Оценка влияния критичности на развитие умений требует содержательного подхода. Необходимо описывать и анализировать то содержание , по отношению к которому субъект проявляет критичность. На процессе постановки новых оригинальных целей благотворно сказывается снижение критичности субъекта к себе, к оценке своей личности и способствует успешности целеполагания. Желательным оказывается также усиление критического отношения к внешнему миру и другим людям.
Развитие критичности ведёт к формированию у человека критического мышления. Хотя специалисты по психологии и смежным с ней наукам предложили несколько определений термина «критическое мышление», все эти определения довольно близки по смыслу, вот одно из самых простых передающее суть идеи: критическое мышление - это использование когнитивных техник или стратегий, которые увеличивают вероятность получения желаемого конечного результата. Это определение характеризует мышление как нечто отличающееся контролируемостью, обоснованностью и целенаправленностью, т.е. такой тип мышления, к которому прибегают при решении задач, формулировании выводов, вероятностной оценке и принятии решений. При этом, думающий использует навыки, которые обоснованы и эффективны для конкретной ситуации и типа решаемой задачи. [ 5 ]
Другие определения дополнительно указывают, что для критического мышления характерно построение логических умозаключений, создание согласованных между собой логических моделей и принятие обоснованных решений, касающихся того, отклонить какое-либо суждение, согласиться с ним или временно отложить его рассмотрение. Все эти определения подразумевают решение конкретной мыслительной задачи.
Слово критическое, используемое в определении, предполагает оценочный компонент. Иногда это слово употребляется для передачи отрицательного отношения к чему-либо. Но оценка и должна быть конструктивным выражением и позитивного, и негативного отношения . когда мы мыслим критически, мы оцениваем результаты своих мыслительных процессов - насколько правильно принятое нами решение или насколько удачно мы справились с поставленной задачей. Критическое мышление также включает в себя оценку самого мыслительного процесса - хода рассуждений, которые привели к нашим выводам, или тех факторов, которые были учтены при принятии решения.
Критическое мышление иногда называют ещё и направленным мышлением, поскольку оно нацелено на получение желаемого результата. Существуют виды мыслительной деятельности, которые не предполагают преследования определённой цели, такие виды мышления не относятся к категории критического мышления. Например, при решении сложной математической задачи, выполняя некоторое промежуточное действие, например, действие умножение, мышление ориентировано на определённую цель, а именно решение задачи, поэтому практически выполнение действия умножения не предполагает сознательной оценки совершаемых действий. Это один из примеров ненаправленного, или автоматического мышления.
Критическое мышление подразумевает обязательное присутствие этапа проверки и оценки предположений перед ответом на поставленный вопрос с точки зрения их достоверности и значимости, в противовес оперированию готовыми фразами, подсказанными память, без участия их творческой переработки.
Формирование критичности мышления, на уроках математики, можно сочетать с использованием математических софизмов.
§ 3. Софизмы. Их место в развитии математического мышления
В решении проблемы развития критичности математического мышления учащихся одним из эффективных средств является использование софизмов в обучении.
История математики полна неожиданных и интересных софизмов .И зачастую именно их разрешение служило толчком к новым открытиям, из которых в свою очередь, вырастали новые софизмы.
Софизмы - ложные результаты, полученные с помощью рассуждений, которые только кажутся правильными, но обязательно содержат ту или иную ошибку.
Практика обучения математике показывает, что поиск заключенных в софизме ошибок, ясное понимание их причин ведут к осмысленному постижению математики. Обнаружение и анализ ошибки, заключённой в софизме, зачастую оказываются более поучительными, чем просто разбор решений «безошибочных» задач. Можно сколько угодно объяснять, что деление на ноль недопустимо или что корень квадратный из квадрата числа равен абсолютной величине этого числа, но учащийся продолжает совершать одни и те же ошибки. В то же время эффективная демонстрация «доказательства» явно неверного результата, в чём и состоит смысл софизма, демонстрация того, к какой нелепице приводит пренебрежение тем или иным математическим правилом. Последующий поиск и разбор ошибки, приведшей к нелепице, позволяют на эмоциональном уровне понять и «закрепить», то или иное математическое правило или утверждение.
Математические софизмы представляют собой тот частный случай ошибок в математических рассуждениях, когда при разительной неверности результата ошибка, приводящая к нему, более или менее, хорошо замаскирована.
Раскрыть софизм - это, значит, указать ошибку в рассуждениях, с помощью которой была создана внешняя видимость правильности доказательства. [ 9 ]
В основном математические софизмы строятся на неверном словоупотреблении, на неточности формулировок, очень часто на неправильном применении теорем, на скрытом выполнении невозможных действий, на незаконных обобщениях, особенно при переходе от конечного числа объектов к бесконечному, и на маскировке ошибочных рассуждений.
Софизмы способствуют развитию всех компонентов математической подготовки, а именно:
1) фактических знаний и умений, предусмотренных программой обучения;
2) мыслительных операций и методов присущей деятельности;
3) математического стиля мышления;
4) рациональных способов учебно-познавательной деятельности.
Софизмы в процессе обучения могут служить следующим целям:
- стимулировать изучение математики;
- выполнять пропедевтические функции;
- способствовать развитию интеллекта учащихся, нравственных качеств личности;
- способствовать усвоению теоретического материала (если тематика софизма соответствует изучаемой в школьном курсе математике теме).
Таким образом, математические софизмы относятся к очень эффективным средствам развития мышления.
Исходя из дидактических целей и этапа усвоения материала, подбираются софизмы с соответствующим содержанием и структурой. Хотя чаще всего применяются не в системе образовательной деятельности, а в
Математический софизм тем более замысловат, чем более тонкого характера ошибка в нём проводится, чем менее она предупреждена обычным школьным курсом. [ 2]
Таким образом, решая математический софизм, ученик активизирует своё мышление на нахождении ошибки, оценивает свои действия со стороны, прогнозирует возможные результаты ошибок, критикует предложенные доказательства софизмов.
На первых порах применения софизмов на уроках математики эти процессы осуществляются с помощью системы наводящих вопросов учителя, эвристической беседы, подводящей на такие рассуждения. Но если софизмы использовать систематически и целенаправленно на уроках математики, то по средствам постоянного сталкивания с ошибочными рассуждениями, у учащихся развивается критическое мышление. Значит, использование софизмов способствует развитию критичности мышления.
Одним из важных вопросов использования софизмов является определение места софизмов в системе уроков математики. Надо ли вводить их тогда, когда ученики окрепнут в математических знаниях и смогут проявить критическое отношение к разбору софизмов или знакомство с математическими софизмами надо начинать на ранней ступени изучения математики? Но тогда не будет ли посеяно недоверие математике у школьников, когда у них ещё нет надёжной опоры в логических рассуждениях, и нет основательных знаний?
Можно рассматривать их в связи с прохождением текущего материала и тогда софизм служит важным педагогическим моментом для усиления внимания учеников к отдельным вопросам школьного курса математики. Также можно включать софизмы на этапе обобщения и систематизации изученного материала для проверки степени осознанности усвоения материала. Что касается использования софизмов на конкретном уроке, то здесь учитель сам определяет, на каком этапе урока он будет рассматривать тот или иной софизм
ГЛАВА II
§ 1. Способы предъявления софизмов
Способы предъявления софизмов могут быть различными. Рассмотрим некоторые из них.
1. Текст софизма записывается на доску до начала урока и учитель обращает внимание учеников, что они могут во время перемены подумать над заданием. В начале урока учитель даёт ещё 3-5 минут на обдумывание, после чего выслушивает ответы учеников.
2. Текст софизма может быть записан на доске до начала урока, но скрыт от учащихся. Это возможно в том случае, если софизм планируется рассмотреть в конце урока или по ходу его.
3. Если софизм связан с изучением текущей темы и логически «вписывается» в ход урока, то учитель может предложить его непосредственно по ходу урока. Но в этом случае он должен быть максимально «рабочим». Положительным моментом при этом способе будет эффект неожиданности, когда в ходе объяснения учителя возникает абсурдный вывод и, как следствие этого, вспышка интереса и познавательной активности учащихся.
4. Более оптимальным способом, является демонстрация софизмов с использованием технических средств обучения, например, кодоскопа. Это удобнее, во-первых, потому, что учитель готовит кодокадры заранее и один раз, а использовать их в дальнейшем неоднократно и в разных классах; Это значительно экономит время на уроке и очень удобно, особенно для геометрических софизмов. Во-вторых, можно быстро предъявить опровержение софизма, для этого достаточно сменить кодокадр. При желании учитель может использовать кодокадры с наложением, т.е. первый кадр не убирается, а на него накладывается второй кадр, потом следующий кадр и.т.д. Таким образом, можно показать последовательность некоторых действий, например, последовательность выполнения построений. В третьих, кодоскоп позволяет использовать софизм на любом этапе урока и при том полезно переключить внимание учащихся с доски на экран. [1]
§ 2. Методика работы по раскрытию софизмов
Предъявление софизма сопровождается заданием «Найти ошибку». Необходимое условие применимости того или иного математического софизма состоит в наличии у школьников предпосылок для раскрытия этого софизма, т.е. должна быть некая база математических понятий, которой учащиеся могли бы воспользоваться при решении софизма. Несоблюдение этого условия не только полностью обесценивает применение софизмов, но и делает их вредными. Ученик, не имеющий нужных знаний и возможности разобраться в существе вопроса сводит свою работу к простой догадке. Поэтому, мало найти ошибку, надо потребовать от учеников построения последовательного опровержения ложного доказательства. Отсюда разбор софизма можно разбить на два этапа. Сначала найти суждение (математическое рассуждение), в котором имеется ошибка. Затем подобрать аргументы для того, чтобы обосновать наличие ошибки. Установить же ложность суждения можно путём его сопоставления с законами, правилами, формулами, теоремами, аксиомами и другими истинными утверждениями. Наибольшую трудность на первых порах вызывает процесс нахождения ошибки. Это связано с тем, что, во-первых, задания такого рода являются для учеников новыми (новыми по требованию, по способу выполнению) и, во-вторых, некоторые ученики не достаточно владеют способами самопроверки.
В большинстве случаев для поиска ошибки в софизме можно использовать те же приёмы, что и для проверки решения текстовых задач, уравнений, неравенств. Можно предложить ученикам несколько рекомендаций, которые помогут им быстрее обнаружить ошибку в софизме.
1. Начинать поиск ошибки лучше с условия предложенного софизма. В некоторых софизмах абсурдный результат, получается, из-за противоречивых или неполных данных в условии, неправильного чертежа, ложного первоначального предположения, а далее все рассуждения проводятся верно. Это и вызывает затруднения при поиске ошибки, т.к. ученики привыкли, что задания, предполагаемые в учебнике, не содержат ошибок в условии и, поэтому, если получается неверный результат, то ошибку они ищут непременно по ходу решения.
Например, такая задача:
«Отцу 32 года, сыну 5 лет. Через сколько лет отец будет в 10 раз старше сына?»
ученики решают её так:
пусть х - лет искомый срок, тогда отцу будет (32 + х) лет, сыну (5+х) лет. Составляем уравнение и решаем его:
32 + х= 10•(5 + х);
32 + х =50 + 10 х;
-9х = 18;
х = -2.
Таким образом, через -2 года отец будет в 10 раз старше сына. Так как по смыслу задачи х должно быть больше нуля, то полученный результат вызывает недоумение у школьников. Уравнение само по себе составлено и решено верно, ошибка заключается в некорректной постановке вопроса. Это как раз тот самый случай, когда задача «думает» за нас.
2. Установить темы, которые отражены в софизме, предложенных преобразованиях.
3. Воспроизвести точные формулировки утверждений, используемых в софизме.
4. Выяснить, соблюдены ли все условия применимости теорем, правил, формул.
Действительно, некоторые софизмы построены на неверном использовании определений, законов, на «забывании» у4словий применимости некоторых теорем и т.д. ученики очень часто в формулировках, правилах запоминают основные, главные на их взгляд фразы и предложения, всё остальное они упускают. Этому способствует и выполнение большого числа однотипных упражнений, в которых осознание некоторой особенности не обязательно для получения верного результата, тогда, согласно закономерности Шеварева, степень осознания этой повторяющейся особенности снижается, и формируется ошибочная ассоциация. И тогда второй признак равенства треугольников превращается в признак «по стороне и двум углам», в формуле суммы бесконечной геометрической прогрессии теряется условие <1, определение параллельных прямых в пространстве сводится к требованию, чтобы прямые не пересекались и т.д. [ 4 ].
Следующая рекомендация сформулирована в виде правила.
5. «Правило портного».
Вручную обычно иглой шов делается так: стежок вперёд и назад, ещё вперёд и снова назад и т.д.
Проверять преобразования нужно также, как портной делает шов. После каждого перехода надо «оглянуться назад», проверить полученный результат обратным действием.
Рассмотрим софизм « 2 • 2 = 5 »:
1 = 1;
4 : 4 = 5 : 5;
4•(1 : 1) = 5•(1 : 1);
4 = 5
2 • 2 = 5 .
Ошибку можно быстро обнаружить, если после вынесения «общего множителя за скобку» выполнить обратную операцию и внести 4 и 5 за скобки.
6. «Правило программиста».
Работа блоками. Невозможно отлаживать программу в целом. Следует разбить работу на небольшие блоки и проконтролировать правильность каждого такого блока.
Предложенные рекомендации с одной стороны помогут ученикам при разборе софизмов, с другой стороны будут способствовать обогащению набора приёмов самопроверки и самоконтроля. [ 20 ]
Наряду с упражнениями по раскрытию софизмов можно предложить ученикам задания по составлению софизмов. С такого рода заданиями ученики сталкиваются впервые. Обычно за ошибки, допущенные в решении, их наказывали, а здесь, наоборот, требуется умышленно допустить ошибку, да ещё при этом сделать так, чтобы её не сразу можно было найти. Парадоксальность ситуации вызывает интерес со стороны учеников, и они охотно берутся за выполнение задания. Главная цель таких заданий способствовать более осознанному усвоению изучаемого материала и развитию творческого мышления.
На первом этапе можно дать такое задание: «Решить упражнение (пример, задачу, уравнение и т.д.) с ошибкой». Его можно предложить в качестве творческого домашнего задания, которое выполняется на отдельных листочках. Далее ученики могут обменяться своими решениями и попытаться найти ошибки друг у друга. Учитель собирает все работы, проверяет их и самые интересные демонстрирует всему классу. На втором этапе сообщаем ученикам, что многие из тех ошибок, которые они допускают, используются для составления доказательств заведомо ложных утверждений, т.е. софизмов. На третьем и этапе можно предложить ученикам решить задание с ошибкой, более или менее её замаскировав, и получить отсюда какой-либо неверный вывод.
Проанализировав соответствующую литературу и задачники, содержащие софизмы, можно прийти к выводу, что, во-первых, из всего множества софизмов далеко не каждый можно использовать на уроке, а, во-вторых, в литературе нет строгого разделения ошибочных рассуждений на те, которые можно использовать во внеклассной работе и те, которые подойдут для урока.
Поэтому выделяют несколько способов составления доказательств ложных рассуждений.
1. Для составления софизмов можно использовать ученические ошибки. Действительно, некоторые ошибки, скрытые в софизмах, ученики зачастую допускают сами. Знание учителем типичных ошибок позволит ему составлять разнообразные, интересные, а главное, «рабочие» софизмы.
Например, докажем, что 3 > 5, используя следующую ошибку: при делении обеих частей неравенства на отрицательное число не сменили знак неравенства на противоположный.
3 > 2; \·2
3•2 > 2І; \+ (3І)
3•2 - 3І > 2І - 3І;
3·(2 - 3) > (2 - 3)·(2 + 3);
3 > 2 + 3;
3 >5.
Обычно, учитель говорит: «Неверно», «Так нельзя», но, как правило, долговременного эффекта это не даёт.
2. Учитель может использовать для составления софизмов те психологические закономерности усвоения и запоминания материала, о которых уже говорилось выше. В частности, он может составлять доказательства ложных утверждений используя неточные определения, неполные формулировки, ошибочные выводы, обратные теоремы, которые неверны. К примеру, «забыв», что переход , возможен только при a > 0,m € Z, n € N, n, то можно получить следующее:
Таким образом, доказывается, что -1 = 1.
Этот опыт и фантазия учителя, наверняка подскажут ему подобные задания по различным темам.
3. Использование «обманных» или провоцирующих задач. Под «обманными» задачами понимают задачи, в которых условие либо противоречиво, либо решение невозможно при конкретных данных, либо они имеют ещё какой-либо недостаток, сводящий задачу на «нет» и делающий её абсурдной по сути.
