ля обучения чрезвычайно важно, в какой мере учащиеся могут пользоваться ранее приобретенными навыками при решении видоизмененных примеров и задач, предлагаемых при повторении, как подобрать и провести упражнения при повторении, чтобы выработать у них такие навыки, которые они смогли бы применять.

Как пишет Н. А. Менчинская, перенос навыков достигается только в том случае, если учащиеся сознают общие правила, общие способы действий. Если учащиеся те или иные навыки получают в результате тренировки в отдельных, друг от друга изолированных упражнениях, то перенос в этом случае становится невозможным [3].

Вот этими обстоятельствами можно объяснить характер и особенности систем упражнении при повторении той или иной темы или раздела курса.

Но функции упражнений при повторении этим не исчерпываются. При выполнении упражнений требуется что-то большее, чем простое запоминание данных. Эти данные должны быть «схвачены» как единое целое с пониманием взаимной зависимости каждой части от остального.

Таким образом, при выполнении упражнений происходит более глубокое осмысливание теории и совершенствуется навык в ее приложении к различным объектам.

В процессе повторения необходимо подбирать задачи, не входящие в стабильный учебник, с помощью которых иллюстрируются свойства рассматриваемых фигур и соотношения между ними. Когда же курс планиметрии окончен и выделяется несколько уроков на повторение, целесообразно подобрать серию задач не только наиболее полно затрагивающих теорию, но и выводящих учащихся на новый, более качественный виток. При этом развитию интереса к геометрии способствует связь между предложенными задачами по теме или методу решения. Активность детей еще более усилится, если предложить им находить в этих задачах связи между фигурами или их элементами. При этом не только происходит систематизация знаний, но и возникает желание импровизировать, составлять новые задачи, самостоятельно находить обобщения и связи фигур.

Все это говорит о том, что повторение нельзя вести в отрыве от упражнений, ибо при изучении наук, как справедливо утверждал Исаак Ньютон, примеры не менее поучительны, чем правила [3].

Например, на уроке повторения по теме «Четырехугольники» можно использовать такую систему задач:

I. Решение комплексной задачи. Прежде чем предъявлять учащимся задачу, которая требует довольно сложного чертежа, учитель дает классу ряд простых задач на построение, из которых постепенно складывается чертеж: постройте параллелограмм ABCD; постройте его диагонали, обозначьте точку их пересечения через О; постройте прямую, проходящую через точку О и пересекающую сторону AD в точке Р, а сторону ВС -- в точке N; постройте прямую, проходящую через точку О и пересекающую сторону АВ в точке М, а сторону CD -- в точке Q. В конце этих построений учащиеся получают чертеж, как на рис. 3. По этому чертежу предлагается следующая задача:

Дан параллелограмм ABCD. Через точку пересечения его диагоналей проведены две прямые, пересекающие стороны АВ и CD, ВС и AD соответственно в точках М и Q, N и Р. Докажите, что четырехугольник MNQP -- параллелограмм.

II. Решение нестандартных задач практического характера:

1) Как на местности измерить расстояние между точками A и В, используя свойство сторон параллелограмма (рис. 4 )?

2) Достаточно ли для проверки того, что данный четырехугольный кусок материи имеет форму ромба, проверить совпадение краев при сгибании его по каждой диагонали?

3) Пользуясь только линейкой с параллельными краями, проведите перпендикуляр к отрезку через его середину (длина отрезка больше ширины линейки).

4) Объясните устройство приспособления для вычерчивания параллельных прямых (рис. 5).

Обычно такие задания вызывают у учащихся интерес к геометрии, развивают наблюдательность, смекалку.

Недооценка роли упражнений при повторении, равно как и ее переоценка, неизменно приводит к формализму в знаниях теории, к снижению образовательного уровня учащихся.

В школе ни одно понятие или учение нельзя довести до полного понимания без системы хорошо подобранных упражнений.

Отсюда не следует, что все повторение нужно заменить только упражнениями. Упражнения, являясь составной частью повторения, тем не менее, не могут заменить само повторение.

Для закрепления усвоенных учащимися теоретических знаний следует в большей степени использовать решение различного рода задач.

Каждая задача представляет собой исключительно важное по своему значению и разностороннему охвату средство повторения теории, закрепления основных положений этой теории и усовершенствования учебных навыков. Особенно это заметно сказывается, когда основные этапы решения задачи и производимые в них преобразования обосновываются. В задачах и упражнениях ученик встречает вопросы теории в новых связях, в новых сочетаниях, в несколько перестроенном виде, и ученику приходится пользоваться этой теорией применительно к условиям решаемой задачи. Усилия ученика в этом направлении способствуют устранению формализма в его знаниях.

Использование задач, систематизированных определенным образом - это один из путей повышения эффективности процесса повторения. Так как в большинстве своем геометрические задачи менее алгоритмичны, чем алгебраические, то особое значение приобретает обучение учащихся общим приемам решения задач. Поэтому повторению подлежат не только определения и теоремы, но и общие приемы решения задач, логические конструкции, геометрические конфигурации.

Большой дидактической целью обладают задачи, в которых требуется найти свойства и отношения реализуемые на некоторой конфигурации. На удачно подобранной конфигурации можно повторить многие вопросы курса геометрии. Но главное, что на таких примерах учащиеся обучаются планомерному, комплексному анализу чертежа, у них формируется и развивается «геометрическое видение», оттачивается интуиция.

Например: «В треугольнике АВС проедены высоты , , . Точки , , , последовательно соединены (рис. 6). Найдите свойства и отношения которые выполняются на данной конфигурации».

Эта конфигурация дает богатый материал для повторения вопросов «Углы в треугольнике», «Подобие», «Площади подобных фигур». Добавив описанную окружность, получаем вписанные углы и т.д.

Работая с конфигурацией, учащиеся могут открыть «свои» теоремы, например: «Высоты треугольника содержат биссектрисы треугольника ».

При работе с такими задачами можно использовать следующую методику. Учащимся на дом предлагается задание - найти свойства и отношения, реализуемые на данной конфигурации, а затем, используя найденные свойства, составить свои задачи. Эти задачи могут быть либо обсуждены на очередном уроке со всем классом, либо предложены для самостоятельного решения в классе. Происходит своего рода математическое соревнование - кто больше всего придумал «своих» задач и больше решит «чужих».

Уроки-упражнения, особенно при повторении, -- трудные уроки. Здесь учитель должен учесть фактор времени и вместе с тем повторить основное содержание темы. Это требует, чтобы на повторение выносилась продуманная система упражнений, которая обеспечивала бы глубокое и всестороннее осмысливание учебного материала.

Очень полезно также, особенно в конце года, когда повторяется весь материал, рекомендовать учащимся отыскать решения одних и тех же задач различными способами. Иногда этого можно достигнуть различными вариациями чертежа к задаче. Сначала учитель сам предлагает задачу и к ней чертеж в различных вариациях, а затем требует оформить решение задачи, исходя из предложенного чертежа.

Например, задача. «Определить площадь трапеции, у которой основания равны 60 см и 20 см, а боковые стороны -- 13 см и 37 см».

Решить задачу, составляя уравнение, исходя из чертежей (рис. 7).

Учащиеся приспосабливают решение задачи к чертежу, у них выступают в различных сочетаниях те или иные положения пройденного ранее материала, при этом не всегда одни и те же положения служат основой (идеей) решения данной задачи. Следовательно, рассмотрев в классе, а затем, проанализировав дома решение какой-нибудь задачи на различных чертежах, учащиеся за короткий срок повторяют значительный материал из пройденного.

Но такая работа положительна и в другом отношении Учащиеся на подобных примерах видят, что на практике требуется непосредственное измерение на местности, выбор данных очень часто диктуется условиями местности, а потому приходится готовить данные сообразно этим условиям.

На опыте такого разнообразия решения задач мы поставили перед учащимися вопрос о сравнительной оценке каждого способа решения, степени его соответствия критерию экономии сил, изящества и простоты, одним словом предложили дать оценку качества решения [17; 18].

Также при повторении необходимо использовать самостоятельные работы.

Рассмотренные примеры показывают, как содержательное упражнение заставляет ученика обращаться к ранее усвоенным знаниям, их обновлению в памяти и применению на практике.

Повторение при опросе

Целям повторения пройденного материала должен служить и учет знаний учащихся. Проверка знаний в процессе тренировки по закреплению учебного материала весьма эффективно может быть использована для постоянного и систематического повторения. Необходимо только тщательно подобрать вопросы и упражнения (примеры и задачи), чтобы один и тот же пример на уроке служил как закреплению нового, так и повторению старого.

В практике преподавания математики часто проводится фронтальная проверка знаний, которая дает учителю возможность опросить многих учащихся с места. Фронтальная проверка знаний используется опытным учителем и для повторения материала, который подводит к изучению новой темы.

Фронтальная проверка обычно используется и после перерыва в учебных занятиях с целью проверки прочности усвоения материала, изученного перед перерывом.

Фронтальную проверку целесообразно проводить и при повторении материала по законченной теме или в конце четверти, полугодия или учебного года. Фронтальная проверка является средством закрепления этого повторения и в то же время формой контроля.

Но повторение можно проводить и при других видах опроса; дело только в том, как сможет учитель использовать формы опроса для этой цели.

Опрос является одним из активных средств для повторения учебного материала и вместе с тем средством воздействия на учащихся для систематического повторения.

Слушая ответ товарища и замечания учителя или уточнения и дополнения других, ученики пополняют и углубляют свои знания по теме, повторяют и закрепляют материал.

Каждый из своего личного опыта может сказать, что ничто так ясно и прочно не усваивается, как тот материал, по которому ученик отвечал или объяснял другим.

С помощью опроса учитель разрешает различные задачи.

Через обучающий опрос учитель лучше реализует задачи повторения. Это, видимо, можно объяснить тем, что при таком опросе между классом и учителем устанавливаются непринужденные, более спокойные взаимоотношения, исчезает боязнь неверного ответа, а отсутствие такого страха создает выгодную психологическую обстановку и ученики работают интенсивно.

Конечно, опрос является одним из методов закрепления материала, но повторение проводить только при опросе или, наоборот, опрос свести только к повторению было бы грубой ошибкой.

Т.е. при выполнении заданий необходимо требовать от ученика, чтобы он обосновал свои действия, ссылаясь на теорию, то мы здесь имеем уже повторение теории, нашедшее применение при решении данного задания.

Только с помощью такого опроса можно установить степень сознательности и прочности усвоенной ранее теории и умения ее приложить к решению задач.

Фронтальная проверка является удобной формой устной проверки прочности знаний на уроках математики. Здесь проверка называется фронтальной не потому, что учитель проверяет знания всех учащихся класса, а потому, что все основные вопросы при такой проверке задаются всему классу, и в ответах на поставленные вопросы принимает большое число учащихся.

Продолжительность фронтальной проверки может быть различна, в зависимости от обстоятельств.

Преимущество фронтальной проверки состоит в том, что она позволяет при незначительной трате времени проверить знания многих учащихся, что дает возможность полнее и точнее установить качество усвоения изученного ранее материала.

Указанная форма проверки хорошо сочетается с функциями повторения, особенно обобщающего повторения по отдельным законченным темам или разделам программы.

Кроме этого, фронтальная проверка является лучшим средством для проверки умений устного ответа, учит учащихся точно и кратко выражать свои мысли, быть внимательными, что особенно важно, активизирует и оживляет работу учащихся.

На уроках математики фронтальная проверка приносит большую пользу перед изложением нового материала, когда содержание проверяемого является той основой, опираясь на которую, учитель излагает новый материал. Например, перед объяснением материала о пропорциональных линиях в круге можно фронтально повторить следующие вопросы:

1) Что называется хордой?

2) Что называется диаметром, и какими свойствами он обладает?

3) Какие треугольники называются подобными?

4) Сформулируйте все три признака подобия треугольников.

5) Какой угол называется вписанным, и чем он измеряется?

6) Что можно сказать о вписанных углах, опирающихся на одну и ту же дугу?

7) Какие два угла называются вертикальными?

8) Каким свойством обладают вертикальные углы?

Повторив весь материал, учащиеся легко воспринимают и ясно понимают излагаемый в данном разделе материал.

Опрос по повторению не является каким-то обособленным опросом, тем не менее, он имеет некоторые особенности, которые нельзя не учитывать. Этими особенностями является то, что в этом случае вовлекается больше материала, подчас взятого из различных разделов программы, и ученику приходится сравнивать, сопоставлять этот материал, указывать сходство и различие, осмысливать в другой логической связи новое и ранее пройденное, делать обобщения.

Повторение посредством домашних заданий

Учебная работа учащегося не ограничивается только классной работой; она продолжается и дома, при этом домашние задания занимают большое место при закреплении теории и выработке соответствующих навыков. В этом, казалось бы, столь ясном вопросе в отношении использования учителем домашних заданий существует две крайности.

1) На уроке недостаточно ведется работа по закреплению вновь изученного материала, и этот материал оставляется на дом для самостоятельного закрепления.

2) Вся закрепительная работа проводится на уроке, и ничего не оставляется на дом для самостоятельной работы ученика.

Обе эти крайности одинаково неприемлемы для школы. Здесь нужно педагогически целесообразное сочетание того и другого вида работы, как неотъемлемых частей всей учебной деятельности учащегося.

При отборе материала для домашнего задания учитель учитывает необходимость включения того материала, который необходим для глубокого и сознательного усвоения нового материала. В домашнее задание включается также материал с целью предупреждения забывания. Как правило, в домашние задания должно быть включено: теоретический материал, различного рода упражнения, составление схем и таблиц, изготовление наглядных пособий, вычерчивание графиков и т. п.

Домашние задания должны быть разнообразны по содержанию материала и методам выполнения этого задания.

Очень полезными является творческое домашнее задание: повторяя дома тему «Четырехугольники», «открыть» как можно больше признаков ромба (I вариант), признаков прямоугольника (II вариант), признаков квадрата (III вариант). Сформулированные теоремы сопроводить доказательствами.

В зависимости от целей проведения домашних заданий, их можно подразделить на следующие виды:

1) Домашние задания с целью закрепления теоретического материала, объясненного в классе, и упражнения к ним для закрепления навыка.

2) Домашние задания с целью повторения (следовательно, углубления и дополнения).

3) Домашние задание с целью устранения пробелов, обнаруженных у отдельных учащихся или у всего класса.

4) Домашние задания, имеющие целью обобщение материала определенной темы или раздела с последующей его систематизацией.

5) Домашние задания, связанные с тем или иным видом повторения, в частности с тематическим и заключительным повторением в конце четверти, в конце года для повторения материала в целом. [3]

В зависимости от характера материала и способов выполнения домашнего задания контроль за выполнением домашнего задания можно провести в классе устно, письменно или просмотром тетрадей дома.

Что касается методики составления и проведения домашних заданий, связанных с ликвидацией обнаруженных недостатков в знаниях, или углубления знаний учащихся по определенному кругу вопросов. Для этого можно использовать систему индивидуальных заданий в виде серии специальных карточек на различные разделы курса. Эти карточки должны охватывать полностью все вопросы какой-нибудь темы или раздела программы, их составляют в нескольких сериях, при этом материал следующей серии являлся логическим продолжением предыдущей.

Такая форма работы с учащимися имеет те преимущества, что, во-первых, в этих карточках, специально составленных на отдельные разделы темы, учитель быстро находит необходимый материал, который нужно предложить ученику, и, во-вторых, эти же карточки с большим успехом могут быть использованы в классе при опросе, при кратковременных контрольных работах и т. д.

Для того чтобы при таком повторении углублялись не только навыки, но и теоретические знания, к ним указывались соответствующие параграфы из учебника; в классе коллективно рассматривались наиболее важные из этих вопросов и упражнений, делались соответствующие обобщения, углубления, подводились итоги повторенного.

Место контрольных работ в системе повторения

Контрольные работы по математике являются составной частью учебного плана; они представляют одну из форм самостоятельной работы ученика.

Контрольные работы содействуют включению учащихся в текущую, повседневную самостоятельную работу по углублению своих знаний и навыков; они мобилизуют и организуют учащихся на систематическое углубленное изучение материала.

Контрольные работы должны служить средством и методом, побуждая учащихся к систематическому повторению учебного материала.

Для школы и учителей контрольная работа является средством контроля самостоятельной учебной работы учащихся, позволяющим проверить усвоение учащимися материала курса.

Тематика и содержание контрольных работ при повторении зависит от целей и намерений учителя; однако они всегда должны выбираться в пределах той части курса, которая была повторена к моменту контрольной работы.

Охватить содержание всего курса не является задачей контрольной работы, она должна содержать самую существенную часть материала того раздела, который ученик обязан изучить к моменту контрольной работы.

Содержание контрольных работ должно быть таким, чтобы оно исключало возможность дачи готового ответа из учебников учеником на поставленные вопросы. Перед выполнением контрольной работы ученик должен не только собрать материал из учебников, но и провести серьезную обработку повторенного материала: сравнение и сопоставление явлений и фактов, их анализ, обобщение и углубление материала всей темы и т. д.

Если контрольная работа проводится по очередной теме программы, то в этом случае в нее должен входить и ранее пройденный и уже к этому моменту повторенный учебный материал. Такое включение в текст контрольных работ вопросов из ранее пройденного материала, если они вошли в систему, заставляет учащихся повторить материал, пройденный ранее, несколько шире.

Что касается соотношения текущего и ранее пройденного материала в контрольной работе, то целесообразно, чтобы 30 -- 40% было из старого, повторительного материала. Продолжительность контрольной работы может быть различной -- от 20 мин. до 2 часов. Но, как правило, в школьной практике мы встречаем контрольные работы, рассчитанные на один час. Такая продолжительность вполне нормальна; она вызывает повышенную активность и приучает учащихся рационально использовать время.

Число вариантов контрольных работ должно обеспечить самостоятельность ее выполнения учащимися. Опыт показывает, что число вариантов не должно быть менее четырех.

Контрольная работа может иметь как теоретический, так и практический характер; она может содержать как вопросы из теории, так и упражнения.

Во всех случаях контрольная работа должна показать:

а) как ученик усвоил материал курса, и в какой степени овладел практическими навыками;

б) насколько учащийся овладел методом самостоятельной работы над темой;

в) степень сознательности выполнения контрольной работы, в какой мере учащийся умеет делать обобщение по теме и грамотно излагать ее в письменной форме;

г) глубину и полноту ответов на поставленные вопросы, исследовательские навыки, овладение математической терминологией, внешнее оформление работ.

Методически правильно организованные контрольные работы приучают ученика систематически и тщательно выполнять задания по текущему повторению, и тем самым контроль становится более эффективным.

Таким образом, контрольные работы, включающие в себя ранее пройденный материал, способствуют организации систематического повторения ранее пройденного учебного материала.

Не менее важное значение имеет проверка контрольных работ. От правильной постановки и своевременной проверки контрольных работ в значительной степени зависит качество и успешность самостоятельного повторения учебного материала учащимися.

Проверяя работу учащегося, преподаватель должен отметить каждую ошибку и недочет с указанием при разборе, в чем заключается сущность ошибки.

Тщательно проверив работу, сделав соответствующие исправления и замечания в тексте, преподаватель должен выбрать все необходимые данные для анализа контрольной работы в классе.

Анализ результатов работы является весьма важным этапом в системе контрольных работ. Он дает возможность учащимся видеть свои успехи, а также те недостатки, которые еще нужно устранить.

При разборе результатов контрольных работ необходимо отметить наиболее удачные работы; но подробнее нужно остановиться на тех характерных недостатках, которые нашли место в контрольных работах. Здесь нужно дать анализ и классификацию ошибок, отмеченных в тексте контрольных работ. При этом в первую очередь, отмечаются недостатки, касающиеся теоретической стороны вопроса, и делаются соответствующие указания, или повторяются в классе те разделы, на которые больше всего приходится ошибок. В этой части указываются также те вопросы, которые недостаточно усвоены и неполно изложены в контрольной работе.

Если выявленные в тексте ошибки и недостатки настолько серьезны, что могут помешать дальнейшему изучению курса, необходимо такую работу провести еще раз после тщательного повторения учебного материала, охваченного контрольной работой.

Таким образом, вся обстановка перед контрольной работой должна быть такой, чтобы ученик волей неволей вынужден был повторять.

Подробный разбор итогов контрольной работы, анализ ошибок с указанием и разъяснением причин этих ошибок способствовали повторению старого материала, вторичному его осмысливанию и упрочению.

Заключение

Данное исследование проводилось с целью изучить возможности организации повторения в курсе геометрии 7-9 классов.

Основные задачи, которые ставились перед началом исследования, были выполнены в процессе написания работы.

Анализ учебно-методической и психологической литературы показал, что система уроков по повторению обеспечивает преподавание математики на должном уровне, а знания учащихся становятся достаточно полными и прочными.

Определены основные требования к организации повторения.

В работе рассмотрены два подхода к классификации видов повторения: в зависимости от времени повторения и от содержания повторяемого материала. Каждый вид повторения кратко охарактеризован, выделены основные цели и задачи данного повторения.

Выявлены основные формы и методы повторения, которые способствуют повышению интереса и активности учащихся при повторении.

Перечисленные требования к подготовке уроков повторения позволяют устранить существующие недостатки в организации и методике проведения повторения.

Гипотеза, выдвинутая в начале работы подтвердилась в ходе проведения исследования.

Библиографический список

1. Методика преподавания математики в средней школе: Общая методика. - М.: Просвещение, 1985.

2. Брадис В. М. Методика преподавания математики в средней школе. - М.: Учпедгиз, 1954.

3. Осип А. А. Некоторые вопросы повторения математики в средней школе. - М.: Учпедгиз, 1960.

4. Изучение геометрии в 7-9 классах. - М.: Просвещение, 2000.

5. Далингер В. А. Методические рекомендации к проведению обобщающего повторения. // Математика в школе. - 1986. - №2.

6. Коротков В. И. Подготовка к проведению уроков повторения. // Математика в школе. - 1980. - №6.

7. Суворова М. В. Повторительно-обобщающие уроки в курсе математики. // Математика в школе. - 1999. - №2.

8. Григорьева Т. П., Перевощикова Е. Н. К урокам тематического повторения в VII классе. // Математика в школе. - 1986. - №2.

9. Барчунова Ф. М., Ройтман П. Б. Организация повторения курса геометрии в X классе. // Математика в школе. - 1985. - №1.

10. Мищенко Т. М. Заключительное повторение курса планиметрии. // Математика в школе. - 2001. - №3.

11. Мищенко Т. М. Обобщающее повторение планиметрии. // Математика в школе. - 2001. - №2.

12. Березина Л. Ю., Никольская И. Л. Методические рекомендации к заключительному повторению курса геометрии VI - VIII классов по учебному пособию А. В. Погорелова. // Математика в школе. - 1985. - №1.

13. Пидкасистый П. И., Портнов М. Л. Искусство преподавания. - М.: Российское педагогическое агентство, 1998.

14. Груденов Я. И. Психолого-педагогические основы методики обучения математики. - М.: Просвещение, 1987.

15. Шевченко С. Д. Школьный урок: как научить каждого. - М.: Просвещение, 1991.

16. Обогащающее повторение. // Математика. - 2002. - №11.

17. Харитонов Б. Ф. Методика повторения приемов и методов решения геометрических задач. // Математика в школе. - 1990. - №4.

18. Кушнир И. А. Воспитание творческой активности учащихся на уроках повторения геометрии. // Математика в школе. - 1991. - №1.

19. Куликова М. А., Радкевич Л. А. Организация повторения и обобщающие уроки по геометрии в VIII классе. // Математика в школе. - 1980. - №6.

20. Зайченко Н. В. Три этапа обобщающего повторения курса алгебры VIII класса. // Математика в школе. - 1985. - №1.

21. Гришина Т. С. Одна из форм повторения. // Математика в школе. - 2001. - №4.

22. Геометрия: Учеб. для 7-9 кл. / Л. С. Атанасяни др. - М.: ПРосвещение, 1995.

23. Чулкова Е. Признаки равенства треугольников. Решение задач. // Математика. - 1990. - №3.

24. Алиева Н. Параллелограмм. Определение и признак. // Математика. - 2001. - №33 .

Приложение

Опытное преподавание проводилось во время педагогической практики на V курсе. В 10 классе было разработано и проведено факультативное занятие в форме обобщающего повторения темы «Треугольники». Для повторения была выбрана эта тема, так как треугольник является одной из основных фигур планиметрии.

Предлагаем разработку этого занятия.

Обобщающее занятие по теме «Треугольники».

Цели занятия:

План занятия:

1. Организационный момент.

2. Повторение теоретического материала.

3. Решение задач.

4. Подведение итогов занятия.

5. Задание на дом.

Оборудование:

Ход занятия:

1. Объясните, какая фигура называется треугольником. Назовите основные элементы треугольника.

2. Назовите основные виды треугольников.

3. Дайте определение равных фигур.

4. Равны ли треугольники (рис. 1). Ответ объясните.

5. Сформулируйте признаки равенства для:

а) равносторонних треугольников (1 вариант);

б) равнобедренных треугольников (2 вариант);

в) прямоугольных треугольников (3 вариант).

6. Дайте определение медианы, биссектрисы и высоты треугольника.

7. Сформулируйте свойство медианы (биссектрисы, высоты) равнобедренного треугольника, проведенной к основанию.

8. Решите задачи:

а) Докажите, что если в треугольнике высота делит основание пополам, то треугольник равнобедренный.

б) Докажите, что если в треугольнике медиана перпендикулярна стороне, к которой она проведена, то треугольник равнобедренный.

в) Докажите, что в равностороннем треугольнике все медианы, высоты и биссектрисы равны.

9. Чему равна сумма углов треугольника?

10. Сформулируйте определение и свойство внешнего угла треугольника.

11. Решите задачи:

а) Докажите, что биссектрисы внутреннего и внешнего углов при одной вершине треугольника перпендикулярны.

б) Докажите, что прямая, проведенная через вершину равнобедренного треугольника параллельно основанию, является биссектрисой внешнего угла при этой вершине.

в) Один угол равнобедренного треугольника равен разности остальных. Найдите углы треугольника.

г) Докажите, что угол между прямыми, содержащими биссектрисы острых углов прямоугольного треугольника, есть величина постоянная.

д) Докажите, что если два внешних угла треугольника равны, то треугольник равнобедренный.

12. Дайте определение подобных треугольников. Сформулируйте теорему об отношении площадей двух подобных треугольников.

13. Сформулируйте признаки подобия треугольников.

а) Докажите, что прямая параллельная какой-нибудь стороне треугольника отсекает от него подобный треугольник.

б) Докажите, что в прямоугольном треугольнике высота, опущенная на гипотенузу, делит его на два треугольника, подобных исходному и друг другу.

в) Докажите, что отрезок, соединяющий основания двух высот остроугольного треугольника, отсекает треугольник, подобный данному.

г) Сформулируйте признаки подобия треугольников: прямоугольных, равнобедренных, равносторонних.

Решение задач.

1. На рис. 2 , - биссектриса угла .

а) Докажите, что .

б) Найдите отношение площадей треугольников и , если , .

2. На рис. 3 прямоугольный треугольник с гипотенузой , .

а) Докажите, что треугольник подобен треугольнику .

б) Найдите катеты треугольника , если , , .

в) Докажите, что около четырехугольника можно описать окружность.

Страницы: 1, 2, 3, 4

Голосование

Как вы оцениваете работу нашего сайта? Отлично Хорошо Нормально Плохо Результаты