Задачи курса:
Развитие интеллектуальных умений учащихся.
Расширение сферы математических знаний.
Реализация внутрипредметных связей.
Облегчение подготовки учащихся к экзаменам как в школе, так и при поступлении в общеобразовательные учреждения после окончания школы.
Элективный курс предназначен для учащихся 10-11х классов, выбравших для себя социально-экономическую область деятельности, в которой комбинаторика и теория вероятностей играют важную роль.
Основные формы проведения элективного курса - лекции учителя, практические занятия и доклады учеников.
В конце изучения каждой темы предусмотрено зачетное занятие в форме игры или мини-олимпиада.
Учащиеся, успешно освоившие программу, получат зачет.
Программа рассчитана на 16 учебных часов (1 учебный час - 40 минут), так как возрасте (15 - 17 лет) учащиеся владеют не малым багажом знаний, умений и навыков и способны усваивать информацию быстрее.
Учебно-тематический план
№ п/п | Тема занятий | Кол-во часов | из них | ||
Теория | практика | ||||
I. Простейшие комбинаторные задачи. Правило умножения и дерево вариантов. Перестановки. (4 ч) (Приложение 1) | |||||
1 | Правило умножения | 1 | 15 мин | 25 мин | |
2 | Дерево вариантов, перестановки | 1 | 10 мин | 30 мин | |
3 | Перестановки | 1 | 10 мин | 30 мин | |
4 | Обобщение знаний, закрепление пройденного | 1 | 10 | 30 | |
III. Выбор нескольких элементов. Сочетания (6 ч) (Приложение 1) | |||||
1 | Выбор двух элементов | 1 | 10 | 30 | |
2 | Число | 1 | 15 мин | 25 мин | |
3 | Выбор трёх и более элементов | 1 | 10 мин | 30 мин | |
4 | Обобщение знаний, закрепление пройденного материала | 1 | 10 мин | 30 мин | |
6 | Зачетное занятие | 2 | - | 40 мин | |
IV. IV. Случайные события и их вероятности (6 ч) V. (Приложение 1) | |||||
1 | Виды событий | 1 | 20 мин | 20 мин | |
2 | Классическое определение вероятности | 1 | 15 мин | 25 мин | |
3 | Вероятность противоположного события | 1 | 15 мин | 25 мин | |
4 | Вероятность суммы несовместных событий | 1 | 15 мин | 40 мин | |
5 | Обобщение знаний, закрепление пройденного материала | 1 | 10 мин | 30 мин | |
6 | Зачетное занятие | 1 | - | 40 мин |
С такими темами, как комбинаторика и теория вероятности тесно связана тема статистики (это видно из анализа учебников), поэтому после данного курса целесообразно проведение элективного курса по статистической обработке данных. Примерная разработка представлена ниже.
Статистика - дизайн информации (5 ч.) | |||||
1 | Варианты, их кратности. | 1 | 15 | 25 | |
2 | Многоугольники распределения данных. | 1 | 10 | 30 | |
3 | Кривая нормального распределения. | 1 | 15 | 25 | |
4 | Числовые характеристики выборки. | 1 | 15 | 25 | |
5 | Обобщение знаний. | 1 | 5 | 35 | |
Независимые повторения испытаний с двумя исходами (5 ч.) | |||||
6 | Схема Бернулли. | 1 | 20 | 20 | |
7 | Использование функции . | 1 | 15 | 25 | |
8 | Использование функции Ф. | 1 | 10 | 30 | |
9 | Обобщение знаний | 1 | 5 | 35 | |
10 | Зачётное занятие | 2 | 5 | 37 |
Опыт показал, что тема воспринималась учащимися 11х классов быстро и с интересом. А так же подтвердилось, что установленные нами временные рамки, ограничивающие одно занятие, соответствуют темпу восприятия материала учениками.
3.4 Анализ учебно-методических пособий для проведения элективных курсов по математике
В настоящее время литературы, связанной с элективными курсами сравнительно немного, так как данные курсы вошли в жизнь школы сравнительно недавно, и многие учителя (как показал анализ анкет) не проводят их, то есть нет опыта преподавания в данной области.
Мы обратились к анализу учебных пособий по проблеме исследования, представленных в продаже и доступных учителям города.
Данное пособие предназначено для учителей математики, для учеников общеобразовательных школ (10-11 классов) и студентов педагогических вузов.
Данное пособие знакомит учащихся с законами логики, а также с основными понятиями логики. Поможет научить решать логические задачи и применять эти умения при решении задач, а также в математических доказательствах, поможет развить логическое и абстрактное мышление.
В данном пособии рассмотрены достаточно глубоко следующие темы: предмет и задачи логики; понятие; суждения (высказывания); законы правильного мышления; дедуктивное умозаключение; математическая логика; индуктивное умозаключение; искусство доказательства и опровержения; гипотеза. В конце пособия можно найти тематический словарь терминов, вопросы для повторения, а также стихи и кроссворды, связанные с логикой.
Харламов, Л.Н. Самый простой способ решения неравенств. Избранные задачи по планиметрии. Решение задач с помощью графов. [Текст] / Л.Н. Харламов. - Волгоград: Учитель, 2008.
Данное пособие предназначено для учителей математики и учеников.
Содержание представленных элективных курсов предназначено для 8 - 9 классов в рамках предпрофильной подготовки: самый простой способ решения неравенств, избранные задачи по планиметрии, решение задач с помощью графов.
Цель, поставленная автором, - расширить спектр решаемых задач, познакомиться с новым способом моделирования условия задач - сетевым графом.
Григорьева, Г.И. Текстовые задачи: сложности и пути их решения. Алгебра, 9 класс. [Текст] / Г.И. Григорьева. - Волгоград: Корифей, 2002.
Книга предназначена для учителей математики, может использоваться учащимися.
Данное пособие по элективным курсам содержит учебно-тематический план, программу, разработку занятий курса, пособие предназначено для 9 классов общеобразовательных школ. Курс поможет расширить и углубить знания по математике, сделать выбор профиля в старшей школе.
Цель - формирование полного представления о математических знаниях, развитие интереса к математике.
Козина, М.Е. Элективные курсы по математике и информатике с экономическим содержанием, 10 - 11 класс. [Текст] / М.Е. Козина, Л.И. Малоцкая, Э. А Мурзагалиев и др. - М.: Глобус, 2007.
Пособие предназначено для преподавателей математики и информатики, учащихся, работников методической службы, студентов педагогических вузов.
В сборник вошли элективные курсы по математике и информатике для старших классов общеобразовательных учреждений. В пособии можно найти материал к занятиям, а также необходимую литературу для проведения занятия.
Итак, воспользовавшись любым пособием из вышеперечисленных, есть возможность найти необходимую вам информацию, если ваша тема, совпадает с темой из данных источников.
Заключение
В заключении нашего исследования можно сказать, что поставленные цели и выдвинутые задачи достигнуты и получены следующие результаты и выводы:
1. Профильное обучение направлено на реализацию личностно-ориентированного учебного процесса.
2. Система профильной школы состоит из базовых общеобразовательных, профильных и элективных курсов.
3. Организация обучения математике в различных профилях должна осуществляться в соответствии с психолого-педагогическими особенностями и стилем мышления учеников.
4. Элективные курсы позволяют поддержать изучение математики как профильного предмета на заданном профильном уровне или служат внутрипрофильной специализации обучения и построения индивидуальных образовательных интересов.
5. Выделяют несколько типологий элективных курсов: «по связи с предметом», по содержанию, по разрешаемым задачам.
6. Сформулированы основные требования к отбору задач для элективных курсов: преемственность, контрастность, полнота и др.
7. Разработаны методические рекомендации по проведению элективных курсов (отбор содержания, формы занятий, контроль знаний и др.).
8. Разработан элективный курс по математике для социально-экономического профиля, проведено 2 занятия в 11 классе школы №14 города Кирова.
Материал данной дипломной работы поможет любому учителю, желающему разработать свой элективный курс, а также воспользоваться уже разработанным элективным курсом.
Список литературы
1. Алгебра: Учебник для 7 кл. общеобразоват. учреждений [Текст] / Под ред. С.А. Теляковского. - М.: Просвещение: Дрофа - 2003. - с. 368.
2. Алгебра: Учебник для 8 кл. общеобразоват. учреждений [Текст] / Под ред. С.А. Теляковского. - М.: Просвещение: Дрофа - 2003. - с. 288.
3. Алгебра: Учебник для 9 кл. общеобразоват. учреждений [Текст] / Под ред. С.А. Теляковского. - М.: Просвещение: Дрофа - 2003. - с. 356.
4. Аксёнова, Э.А. Профильное образование школьников [Текст] / Э.А. Аксёнова // Образование в Сибири. - 2002. - №1. - с. 2-5.
5. Артёмова, Л.К. Профильное обучение: опыт, проблемы, пути решения [Текст] / Л.К. Артемова. // Школьные технологии. - 2003. - №4. - с. 22-32.
6. Артюхова, И.С. Проблема выбора профиля обучения в старшей школе [Текст] / И.С. Артюхова. // Педагогика. - 2004. - №2. - с. 28-33
7. Бабичева, Л. Школа будущего [Текст] / Лана Бабичева. // Лидеры образовния. - 2003. - №6. - с. 18-21.
8. Безденежных, Т. Профильное обучение: реальный опыт и сомнительные нововведения [Текст] / Т. Безденежных, В. Шмелёв. // Директор школы. - 2003. - №1. - с. 7-12.
9. Болотов, В.А. Перспективы перехода школы на профильное обучение [Текст] / В.А. Болотов. // Воспитание школьников. - 2004. - №1. - с. 2-8.
10. Болотов, В.А. Образование на старшей ступени во всех развитых странах является профильным [Текст] / В.А. Болотов. // Математика в школе. - 2003. - №9. - с. 4-8.
11. Буравова, Н.И. Профильное обучение в 9 классе [Текст] / Н.И. Буравова. // Математика в школе. - 2000. - №5. - с. 48-55.
12. Гузеев, И. С Содержание образования и профильное обучение в старшей школе [Текст] / И.С. Гузеев // Народное образование. - 2002. - №9. - с. 113-123.
13. Зубарева, И.И., Мордкович, А.Г. Математика: Учебник для 5 кл. общеобразовательных учреждений [Текст]. - М.: Мнемоза. - 2002. - с. 146
14. Зубарева, И.И., Мордкович, А.Г. Математика: Учебник для 5 кл. общеобразовательных учреждений [Текст]. - М.: Мнемоза. - 2003. - с. 158
15. Клёнов, Н. Как подготовить школу к профильному oбучению [Текст] / Н. Клёнов. // Народное образование. - 2003. - №7. - с. 106-114.
16. Колосов, В. Углублённое математическое образование [Текст] / В. Колосов. // Математика. - 2004. - №. - с. 2-7.
17. Колягин, Ю.М. Профильная дифференциация обучения математике [Текст] / Ю.М. Колягин. // Математика в школе. - 1990. - №4. - с. 21-27.
18. Колягин, Ю.М. О прикладной и практической направленности обучения математике [Текст] / Ю.М. Колягин, В.В. Пикал. // Математика в школе. - 1995. - №6. - с. 27-32.
19. Комбинаторика. // Математика. - 2004. - №17. - с. 22-27.
20. Концепция модернизации российского образования на период до 2010 года [Текст] // Нормативные документы в образовании. - 2003. - №2. - с. 2-21.
21. Концепция профильного обучения на старшей ступени общего образования [Текст] // Официальные документы в образовании. - 2002. - №27. - с. 3-12.
22. Концепция развития школьного математического образования [Текст] // Математика в школе. - 1990. - №1. - с. 2-13.
23. Крутецкий, В.А. Психология математических способностей школьников [Текст] / В.А. Крутецкий. - М.: Просвещение, 1968. - с. 431.
24. Крутецкий, В.А. Психология обучения и воспитания школьников: книга для учителей и классных руководителей [Текст] / В.А. Крутецкий. - М.: Просвещение, 1976. - с. 303
25. Кузнецов, А.А. Базовые и профильные курсы: цели, функции, содержание [Текст] / А.А. Кузнецов. // Педагогика. - 2004. - №2. - с. 28-33.
26. Макарычев, Ю.Н. Элементы статистики и теории вероятностей: Учебное пособие для учащихся 7-9 классов общеобразовательных учреждений [Текст] / Ю.Н. Макарычев. - М.: Просвещение. - 2003. - с. - 78
27. Марков, В.И. Деятельностный подход в обучении математике в условиях предпрофильной подготовки и профильного обучения [Текст] / В.И. Марков. - Киров. - 2006. - с. 200.
28. Математика: Учебник для 5 кл. общеобразоват. Учреждений [Текст] / Под ред. Г.В. Дорофеев, И.Ф. Шарыгин. - М.: Просвещение: Дрофа - 2003. - с. 368.
29. Математика: Учебник для 6 кл. общеобразоват. учреждений [Текст] / Под ред. Г.В. Дорофеев, И.Ф. Шарыгин. - М.: Просвещение. - 2000. - с. 416.
30. Математика: Арифметика, алгебра, анализ данных. 7 класс: Учебник для общеобразоват. учреждений [Текст] / Под ред. Г.В. Дорофеев. - М.: Дрофа. - 2003. - с. 288.
31. Математика: Арифметика, функции, анализ данных: Учебник для 8 кл. общеобразоват. учреждений [Текст] / Под ред. Г.В. Дорофеев. - М.: Просвещение. - 2000. - 356
32. Математика: Арифметика, функции, анализ данных: Учебник для 9 кл. общеобразоват. учреждений [Текст] / Под ред. Г.В. Дорофеев. - М.: Просвещение. - 2000. - 352
33. Методика преподавания математики в средней школе: общая методика [Текст]: учебное пособие для студентов педагогических институтов по физико-математической специальности / А.Я. Блох, Е.С.канин, Г. В, И.Г. Килина. - М.: Просвещение, 1985. - с. 336
34. Мордкович, А.Г., Семёнов, П.В. События. Вероятность. Статистическая обработка данных: Дополнительные материалы к курсу алгебры для 7-9 кл [Текст] - М.: Мнемозина. - 2002
35. Основные понятия комбинаторики [Текст] // Математика. - 2004. - №7. - с. 11-13.
36. Программа для общеобразовательных учреждений. Математика [Текст]. - М.: Просвещение, 1998. - с. 320
37. Романовская, М. Профильная школа [Текст] / Романовская и др. // Директор школы. - 2003. - №7. - с. 12-21.
38. Семёновых, А. Комбинаторика [Текст] / А. Семёновых. // Математика. - 2000. - №15. - с. 28-32.
39. Симонова, И.М. Профильная модель обучения математике [Текст] / И.М. Симонова. // Математика в школе. - 1997. - №1. - с. 32-36.
40. Терешин, Н.А. Прикладная направленность школьного курса математики: книга для учителя [Текст] / Н.А. Терешин. - М.: Просвещение, 1990.
41. Шестакова, Л.Г. Математика в гуманитарных классах. [Текст] / Л.Г. Шестакова // Математика в школе. - 1996. - №1. - с. 10-13.
42. Элективные курсы по математике [Текст]: учебно-методические рекомендации. / М.В. Крутихина, З.В. Шилова. - Киров, ВятГГУ. - 2006. - с. - 40
Приложение 1
Уроки 1, 2.
Простейшие комбинаторные задачи: правило умножения и дерево вариантов, перестановки
Цель: сформировать представление о таком разделе математики, как «Комбинаторика», сформировать умения по решению простейших задач комбинаторики.
Простейшие комбинаторные задачи: правило умножения и дерево вариантов, перестановки.
Пример: Начальник написал 10 писем и поручил своему помощнику надписать 10 конвертов с нужными адресами. Тот так и сделал, но дальнейшее перепоручил секретарше. Она выполнила это ответственное задание формально, то есть разложила письма по конвертам, не обращая внимания на адреса. Какова вероятность того, что ни одно письмо не попало в нужный конверт?
Оказывается, что вероятность такой масштабной ошибки превышает 36%.
Все мы довольно часто говорим «это невероятно», «более вероятно, что…», «это маловероятно», «можно утверждать со стопроцентной вероятностью, что…», когда пытаемся спрогнозировать наступление того или иного события. При этом обычно опираемся на интуицию, жизненный опыт, здравый смысл и т.п. Но очень часто такие приблизительные оценки оказываются недостаточными: бывает важно знать, на сколько или во сколько раз совершение одного случайного события вероятнее другого. Иными словами, нужны точные количественные оценки, надо уметь численно характеризировать возможность наступления того или иного события. Раздел математики, посвященный исследованию количественных оценок случайных событий, называется теорией вероятности.
На практике часто приходится выбирать из некоторого множества объектов подмножества элементов, обладающих теми или иными свойствами, расположение элементов одного или нескольких множеств в определённом порядке.
Так как речь идёт о комбинациях объектов - задачи называются комбинаторными, а область математики - комбинаторикой.
Её основателями считают Пьера Ферма и Блеза Паскаля. Эти французские учёные XVII века первыми нашли ключ к составлению количественной оценки вероятности события. Они использовали метод, который позже был назван комбинаторным анализом или комбинаторикой.
Знакомство с новым для вас понятием начнём с двух простых задач, одну из которых решаем вместе, а другую самостоятельно.
Пример 1. Сколько чётных двузначных чисел можно составить из цифр 0, 1, 2, 4, 5, 9.
Решение. Составим таблицу: слева от первого столбца поместим первые цифры искомых чисел, а выше первой строки - вторые цифры этих чисел. Так как в двузначном числе впереди может стоять любая цифра, кроме 0, то строки будут отмечены цифрами 1, 2, 4, 5, 9. Значит, в нашей таблице будет 5 строк. На втором месте в искомом числе должна стоять чётная цифра. Значит, столбцы будут отмечены цифрами 0, 2, 4. Всего в таблице будет 3 столбца.
0 | 2 | 4 | ||
1 | 10 | 12 | 14 | |
2 | 20 | 22 | 24 | |
4 | 40 | 42 | 44 | |
5 | 50 | 52 | 54 | |
9 | 90 | 92 | 94 |
Клетки таблицы заполнятся следующим образом: первая цифра числа равна метке строки, а вторая цифра - метке столбца, поэтому каждое из интересующих нас чисел попадёт в определённую клетку таблицы. По строкам и столбцам мы перечислим все возможные варианты, значит, искомых чисел будет столько же, сколько клеток в таблице, то есть 5*3=15.
Ответ: 15.
Здесь был осуществлён полный перебор всех возможных вариантов, или, как обычно говорят в таких случаях, всех возможных комбинаций.
Поэтому подобные задачи называют комбинаторными.
Пример 2. На завтрак Илья может выбрать плюшку, бутерброд, пряник или кекс, а запить их он может кофе, соком или кефиром. Из скольких вариантов завтрака Илья может выбирать? (самостоятельно).
Решение. Соберём все варианты в такой таблице:
Плюшка | Бутерброд | Пряник | Кекс | ||
Кофе | Кофе, плюшка | Кофе, бутерброд | Кофе, пряник | Кофе, кекс | |
Сок | Сок, плюшка | Сок, бутерброд | Сок, пряник | Сок, кекс | |
Кефир | Кефир, плюшка | Кефир, бутерброд | Кефир, пряник | Кефир, кекс |
В ней 3 строки и 4 столбца, они образуют 12 клеток. Так как выбор еды и напитка происходит независимо, то в каждой клетке будет стоять один из возможных вариантов завтрака и, наоборот, любой вариант завтрака будет записан в одной из клеток. Значит, всего вариантов столько же, сколько клеток в таблице.
Ответ: 12.
Видно, что, хотя примеры 1 и 2 очень разные, их решения совершенно одинаковые. Основаны они на общем правиле умножения.
Задачи:
1. Сколько двузначных чисел можно составить из цифр 1, 3, 5, 7, 9?
2. Сколько среди них чисел, кратных 5?
3. Сколько среди них чисел, кратных 11?
4. Сколько среди них чисел, кратных 3?
