режде всего, величины можно измерять, получая при этом именованные числа. Будем считать, что величина, или именованное число, которое ее выражает, - это одно и то же.

Тогда: 1) величина не может принимать отрицательных значений; 2) если тело (или носитель величины) разбито на части, то сумма величин частей равна величине целого. Величины одного рода можно складывать; 3) для двух величин одного рода существует отношение - отвлеченное число, которое не зависит от способа измерения величин [3].

Рассмотрим конкретный пример.

Представим себе два сосуда: один в форме куба, а второй произвольной формы (рис. 1). Пусть оба сосуда доверху наполняются жидкостью. Допустим, выяснилось, что для наполнения первого сосуда понадобилось m кг жидкости, а для наполнения второго сосуда понадобилось n кг жидкости. Естественно считать, что второй сосуд в раз больше первого. Число, указывающее, во сколько раз второй сосуд больше первого, мы будем называть объемом второго сосуда. Первый сосуд является единицей измерения. Из этого определения понятия объема получаются следующие его свойства:

· Во-первых, так как для заполнения каждого сосуда требуется определенное количество жидкости, то каждый сосуд имеет определенный (положительный)объем.

· Во-вторых, для заполнения равных сосудов потребуется одно и то же количество жидкости. Поэтому равные сосуды имеют равные объемы.

· В-третьих, если данный сосуд разделить на две части, то количество жидкости, необходимое для заполнения всего сосуда, состоит из количества жидкости, необходимой для заполнения его частей. Поэтому объем всего сосуда равен сумме объемов его частей [24].

По данному определению для того, чтобы узнать объем сосуда, надо заполнить его жидкостью. В жизни, однако, требуется решать обратную задачу. Требуется узнать количество жидкости, необходимой для заполнения сосуда, не производя самого заполнения. Если бы мы знали объем сосуда, то количество жидкости мы бы получили, умножая объем сосуда на количество жидкости, необходимой для заполнения единицы объема.

Тело мы будем называть простым, если его можно разбить на конечное число тетраэдров, то есть треугольных пирамид. В частности, такие тела как призма, пирамида, вообще выпуклый многогранник, являются простыми.

Рассмотрим другое определение объема многогранников.

Число, характеризующее величину внутренней области многогранника, называется объемом многогранника.

Смежными многогранниками называются такие многогранники, которые имеют одну или несколько общих граней, причем остальные точки каждого из многогранников расположены вне другого (рис. 2).

Условимся рассматривать объем многогранника как величину, обладающую следующими свойствами:

1. Два равных многогранника имеют один и тот же объем, независимо от их расположения в пространстве.

2. Объем многогранника, представляющего собой сумму двух смежных многогранников, равен сумме объемов этих многогранников.

3. Если из двух многогранников первый содержится целиком внутри второго, то объем первого многогранника не превосходит объема второго.

Многогранники, имеющие равные объемы, называются равновеликими [37]. За единицу объема принимается объем куба, ребро которого равно единице длины (мм, см, дм, м и т.п.).

Естественно, такие определения понятия объема многогранников даются на строгом математическом языке. Рассмотрим подходы к определению понятия объемов многогранников в школьных учебниках.

Во всех учебниках объем вводится аналогично площади, с той лишь разницей, что в учебнике [7] определения нет, а в учебниках [8] и [6] они имеются: в учебнике [8] - это положительная величина, а в учебнике [6] - неотрицательная.

Существуют два подхода к определению объема:

1 подход. Понятие объема вводится аксиоматически. Объем - это положительная величина, численное значение которой обладает следующими свойствами:

- равные тела имеют равные объемы;

- если тело разбито на части, являющиеся простыми телами, то объем этого тела равен сумме объемов его частей;

- объем куба, ребро которого равно единице длины, равен единице.

Такой подход реализован в учебниках [8] и [6]. Причем, как говорилось выше, перед понятием объема проговаривается аналогия с понятием площади.

2 подход. Понятие вводится конструктивно. Будем считать, что каждое из рассматриваемых нами тел имеет объем, который можно измерить с помощью выбранной единицы измерения объемов. За единицу измерения объемов примем куб, ребро которого равно единице измерения отрезков. Куб с ребром 1 см. называют кубическим сантиметром и обозначают см3.

Такой подход реализован в учебнике [7]. Отличие также состоит в том, что аксиомы, сформулированные в учебнике [8] в определении, в учебнике [7] прописаны отдельной чертой как свойства.

Дальнейшее изучение происходит по-разному.

Во всех учебниках первой формулой вводится объем прямоугольного параллелепипеда, как произведения трех его измерений. Что касается учебного пособия [6], то в нем изложение материала отличается от других учебников. Это связано с тем, что предназначен он для классов с углубленным изучением математики. Материал построен таким образом, что сначала сформированные наглядные представления расширяются, причем отталкиваясь от реальности. Затем, переходя от наглядности, осуществляется точная словесная формулировка. Так, например, доказывается теорема об объеме прямого цилиндра. Призма рассматривается как частный случай - это цилиндр, но с другим основанием. Аналогичным образом вводится объем конуса, а отсюда получаем как следствие объем пирамиды. Представление объема интегралом доказывается в виде теоремы, но не в полном объеме, так как оно сложно и требует расширения понятия интеграла. Применение этот материал нашел при доказательстве формул объемов цилиндра, конуса (пирамиды) и шара. Для некоторых тел вращения дается общая формула объема через интеграл. В виде задач сформулированы метод Кавальери и формула Симпсона, причем предлагается найти им аналоги в планиметрии. Аналогично предлагается вывести самостоятельно формулы для шарового сегмента, шаровых пояса и сектора, определения которых даны в формулировке задач. Имеется также дополнение к главе, где рассматривается вопрос равновеликости и равносоставленности. Практическая часть пособия представлена достаточным количеством задач, при этом их тематика довольно обширная по сравнению с другими учебниками. Отличительной чертой задач является то, что учащиеся должны искать и, решая, проводить самостоятельно аналогию с курсом планиметрии. Это развивает память, мышление, воображение, а также способствует более прочному закреплению материала.

Проанализировав учебные пособия по данной теме при дальнейшем рассмотрении учебников будем опираться только на учебники [7] и [8], так как в них изложение материала и построение курса более понятно для изучения школьниками.

В младших и средних классах (I-V) понятие объема фигуры употребляется по существу как первичное, неопределяемое. У учащихся формируется убежденность в том, что окружающие их физические тела имеют определенный объем, это убеждение по интуиции переносится и на геометрические тела. По отношению к кубу и прямоугольному параллелепипеду в IV классе предлагаются формулы, которые иллюстрируются (для случая целых измерений) с помощью разбиения данной фигуры на единичные кубики. Такое разбиение можно условно считать первым в школьном курсе подходом к определению понятия объема; число единичных кубов, составляющих прямоугольный параллелепипед (в частности куб), принимается за числовое значение объема соответствующей фигуры.

В курсе VIII класса учащиеся знакомятся с общей задачей нахождения объемов многогранников и некоторых других фигур. Практика преподавания выявила некоторые трудности в усвоении этого материала восьмиклассниками, к тому же характер его изложения не вполне увязан с общей практической направленностью пропедевтического курса стереометрии [16].

Таким образом, углубленное изучение определения объема приходится отложить до X класса, где к этому понятию возвращаются и в теме «Многогранники» и в теме «Фигуры вращения».

§ 4 Цели изучения темы «Объемы многогранников» в курсе стереометрии

1.4.1. Развитие пространственных представлений

Широкие возможности для развития пространственных представлений открываются при использовании различных наглядных пособий и ТСО. Можно организовать работу по изготовлению наглядных пособий силами учащихся. Эта работа потребует от них и определенных знаний, и достаточно развитого пространственного воображения. Работа по изготовлению самодельных учебных наглядных пособий проводится под руководством учителя в классе, во внеурочное время, в кружках и школьных производственных мастерских. Помимо положительного влияния на усвоение курса математики, такая работа содействует повышению эффективности урока. Иное дело, когда учитель злоупотребляет демонстрацией наглядных пособий. Этим он избавляет учеников от необходимости напрягать, упражнять воображение и в результате мешает его развитию.

Использование наглядных моделей многогранников способствует решению разных дидактических задач. Они будут полезны на уроках геометрии. Наборы многогранников (каркасные модели, деревянные, из бумаги) демонстративны, дают необходимые представления о форме. Они могут служить объектами для измерения и определения площадей поверхностей и объемов. Тела из стекла прозрачны и позволяют видеть элементы фигур, сечения тела, которые показываются либо стеклянными вкладышами, либо с помощью натянутых нитей. Эти модели могут демонстрироваться целому классу. С ними полезно поработать и отдельному ученику, пропустившему урок или занятому решением задач.

Полезно иметь в кабинете и разбирающиеся наборы геометрических тел, сделанные из картона или плотной бумаги. Учащиеся могут самостоятельно изготовить развертки многогранников. Достаточная прочность фигуры в сборке может быть достигнута даже без клея. При необходимости модель можно разобрать (Приложение 1).

Также при изучении многогранников и их объемов можно использовать различные рабочие и справочные таблицы. Рабочие таблицы - это такие таблицы, по материалу которых можно организовать активную мыслительную деятельность учащихся как по усвоению нового теоретического материала, так и по его закреплению. С помощью рабочих таблиц возможно осуществить выполнение большого числа упражнений, способствующих выработке и закреплению у учащихся определенных навыков. По ним можно проводить опрос учащихся или создать проблемную ситуацию перед классом. В отличие от рабочих таблиц, справочные таблицы, то есть таблицы для запоминания, предназначены для длительного воздействия на зрительный аппарат учащихся. Такие таблицы могут быть вывешены в кабинете математики на длительное время. Таким образом, основным свойством справочных таблиц является (помимо наглядности, которая в ряде случаев играет важную роль) их дидактическая направленность. Таблицы эти предназначены для принудительного воздействия на память учащегося с целью запоминания основных фактов, формул, графиков и др. Примером таких таблиц может служить таблица «Вычисление площадей и объемов многогранников», в которой изображены различные виды многогранников и указаны формулы вычисления объема и площади поверхности для каждого вида.

Большие возможности воспитания самостоятельности и активности открываются при использовании тетрадей с печатной основой. В настоящий момент они все чаще появляются в школах. Тетради с печатной основой предназначаются для организации самостоятельной работы на этапе закрепления и повторения пройденного материала. Основная отличительная особенность тетради в том, что она позволяет более рационально использовать учебное время, так как ученики освобождаются при работе с тетрадью от механического переписывания текста заданий и основное внимание сосредотачивают на выполнении заданий, включенных в тетрадь. Тетради с печатной основой включают большое число заданий. Цель заданий различна. Задания могут дать ученику образец способа рассуждений, решения. Данные в тетради могут содержать пропуски в тексте, которые ученики должны заполнить при работе с тетрадью (причем пропущены не случайные слова, а такие, которые заставляют ученика лишний раз обратиться к определениям, задуматься над последовательностью операций). Итак, тетрадь с печатной основой дает возможность отрабатывать и прививать учащимся навыки решения типовых задач.

Также нельзя забывать и про такие средства обучения как диапозитивы, кодопозитивы, компьютерные средства, которые могут быть эффективно применены при изучении многогранников и их объемов.

Нередко наглядные средства рассматривают лишь как временную опору при начальном усвоении знаний. Сторонники такой оценки роли наглядных средств полагают, что модели в этом случае приучают учащихся к очевидности и поэтому не способствуют развитию логического мышления. Выдвигается даже дидактическое правило: чем старше учащиеся, тем меньше моделей должно применяться в преподавании математики. Принять такую точку зрения и вытекающее из нее дидактическое правило нельзя, так как они несостоятельны. Правильно понимаемое применение наглядных средств не только уместно, но и необходимо на всех ступенях обучения.

Таким образом, готовясь к конкретному уроку, учитель выбирает те средства, с которыми легче организовать необходимую работу учащихся, то есть наиболее простые в данный момент для их восприятия.

Чтобы некоторая материальная модель позволяла организовать усвоение того или иного понятия, она должна не только правильно его отражать, но и быть простой для восприятия учащимися.

Таким образом, чтобы достигнуть основной цели изучения многогранников - это развитие пространственных представлений и пространственного воображения учащихся - необходимо использовать на уроках геометрии наглядность и ТСО.

1.4.2. Развитие логического мышления

Данная цель реализуется через правильно подобранный задачный материал и разумное сочетание логики и интуиции учащихся. Заданный материал по теме «Объем многогранников» дает возможность применения различных методов. Одна и та же задача может быть решена по-разному. Целенаправленная работа учителя по решению «опорных» задач (задач, часто встречающихся и являющихся элементами других задач по теме «Объем многогранников»), по обучению умению применять различные методы при их решении, по отбору задач для демонстрации эффективности того или иного метода решения дает ощутимые результаты.

Материал учебника, различных пособий представляет учителю богатые возможности для дальнейшего развития логического мышления учащихся. Здесь вводятся много новых понятий, определений, доказываются теоремы, при этом возможно эффективное применение различных методов (координатный, векторный и др.). Решение задач на построение или задач, включающих построение как промежуточный элемент, требует логического обоснования, умелой записи. При работе над определением, теоремой нельзя ограничиваться воспроизведением текста учебника, нужно так организовать работу на уроке, чтобы учащиеся поняли необходимость каждого из свойств, фигурирующих в определении понятия, умели распознать понятие по его определению, умели выделять условие и заключение теоремы. Несомненную пользу принесет переформулировка изучаемых свойств объема и многогранников в терминах «если - то», «необходимо - достаточно», выявление условий применимости каждой из теорем.

Необходимо также помнить, что при изучении объемов многогранников, как и при изучении других разделов курса стереометрии, должно осуществляться разумное сочетание интуиции учащихся и логики. Педагогически нецелесообразно стремиться строго определять те понятия, о которых учащиеся имеют достаточно четкое и правильное представление из собственного жизненного опыта, а формулировки которых являются слишком громоздкими.

Выводы по § 1

1. Основные цели изучения темы «Объемы многогранников» в курсе стереометрии - развитие пространственных представлений учащихся, освоение способов вычисления практически важных величин и дальнейшее развитие логического мышления учащихся.

2. Анализ программы и учебников показал, что в настоящее время наиболее адаптированными учебниками для общеобразовательных школ являются [7] и [8].

3. На современном этапе обучения наиболее целесообразным является конструктивный способ введения понятия «Объем многогранников».

4. При подготовке к каждому уроку необходимо выбирать такие средства наглядности, которые позволяют легче организовать работу с учащимися по развитию пространственных представлений.

5. Для реализации основных целей изучения темы необходима тщательно продуманная система задач с практическим содержанием и задач на развитие логического мышления.

Глава 2. Методика изучения темы «Объемы многогранников»

§ 1 Пропедевтика изучения темы «Объемы многогранников»

Как по ранее действовавшей, так и по новой программе тема «Прямоугольный параллелепипед и его объем» изучается в 5 классе и увязывается с изучением законов арифметических действий. Изложение этого материала содержит максимально полное рассмотрение вопросов, связанных с первоначальными пространственными представлениями, прямоугольным параллелепипедом и понятием объема. Эксперимент, проведенный во многих школах, показал, что такое изложение темы требует 15-16 уроков, в то время, как новая программа отводит на этот материал (вместе с решением задач) несколько меньшее время. Учебник математики должен содержать полное объяснение, позволяющее учащемуся в случае необходимости (например, в случае пропуска двух-трех уроков по болезни) самостоятельно разобраться в материале по учебнику. Между тем изложение первоначального геометрического материала в наших учебниках для 5 класса традиционно является чрезмерно сжатым, практически не раскрывает все моменты элементарной геометрии. Поэтому при объяснении материала и при решении задач учитель вынужден сам давать дополнительные разъяснения.

Во-первых, учащиеся должны понимать, что такое прямоугольный параллелепипед. Речь идет вовсе не о том, чтобы они представляли себе прямоугольный параллелепипед как нечто похожее на коробку или брусок. У учащихся должны быть сформированы первоначальные пространственные представления: поверхность и каркас прямоугольного параллелепипеда, четверки параллельных ребер, измерения прямоугольного параллелепипеда, равенство противоположных граней, развертка и т. д.

Каким бы простым телом ни казался параллелепипед, учащимся требуется определенное время на знакомство с ним. Каждый ученик должен иметь на уроке и дома какую-нибудь модель параллелепипеда. При этом важно, чтобы учащиеся не просто рассматривали параллелепипед, но и задействовали при его изучении и другие виды восприятия. Так, они должны не только глазами, но и пальцами провести по его ребрам, «ощутить», что в каждой вершине сходятся три ребра. Взяв параллелепипед в руки так, чтобы в каждой его вершине оказалось по одному пальцу, они увидят и ощутят мышечно, что число задействованных пальцев равно 8, следовательно, у параллелепипеда 8 вершин. Аналогично можно сосчитать и число его граней. Такое использование при восприятии тела различных органов чувств помогает создать более полный его мыслительный образ [19].

Результатом подобного изучения параллелепипеда должно стать осознание целого ряда особенностей. Все грани прямоугольного параллелепипеда - прямоугольники, и всего их шесть; напротив друг друга расположены равные грани, таких пар равных граней три; в каждой вершине сходится три неравные грани. Аналогичные выводы можно сделать и о ребрах: всего их 12; есть равные ребра - три группы по четыре ребра; в каждой вершине сходится три ребра разной длины. Наконец, вершины: их 8, по четыре вершины в каждой из противолежащих граней. Такое всестороннее и внимательное изучение параллелепипеда, однако, не предполагает, что предлагаемые далее задания выполняются учащимися в умственном плане без опоры на модели и рисунки.

Страницы: 1, 2, 3, 4

Голосование

Как вы оцениваете работу нашего сайта? Отлично Хорошо Нормально Плохо Результаты