Особенности формирования математических понятий в 5-6 классах

ольшинство детей 5-го класса воспринимает объяснительный текст учебника, формулировки определений и правил вполне однородными - им трудно найти определяемое и определяющее понятие, указание на математические свойства математического объекта. Именно этим в значительной степени объясняются трудности в заучивании и верном воспроизведении теоретических положений, правил действий: все слова ученику кажутся одинаково важными (или одинаково неважными?), а потому заучивание происходит чисто механически, и потеря или замена остаются им незамеченными.

Главное в работе с определениями в 5-6 классах - показывать учащимся отличие определений от других предложений, выделенных в учебнике жирным шрифтом; учить их анализировать конструкцию определений; индуктивным методом формировать определения основных понятий.

Если учащиеся в 5-6 классах получат необходимые навыки в работе с определениями, будут понимать простые логические рассуждения и отличать логические конструкции различных математических предложений, то они смогут изучать курс математики старших классов более осознано.

Определения рассматриваются в простейшем варианте через род и вид. Формирование понятия доказательства опирается на реальные жизненные представления о необходимости обоснования, её убедительности рассуждений. Этот начальный этап постепенно сменяется представлениями о доказательстве, адекватном математике.

Проанализировав учебники для 5-6 классов, увидим, что аксиоматические определения отсутствуют, геометрические понятия в большинстве своём определяются через конструирование, алгебраическим понятиям, в основном, даются определения-соглашения, поясняющее описание.

Приведём сравнительное процентное соотношение определений, даваемых в учебниках [10, 11, 12, 13]. В [11, 13] присутствует 53% определений-соглашений, 20% -- пояснительных описаний, 27% -- конструктивных определений, а в [10, 12] определений-соглашений -- 33%, пояснительных описаний -- 32%, конструктивных определений -- 35%. Отличия объясняются большим количеством геометрических понятий, вводимых в [10,12].

Вводить понятия на данном этапе обучения следует конкретно-индуктивным путём, уделяя большое внимание мотивации введения. Для усвоения понятий в этом возрасте психологи советуют давать 10-12 заданий.

Рассмотрим конкретные примеры.

Угол2

На каждом из рисунков найдите и назовите лучи и их начала. Что такое "луч"? Есть ли у луча начало?

Вы знаете что такое многоугольник (рис.8). Какие элементы многоугольника вы можете назвать? (Стороны, вершины). Оказывается, что у многоугольника существуют ещё элементы. Сегодня нам и предстоит их изучить. Обратите свое внимание на рис.4, вы видите два луча с общим началом, вместе они составляют единую фигуру. И чтобы не делить её на части, древними было дано этой фигуре особое название -- "угол".

Как же получают фигуру, называемую углом?

1. Берут произвольную точку (в нашем случае это точка О);

2. Проводят два луча с началом в этой точке (ОА, ОВ).

Таким образом, углом называют фигуру, образованную двумя лучами, выходящими из одной точки (ребята могут сформулировать определение сами!). Лучи, образующие угол, называют сторонами угла, а точку, из которой они выходят, -- вершиной угла.

На нашем рисунке сторонами угла являются лучи ОА и ОВ, а его вершиной -- точка О. Этот угол обозначают так: <АОВ. При записи угла в середине пишут букву, обозначающую его вершину. Угол можно обозначать и одной буквой (название его вершины): <О.

Задание 1: На каждом из рисунков (рис.1--рис.7) выберите углы и правильно назовите их.

Задание 2: Выберите правильное обозначение следующих углов.

А)<K А)BCN А) <KCM А) М

Б) <KMN Б) <CNB Б) <KMC Б) <MCK

В) <N B) <BCN B) <MCK B) <K

Г) <NCB Г) D

Д) <С

Задание 3: Напишите в тетради обозначения следующих углов. И зарисуйте их.

Задание 4: Начертите произвольные углы: <ABO, <C, <MKL, <HFK, <F.

Давайте рассмотрим, как могут располагаться точки на плоскости, относительно данного угла.

На рисунке изображён угол F.

Точки C,D лежат внутри угла F.

Точки X,Y лежат вне угла F.

Точки M,K - на сторонах угла F.

Задание 5: Начертите угол О и изобразите следующие точки:

А) А, В, С - внутри угла О;

Б) D, F, E, K - на сторонах угла О;

В) M, P, S, T - вне угла О.

Задание 6: Начертите угол MOD и проведите внутри него луч ОТ. Назовите и обозначьте углы, на которые этот луч делит угол MOD.

Задание 7: Начертите 4 луча: ОА, ОВ, ОС, OD. Запишите названия шести углов, сторонами которых являются эти лучи.

Наибольший общий делитель.

Задание 1: Верно ли, что:

А) 5 - делитель 45; Б) 16 - делитель 8; В) 17 - делитель 172?

Задание 2: Назовите все делители чисел:

А) 6; Б) 18; В) 125; Г) 19.

Задание 3: Выберите наибольшее из чисел:

А) 1, 5, 3, 8, 12, 4; Б) 15, 30, 45, 90.

Задание 4: На сколько равных кучек можно разложить 36 орехов?

Затем учитель задаёт вопросы, подобные следующим (учащиеся должны вспомнить, что такое «натуральное число» и «делитель натурального числа»):

· Какие числа можно считать натуральными?

· Какое число называют делителем данного натурального

числа?

У Деда Мороза имеется 48 конфет «Ласточка» и 36 конфет «Чебурашка», ему необходимо составить наибольшее количество одинаковых подарков для детей, используя все конфеты.

Как же ему быть? Сегодня вы узнаете, как можно быстро помочь Деду Морозу.

1.Делители 6: 1, 2, 3, 6 - натуральные числа.

Делители 18: 1, 2, 3, 6, 18 - натуральные числа

2.Делители 15: 1, 3, 5, 15 - натуральные числа

Делители 30: 1, 3, 5, 15, 2, 6, 10, 30 - натуральные числа

3.Делители 40: 1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 40 - натуральные числа.

Делители 18: 1, 2, 3, 6, 18 - натуральные числа.

Как видим, во всех случаях выделены общие делители двух натуральных чисел, и из этих общих делителей выбрано наибольшее натуральное число.

Вернёмся на помощь Деду Морозу. На какое одинаковое количество подарков можно разделить 48 конфет «Ласточка»? Для того чтобы ответить на этот вопрос, нужно выписать все делители числа 48.

48: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 24, 48.

На какое одинаковое количество подарков можно разделить 36 конфет «Чебурашка»? Для того чтобы ответить на этот вопрос, нужно выписать все делители числа 36.

36: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36.

Но Деду Морозу необходимо составить абсолютно одинаковые подарки, поэтому ему нужно выбрать общие делители чисел 48 и 36.

Общие делители чисел 48 и 36: 1, 2, 3. 6, 12.

Выбрав наибольшее натуральное число из общих делителей чисел 48 и 36, Дед Мороз составит наибольшее количество одинаковых подарков для детей. Таким числом будет число 12.

Значит, Деду Морозу можно составить 12 подарков, в каждом из которых будет 4 конфеты «Ласточка» (48:12=4) и 3 конфеты «Чебурашка» (36:12=3).

Итак, наибольшее натуральное число, на которое делятся без остатка числа a и b, называется наибольшим общим делителем этих чисел.

Задание 1. Найдите все общие делители чисел:

А) 18 и 60; Б) 72, 98 и 120; В) 35 и 88.

Задание 2. Выпишите общие делители чисел a и b и найдите их наибольший общий делитель, если:

А)Делители а: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36

Делители b: 1, 2. 3, 5, 6, 9, 10, 15, 18, 30. 45, 90

Б)Делители а: 1, 2, 3. 6, 18

Делители b: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60.

Задание 3: Найдите разложение на простые множители наибольшего общего делителя чисел a и b , если:

А) а=2·2·3·3 и b=2·3·3·5;

Б) а=5·5·7·7·7 и b=3·5·7·7.

Задание 4: Найдите наибольший общий делитель чисел:

А) 12 и 18; Б) 50 и 175.

Задание 5: Ребята на новогодней ёлке получили одинаковые подарки. Во всех подарках вместе было 123 апельсина и 82 яблока. Сколько ребят присутствовало на ёлке?

Глава 3
Опытное преподавание
На теоретической основе, представленной в предыдущих главах, был разработан и проведён урок в 5 классе Талицкой СШ Фалёнского района. Далее приведён конспект данного урока.

Класс: 5.

Количество уроков по разделу: 26

Тема урока: «Доли. Обыкновенные дроби».

Тип урока: урок изучения нового материала.

Номер урока в разделе «Обыкновенные дроби»: 5

Цели:

Образовательные:

· создать условия для усвоения учащимися понятия доли, обыкновенной дроби, числителя и знаменателя;

· научить применять дроби при решении различных задач.

Развивающие:

· развитие познавательного интереса и грамотной математической речи;

· развитие логического мышления.

Воспитательные:

· воспитание дисциплинированности;

· воспитание аккуратности.

Оборудование: наглядное пособие в виде разрезанного яблока, карточки с заданием (раздать перед уроком).

Литература: [11].

План урока:

1. Организационный этап.

2. Актуализация знаний.

3. Этап изучения нового материала:

1) Введение понятия доли, половины, трети, четверти.

2) Усвоение понятия доли.

3) Введение понятия дроби.

4) Усвоение понятия дроби.

4. Этап закрепления изученного.

5. Этап постановки домашнего задания

6. Подведение итогов урока

Ход урока:

Наглядное пособие в виде разрезанного арбуза.

Этап	Учитель	Ученики	Доска/тетрадь
1.	Здравствуйте! Садитесь, ребята, пожалуйста! Сегодня мы займёмся изучением особых чисел, называемых обыкновенными дробями.		«Дата» Классная работа. Тема.
2.	А для начала давайте вспомним, что такое натуральное число? Для чего применяются натуральные числа? Верно.	Натуральные числа применяются для счёта предметов.
	3	1) Представьте себе, что у вас имеется 5 яблок. И вам необходимо разделить их поровну между пятью друзьями. По сколько яблок достанется каждому? Верно. А если мама купила один арбуз и разрезала его на 6 равных частей: бабушке, дедушке, папе, двум детям и себе, то эти равные части будут называются долями. Поскольку, арбуз разделили на 6 долей, то каждый получил « долю арбуза» или « арбуза». Посмотрите, как записываются доли. Теперь начертите, пожалуйста, в тетради отрезок АВ длиной 5 см. Какую долю отрезка АВ будет составлять отрезок длиной 1 см.? Пусть, у каждого из вас, ребята, есть по яблоку. Как вы будете действовать, если я попрошу вас отрезать от яблока половину? Прав будет тот, кто разделит яблоко на две доли, потому что половиной называется доля , -- третью, а -- четвертью. Например, половиной часа является 30 мин, четвертью--15 мин, третью--20 мин 2) Яблоко разрезали на 8 долей, съели 3 доли. Сколько долей осталось? Эти 5 долей обозначают «яблока» Ещё один пример. А в этом случае сколько долей осталось? Сейчас обратите внимание на рисунок. На нём прямоугольника закрашена, а какая часть прямоугольника не закрашена? Записи вида: называют обыкновенными дробями. Верхнюю часть дроби называют числителем, а нижнюю -- знаменателем. Вернёмся к рисунку, на котором изображено яблока. Что в данной дроби является числителем, а что --знаменателем? Посмотрите внимательно на рисунок и попробуйте сказать, что показывает знаменатель дроби (в нашем случае, число 8)? А что показывает числитель дроби? 4) v Назовите из выписанных чисел обыкновенные дроби. И назовите их числители и знаменатели. Например, : 6 - числитель, 7 -- знаменатель. У каждого из вас есть карточка с заданием. Прочитайте его и выполните. v Заполните пропуски. Дробь со знаменателем 11 и числителем 3 записывается ____ . Знаменатель показывает, что единица разделена на __ ______ частей. Числитель показывает, что равных частей взято ____ . v На сколько частей нужно разделить яблоко и сколько частей нужно взять, чтобы получить яблока?	У каждого из друзей будет по одному яблоку. Отрезок длиной 1 см будет составлять долю отрезка АВ. Разделим яблоко на две равные части (доли) и т.д. Осталось 5 долей. 4 доли. Не закрашено прямоугольника. 5 - числитель 8 - знаменатель Знаменатель дроби показывает, на сколько долей нужно делить. Числитель показывает, сколько таких частей нужно взять. Обыкновенные дроби: . У дроби 4-- числитель, 9-- знаменатель. У дроби 1- числитель, 5-- знаменатель. на 11 равных частей 3 Яблоко нужно разделить на 3 доли, т.к. знаменатель дроби--3, и взять 2 доли, т.к. числитель дроби--2.

Наглядное пособие

-- обыкновенные дроби

, 8, 32 ,2, , , 73

№ 860 (устно). Какую долю отрезка АВ составляет отрезок СD?

№ 864 (устно). Прочитайте записи: отрезка, килограмма, суток, дороги, дыни, яблока.

№862. Разделите тремя способами квадрат со стороной 4 см на 4 доли. Начертите четверть квадрата, половину квадрата.

№ 865. Купили кусок ткани длиной 2 м 50 см и из куска сшили платье для куклы. Сколько сантиметров ткани ушло на это платье?

o О чём говорится в задаче?

o Из чего шьют платье? Какую длину имеет кусок ткани?

o Известно ли нам какую часть этого куска ткани потратили?

o Что необходимо найти? В каких единицах?

o Длина куска ткани нам дана в м, а количество истраченной ткани необходимо найти в см. Следовательно, длину куска нужно перевести в см. Как это сделать?

o Что необходимо сделать, чтобы найти куска ткани?

№ 867. Петя готовил уроки 1 ч 40 мин. На математику он потратил этого времени, а на географию оставшегося времени. Сколько минут Петя готовил уроки по математике и сколько по географии?

Отрезок CD составляет долю отрезка АВ.

o В задаче говорится о пошиве платья.

o Платье шьют из куска ткани длиной 2м 50см.

o Известно. Потратили часть этого куска.

o Нужно найти сколько сантиметров ткани ушло на это платье.

o 2,5*100

o Необходимо этот кусок разделить на 5 равных частей и взять из них одну.

№ 865

1) 2м 50см = 250см; 2)250:5=50см (куска ткани); 3)50 * 1 = 50см (ткани ушло на платье). Ответ: 50 см. № 867 1)1ч40мин=100 (мин) 2)100:51=20 (мин) потратил на математику 3)100-20=80(мин) осталось времени 4)80:41=20 (мин) потратил на географию. Ответ: 20 мин; 20 мин.
5	№ 900. Начертите круг радиусом 2 см и закрасьте круга. № 901. Из трёхлитрового бидона с молоком взяли 2 л молока. Какую часть всего молока взяли? № 907. Постройте круг радиусом 5 см. Проведите в нём диаметр АВ. Возьмите на окружности точку М и соедините её с точками А и В. Измерьте: диаметр АВ, отрезок МА, отрезок МВ. Какой из этих отрезков самый длинный?		Учебник [11] П.23, стр. 157. № 900, № 901, № 907.
6	Итак, мы с вами сегодня познакомились с долями и дробями. Давайте ещё раз вспомним, что такое доли и что такое дроби. Из каких частей состоит обыкновенная дробь? И что каждая из них показывает?	Доли--это равные части, на которые мы должны делить. Обыкновенная дробь --это запись вида . Обыкновенная дробь состоит из числителя и знаменателя. Знаменатель показывает, на сколько частей делят, а числитель--сколько таких частей взято.

На данном уроке были введены понятия доли и обыкновенной дроби. Понятия доли и обыкновенной дроби являются поясняющими описаниями. Оба они введены конкретно-индуктивным путём. И при их введение большое внимание уделено мотивации и наглядности.

На этапе усвоения определений было предложено задание типа «заполните пропуски…» и задания на усвоение основных свойств понятия обыкновенной дроби.

На этапе закрепления ребята решали текстовые задачи, при этом использовали введённые понятия.

Заключение
Процесс формирования понятий -- это постепенный процесс, состоящий из нескольких последовательных стадий (этапов), на каждом из которых необходимо учитывать методические и психологические особенности обучения детей данного возраста.

Целями данной квалификационной работы ставились изучение математической, методической, педагогической, психологической литературы по данной теме и разработка методики введения математического понятия.

В первой главе на основе учебного пособия [14] рассматривались основы методики изучения математических понятий. В частности, разобраны такие вопросы, как содержание и объём математических понятий, их классификация; способы определения понятий, методические требования к определению понятия; основные этапы изучения понятий в школе и особое внимание уделено этапу введения.

Методика математики тесно связана с педагогикой, психологией, поэтому во второй главе рассмотрены особенности познавательной деятельности детей 10-12 лет и на основе учебного пособия [20] выделены рекомендации психологов по формированию научных понятий у школьников, также рассмотрены некоторые педагогические особенности обучения математике в 5-6 классах. Важным при работе над этой главой стало выделение особенностей формирования математических понятий у учащихся 5-6 классов. На основе этой работы приведены примеры введения математических понятий.

В процессе опытного преподавания, согласно рассмотренным методикам, был разработан и проведён урок изучения нового материала в 5 классе.

Следовательно, цель данной дипломной работы достигнута, сформулированная гипотеза доказана.

Библиографический список
1. Болтянский В.Г. Использование логической символики при работе с определениями. // Математика в школе. -- №5, 1973.

2. Виленкин Н.Я., Абайдулин С.К., Таварткиладзе Р.К. Определение в школьном курсе математики и методика работы над ними. // Математика в школе. - №4, 1984.

3. Волович М.Б. Обыкновенные дроби. Проценты. /Пособие для учителя, ученика и его родителей. -- М.: Аквариум, 1997.

4. Грудёнов Я.И. Изучение определений, аксиом, теорем. : Пособие для учителей. - М.: Просвещение, 1981.

5. Жохов В.И. Новый учебник математики для 5 класса // Математика. -- №40, 1995.

6. Жохов В.И. Преподавание математики в 5-6 классах.: Методические рекомендации для учителя к учеб. Н.Я. Виленкина, В.И. Жохова, А.С. Чеснокова, С.И. Шварцбурда. -- М.: Русское слово, 1999.

7. Кузнецова Л.В., Минаева С.С., Рослова Л.О., Суворова С.Б. Учебные комплекты по математике для 5-6 классов. // Математика в школе. -- №4, 1997.

8. Лабораторные и практические работы по методике преподавания математики: Учеб. Пособие для студентов физ.-мат. спец. пед. ин-тов / Е.И. Лященко, К.В. Зобкова, Т.Ф. Кириченко и др.; Под ред. Е.И. Лященко. - М.: Просвещение, 1988 - с. 38-46.

9. Лященко Е.И., Мазаник А.А. Методика обучения математике в 5-6 классах. -- Минск: Народная асвета, 1976.

10. Математика : Учеб. для 5 кл. общеобразоват. учреждений / Г.В, Дорфеев, И.Ф. Шарыгин, С.Б. Суворова и др.; Под ред. Г.В Дорофеева, И.Ф Шарыгина. -- М.: Просвещение, 2000.

11. Математика : Учеб. для 5 кл. общеобразоват. учреждений / Н.Я. Виленкин, В.И. Жохов, А.С. Чесноков, С.И. Шварцбурд. -- М.: Мнемозина, 2001.

12. Математика : Учеб. для 6 кл. общеобразоват. учреждений / Г.В, Дорфеев, И.Ф. Шарыгин, С.Б. Суворова и др.; Под ред. Г.В Дорофеева, И.Ф Шарыгина. -- М.: Дрофа, 1997.

13. Математика : Учеб. для 6 кл. общеобразоват. учреждений / Н.Я. Виленкин, В.И. Жохов, А.С. Чесноков, С.И. Шварцбурд. -- М.: Мнемозина, 2001.

14. Методика преподавания математике в средней школе: Общая методика: Учеб. пособие для студентов физ.-мат. фак. пед. ин-тов / В.А. Оганесян, Ю.М. Колягин, Г.Л. Луканин, В.Я. Саннинский.-- М.: Просвещение, 1980 -- с.57-70.

15. Методика преподавания математике в средней школе: Частная методика: Учеб. пособие для студентов пед. ин-тов по физ.-мат. спец. / А.Я. Блох, В.А. Дорофеев и др. ; Сост. В.И. Мишин. -- М.: Просвещение, 1987 -- с.5-61.

16. Мухина В.С. Возрастная психология.: Учеб. для вузов. - М.: Академия, 1997.

17. Программы для общеобразовательных школ, гимназий, лицеев: Математика. 5-11 кл. /Сост. Г.М. Кузнецова, Н.Г Миндюк. -- 4-е изд., стереотип. -- М.: Дрофа, 2004.

18. Саранцев Г.И. Методика обучения в средней школе.: Учеб пособие для вузов. -- М.: Просвещение, 2002.

19. Саранцев Г.И. Формирование математических понятий в средней школе. // Математика в школе. -- №6, 1998.

20. Талызина Н.Ф. Педагогическая психология.: Учебное пособие для средних педагогических заведений. - М.: Академия, 2001.

21. Цукарь А.Я. Практика и образы при изучении обыкновенных дробей. // Математика в школе. -- №5, 1994.

Страницы: 1, 2, 3

В соцсетях