1. Неумение выделить величины, о которых идет речь в задаче.
2. Неумение установить функциональную зависимость в математических символах.
3. Неумение выразить эту зависимость в математических символах.
4. Слабые навыки схематической и символической записи условия, способствующей анализу задачи, выражению зависимостей между величинами, входящими в задачу.
2. ОБУЧЕНИЕ ШКОЛЬНИКОВ ПРИЕМАМ РЕШЕНИЯ ТЕКСТОВЫХ АРИФМЕТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ2.1 Решение задач на совместное движениеНачиная с 5-го класса, ученики часто встречаются с этими задачами. Еще в начальной школе учащимся дается понятие «общей скорости». В результате у них формируются не совсем правильные представления о скорости сближения и скорости удаления (данной терминологии в начальной школе нет). Чаще всего, решая задачу, учащиеся находят сумму. Начинать решать эти задачи лучше всего с введения понятий: «скорость сближения», «скорость удаления». Для наглядности можно использовать движение рук, объясняя, что тела могут двигаться в одном направлении и в разном. В обоих случаях может быть и скорость сближения и скорость удаления, но в разных случаях они находятся по-разному. После этого ученики записывают следующую таблицу:
Таблица 1.
Методы нахождения скорости сближения и скорости удаления
Движение в одном направлении | Движение в разных направлениях | Скорость удаления |
33
Скорость сближения | |||
V1-V2 | V1+V2 |
При разборе задачи даются следующие вопросы.
1. С помощью движения рук выясняем, как двигаются тела относительно друг друга (в одном направлении, в разных).
2. Выясняем, каким действием находится скорость (сложением, вычитанием)
3. Определяем, какая это скорость (сближения, удаления). Записываем решение задачи.
Пример №1. Из городов А и В, расстояние между которыми 600 км, одновременно, навстречу друг другу вышли грузовая и легковая машины. Скорость легковой 100 км/ч, а грузовой - 50 км/ч. Через сколько часов они встретятся?
Учащиеся движением рук показывают, как движутся машины и делают следующие выводы:
а. машины движутся в разных направлениях;
б. скорость будет находиться сложением;
в. так как они движутся на встречу друг другу, то это скорость сближения.
Решение:
1. 100+50=150 (км/ч) - скорость сближения.
2. 600:150=4 (ч) - время движения до встречи.
Ответ: через 4 часа
Пример №2. Мужчина и мальчик вышли из совхоза в огород одновременно и идут одной и той же дорогой. Скорость мужчины 5 км/ч, а скорость мальчика 3 км/ч. Какое расстояние будет между ними через 3 часа?
С помощью движения рук, выясняем:
а. мальчик и мужчина движутся в одном направлении;
б. скорость находится разностью;
в. мужчина идет быстрее, т.е., удаляется от мальчика (скорость удаления).
Решение:
1. 5 - 3 =2 (км/ч) - скорость удаления.
2. 2*2=4 (км) - расстояние между мужчиной и мальчиком через 2ч.
Ответ: 4 км.
2.2. Задачи, решаемые с помощью таблицПри подготовке к решению таких задач можно удачно использовать карты сигналы (см. рис. 1).№1 на…больше + | |
№2 в…больше Х | |
№3 на…меньше - | |
№4 в…меньше : |
Скорость | Время | Расстояние | ||
Всадник | 16 км/ч | 80 км | ||
Велосипедист | на 24 км/ч больше | 80км |
33
Рис. 2. Графическое изображение задачи из примера №1Вопрос: Что означает дробь ?Ответ: Все количество деревьев разделили на 3 равные части и березы составляют 2 части.I способ:120 / 3 = 40 (дер.) - составляют одну часть.40*2 = 80 (дер.) - было берез.120 - 80 = 40 (дер.) - было сосен.II способ:120 / 3 = 40 (дер.)3 - 2 = 1 (часть) - составляют сосны.40*1 = 40 (дер.) - составляют сосны.Ответ: 40 сосен.Пример №2. 10 га занято свеклой, что составляет всего поля. Какова площадь поля?33
Рис. 3. Графическое изображение задачи из примера №2Изобразим площадь поля отрезком. Выясняем, что обозначает дробь . Замечаем, что 10 га составляют 2 части, и находим, сколько составляет 1 часть.10 / 2 = 5 (га) - составляет одна часть.Так как все поле составляет 5 частей, находим площадь поля.5*5 = 25 (га) - площадь поля.Ответ: 25 га.Пример №3. Около дома стояло 7 машин. Из них - 2 белые. Какую часть всех машин составляют белые?33
Рис. 4. Графическое изображение задачи из примера №3Одна машина составляет всех машин, а так как белых 2, то белые составляют .На основе этой задачи нужно отработать такие вопросы: Какую часть составляют 15 мин. от часа? Какую часть составляют 300 г? От килограмма? - и т.д.Пример №4. Пионерский отряд решил собрать 12 кг макулатуры, собрал этого количества. Сколько килограммов собрал отряд?33
Рис. 5. Графическое изображение задачи из примера №4В процессе решения задач нужно отметить, что плановое задание всегда принимается за 1 и поэтому 12 кг принимаем как . Но так как учащиеся собрали , то изображенный отрезок продолжим еще на . Далее идет решение задачи обычным способом.На основе опорных чертежей можно решать и более сложные задачи.Пример №5. Покупатель израсходовал в первом магазине всех денег, а во втором - остатка. Сколько денег у него было, если во втором он израсходовал 60 рублей?Решая эту задачу, нужно учитывать, что мы находим часть числа не от одной суммы, и поэтому чертеж следует дополнить.Решая подобные задачи, учащиеся должны постоянно работать с чертежом.33
33
Рис. 6. Графическое изображение задачи из примера №5Объяснение .Так как 60 рублей составляют остатка, то найдем, сколько составляет 1 часть остатка.60 / 3 = 20 (руб.) - составляет 1 часть остаткаВесь остаток составляет пять таких частей. Найдем остаток.20*5 = 100 (руб.) - остаток после первого магазинаПолученное число 100 ставим в верхней части чертежа.Замечаем, что 100 рублей составляет лишь 5 частей всех денег, так как по условию частей 7, а в первом магазине покупатель израсходовал 2.7 - 2 = 5 (частей) - составляют 100 рублей.Найдем, сколько составляет 1 часть всех денег.100 / 5 = 20 (руб.) - составляет 1 часть всех денег.Так как все деньги составляют 7 частей, найдем их количество.20*7 = 140 (руб.) - было у покупателя.При устном счете учащиеся должны уметь составлять задачи по готовым чертежам. Например (рис 7.):а)33
33
б)33
33
Рис. 7. Решение задач по готовым чертежамВ пятом классе после изучения деления и умножения дробей формулируем правило, позволяющее перейти к решению задач без помощи чертежей.а. известна часть, находим целое - действие деления;б. известно целое, находим часть - действие умножение.2.4 Задачи на процентыПроцент - это сотая часть. наглядная иллюстрация процента может быть продемонстрирована на метровой школьной линейке с делениями по 1 см. В данном случае 1 см является сотой частью линейки, т.е. 1%. Можно дать следующие задания:а. показать на линейке 25%, 40% и т.д.б. назвать число процентов, которые показываются на линейке.Затем работу можно продолжить на отрезках, задавая вопросы, например: Как показать 1% отрезка?Ответ: отрезок нужно разделить на 100 равных частей и взять одну часть.Или: покажите 5% и т.д. (см. рис. 8).33
Рис. 8. Метод отложения на отрезкеУсловимся, что деление отрезка на 100 равных частей делаем словно. Приступая к решению задач, их нужно сравнить с задачами предыдущего пункта, что ускорит усвоение приемов решения.Пример №1. Ученик прочитал 138 страниц, что составило 23% всех страниц книги. Сколько страниц в книге?33
Рис. 9. Графическое изображение задачи из примера №1Объяснение: Число страниц в Кинге неизвестно. Ставим знак вопроса. Но число страниц составляет 100%. Показываем это на отрезке, выполняя деление на условные 100 равных частей (для слабоуспевающих детей внизу отрезка можно ставить еще и число 100). Затем отмечаем число 138 и показываем, что оно составляет 23%.При решении задач предыдущего раздела и задач на проценты следует объяснить учащимся, что прежде всего нужно выяснить, сколько составляет 1 часть или 1%.Так как 138 страниц составляют 23%, то находим, сколько приходится на 1%.138 / 23 = 6 (стр.) - составляет 1%.Так как число страниц в книге составляет 100%, то6*100% = 600 (стр.) - в книге.Ответ: В книге 600 страниц.Пример №2. Мальчик истратил на покупку 40% имевшихся у него денег, а на оставшиеся 30 копеек купил билет в кино. Сколько денег было у мальчика?33
Рис. 10. Графическое изображение задачи из примера №2Объяснение: Количество всех денег неизвестно, ставим знак вопроса. Все деньги составляют 100%, поэтому разделим отрезок условно на 100 равных частей. Найдем, сколько процентов составляют 30 копеек.100%-40% = 60% - составляют 30 копеек.Обозначаем 60% на чертеже. Найдем, сколько составляет 1% далее объяснение аналогичное.Пример №3. В школе 700 учащихся. Среди них 357 мальчиков. Сколько процентов учащихся этой школы составляют девочки?33
Рис. 11. Графическое изображение задачи из примера №3Объяснение: Число учащихся 700 человек, что составляет 100%. Отрезок условно делим на сто равных частей. (Само выполнение чертежа подсказывает ученику первое действие).700 / 100 = 7 (чел.) - составляют 1%.Узнаем, сколько процентов составляют мальчики. Для этого:357 / 7 = 51%(Можно сказать и так: «Сколько раз в 357 содержится по 7%?»)Работаем с чертежом. Узнаем, сколько процентов составляют девочки.100%-51%=49%Ответ 49%При решении задачи чертеж должен быть постоянно в поле зрения учащихся, так как является наглядной иллюстрацией задачи.Пример №4. По плану рабочий должен был сделать 35 деталей. Однако он сделал 14 деталей сверх плана. На сколько процентов он перевыполнил план?33
Рис.12. Графическое изображение задачи из примера №4Решая задачу, нужно объяснить, что план всегда составляет 100% и поэтому 35 деталей составляют 100%. Чтобы узнать, сколько составляет 1% нужно:35 / 100 = 0,35 (дет.)Узнаем, сколько процентов составляют 14 деталей (сколько раз в 14 содержится по 0,35).После изучения обыкновенных дробей и правил нахождения части числа и числа по части большинство задач лучше решать, переходя от процентов к дроби.Пример №1. Ученик прочитал 138 страниц, что составило 23% всех страниц книги. Сколько страниц в книге?23% составляет 0,23. Так как известна часть количества страниц, а нужно найти все количество, то выполняем действие деления (по правилу, записанному выше):138 / 0,23 = 13800 : 23=600 (стр.)Пример №2. Покупатель израсходовал в первом магазине 40% всех денег, а остальные - во втором. Сколько денег он израсходовал во втором магазин, если у него было 160 рублей?40% составляют 0,4. так как известно все количество денег, а находим их часть, то выполняем действие умножения.160*0,4 = 64 (руб.) - израсходовал покупатель в первом магазине.Находим, сколько израсходовал покупатель во втором магазине.160 - 64=96 (руб.)Записываем ответ.2.5 Задачи на совместную работуПри решении этих задач нужно выяснить с учащимися, что возможны два случая:а. объем выполненной работы известен;б. объем выполненной работы неизвестен.Первые задачи удобно решать, используя таблицы.Пример. Два токаря вместе изготовили 350 деталей. Первый токарь делал в день 40 деталей и работал 5 дней, второй работал на 2 дня меньше. Сколько деталей в день делал второй токарь?Составим таблицу (см. табл.3).Таблица 3Условие задачиПроизводительность | Время | Количество | 1т. | 40 деталей | 5 дней |
33
2т. | ? | на 2 дня меньше |
33
Рис.13. Графическое изображение задачи из примера №1Дадим наглядное представление этих задач. Условимся, что объем выполненной работы неизвестен, поэтому принимаем его за 1 и изображаем в виде отрезка, но отрезков будет три, так как возможны три случая:а. работает одна старая машина;б. работает одна новая машина;в. работают вместе обе машины.Выясним, почему отрезки равной длины (обе машины выполняют одну и ту же работу).Разбор задачи. На сколько равных частей делим первый отрезок? На 8, так как работа выполняется за 8 часов. Что показывает 1 часть? Какую часть работы выполняет новая машина за 1 час, т.е. какова ее производительность?Так как новая машина работала 3 часа, то выполнила части все работы. Отмечаем на третьем отрезке - .Аналогичные рассуждения проводим, рассматривая старую машину, и отмечаем на третьем отрезке - .Далее рассматривается третий нижний отрезок, и по нему выясняется, как найти оставшуюся часть, т.е., отрезок, обозначенный знаком вопроса.В связи с экономией времени деление отрезков производится «на глаз», хотя очень полезно показать, как можно разделить быстро на 4 равные части (отрезок делится пополам, а затем каждая часть еще пополам). Аналогично деление на 8 и т.д. На 6 частей - сначала пополам, а потом каждую часть - на три.Пример №2. Два кузнеца, работая вместе, могут выполнить работу за 8 часов. За сколько часов может выполнить работу первый кузнец, если второй выполняет ее за 12 часов?Изображая чертеж, мы проводим те же рассуждения, что и в предыдущей задаче.33
Рис.14. Графическое изображение задачи из примера №2Разбор задачи. Первый отрезок делим на 8 равных частей, так как оба выполняют работу за 8 часов. Одна часть показывает, какую часть работы они выполняют вместе за 1 час, т.е., их совместную производительность. Аналогичные рассуждения проводим для расчета производительности второго кузнеца.Зная их совместную производительность и производительность второго, можно найти производительность первого.Результат показываем на чертеже.Выясняем, сколько часов нужно первому кузнецу для выполнения работы (сколько раз в 1 содержится по ).Ответ: 24 часа.Выводы по главе 2Таким образом, использование алгоритмов, таблиц, рисунков, общих приемов дает возможность ликвидировать у большей части учащихся страх перед текстовой задачей, научить распознавать типы задач и правильно выбирать прием решения.Нередко, некоторые ученики просто списывают задачу с доски, не пытаясь вникнуть в ее смысл. Таким ученикам можно предложить творческую работы, где они должны сами составить задачу и решить ее. Составляя задачу, ученик более осознанно поймет существование зависимости между величинами, почувствует, что числа берутся не произвольно: некоторые задаются, а другие получаются на основе выбранных. При составлении задачи большое значение имеют и обратные задачи. Для активного участия в поиске решения хорошо использовать опорные карты-сигналы, которые должны быть у всех учащихся.ЗАКЛЮЧЕНИЕВыводы по работе (реальность достижения цели, реализация задач, выполнимость гипотезы….). О перспективах дальнейшей работы по теме. Где, кем и как может быть использована работа.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Алгебра: Учеб. для 7 кл. сред шк./ Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова; Под ред. С.А. Теляковского. - М.: Просвещение, 1989. - 240 с.: ил.
2. Алгебра: Учеб. для 8 кл. сред шк./ Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова; Под ред. С.А. Теляковского. - 2-е изд. - М.: Просвещение, 1991. - 239 с.: ил.
3. Алгебра: Учеб. для 9 кл. общеобразоват. учреждений/ Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова; Под ред. С.А. Теляковского. - 4-е изд. - М.: Просвещение, 1997. - 272 с.: ил.
4. Болтянский, В. Г. Как устроена теорема? [Текст] / В. Г. Болтянский // Математика в школе. - 1987. - № 1. - С. 41-49.
5. Обучение решению задач как средство развития учащихся: из опыта работы. Методическое пособие для учителя. - Киров, ИИУ. - 1999. - С.3-18.
6. Тоом А.Л. Между детством и математикой: Текстовые задачи в математическом образовании/ Математика, 2005, № 14
7. Фридман Л.М., Турецкий Е.Н. Как научится решать задачи: Кн для учащихся ст. классов сред. шк. - 3-е изд., дораб. - М.: Просвещение, 1989. - 192 с.: ил.
8. Шевкин А.В. Материалы курса «Текстовые задачи в школьном курсе математики»: Лекции 1-4. - М.: Педагогический университет «Первое сентября», 2006. 88 с.
9. Шевкин А.В. Материалы курса «Текстовые задачи в школьном курсе математики»: Лекции 5-8. - М.: Педагогический университет «Первое сентября», 2006. 80 с.
10. Методика преподавания математики [Текст]: учебник для вузов / Е. С. Канин, А. Я. Блох [и др.]; под ред. Р. С. Черкасова. - М.: Просвещение, 1985. - 268 с.
Страницы: 1, 2