процессе прохождения ими всех трех этапов математического моделирования. Ими являются:

Этап математизации действительности, то есть построение математической модели некоторого фрагмента действительности;

Этап изучения математической модели, то есть построения математической теории, описывающей свойства построенной модели;

Этап приложения полученных результатов к реальному миру.

В практике нередко первый и третий этапы опускают, считая, что задачей школьного курса математики является лишь усвоение математических теорий, а возникновении математических понятий и их практическом приложении речь, как правило, не идет. В результате учащиеся плохо осознают практическую значимость математической науки и ее место в системе наук. Их деятельность на уроках математики становится формальной, теряет личностный смысл.

Математическое моделирование объектов и процессов реальной жизни позволяет учащимся не только овладеть основными методами математической деятельности, но и создать интересную, содержательную и значимую с позиций общих представлений об окружающем мире систему математических понятий.

Анализ системы начальных математических понятий, проведенный Н.Я. Виленкиным (1980), показал, что существенную роль при формировании учебных программ по математике играет выбор порядка введения фундаментальных понятий. При этом один из основных вопросов, который должен быть решен при построения школьного курса математики, является вопрос о роли и соотношении в нем понятий множества и величины. Оба этих понятия составляют генетическую основу для формирования понятия числа. Природа числа двойственна: за натуральными числами стоят конечные множества, а за положительными действительными числами - скалярные величины. Несмотря на двойственную природу, натуральные и действительные числа теснейшим образом взаимосвязаны: в их основе лежит одна и та же математическая структура.

Страницы: 1, 2