Так в чем же заключаются математические способности? Или они есть ни что иное, как качественная специализация общих психических процессов и свойств личности, то есть общие интеллектуальные способности, развитые применительно к математической деятельности? Является ли математическая способность унитарным или интегральным свойством? В последнем случае можно говорить о структуре математических способностей, о компонентах этого сложного образования. Ответы на эти вопросы искали психологи и педагоги еще начала века, но до сих пор нет единого взгляда на проблему математических способностей. Попробуем разобраться в этих вопросах, проанализировав работы некоторых ведущих специалистов, работавших над этой проблемой.
Пытаясь разобраться в психологии математического мышления, Д. Мордухай-Болтовской выделяет в нем два процесса: постановку проблемы и ее решение, и указывает свойства ума, необходимые для успешного осуществления этих процессов. Для успешной постановки проблемы главным необходимым условием он считает творческое воображение: “При самом выборе проблемы иногда необходимо делать гипотезу, необходима не точная цепь силлогизмов, а воображение” (65, с.495). Второй составляющей называет память на схемы рассуждений и бессознательные мыслительные процессы.”Мышление математика … глубоко внедряется в бессознательную сферу, то всплывая на ее поверхность, то погружаясь в глубину” (65, с.496). Так же Д. Мордухай-Болтовской выделяет остроумие, как одно из характерных свойств математической способности “способность обнимать умом зараз два совершенно разнородных предмета” (65, с.496) (то есть остроумие это способность объединять в одном суждении понятия из двух малосвязанных областей) и, наконец, быстроту математического мышления. При этом он особо отмечает, что при анализе математической способности следует резко отличать склонность к известному роду занятий от способностей (65, 66).
А. Пуанкаре пришел к выводу, что важнейшее место в математических способностях занимает умение логически выстроить цепь операций, которые приведут к решению задачи. Кроме того, для математика недостаточно иметь хорошую память и внимание. По мнению Пуанкаре, людей, способных к математике, отличает умение уловить порядок, в котором должны быть расположены элементы, необходимые для математического доказательства. Наличие интуиции такого рода есть основной элемент математического творчества (74).
Л.А. Венгер относит к математическим способностям такие особенности умственной деятельности, как обобщение математических объектов, отношений и действий, то есть способность видеть общее в разных конкретных выражениях и задачах; способность мыслить “свернутыми”, крупными единицами и “экономно”, без лишней детализации; способность переключения с прямого на обратный ход мысли (13).
Б.А. Кордемский не говорит о математических способностях, а выделяет элементы математического мышления. К ним он относит инициативность (желание самому постигнуть проблему, стремление к самостоятельному поиску способов и средств решения задачи), гибкость и критичность ума (придумывание и применение нешаблонных, оригинальных, остроумных приемов решения задач и методов рассуждений с постоянной проверкой их правильности, строгости и практической ценности) (42, 43). Кроме этого, он выделяет и такой элемент, как волевые усилия, под которыми понимает “упорство и настойчивость, которые проявляются в преодолении трудностей, возникающих в процессе овладения математическими методами при решении задач”(42, с.34).
Для того чтобы понять, какие еще качества требуются для достижения успехов в математике, исследователями анализировалась математическая деятельность: процесс решения задач, способы доказательств, логических рассуждений, особенности математической памяти. Этот анализ привел к созданию различных вариантов структур математических способностей, сложных по своему компонентному составу. При этом мнения большинства исследователей сходились в одном: что нет, и не может быть единственной ярко выраженной математической способности это совокупная характеристика, в которой отражаются особенности разных психических процессов: восприятия, мышления, памяти, воображения.
Среди наиболее важных компонентов математических способностей выделяются специфическая способность к обобщению математического материала, способность к пространственным представлениям, способность к отвлеченному мышлению. Некоторые исследователи выделяют также в качестве самостоятельного компонента математическую память на схемы рассуждений и доказательств, методы решения задач и способы подхода к ним. Одним из них является В.А. Крутецкий. Он так определяет математические способности: ”Под способностями к изучению математики мы понимаем индивидуально-психологические особенности(прежде всего особенности умственной деятельности), отвечающие требованиям учебной математической деятельности и обуславливающие на прочих равных условиях успешность творческого овладения математикой как учебным предметом, в частности относительно быстрое, легкое и глубокое овладение знаниями, умениями и навыками в области математики” 948, с.41). В своей работе мы, главным образом, будем опираться на исследования именно этого психолога, так как его исследования этой проблемы и на сегодняшний день являются самыми глобальными, а выводы наиболее экспериментально обоснованными. Итак, В.А. Крутецкий различает девять способностей (компонентов математических способностей):
Способность к формализации математического материала, к отделению формы от содержания, абстрагированию от конкретных количественных отношений и пространственных форм и оперированию формальными структурами, структурами отношений и связей;
Способность обобщать математический материал, вычленять главное, отвлекаясь от несущественного, видеть общее во внешне различном;
Способность к оперированию числовой и знаковой символикой;
Способность к “последовательному, правильно расчлененному логическому рассуждению”, связанному с потребностью в доказательствах, обосновании, выводах;
Способность сокращать процесс рассуждения, мыслить свернутыми структурами;
Способность к обратимости мыслительного процесса (к переходу с прямого на обратный ход мысли);
Гибкость мышления, способность к переключению от одной умственной операции к другой, свобода от сковывающего влияния шаблонов и трафаретов;
Математическая память. Можно предположить, что ее характерные особенности также вытекают из особенностей математической науки, что это память на обобщения, формализованные структуры, логические схемы;
Способность к пространственным представлениям, которая прямым образом связана с наличием такой отрасли математики, как геометрия.
Большинство психологов и педагогов, говоря о математических способностях, опираются именно на эту структуру математических способностей В.А. Крутецкого. Однако в процессе различных исследований математической деятельности учеников, проявляющих способности к этому школьному предмету, некоторыми психологами были выделены и другие компоненты математических способностей. В частности, нас заинтересовали результаты исследовательской работы З.П. Горельченко (20). Он отметил у способных к математике учеников следующие особенности. Во-первых, он уточнил и расширил компонент структуры математических способностей, называемый в современной психологической литературе “обобщение математических понятий” и высказал мысль о единстве двух противоположных тенденций мышления учащегося к обобщению и “сужению” математических понятий. В указанном компоненте возможно видеть отражение единства индуктивного и дедуктивного методов познания учащимися нового в математике. Во-вторых, диалектические зачатки в мышлении учащихся при усвоении новых математических знаний. Это проявляется в том, что почти в любом отдельном математическом факте наиболее способные учащиеся стремятся усмотреть, понять факт, ему противоположный, или, по крайне мере, рассмотреть предельный случай исследуемого явления. В-третьих, он отметил особое повышенное внимание к возникающим новым математическим закономерностям, противоположным ранее установленным. Мышление увлеченных математикой школьников отличается особой восприимчивостью к математическим контрастам, не связанными с предыдущими рассматриваемыми явлениями, не вытекающими из них, а иногда и вступающими в противоречие с ними. Указанная особенность математического поведения наиболее способных учащихся тесно связана с возникновением у них элементов диалектического мышления и вместе с ними служит большим стимулом, побуждающим учащихся к новым математическим раздумьям, усиливает и укрепляет их великий интерес к математике. Он так же отметил и особое увлечение способных учеников сложными математическими проблемами. З.П. Горельченко отмечает, что “подлинное увлечение серьезными математическими задачами характерно только для учеников, влюбленных в математику и проявляющих повышенные способности к успешным занятиям ею. Этим учащимся свойственно стремление попробовать свои силы прежде всего на содержательных задачах, которые решали многие математики и решение которых до сих пор не найдено“ (20, с.11). Таким образом, естественное влечение отдельных учащихся к наиболее трудным математическим задачам свидетельствует о склонности их к серьезной математической работе, о наличии у них способностей к успешным занятиям математикой. Отмечается и такая характерная особенность способных к математике учащихся, как переувлечение математической работой с невозможностью быстро выключиться из процесса математических размышлений. Как правило, для переключения на новую, не математическую работу увлеченным математикой учащимся требуется времени гораздо больше, чем ученикам, не отличающимся особой склонностью к такого рода занятиям. Одним из характерных признаков повышенных математических способностей учащихся и переходу их к зрелому математическому мышлению может считаться и относительно раннее понимание надобности аксиом как исходных истин при доказательствах. Доступное изучение аксиом и аксиоматического метода в значительной мере способствует ускорению развития дедуктивного мышления учащихся. Замечено также, что эстетическое чувство в математической работе у разных учащихся проявляется по-разному. По-разному различные ученики отвечают и на попытку воспитать и развить у них эстетическое чувство, соответствующее их математическому мышлению. Наиболее способных к математике учащихся отличает особый эстетический склад математического мышления. Он позволяет им сравнительно легко понимать некоторые теоретические тонкости в математике, улавливать безупречную логику и красоту математических рассуждений, фиксировать малейшую шероховатость, неточность в логическом строе математических концепций. Самостоятельное устойчивое стремление к оригинальному, нешаблонному, изящному решению математической задачи, к гармоническому единству формальных и семантических компонентов решения задачи, блестящие догадки, иногда опережающие логические алгоритмы, порою трудно переложимые на язык символов, свидетельствуют о наличии в мышлении чувства хорошо развитого математического предвидения, являющегося одной из сторон эстетического мышления в математике. Повышенные эстетические эмоции при математическом размышлении присущи в первую очередь учащимся с высоко развитыми математическими способностями и совместно с эстетическим складом математического мышления могут служить существенным признаком наличия математических способностей у школьников. Следует отметить и сравнительно большую скорость продвижения способных учащихся в овладении математическими знаниями и повышенную быстроту решения математических задач. Как правило, у наиболее способных к математической работе учащихся скорость восприятия и усвоения новых знаний повышенная. Считая это качество с большой вероятностью одним из необходимых, хотя и далеко не достаточным условием наличия математических способностей, следует рассматривать это условие, как компонент их структуры, причем такой, по которому наиболее легка первоначальная ориентация в обнаружении наиболее способных к математике учеников. И, наконец, выделяется такой компонент структуры математических способностей, как характерные особенности памяти учащихся способных к математике. Наиболее способные к математике в процессе математической работы ориентируют свое мышление прежде всего на хорошее понимание познаваемого и только затем на запоминание его. При этом они стремятся как можно глубже осознать, понять не только отдельные математические факты, но и основные идеи, связывающие их друг с другом и остальным усвоенным ранее математическим материалом, четко определить логическое место новых познаваемых фактов в общей системе определенных математических знаний.
Помимо указанных компонентов математических способностей, которые можно и должно развивать, необходимо учитывать еще и то, что успешность осуществления математической деятельности является производным определенного сочетания качеств:
Активного положительного отношения к математике, интереса к ней, стремления заниматься ею, переходящими на высоком уровне развития в страстную увлеченность.
Ряда характерологических черт; прежде всего трудолюбия, организованности, самостоятельности, целеустремленности, настойчивости, а также устойчивых интеллектуальных качеств, чувства удовлетворения от напряженной умственной работы, радость творчества, открытия и так далее.
Наличия во времени осуществления деятельности благоприятных для ее выполнения психических состояний, например, состояние заинтересованности, сосредоточенности, хорошего “психического” самочувствия и так далее.
Определенного фонда знаний, умений и навыков в соответствующей области.
Определенных индивидуально-психологических особенностей в сенсорной и умственной сферах, отвечающих требованиям данной деятельности.
Таким образом, под способностями к изучению математики мы будем понимать индивидуально-психологические особенности, отвечающие требованиям учебной математической деятельности и обуславливающие при прочих равных условиях успешность творческого овладения математикой как учебным предметом, в частности относительно быстрое, легкое и глубокое овладение знаниями, умениями и навыками в области математики.
1.3 Выраженность компонентов математических способностей в младшем школьном возрасте
Способности человека не бывают даны от рождения в готовом виде. Не подлежит сомнению, что все способности, в том числе и математические, развиваются в процессе взаимодействия ребенка с окружающим миром, под влиянием обучения и воспитания в самом широком значении этих слов. Не менее несомненно и то, что даже в относительно одинаковых условиях жизни и деятельности психические свойства детей неодинаковы и развиваются в разной степени. Известно, что способности детей развиваются по многим направлениям. Ребенок овладевает бытовыми навыками, речью, в дальнейшем знаниями основ наук, трудовыми умениями, то есть всем необходимым для жизни в обществе. При этом школьники, осваивая самые различные учебные предметы, обнаруживают не только те или иные специальные данные, но и широту своих возможностей.
Математические способности детей, как и другие стороны их личности, находятся в процессе становления и связаны с ходом возрастного развития. Возрастные особенности имеют самое непосредственное отношение к формированию способностей и индивидуальных различий по способностям. Очень важно именно в связи с вопросом о способностях не упускать из виду, что каждый детский возраст имеет свои особые, неповторимые достоинства. Именно в детские годы у каждого нормального ребенка наблюдается необыкновенная любознательность (так называемый возраст “почемучки”), свежесть и острота восприятия способность удивляться, яркость воображения (выступающая, в частности, в творческих играх), некоторые черты ясности, конкретности мышления и так далее. В этом плане младший школьный возраст, начальные годы собственно учения это период накопления, усвоения по преимуществу. Остановимся чуть подробнее на возрастных особенностях младших школьников и их развитии для развития способностей.
С точки зрения педагогов, младший школьный возраст это самый послушный возраст в жизни человека. Такие психологические особенности, как вера в истинность всего, чему учат, доверчивая исполнительность, являются важной предпосылкой начального обучения в школе, представляют собой как бы залог обучаемости и воспитуемости. С этими особенностями связан процесс быстрого приобщения детей к культуре, к ее исходным элементам. Известны также свежесть, яркость детского восприятия и чрезвычайная отзывчивость детей на окружающее. Ученики начальных классов всем существом откликаются на отдельные моменты высказываний учительницы; они очень живо реагируют на то, что является сколько-нибудь новым для них, на каждую шутку, на какой-нибудь пример из жизни. По самому незначительному, казалось бы, поводу у них возникает состояние полной заинтересованности и умственной активности. Ни один эпизод урока не оставляет их безразличными. Импульсивность детей, их склонность сразу реагировать придают занятиям стремительность и напряжение, обусловливают их насыщенность. Чтобы ученики не скучали, необходимы частые переходы от одних занятий к другим; чтобы внимание их было напряжено, не следует затягивать паузы.
Младшие школьники особо активно реагируют на непосредственные впечатления, доставляемые органами чувств. Наглядные пособия, применяемые на занятиях, всегда вызывают жадное любопытство. Готовность к приему все новых впечатлений сочетается у детей данного возраста с быстрым привыканием к новому. У них иногда можно наблюдать удивительно быстрые переходы от изумленного и любопытствующего восприятия к спокойно-деловому отношению. Наглядные пособия, вызывающие общий интерес, занимают учащихся в основном только один урок или одну перемену за это время ознакомление с ними уже закончено. По-видимому, такое быстрое привыкание (адаптация) и делает возможной чрезвычайную широту восприимчивости. Дети этого возраста необычайно легко осваиваются с непривычной обстановкой и новыми обстоятельствами.
Таким образом, острота, подвижность восприятия, наличие необходимых предпосылок словесного мышления, направленность умственной активности на то, чтобы повторить, внутренне принять, быстрота привыкания создают благоприятнейшие условия для обогащения и развития психики детей.
Детям этого возраста не свойственно задумываться о каких-либо сложностях и трудностях. Они особенно легко, беззаботно относятся ко всему, что не связано с их непосредственными делами. Приобщаясь к сфере познания, они продолжают играть. Усвоение многих понятий, заимствуемых у взрослых, в значительной степени внешнее, формальное, и пока не может быть иным. Показательно, что младшие школьники чаще всего не проявляют интереса к выяснению причин или смысла сообщаемых им правил. Как говорил Н.С. Лейтес, “они как бы чувствуют, что находятся у самого края бесконечной громады знания и не могут на все посягать” (55, с.37). Сама любознательность их в тех случаях, когда она касается объектов, выходящих за пределы их опыта, оказывается весьма относительной. Дети этого возраста любят задавать на уроках вопросы, но, как уже отмечалось, касающиеся главным образом того, что и как им полагается делать. В умственной пытливости учеников нет уверенности и настойчивости. Из сравнительно небольшого числа вопросов младших школьников, касающихся сущности явлений, далеко не все выражают действенную потребность в чем-то разобраться. Нередко вопросы, в особенности затрагивающие сложные понятия, произносятся для того, чтобы “себя показать”, или представляют собой случайный, на мгновение возникающий ход мысли. Чаще всего ”глубокомысленное вопрошание” лишь своеобразная умственная игра, к тому же не очень распространенная среди детей этого возраста. Дети овладевают внешней стороной, формой многого из того, сто остается им чуждым, не освоенным по существу. Доступное им наивно-формальное знание жизненно важных понятий оказывается включенным как бы в детский контекст, получает у них, прежде всего, игровое оформление. Очень существенно то, что наивно-игровой характер познания, органически свойственный детям рассматриваемого возраста, обнаруживает вместе с тем огромные формальные возможности детского интеллекта. При недостаточности жизненного опыта и лишь зачаточности теоретико-познавательных интересов особенно очевидно выступают умственная сила детей, их особая расположенность к усвоению.
Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8
