Этот подход предполагает введение операции интегрирования как операции, обратной дифференцированию. При этом формула Ньютона - Лейбница практически служит определением интеграла.
При этом подходе не требуется специально выводить формулу Ньютона - Лейбница, с помощью которой доказываются многие свойства интеграла. Однако в этом случае идея метода суммирования отходит на второй план. Недостаток этого подхода состоит в том, что появляются затруднения при изучении приложений интеграла. В итоге все - таки приходится рассматривать интеграл как предел интегральных сумм, чтобы получить единый, достаточно общий метод решения задач геометрии, механики, электродинамики и других разделов физики. Это рассмотрение можно провести либо сразу после введения понятия интеграла, объяснив учащимся, что не всегда возможно найти первообразную данной функции, либо непосредственно при изучении приложений интеграла, рассмотрев этот метод на одной из задач.
5) В учебнике Ш. А. Алимова «Алгебра и начала анализа» перед введением понятия интеграла рассматривается задача о нахождении площади криволинейной трапеции, где вычисление площади сводится к отысканию первообразной F(х) функции f(x). Разность F(b)- F(a) называют интегралом от функции f(x) на отрезке [a; b]. Далее автор рассматривает вычисление площади криволинейной трапеции с помощью интегральных сумм, говорит о том, что такой способ приближенного вычисления интеграла требует громоздких вычислений и им пользуются в тех случаях, когда не удается найти первообразную функции. В качестве примеров применения интеграла приведены задачи о вытекании воды из бака и нахождении работы силы. Задачи для самостоятельного решения однотипны и их очень мало.
Задачи приложений, приведенные в выше рассмотренных учебниках, это наиболее распространенные примеры применения интеграла, однако, они не описывают и половины всех возможных приложений интеграла в физике.
1.4. Физические модели при введении понятия интеграла
Рассмотрим выше описанные подходы на наиболее распространенных среди авторов учебников примерах физических моделей из разных разделов физики (механика, электродинамика, кинематика и др.).
Интеграл как предел интегральных сумм.
1. Работа переменной силы.
Довольно распространенный пример практической задачи, решение которой сводится к вычислению определенного интеграла, это задача о работе переменной силы. [2], [8]
Задача. Предположим, что на точку, движущуюся по оси х, действует некоторая сила F, направленная по той же оси. Мы знаем, что если сила F постоянна, то работа равна Fs, где s - путь, пройденный точкой. Предположим теперь, что F меняется от точки к точке и нам известно её значение F(х) в каждой точке х некоторого промежутка [a; b]. Как найти работу А по перемещению точки из а в b?
Разобьем отрезок [a; b] на n отрезков. Будем приближенно считать, что на каждом отрезке сила постоянна. В качестве постоянной силы на отрезке [xk-1; xk] можно взять значение функции F в одной из точек этого отрезка, например в точке xk. Работу на k - отрезке пути приближенно можно представить как произведение F(xk)Дxk, а на всем отрезке - суммой:
An=F(x1) Дx1+…+F(xn) Дxn. (1)
Таким образом, работу А по перемещению точки из а в b можно приближенно вычислять по формуле (1). Сумму (1) называют интегральной суммой функции F(x) на отрезке [a; b]. При этом предполагается, что функция F(x) непрерывна на отрезке [a; b] и может принимать любые значения. Если и длины отрезков разбиения стремятся к нулю, то интегральная сумма An стремится к некоторому числу, которое и называют интегралом от функции F(x) на отрезке [a; b] и обозначают .2. Задача о вычислении массы стержня.
Довольно популярна среди авторов учебников задача о вычислении массы стержня. [8], [10]
Задача. Дан прямолинейный неоднородный стержень, плотность которого в точке x вычисляется по формуле p=p(x). Найти массу стержня.
Рассмотрим массу стержня на отрезке [a; b]. Разобьём отрезок на n равных частей. Будем приближенно считать, что на каждом отрезке плотность постоянна. В качестве постоянной плотности на отрезке [xk-1; xk] можно взять значение функции р в одной из точек этого отрезка, например в точке xk. Массу на k - отрезке приближенно можно представить как произведение р(xk)Дxk, а на всем отрезке - суммой:
mn=p(x1) Дx1+…+p(xn) Дxn. (2)
Таким образом, массу стержня m можно приближенно вычислять по формуле (2). Точное значение массы стержня вычисляется по формуле.Далее вводится понятие интеграла, как предела суммы. 3. Задача о перемещении точки.При введении определенного интеграла, в качестве задачи, приводящей к данному понятию, наиболее рациональным и простым для понимания учащимися является рассмотрение задачи о перемещении точки, т. к. с обратной задачей школьники уже встречались при изучении применения производной в физике.Между положением (координатной) точки и её скоростью есть известная связь, лежащая в основе математического анализа: скорость является производной от координаты по времени. Сама операция нахождения производной называется дифференцированием. Обратная задача - нахождение положения точки по её скорости - решается с помощью другой математической операции, называемой интегрированием.Задача. Пусть по прямой движется материальная точка. Зависимость скорости от времени выражается формулой v=v(t). Найти перемещение точки за промежуток времени [a; b].Если бы движение было равномерным, то задача решалась бы очень просто: s=vt, т. е. s=v(b-a). Для неравномерного движения разобьём промежуток времени [a; b] на n равных частей. Рассмотрим промежуток времени [tk-1; tk] и будем считать, что в этот промежуток времени скорость была постоянной, такой как в момент времени tk: v=v(tk). Перемещение точки за промежуток времени [tk-1; tk] приближенно можно представить как произведение v(tk)Дtk. Найдем приближенное значение перемещения s:s ? Sn,где Sk=v(t1) Дt1+…+v(tk) Дtk.Точное значение перемещения вычисляется по формуле.Далее вводится понятие интеграла, как предела суммы. [10]Введение понятия интеграла как приращения первообразной ни в одном из рассмотренных учебников не используется, примеры данного метода введения будут приведены в следующей главе.1.5. Различные методы изучения приложений интеграла в
физике.
Авторы различных учебников по-разному выводят формулы при изучении приложений интеграла. Рассмотрим несколько различных методов получения (вывода) формул.I. Составление интегральных сумм.Масса стержня переменной плотности.Будем считать, что отрезок [a; b] оси Ох имеет массу с переменной линейной плотностью с(х)0, где с(х) - непрерывная на отрезке [a; b] функция. Общая масса этого отрезка,где a=x0<x1<…<xn=b, Дxi =xi+1-xi.Аналогично можно вывести формулы для нахождения работы силы, работы электрического заряда, давления жидкости на стенку, центра тяжести системы материальных точек. [11]Центр масс.При нахождении центра масс пользуются следующими правилами:Координата центра масс системы материальных точек А1, А2,…, Аn с массами m1, m2,…, mn, расположенных на прямой в точках с координатами x1, x2,…, xn, находится по формуле.2) При вычислении координаты центра масс можно любую часть фигуры заменить на материальную точку, поместив её в центр масс этой части, и приписать ей массу, равную массе рассматриваемой части фигуры.Пусть вдоль стержня - отрезка [a; b] оси Ох - распределена масса плотностью с(х), где с(х) - непрерывная функция. Покажем, что координата центра масс равна .Разобьем отрезок [a; b] на n равных частей точками a=x0<x1<…<xn=b. На каждом из n этих отрезков плотность можно считать при больших n постоянной и примерно равной с(xk-1) на k-м отрезке (в силу непрерывности с(х) ). Тогда масса k-отрезка примерно равна , а масса всего стержня равна . Считая каждый из n маленьких отрезков материальной точкой массы mk, помещенной в точке xk-1, получим, что координата центра масс приближенно находится так:
.
Теперь осталось заметить, что при числитель стремится к интегралу , а знаменатель (выражающий массу всего стержня) - к интегралу . [8]
Аналогично можно вывести формулу для нахождения работы силы.
II. Метод дифференциалов.
Электрический заряд.
Представим себе переменный ток, текущий по проводнику. Как вычислить заряд q, переносимый за интервал времени [a; b] через сечение проводника? Если бы сила тока I не менялась со временем, то изменение заряда q равнялось бы произведению I(b-a). Пусть задан закон изменения I=I(t) в зависимости от времени. Тогда на малом интервале времени [t; t+dt] можно считать силу тока постоянной и равной I(t). Тогда дифференциал заряда запишем так: dq=I(t)dt. Отсюда получаем, что весь заряд, переносимый за интервал времени [a; b] можно записать в виде интеграла:
.
Аналогично выводятся и формулы для нахождения работы силы, перемещения точки, вычисления массы стержня, электрического заряда и давления воды на плотину. [2]
III. Рассмотрение практической задачи.
Работа силы.
Вычислить работу силы F при сжатии пружины на 0,08 м, если для её сжатия на 0,01 м требуется сила 10 Н. [1]
По закону Гука сила F пропорциональна растяжению или сжатию пружины, т. е. F=kx, где x - величина растяжения или сжатия (в м), k - постоянная. Из условия задачи находим k. Так как при х=0,01 м и сила F=10 Н, то . Следовательно, F(x)=kx=1000x.
Работа силы F(x) при перемещении тела из точки а в точку b равна
.
Используя данные задачи, получаем:
(Дж).
Рассмотрим достоинства и недостатки каждого из выше перечисленных методов.
Если учащиеся знакомились с понятием интеграла как предела интегральных сумм, то первый метод изучения приложений будет наиболее логичным и понятным. Если же понятие интеграла вводилось с помощью приращения первообразной, то использование данного метода получения формул стоит обосновать для учащихся и рассмотреть довольно подробно с введением понятия интегральных сумм, что довольно громоздко, но необходимо.
Достоинством второго метода при введении понятия интеграла с помощью приращения первообразной состоит в том, что он не такой громоздкий, как первый и с его помощью можно вывести много формул даже в рамках урока. Однако, в таком случае вычисление интеграла с помощью интегральных сумм остается за рамками изучения, что является не совсем корректным. При введении понятия интеграла с помощью интегральных сумм рассмотрение данного метода при изучении приложений необходимо пояснить.
Третий метод применим только в классах курса А. Здесь нет необходимости выводить формулы, достаточно дать общее представление.
Подводя итоги первой главы можно сделать следующие выводы.
Как выяснилось, существуют различные методы введения понятия интеграла и изучения его приложений и выбор одного из них - задача учителя. Но для полноценного изучения интеграла, для возможности предоставить учащимся более полноценную, наиболее обоснованную и понятную картину рассматриваемого явления учителю необходимо использовать различные методы в совокупности, различную литературу, т.к. в рамках школьного учебника и методов, которые каждый из них предлагает учителю, это невозможно. В каждом из выше рассмотренных учебников есть свои недостатки при введении понятия и изучении его приложений, которые описаны выше. В некоторых из них не рассматриваются ни свойства, ни техника интегрирования.
Проанализировав школьные учебники относительно использования физических моделей при изучении понятия интеграла, можно сделать вывод, что при изучении свойств и техники интегрирования ни один автор не использует физических задач, а при введении понятия интеграла авторы ограничиваются использованием следующих физических моделей: вычисление работы переменной силы, перемещения точки, массы стержня переменной плотности. На самом деле существует огромный запас задач из других разделов физики, которые можно использовать при введении понятия интеграла, а при изучении его свойств обосновывать их с помощью физических задач, при рассмотрении техники интегрирования демонстрировать методы на примерах всё тех же физических задач. Таким образом, все понятия, свойства, методы не только будут предоставлены учащимся как факты, но будут и обоснованы, и продемонстрированы, и покажут межпредметную связь физики и математики.
Глава 2
Физические модели при изучении темы «Интеграл»
2.1. Введение понятия интеграла с помощью физических моделей
После анализа достоинств и недостатков школьных учебников математики относительно темы «Интеграл», после ознакомления с некоторыми учебниками физики и, учитывая психолого-педагогические и методические основы изучения интеграла, мною была разработана методика изучения понятия интеграла с использованием физических моделей в школьном курсе математики, представленная в данной главе.
Нижеследующая методика введения понятия интеграла с помощью задач физики разрабатывалась мной на основе следующего факта.
Физические величины, вычисляемые с помощью интеграла, можно разделить на два типа, в зависимости от того, как они естественно определяются. К первому типу относятся «первичные» величины (длина пути, масса, количество электричества, количество теплоты и т. п.), т. е. такие величины, для которых другие, связанные с ними («вторичные») величины (соответственно скорость, линейная плотность, величина тока, удельная теплоемкость и т. п.) определяются как производные этих величин. Ко второму типу относятся такие, которые определяются естественным образом как интегралы от «первичных» по отношению к ним величин (например, площадь, работа). Для первого типа величин интегральная формула для их вычисления может и должна быть доказана, опираясь на известное из предыдущего материала определение «вторичной» величины как производной от данной «первичной». Для второго типа интегральная формула появляется по определению.[5]
В соответствии с этим рассмотрим описанные в первой главе подходы на конкретных физических моделях из разных разделов физики (механика, электродинамика, кинематика и др.), уделив особое внимание второму подходу, поскольку в школьных учебниках он практически не используется.
При введении понятия интеграла как предела интегральных сумм довольно наглядным и понятным для учащихся является пример задачи о давлении жидкости на стенку.
Задача. Бассейн высоты H наполнен водой. Вычислить давление воды на прямоугольную стенку бассейна с основанием прямоугольника, равным а.
Разделим высоту Н на n равных частей (Дh). Стенка разделится на «элементы». Так как кубометр воды весит тонну, то давление столба жидкости высоты hi м, имеющего сечение 1 м2, равно hi тоннам.
Давление же воды на элемент, находящийся на глубине hi, равно произведению hi на площадь элемента: hia Дh. Обозначим произведение hia через F(hi). Тогда величина давления на всю стенку приближенно равна
Pn? F1(h1)Дh1+…+Fn(hn) Дhn.
Данную сумму называют интегральной суммой функции F(h) на отрезке [0; H]. При этом предполагается, что функция F(h) непрерывна на отрезке [0; H] и может принимать любые значения. Если и высоты «элементов» стремятся к нулю, то точное выражение суммы равно . Его называют определенным интегралом от функции F(h) на отрезке [0; H] и обозначают .
Далее понятие определенного интеграла обобщается на произвольную непрерывную функцию F(x) и произвольный отрезок [a; b].
Рассмотрим несколько задач с физическими моделями, где интеграл определяется как приращение первообразной.
1. Задача о перемещении точки.
Пусть v=v(t) скорость прямолинейного движения точки, заданная на некотором промежутке времени [t1; t2]. При этом пусть v(t)>0. Как выразится длина пути, пройденного точкой за данный промежуток времени?[5]
