Особенности формирования понятия площади у младших школьников

Дипломная работа

Особенности формирования понятия площади у младших школьников

ОГЛАВЛЕНИЕ

• ВВЕДЕНИЕ
• ГЛАВА I. ПОНЯТИЕ ПЛОЩАДИ И ЕЕ ИЗМЕРЕНИЕ
• 1.1 История развития понятия площади и ее измерения
• 1.2 Площадь плоской фигуры и ее измерение
• ГЛАВА II. МЕТОДИКА ИЗУЧЕНИЯ ПОНЯТИЯ ПЛОЩАДИ И ЕЕ
• ИЗМЕРЕНИЯ В НАЧАЛЬНОМ КУРСЕ МАТЕМАТИКИ
• 2.1 Методика формирования понятия площади и ее измерения у младших школьников
• 2.2 Из опыта работы учителей по формированию понятия площади
• 2.3 Опытно-экспериментальная работа по изучению особенностей формирования понятия площади и ее измерения у младших школьников
• ЗАКЛЮЧЕНИЕ
• БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
• ВВЕДЕНИЕ
• Изучение в курсе математики начальной школы геометрических величин и их измерений имеет большое значение в плане развития младших школьников. Это обусловлено тем, что через понятие геометрические величины описываются реальные свойства предметов и явлений, происходит познание окружающей действительности; знакомство с зависимостями между геометрическими величинами помогает создать у детей целостные представления об окружающем мире; изучение процесса измерения геометрических величин способствует приобретению практических умений и навыков, необходимых человеку в его повседневной деятельности. Кроме того знания и умения, связанные с геометрическими величинами и полученные в начальной школе, являются основой для дальнейшего изучения математики.
• По традиционной программе в конце третьего (четвёртого) класса дети должны:
• - знать таблицы единиц величин. Принятые обозначения этих единиц уметь применять эти знания в практике измерения и при решении задач;
• - знать взаимосвязь между такими величинами, как периметр, площадь, единицы их измерения;
• - уметь применять эти знания к решению текстовых задач;
• - уметь вычислять периметр и площадь прямоугольника (квадрата). Результат обучения показывает, что дети недостаточно усваивают материал, связанный с геометрическими величинами: не различают геометрическую величину и единицу геометрической величины, допускают ошибки при сравнении величин, выраженных в единицах двух наименований, плохо овладевают измерительными навыками. Это связано с организацией изучения данной темы. В учебниках по традиционной программе недостаточно заданий, направленных на выяснение и уточнение имеющихся у школьников представлений об изучаемой геометрической величине, сравнение однородных геометрических величин, формирование измерительных умений и навыков, сложение и вычитание величин, выраженных в единицах разных наименований.
• Таким образом, чтобы улучшить математическую подготовку детей по теме «Особенности формирования понятия площади у младших школьников», необходимо пополнить её новыми упражнениями из системы альтернативных программ.
• Цель нашего исследования состоит в выявлении и влияния на эффективность обучения системы различных упражнений на уроках математики по теме «Особенности формирования понятия площади у младших школьников».
• Объектом исследования является процесс изучения понятия измерения площади младшими школьниками.
• Предметом исследования являются особенности формирования понятия площади и ее измерения у младших школьников на уроках математики.
• Гипотеза исследования: учебная деятельность при изучении темы «Особенности формирования понятия площади и ее измерения у младших школьников», организованная с помощью системы альтернативных программ.
• Задачи исследования:
• 1) Изучить математико-методическую литературу по теме «Особенности формирования понятия площади и ее измерения у младших школьников»;
• 2) Изучить педагогически и методическую литературу по вопросу альтернативных программ;
• 3) Выявить влияние использования системы упражнений альтернативной программы на качество знаний и умений учащихся.
• Методы исследования:
• 1) Анализ;
• 2) Наблюдение;
• 3) Обобщение;
• 4) Систематизация.
• Этапы исследовательской работы:
• 1) определение области, проблемы, темы, цели, задачи, объекта и предмета исследования, выдвижение, гипотезы (сентябрь - октябрь 2006 г.);
• 2) изучение и анализ литературы по теме исследования и оформление теоретической части (ноябрь - январь 2006-07 гг.);
• 3) определение базы исследовательской работы, проведение опытно-экспериментальной работы (февраль - март 2007 г.);
• 4) анализ, обобщение результатов исследования, составление рекомендации и оформление дипломной работы (начало апреля 2007 г.);
• 5) составление списка литературы, оформление титульного листа (конец апреля 2007 г.).
• Методологической основой исследования является положение отечественной педагогики, сформулированной в научных трудах педагогов и психологов Истоминой Н.Б., Петерсона Л.Г., Занкова Л.В. и другие.
• Научная новизна исследования заключается в выявлении, и поиски новых подходов и методов изучения геометрических величин по альтернативным программам.
• Теоретическая значимость заключается в изучении, анализе литературы, выявление эффективных методов, приемов и систематизации формирования понятия площади и ее измерения у младших школьников.
• Практическая значимость заключается в том, что материалами исследования могут воспользоваться студенты, учителя начальных классов, методисты, работающие в отделах образования.
• Работа состоит из введения, двух глав, выводов, заключения, библиографического списка.
• ГЛАВА I. ПОНЯТИЕ ПЛОЩАДИ И ЕЕ ИЗМЕРЕНИЕ
• 1.1 История развития понятия площади и ее измерения
• Зарождение геометрических знаний, связанных с измерением площадей, теряется в глубине тысячелетий.
• Еще 4 - 5 тыс. лет назад вавилоняне вычисляли площади земельных участков, имеющих форму прямоугольника и трапеции, в квадратных единицах. Единицей измерения площади издревле использовали квадрат, так как именно квадрат обладает замечательными свойствами: равные стороны, равные и прямые углы; квадрат имеет ось и центр симметрии и совершенство формы. Квадраты легко строить, и ими можно покрыть без просветов фигуры любой формы.
• Около 4 000 лет назад египтяне определяли площадь прямоугольника, параллелограмма, треугольника и трапеции теми же приемами, как и мы. То есть, чтобы определить площадь прямоугольника, умножали длину на ширину; чтобы найти площадь треугольника, основание треугольника делили пополам и умножали на высоту. А для нахождения площади трапеции сумму параллельных сторон делили пополам и умножали на высоту. Площадь многоугольника находили разбиением его на прямоугольники, треугольники и трапеции.
• Египтяне использовали и иные, которые позволяли быстрее измерять площадь земельного участка путем только обхода его по границам, но результат измерения получался с некоторой погрешностью. Так, площадь равнобедренного треугольника вычисляли по формуле
• S=,
• где а - боковая сторона, b - основание треугольника. Совершаемая при этом ошибка тем меньше, чем ближе к 90о угол б между сторонами а и b.
• Так как из современной формулы
• S= sin б D
• нам известно, что при б=90о sin 90о=1, S=. Египтяне также пользовались для вычисления площади четырехугольника ABCD формулой
• S= . .
• При вычислении площади четырехугольников по этой формуле допускалась ошибка. Она минимальна, когда углы четырехугольника близки к прямым. А в случае прямоугольника результат получается точный, так как из формулы
• SABCD= AB+CD . AD+BC при AB=CD и AD=BC
• получим
• SABCD= 2AB. 2AD = AВ АD.
• А в случае параллелограмма эта формула дает ощутимую погрешность.
• С С
• A D А D
• Согласно египетской формуле площади параллелограммов, указанных на рис. 3 и 4, примем равными площадями прямоугольников, построенных на сторонах АD. Заштрихованные площади показывают величину допущенной ошибки в определении площади параллелограмма в двух различных случаях. Если угол СВА параллелограмма по величине далек от прямого, то ошибка может оказаться незначительной.
• В математических трудах Евклида, Герона, Брахмагупты и других известно, что по вопросам измерения площадей греки и индусы пошли далеко вперед по сравнению с египтянами и вавилонянами. В своих «Началах» Евклид не применял слово «площадь», так как он под словом «фигура» понимает часть плоскости, ограниченную той или иной замкнутой линией, и под понятием фигуры подразумевал и ее площадь. Евклид результат измерения площади не выражает числом, сравнивает площади различных фигур между собой. Евклид также занимается вопросами превращения одних фигур в равновеликие им фигуры, оперируя при этом не числами, а самими площадями.
• С формулой Герона
• S= р(р-а)(р-b)(р-с), где р=а+b+с
• учащиеся знакомы. А индийский математик Брахмагупта (598 - 660) хотел вывести подобную формулу для вычисления площади четырехугольника. Если обозначим площадь четырехугольника через S, его полупериметр через р, а стороны - через а, b, с и d, то Брахмагупта принимал S= р(р-а)(р-b)(р-с)(р-d), но не доказал.
• Формула Брахмагупта верна для прямоугольника, так как только в прямоугольниках р-а=b и р-b=а. Поэтому
• S= р(р-а)(р-b)(р-с)(р-d)= (р-а)2(р-b)2=(р-а)(р-b)
• так как а=с, b=d. Так как р-а=b, р-b=а, то получим S=аb.
• Формула Брахмагупта верна не для любого четырехугольника. Она применима для равнобедренной трапеции и для вписанных в круг четырехугольников, диагонали которых взаимно перпендикулярны. Сам Брахмагупта был осторожен в применении своей формулы и пользовался ею только для определения площадей выше указанных фигур. Его формула, хоть и давала лишь приближенное значение истинного размера площади любого четырехугольника, облегчала измерение площадей земельных участков, так как обход участка по периметру и его измерение - задача несложная.
• Задачи деления площадей фигур с помощью пересекающих их прямых и превращение одной фигуры в другую путем разрезания и пересоставления новых фигур из полученных частей заинтересовали греческих математиков, так как землемерие и архитектурные работы выдвигали задачи такого содержания. На рисунке видно деление пополам площади треугольника прямой, проходящей через одну из его вершин. Площадь треугольника разделяется медианой на две равные части, так как 1+2=1Ч+2Ч.
• Одной из самых простых и удобных фигур для измерения площадей является квадрат.
• 2 2Ч
• 1 1Ч
• Поэтому математики издавна стремились превращать любую фигуру в равновеликий ей квадрат. Например, решали задачу о построении треугольника, равновеликого данному многоугольнику, и квадрата, равновеликого полученному треугольнику и т.д. Для решения аналогичных задач данный многоугольник разбивали на треугольники, так как всякий треугольник можно превратить в параллелограмм. При этом основание параллелограмма должно равняться основанию треугольника, а высота параллелограмма - половине высоты треугольника (рис. 6). Для этого достаточно провести среднюю линию треугольника.
• Параллелограмм превращали в равновеликий ему прямоугольник, а прямоугольник в равновеликий ему квадрат.
• Первые сведения об измерении площадей и расстояний на Руси относятся к XI веку. В Государственном Эрмитаже хранится камень с надписью: «В лето 6576 Глеб князь мерил морем по льду от Тмутороканя до Корчева 14 тысяч сажен». В этой записи говорится об измерении в 1068 году расстояния между городами Тамань и Керчь через Керченский пролив по льду.
• Древние математики Египта и Индии необоснованно переносили на общий случай правила вычисления площадей, верные в некоторых частных случаях. На Руси XI - XVI веках тоже пошли путем обобщения правил. Во второй половине XVI в. возросшие потребности в измерении земли, развитие артиллерийского дела и строительство городов привели к необходимости создания рукописей геометрического содержания. В 1551 г. царь Иван IV послал людей «описать и смерить государство». К сожалению, рукописи Древней Руси до нас не дошли. Автор «Истории Российской с древнейших времен» В.Н. Татищев (1686 - 1750) писал: «Я читал наказ, данный в 1556 г. писцам о том, как следует измерять землю». К наказу прилагались «землемерные начертания», то есть чертежи. Наказ бесследно исчез. Пропали также «Математические рукописи XVII века», хранившиеся в семье писателя и историка Н.М. Карамзина (1766 - 1826).
• Первой из сохранившихся рукописей, в которых излагаются правила измерения площадей, была «Книга сошного письма», самый древний экземпляр, который относится к 1629 году, хотя имеются указания, что оригинал был составлен при Иване Грозном в 1556 году. В этой книге имеется глава «О земном верстании, как земля верстать». В ней, к сожалению, содержится много ошибочного материала в способах измерения площадей. Возможно, они появились в результате искажений во время переписывания от руки. Приходится признать, что уровень знаний был невысоким, хотя не хочется считать россиян шестнадцатого и семнадцатого столетий менее грамотными, чем древние египтяне. Тем более ярким подтверждением тому служат исключительные по красоте архитектурные памятники того времени, такие, как собор Василия Блаженного, построенный в 1553-1560 г.г. при Иване Грозном русскими «мастерами каменных дел Постником, Яковлевым и Бармой.
• Были и веские причины, задержавшие распространение математических знаний на Руси. В ХV в. были царские оглашения «О запрещении книг, вывезенных с Запада», в одном из которых даже говорилось, что «богомерзостен перед богом всякий, кто любит геометрию».
• Лишь при Петре I в 1701 году открыли в Москве «Математические и навигатские, то есть Мореходно-хитростных наук школу». В программу обучения включили преподавание арифметики, алгебры, геометрии и тригонометрии. Эти науки преподавал выписанный из-за границы профессор-математик Форварсон и математик-самоучка Леонтий Магницкий. С того времени основы геометрии как науки проникли к нам в Россию. Именно а начале ХVIII века под редакцией Форварсона были переведены на русский язык и изданы «Начала» Евклида.
• Так какие же конкретно ошибки допускали в измерении площадей на Руси?
• В выше упомянутой книге «О земном верстании, как земля верстать» собраны правила измерения площадей различных фигур и приведены примеры, как ими пользоваться. Но выводов и доказательств этих правил нет. Площадь прямоугольника вычисляли путем выделения из него наибольшего квадрата, а площадь оставшейся части прямоугольника вычисляли определением, какую долю наибольшего квадрата она составляет (рис. 9).
• Как примитивен этот способ по сравнению с вычислением площади прямоугольника умножением длины его на ширину!
• А чтобы найти площадь трапеции, полусумму оснований умножали на большее основание.
• а 2 8 В С
• а аа
• А D
• Например, площадь трапеции ABCD при AB=CD по этому правилу равна S= AB+CD. AD (рис. 10).
• По-видимому, здесь допущена ошибка при переписывании рукописи. В более поздних рукописях площадь трапеции выражается произведением полусуммы оснований на «хобот», а «хоботом» называли боковую сторону трапеции. Этот способ тоже неверный, однако более близкий к истинной величине.
• При вычислении площади треугольника по правилу, указанному в книге «О земном верстании, как земля верстать», произведение большей и меньшей сторон треугольника делили на два, что, естественно, дает лишь приближенное значение истинной площади.
• В Древней Руси при вычислении площадей допускали еще одну грубейшую ошибку, полагая, что «фигуры с равными периметрами имеют равные площади». Это предположение неверно ни для одной фигуры, даже если они имеют равные стороны. Например, при равенстве сторон квадрата сторонам ромба площадь квадрата больше площади ромба, так как высота ромба короче его стороны. Докажем это.
• Пусть сторона квадрата и сторона ромба равны а.
• В а С
• а а
• y
• а А Е D
• Площадь квадрата
• Sкв.=а2
• а площадь ромба
• Sромба=аh
• Из прямоугольного треугольника
• АВЕ h=ВЕ=а sin А
• Отсюда
• Sромба=а.аsinА=а2sinА
• Таким образом, правила, верные для конкретных фигур, неприменимы в более общих случаях.
• 2 1 см
• 3 см 3 см 2 1 см
• Возьмем квадрат и равносторонний треугольник с равными периметрами (рис. 12). Для сравнения вычислим площадь равностороннего треугольника с периметром 9 см по формуле
• S= а2sin б, получим
• S=.32.sin60о=.?9.1,7 ?3,8=4(см2).
• Сторона квадрата с периметром тоже 9 см равна 2см, а площадь
• S=(2 )2=()2=?5(cм2).
• Как видите, площади не равны. Следовательно, нельзя делать вывод о равенстве площадей фигур с равными периметрами.
• На ошибках учатся - гласит народная мудрость. Многократно ошибаясь и исправляя собственные ошибки, человек достиг современной высокой культуры вычислений.
• 1.2 Площадь плоской фигуры и ее измерение
• Каждый человек представляет, что такое площадь комнаты, площадь участка земли, площадь поверхности, которую надо покрасить. Он также понимает, что земельные участки одинаковы, то площади их равны; что площадь квартиры складывается из площади комнат и площади других помещений.
• Это обыденное представление о площади используется при ее определении в геометрии, где говорят о площади фигуры. Но геометрические фигуры устроены по-разному, и поэтому, когда говорят о площади, выделяют определенный класс фигур. Например, рассматривают площадь многоугольника и др.
• Так же, как и при рассмотрении длины отрезка и величины угла, будем использовать понятие «состоять из», определяя его следующим образом:
• фигура состоит (составлена) из фигур и , если она является их объединением и у них нет общих внутренних точек. В этой же ситуации можно говорить, что фигура разбита на фигуры и . Например, о фигуре , изображенной на рисунке 1,а, можно сказать, что она состоит из фигур и , поскольку они не имеют общих внутренних точек. Фигуры и на рисунке 1,б имеют общие внутренние точки, поэтому нельзя утверждать, что фигура состоит из фигур и . Если фигура состоит из фигур и , то пишут:
• .
• Определение. Площадью фигуры называется положительная величина, определённая для каждой фигуры так, что:
• 1) равные фигуры имеют равные площади;
• 2) если фигура состоит из двух частей, то её площадь равна сумме площадей этих частей.
• Чтобы измерить площадь фигуры, нужно иметь единицу площади. Как правило, такой единицей является площадь квадрата со стороной, равной единичному отрезку. Условимся площадь единичного квадрата обозначать буквой , а число, которое получается в результате измерения площади фигуры-. Это число называют численным значением площади фигуры при выбранной единице площади . Оно должно удовлетворять условиям:
• 1) Число - положительное.
• 2) Если фигуры равны, то равны численные значения их площадей.
• 3) Если фигура состоит из фигур и , то численное значение площади фигуры равно сумме численных значений площадей фигур и .
• 4) При замене единицы площади численное значение площади данной фигуры увеличивается (уменьшается) во столько же раз, во сколько новая единица меньше (больше) старой.
• 5) Численное значение площади единичного квадрата принимается равным 1, т.е. .
• 6) Если фигура является частью фигуры , то численное значение площади фигуры не больше численного значения площади фигуры
• , т.е. .
• В геометрии доказано, что для многоугольников и произвольных плоских фигур такое число всегда существует и единственно для каждой фигуры.
• Фигуры, у которых площади равны, называются равновеликими.
• Формулы для вычисления площади прямоугольника, треугольника, параллелограмма были выведены давно. В геометрии их обосновывают, исходя из определения площади, при этом численное значение длины отрезка - длиной.
• Теорема. Площадь прямоугольника равна произведению длин соседних его сторон.
• Напомним, что слово «площадь» в этой формулировке означает численное значение площади, а слово «длина» - численное значение длины отрезка.
• Доказательство. Если - данный прямоугольник, а числа ,-длины его сторон, то
• Докажем это. Пусть и - натуральные числа. Тогда прямоугольник можно разбить на единичные квадраты (рис.2):
• Всего их , так как имеем рядов, в каждом из которых квадратов. Отсюда
• Пусть теперь и - положительные рациональные числа:
• ,
• где - натуральные числа. Приведем данные дроби к общему знаменателю:
• ,
• Разобьем сторону единичного квадрата на равных частей. Если через точки деления провести прямые, параллельные сторонам, то квадрат разделится на более мелких квадратов. Обозначим площадь каждого такого квадрата . Тогда
• а поскольку
• , то .
• Так как , , то отрезок длиной укладывается на стороне точно раз, на стороне - точно раз. Поэтому данный прямоугольник будет состоять из квадратов . Следовательно,
• Таким образом доказано, что если длины сторон прямоугольника выражены положительными рациональными числами и , то площадь этого прямоугольника вычисляется по формуле .
• Случай, когда длины сторон прямоугольника выражаются положительными действительными числами, мы опускаем.
• Из этой теоремы вытекает следствие: площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов.
• Теорема. Площадь параллелограмма равна произведению его стороны на высоту, проведенную к этой стороне.
• Доказательство. Пусть - параллелограмм, не являющийся прямоугольником (рис.3). Опустим перпендикуляр из вершины на прямую . Тогда .

Страницы: 1, 2