Дитина не народжується з уже сформованою тією чи іншою системою мислення. Його логічна та образна складові розвиваються в процесі навчання, виховання залежно від того, у якому напрямку цей розвиток спрямовано. Щоб створити сприятливі умови такого розвитку, найперше, мають бути враховані вікові особливості дитини.
Психологи Б.Г. Ананьєв, Є.Ф. Рибалко, В.І. Зикова, Е.А. Фарапонова стверджують: сприйняття простору дітьми вже у дошкільному віці набуває певного розвитку. У них формуються елементарні вміння орієнтуватися в навколишньому світі, утворюються системи зв'язків між зоровим, слуховим і руховим аналізаторами. Так, уже на третьому році життя у дитини складається системний механізм просторової орієнтації. З її розвитком цей процес збагачується новими відношеннями та складовими.
Значно якісніше це сприйняття простору відбувається у молодшому шкільному віці, оскільки програмується навчанням і керується вчителем. Переважна більшість молодших школярів здатна «уявити» геометричні тіла (куля, куб, прямокутний паралелепіпед, конус тощо) як реальні об'єкти, що їм відповідають (м'яч, цеглина, пенал, лійка тощо). Діти спроможні розпізнати ці тіла на готових моделях, малюнках, назвати їх. У них рано формується сприймання зображень просторових фігур.
І.СЯкиманська, аналізуючи вікові відмінності учнів, що проявляються під час розв'язування задач на просторові перетворення, виділяє таку особливість: просторові образи молодших школярів досить рухомі та динамічні. У навчальній діяльності діти ознайомлюються не тільки з такими ознаками об'єктів, як колір, маса, форма тощо, а й з властивостями, що визначають положення цих об'єктів у тривимірному просторі.
Крім того, за належного навчання діти легко справляються з завданнями на перетворення елементів зображення, добре розрізняють геометричні форми, з бажанням, залюбки складають розгортки об'ємних предметів за їх наочним зображенням. Звідси випливає потреба у використанні наочності під час навчання дітей цього віку.
З переходом учнів до середніх класів (підлітковий вік) зміст їх навчальної діяльності ускладнюється, на основі чого відбувається дальший розвиток образного мислення. Глибше розуміння учнями властивостей предметів і явищ навколишнього світу проявляється тепер у формуванні абстрактних понять. З наочно-образного їх мислення поступово стає абстрактно-понятійним.
Підлітки, на відміну від молодших школярів, уже вміють розпізнавати та виділяти в предметах і явищах ті ознаки, які істотні для даного роду чи виду явищ. Проте варто зазначити, що формування абстрактних понять у цьому віці часто зводиться до формального засвоєння властивостей, їх відриву від конкретних об'єктів. Тому часто учні знають визначення, формули і добре оперують ними, та не можуть належно розкрити їх зміст і успішно застосовувати до розв'язування конкретних задач.
У процесі формального засвоєння знань природна здатність дітей до динамізму сприймання витісняється установкою на використання однієї, фіксованої позиції спостереження. Подолати це негативне явище можна включенням дітей в активну навчальну діяльність, залученням до виготовлення наочних посібників, зокрема моделей просторових фігур, їх розгорток з картону, різноманітного підручного матеріалу; вимірювання та обчислення їх розмірів, площ поверхонь, об'ємів. У ході такої роботи школярі не тільки оволодівають практичними навичками, а й глибше засвоюють зміст понять.
І.С. Якиманська, В.В. Давидов, Є.М. Кабанова-Меллер, Г.С. Костюк, Н.А. Менчинська, І.Є. Унтта та ін. зазначають, що для розвитку просторового мислення недостатньо враховувати лише вікові особливості учнів, необхідно брати до уваги їх індивідуальні відмінності.
Учні одного й того самого віку помітно відрізняються один від одного за своїми здібностями до просторового мислення. В одних під впливом певних факторів (інтерес до техніки, робота з «конструкторами», домашнє навчання і виховання та ін.) здатність до просторового мислення формуються ще до початку систематичного вивчення предметів, які висувають до нього спеціальні вимоги. Учитель, який працює з такими учнями, спираючись на наявні здібності, має забезпечити подальший розвиток просторового мислення, добираючи завдання відповідно до індивідуальних відмінностей. Є учні, які з певних причин до цього часу не досягли такого рівня. Тому перед учителем постає інша задача - формувати здібності учнів до просторового мислення. Зрозуміло, що учні, у яких така здібність не сформована, не можуть засвоювати знання на однаковому рівні з іншими. Тому слід диференціювати та індивідиалізувати роботу щодо розвитку наявних здібностей і щодо їх формування.
В учнів, які приступають до вивчення систематичного курсу геометрії, просторові (тривимірні) уявлення розвиненіші більше, ніж двовимірні, що недостатньо враховано під час складання програми з математики 5-9-х класів, особливо з курсу геометрії. Багатий досвід дітей, накопичений ними у практиці оперування реальними предметами, не знаходить свого безпосереднього застосування та подальшого удосконалення, оскільки, вивчаючи планіметрією, школярі оперують лише площинними зображеннями, тоді як тривимірні образи відходять на другий план.
Проведені нами дослідження переконливо вказують на наявність в учнів середніх класів уявлень про площину (поверхня столу, класної дошки, підлоги, вікна), паралелепіпед (сірникова коробка, цеглина), циліндр (склянка), конус (лійка), кулю (м'яч, глобус), призму (шестигранний олівець, намет). Діти намагаються дати наочне зображення таких фігур, проте не можуть цього зробити, тому що у них недостатньо сформовані просторові уявлення, відсутні відповідні навички та вміння. Основна причина названого явища очевидна. Вона полягає в тому, що під час вивчення планіметрії учнів привчили мислити «плоскими» образами.
Викладені вище міркування приводять до загальних висновків:
1) існують як фізіологічні, так і психологічні передумови вивчення елементів стереометрії в курсі математики основної школи, що не враховує сучасна система шкільної геометричної освіти, яка, будучи бездоганною з дидактичної точки зору, не відповідає періодам розвитку геометрії як науки (принцип історизму) і, певною мірою, гальмує розвиток мислення учнів;
2) є потреба у вивченні стереометричного матеріалу в основній школі, яке доцільно здійснювати на наочно-оперативному рівні в систематичних курсах математики (5-6-й класи) і планіметрії (7-9-й класи);
3) таке вивчення вимагає розробки відповідного методичного забезпечення (програми, дидактичні матеріали, інформаційні технології тощо).
1.2.2 Місце стереометричного матеріалу в курсі математики основної школи та вимоги до його засвоєння
Структурування навчального матеріалу з геометрії доцільно здійснити на основі таких принципів:
а) у курсі математики в 5-6-х класах треба ознайомити учнів з основними поняттями геометрії площини та простору на наочно-інтуїтивному та оперативному рівнях, формулами для обчислення площ поверхонь та об'ємів геометричних тіл, готувати учнів до вивчення систематичного курсу геометрії, суміжних дисциплін;
б) систематичне вивчення геометрії має починатися з 7-го класу курсом планіметрії, який містить дещо розширену порівняно з 5-6-м класами стереометричну частину;
в) стереометричний матеріал має органічно поєднуватися з аналогічним планіметричним матеріалом; властивості плоских фігур треба демонструвати на відповідних елементах стереометричних фігур, розкриваючи тим самим певні властивості останніх;
г) вивчення стереометричного матеріалу в основній школі має носити практичний характер, базуватися переважно на дослідах, інтуїції, експерименті; тим самим буде сформовано необхідний запас просторових уявлень як основи для вивчення систематичного курсу стереометрії в 10-11-х класах на науково-теоретичному рівні;
ґ) курс планіметрії треба завершити узагальнюючим розділом «Елементи стереометрії».
Уявлення про місце стереометричного матеріалу в курсі математики основної школи та його структурування дає таблиця 3 (див. додаток В).
Передбачається вивчення геометричного матеріалу з різним ступенем обґрунтованості та повноти. Мінімальний рівень підготовки описаний за допомогою завдань відповідно до класу та навчального матеріалу.
Обовязкові результати навчання
5-6-й класи
1. Точка, пряма, площина, промінь, відрізок.
Позначте точку і проведіть через неї три прямі.
Проведіть пряму і позначте на ній точки A, B, C. Назвіть відрізки, що утворилися.
Розгляньте рис. 1.
Рис. 1 Рис. 2
Які фігури зображено на ньому? Назвіть: три відрізки; три промені. Скільки прямих зображено на рисунку?
Назвіть відрізки і точки, зображені на рисунку прямокутного паралелепіпеда (рис. 2).
2. Довжина відрізка.
1. Накресліть пряму і позначте на ній точки A та B. Виміряйте відрізок АВ. Запишіть, чому дорівнює його довжина.
2. Накресліть відрізки AB та BC, якщо AB=5 см, BC=4 см 3 мм.
3. Виберіть серед запропонованих моделей модель куба. Виміряйте та запишіть довжину його ребра в сантиметрах (з точністю до десятих).
4. Виміряйте та запишіть довжини ребер сірникової коробки в сантиметрах (з точністю до десятих).
3. Кут та його елементи. Види кутів.
Позначте точку О. Проведіть промені ОА та ОВ. Яка фігура утворилася? Назвіть її елементи.
Серед оточуючих предметів назвіть ті, які містять прямий кут.
На рис. 3 зображено кути. Назвіть:
а) гострі кути;
б) прямі кути;
в) тупі кути; Рис. 3
г) розгорнуті кути.
4. Побудуйте прямий, гострий і тупий кути. Який з цих кутів найбільший (найменший)?
5. За допомогою косинця накресліть дві прямі, які при перетині утворюють прямі кути. На скільки частин вони ділять площину? Скільки розгорнутих кутів на рисунку?
4. Міра кута.
Виміряйте кути, зображені на рис. 3; запишіть результати вимірювань.
Накресліть кут, градусна міра якого: а) 65°; б) 115°.
Які з кутів гострі, а які тупі, якщо = 67°, =175°, =92°, =3°?
5. Паралельні та перпендикулярні прямі.
1. На рис. 4 зображено прямі. Які з них:
а) перетинаються; б) перпендикулярні; в) паралельні?
Рис. 4 Рис. 5
2. На оточуючих предметах назвіть (покажіть) елементи, які містять паралельні та перпендикулярні прямі.
3. Накресліть пряму. Поза прямою позначте точку та проведіть через неї за допомогою косинця пряму, перпендикулярну до даної прямої.
Назвіть у кубі, зображеному на рис. 5:
а) відрізки паралельних прямих;
б) відрізки перпендикулярних прямих.
6. Трикутник і його елементи.
1. Накресліть трикутник. Назвіть вершини, сторони, кути трикутника.
2. Назвіть трикутники, зображені на рис. 6.
Рис. 6 Рис. 7
3. Назвіть кілька предметів, що вас оточують, які мають форму трикутника.
4. Накресліть прямокутний, гострокутний, тупокутний трикутники.
5. Накресліть рівносторонній, рівнобедрений, рівносторонній трикутники.
6. Серед трикутників, зображених на рис. 7, назвіть:
а) гострокутні, прямокутні, тупокутні;
б) різносторонні, рівнобедрені, рівносторонні.
Накресліть гострокутний, прямокутний і тупокутний трикутники та проведіть усі їх висоти.
Накресліть довільний трикутник і виміряйте його кути. Знайдіть суму цих кутів.
7. Чотирикутники. Види чотирикутників. Прямокутник, квадрат, паралелограм, ромб. Висота паралелограма.
1. Які із зображених на рис. 8 фігур мають форму чотирикутника?
Рис. 8 Рис. 9
2. Серед зображених на рис. 9 фігур назвіть: а) прямокутник; б) паралелограм.
3. Назвіть кілька предметів, що мають форму прямокутника, квадрата.
4. Накресліть за допомогою косинця та лінійки паралелограм ABCD. За допомогою косинця проведіть його висоти з вершини A до сторони CD та з вершини B до сторони AC.
8. Коло. Круг. Кругові діаграми.
Накресліть коло. Позначте точкою О його центр. Проведіть радіуси ОА та ОВ. Як називають частину кола між точками A та B? Як називають частину круга між радіусами ОА та ОВ?
Назвіть кілька предметів, що мають форму: а) кола; б) круга.
За допомогою циркуля накресліть коло радіусом 3 см. Проведіть діаметр цього кола. Яка його довжина?
9. Довжина кола. Число .
Обчисліть довжину кола, радіус якого 2,5 см, вважаючи, що 3,14. Результат округліть до десятих.
Накресліть довільне коло. Виміряйте його радіус і обчисліть довжину кола.
Довжина діаметра земного екватора дорівнює 12756 км. Знайдіть довжину екватора, якщо 3,14. Відповідь округліть до десятків кілометрів.
10. Прямі призми: прямокутний паралелепіпед, куб, трикутна призма, прямий паралелепіпед.
1. Серед моделей геометричних тіл знайдіть:
а) прямий паралелепіпед; б) трикутну призму.
Серед оточуючих предметів назвіть ті, що мають форму прямокутного паралелепіпеда. Скільки граней має прямокутний паралелепіпед?
Серед оточуючих предметів назвіть ті, що мають форму прямої трикутної призми.
Виготовіть за готовими розгортками (рис. 10) відповідні фігури.
Рис. 10 Рис. 11
Які фігури зображено на рис. 11?
11. Піраміда та її елементи.
Серед даних моделей пірамід знайдіть:
а) трикутні піраміди; б) чотирикутні піраміди.
Які геометричні фігури є бічними гранями піраміди?
Скільки бічних граней має трикутна, чотирикутна, п'ятикутна піраміди?
5. Дано модель піраміди. Покажіть:
а) основу піраміди;
б) бічні грані піраміди;
в) вершину піраміди.
6. Яку фігуру зображено на рис. 12? Назвіть:
а) основу зображеної фігури;
б) вершину зображеної фігури;
в) бічні грані цієї фігури;
г) її бічні ребра.
12. Циліндр, конус, куля та їх елементи.
Серед даних моделей знайдіть: а) циліндр; б) конус; в) кулю.
Назвіть кілька предметів, що мають форму: а) циліндра; б) конуса; в) кулі.
Розгляньте модель циліндра. Що є його основами? Яка фігура є бічною поверхнею циліндра?
На моделі конуса покажіть його основу, вершину, бічну поверхню.
5. Яку фігуру зображено на рис. 13? Назвіть:
а) основи фігури; б) її твірну.
6. Назвіть основу, вершину, висоту, твірну зображеної на рис. 14 фігури.
Рис. 12 Рис. 13 Рис. 14
7. Серед даних розгорток (рис. 15) знайдіть: а) розгортку циліндра; б) розгортку конуса.
Рис. 15
13. Площа. Одиниці вимірювання площі.
1. Площа одного квадрата, зображеного на рис. 16, дорівнює 1 см2. Яка площа кожної фігури, зображеної на рисунку?
Рис. 16
2. На прямокутній ділянці зі сторонами 110 м і 75 м скосили траву. З якої площі скошено траву?
Знайдіть площу паралелограма з основою 16 дм і висотою 7 дм, опущеною на цю основу.
Знайдіть площу круга радіуса 54 см, вважаючи, що 3,14. Результат округліть до десятих.
Діаметр арени цирку 13,6 м. Яку площу має арена цирку (3,14)? Результат округліть до одиниць.
14. Об'єм. Одиниці вимірювання об'єму.
1. Фігури на рис. 17 складені з кубів, об'єм кожного з яких 1 см3. Знайдіть об'єм кожної фігури.
Рис. 17
2. Знайдіть об'єм прямокутного паралелепіпеда, якщо його виміри дорівнюють 7 см, 4 см, 3 см.
Виміряйте на моделі прямокутного паралелепіпеда його довжину, ширину та висоту. Обчисліть його об'єм.
Знайдіть об'єм кімнати, якщо її довжина 5 м, ширина 4 м, висота 3 м.
Знайдіть об'єм ями, що має форму куба, якщо її глибина 3 м.
Знайдіть об'єм призми, основою якої є прямокутний трикутник з катетами 5 дм і 6 дм. Висота призми дорівнює 8,5 дм.
Обчисліть об'єм піраміди, основою якої є квадрат зі стороною 7 см. Висота піраміди 11 см.
Знайдіть об'єм труби, що має форму циліндра, якщо її радіус 3 дм, а довжина 50 дм.
Знайдіть об'єм води, що вміщує лійка у вигляді конуса, якщо її діаметр 40 см, а висота 30 см.
10. Знайдіть об'єм кулі, радіус якої 8 см.
15. Поверхня геометричного тіла. Площа поверхні геометричного тіла.
Знайдіть площу поверхні куба, якщо довжина його ребра дорівнює 8 см.
Основою прямої призми є рівносторонній трикутник зі стороною 8 см; висота призми 13 см. Знайдіть площу бічної поверхні призми.
Скільки потрібно жерсті, щоб покрити дах у вигляді піраміди, основою якої є квадрат зі стороною 7 м, а висота її бічної грані 4 м?
Знайдіть площу повної поверхні циліндра, радіус основи якого дорівнює 5 см, а висота 14 см.
Знайдіть площу повної поверхні конуса, якщо висота конуса 18 см, а радіус основи 5 см.
Знайдіть площу поверхні кулі, радіус якої 8 см.
7-9-й класи
Елементи стереометрії
1. Прямі на площині та в просторі. Паралельність і перпендикулярність прямих на площині та в просторі.
1. На моделі прямокутного паралелепіпеда (або на його зображенні) покажіть по дві пари:
а) паралельних прямих; б) перпендикулярних прямих; в) мимобіжних прямих.
На каркасній моделі піраміди покажіть прямі, шо не перетинаються.
На моделі трикутної піраміди покажіть:
а) дві мимобіжні прямі; б) дві прямі, що перетинаються.
4. На зображенні прямої призми покажіть:
а) дві паралельні прямі; б) дві перпендикулярні прямі; в) дві мимобіжні прямі.
На зображенні чотирикутної піраміди покажіть дві мимобіжні прямі.
