У нас есть 7 городов и нужно составить маршрут по этим городам, то есть фактически, нам нужно рассмотреть все перестановки этих семи городов. Мы уже знаем формулу, поэтому получаем 7!.
Нужно дать несколько упражнений на вычисление выражений с факториалами, чтоб учащиеся лучше овладели навыками работы с ними. Верно ли, что:
а) 10!=10*9! б) 10!=2!*5! в) 12!/11!=12?
2) найдите значения выражения 16! : 14! * 3!
В некоторых задачах на подсчет числа перестановок накладываются дополнительные условия, и для решения задачи кроме подсчета числа перестановок необходимо произвести другие действия.
Сколько различных четырехзначных чисел, в которых цифры не повторяются, можно составить из цифр 0, 2, 4, 6?
Число всех возможных перестановок цифр 0, 2, 4, 6 будет 4!, но нужно обратить внимание учащихся на 0 и из этого числа перестановок нужно исключить те числа, которые начинаются с 0. Это всевозможные перестановки цифр 2, 4, 6, их количество равно 3!. Таким образом, число искомых чисел будет равно 4!-3!.
Имеется 9 различных книг, четыре из которых - учебники. Сколькими способами можно расставить эти книги на полке так, чтобы все учебники стояли рядом?
Сначала рассмотрим все учебники как одну книгу. Тогда на полке надо расставить не 9, а 6 книг. Это можно сделать 6! способами. В каждой из полученных комбинаций можно выполнить 4! перестановок учебников. Значит, искомое число способов расположения книг на полке равно произведению 6!*4!
В теории вероятностей вновь обращаемся к экспериментам. Можно использовать результаты экспериментов проведенных ранее, и провести новые опыты. Результаты проведенных экспериментов будут нагляднее, если по данным таблицы зависимость частоты появления результата «острие вниз» от количества экспериментов представить графически. Ось абсцисс - число экспериментов, ось ординат - частота появления результата «острие вниз».
Зная относительную вероятность события (частотную) можно прогнозировать частоту его появления в будущем.
Демографы утверждают, что вероятность рождения близнецов приблизительно равна 0,012. В скольких случаях из 10 000 рождений можно ожидать появления близнецов?
Мы знаем частоту события «родится близнец» и знаем количество всех исходов, тогда пользуясь формулой, можем вычислить количество таких исходов из 10 000. 10 000*0,012=120. То есть мы можем предположить, что из 10 000 рождений, в 120 случаях родятся близнецы. Хотя это вовсе не обязательно так.
За лето на Черноморском побережье было 67 солнечных дней. Какова частота солнечных дней на побережье за лето? Частота пасмурных дней?
Мы знаем, сколько раз происходили события «солнечный день» и «пасмурный день», чтобы вычислить их частоту необходимо знать количество всех летних дней. Но мы без проблем можем это сделать, так как точно знаем, сколько дней в июне, июле и августе вместе взятых, 92 дня.
В школьной лотерее распространили 400 билетов, из которых выигрышными являются 50.
а) Какова вероятность выигрыша при покупке одного билета?
б) Сколько следует приобрести билетов, чтобы вероятность того, что хотя бы один билет выигрышный, была бы равна 100%?
§4. Методика реализации стохастической линии в 8 классе.
Основные задачи:
· По статистическим данным, представленным в таблице необходимо уметь находить основные статистические характеристики.
· Познакомить с еще одной статистической характеристикой - медианой ряда, формирование умений по ее нахождению
· Рассмотрение равновероятных событий, и введение классического определения вероятности.
· Представление о геометрической вероятности
В 7 классе мы уже рассматривали примеры, в которых основные статистические характеристики находили по таблицам.
Рассмотрим таблицу №1, в которой содержатся оценки, полученные за последнюю контрольную работу учащимися 8 класса.
№ | Фамилия | Оценка | № | Фамилия | оценка | ||
1 | Алексеев | 4 | 8 | Коковин | 2 | ||
2 | Антонова | 5 | 9 | Леонтьев | 3 | ||
3 | Борисов | 3 | 10 | Петрова | 3 | ||
4 | Владимиров | 4 | 11 | Николаев | 3 | ||
5 | Григорьева | 2 | 12 | Сергеев | 5 | ||
6 | Иванова | 4 | 13 | Тарасова | 4 | ||
7 | Ильин | 4 | 14 | Яковлев | 5 |
По данной таблице вычисление статистических характеристик. Данная таблица позволяет нам найти некоторые статистические характеристики, но для их нахождения есть более удобный способ - составление таблицы частот.
То есть нужно подсчитать, сколько раз встречается каждая оценка в нашей таблице.
Оценка | Частота | Оценка | Частота | ||
«2» | 2 | «4» | 5 | ||
«3» | 4 | «5» | 3 |
Таким образом, теперь будет легче вычислить статистические характеристики. Например, для того чтобы вычислить среднее арифметическое не нужно складывать все числа из столбца «оценка», а по полученной таблице частот нужно каждую оценку умножить на ее частоту и сложить все получившиеся произведения. Также сразу видно, что модой будет оценка «4», так как она встречается чаще остальных.
В 8 классе вводится новая статистическая характеристика - медиана. Введем это понятие на примере: в таблице №1 показан расход электроэнергии в январе жильцами девяти квартир.
Таблица №1.
Номер квартиры | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | |
Расход электроэнергии в кВт/ч. | 85 | 64 | 78 | 93 | 72 | 91 | 72 | 75 | 82 |
Составим из полученных данных упорядоченный ряд:
64, 72, 75, 78, 82, 85, 91, 93.
В нем девять чисел. В середине ряда расположено число 78: слева от него записаны четыре числа и справа тоже четыре. Говорят, что число 78 является медианой.
Пусть к данным о расходе электроэнергии добавились данные для десятой квартиры: 10 квартира - 83 кВт/ч.
Получим новый упорядоченный ряд данных:
64, 72, 75, 78, 82, 83, 85, 91, 93. Этот ряд состоит из четного числа цифр и имеет два числа расположенных в середине - 78 и 82, тогда медианой этого ряда будет среднее арифметическое этих двух чисел - (78+82):2 = 80
Таким образом, медианой ряда, состоящего из нечетного количества чисел, называется число данного ряда, которое окажется посередине, если его упорядочить. Медианой ряда, состоящего из четного количества чисел, называется среднее арифметическое двух стоящих посередине чисел этого ряда.
В таблице приведены расходы студента за 4 дня:
День | Понедельник | Вторник | Среда | Четверг | |
Расходы | 18 | 25 | 24 | 25 |
Определить какая статистическая характеристика находится в каждом задании:
а) 18+25+24+25=92;
92:4=23;
___=23 р.
б) 18, 24, 25, 25;
(24+25):2 = 24,5;
___=24,50.
в) 18, 25, 24, 25;
___=25 р.
г) 25-18=7;
___=7 р.
Рассматриваем задачи, в которых требуется найти различные статистические данные (мода, размах, среднее арифметическое). В том числе и с использованием диаграмм.
Столбчатая диаграмма №1, показывает число книг, прочитанных каждым из ребят за летние каникулы. Ответьте на вопросы:
а) Кто из ребят прочел больше всех книг?
б) найдите размах этих данных.
в) Кто за летние каникулы не прочел ни одной книги?
г) Найдите среднее арифметическое этого ряда данных.
д) Найдите медиану этого ряда данных.
В предыдущих классах мы рассмотрели, как можно оценивать вероятность, исходя их статистических данных. Такая вероятность приближенно равна частоте наступления интересующего нас события при проведении большого числа одинаковых случайных экспериментов. Но частота дает лишь приближенное значение вероятности. И кроме того, не всегда реально осуществить такую серию экспериментов.
Существуют и другие способы вычисления вероятностей. Если все исходы случайного эксперимента равновероятны, тогда вероятности каждого такого исхода можно подсчитать, не проводя экспериментов. Примером является подбрасывание монеты. Этот эксперимент имеет два исхода - «орел» и «решка», и они равновероятны. Тогда можно сказать, что вероятность каждого из них равна Ѕ, почти такой же результат получен и при проведении экспериментов. Аналогично для «правильного» кубика, все шесть исходов равновозможны, тогда вероятность каждого из них равна 1/6.
Какова вероятность того, что при бросании правильного кубика выпадет четное число очков?
Мы знаем, что при бросании кубика возможны 6 равновероятных исходов. При этом только три из них приводят к наступлению события «выпадет четное число очков». Поэтому вероятность такого события равна 3/6 = 1/2.
Исходы наступления события, для которого вычисляем вероятность, будем называть благоприятными. И дадим такое определение вероятности:
Вероятностью Р наступления случайного события А называется отношение m/n, где п - число всех возможных исходов эксперимента, а m - число всех благоприятных исходов: Р(А) = т/п.
Это классическое определение вероятности.
Из 25 экзаменационных билетов по геометрии ученик успел подготовить 11 первых и 8 последних билетов. Какова вероятность того, что на экзамене ему достанется билет, который он не подготовил?
Общее число равновозможных исходов при выборе билетов на экзамене равно 25. Пусть А - событие «учащемуся достался билет, к которому он не готов». Число таких исходов равно 25-(11+8) = 6. значит Р(А) = 6/25 = 0,24.
Также рассмотрим задачи, в которых для подсчета числа благоприятных или всех исходов необходимо воспользоваться комбинаторными формулами.
На трехместную скамейку произвольным образом садятся двое мужчин и женщина. Какова вероятность того, что мужчины окажутся рядом?
Количество всех возможных исходов - это число перестановок трех элементов, а оно равно 3! = 6. Пусть А - событие «мужчины оказались рядом», количество благоприятных исходов для этого события равно четырем (когда оба сидят с одного края - 2 варианта и аналогично для другого тоже два варианта). Таким образом Р(А) = 4/6 = 2/3.
Кроме статистического и классического определений вероятности существует еще геометрическая вероятность. Рассмотрим следующий пример. На квадратном столе выделен черный квадратик. Как определить вероятность того, что фишка попадет в черный квадратик, если ее бросить на стол наугад.
Эта вероятность равно отношению площади черного квадрата к площади поверхности стола. Если, например, площадь стола равна 0,6мІ, а площадь черного квадрата - 0,04 мІ, то Р = 0,04/0,6 = 1/15.
Стрелок, не целясь, стреляет в треугольную мишень (рис.1) и попадает.
Какова вероятность того, что он попадет в «тройку»? «двойку»? «единицу»?
Возьмем площадь одного треугольника за 1. они все равны между собой, поэтому площадь всего большого треугольника = 16. Вероятность того, что он попадет в «3» равна 1/16. вероятность попадания в «2», будет равна 6/16 (общая площадь треугольников с «2» будет равна 6), и вероятность попадания в «1» равна 9/16. §5 Методика реализации стохастической линии в 9 классе.
Основные задачи:
· На основе всех ранее полученных знаний показать их применение для статистического исследования
· Познакомить с такими понятиями как генеральная совокупность, репрезентативная выборка, выборочное обследование. Интервальный ряд.
· Познакомить с новым видом графического представления результатов статистического исследования - полигонами и гистограммами.
В 9 классе рассматриваются статистические исследования, на примерах, близких жизненному опыту учащихся. Это - «Исследование качества знаний школьников», «Удобно ли расположена школа?» и «Куда пойти работать?».
Рассмотрим исследование качества знаний школьников, на примере изучения математической подготовки школьников. Предположим, что в одном из регионов решили выяснить уровень знаний девятиклассников по математике и составили контрольную работу из 6 заданий. Довольно сложно организовать во всех школах региона одновременное проведение, проверку и обработку полученных результатов. Но, как утверждает статистика, для получения вполне достоверной информации достаточно провести выборочное обследование, т.е. проверить лишь часть школьников.
Все девятиклассники региона будут представлять собой генеральную совокупность, о которой будем судить по репрезентативной (представительной) выборке. Обычно ограничиваются обследованием 5-10% всей изучаемой совокупности, при этом осуществляется случайный отбор, обеспечивая одинаковую вероятность попадания в выборку любого объекта генеральной совокупности.
Рассмотрим возможные результаты такого выборочного обследования по некоторому городу региона. Пусть в городе проживают 710 девятиклассников, из которых случайным образом было выбрано 50. против каждой фамилии выставили число верно решенных задач и получили следующий ряд:
4; 2; 0; 6; 2; 3; 4; 3; 3; 0; 1; 5; 2; 6; 4; 3; 3; 2; 3; 1; 3; 3; 2; 6; 2; 2; 4; 3; 3; 6; 4; 2; 0; 3; 3; 5; 2; 1; 4; 4; 3; 4; 5; 3; 2; 3; 1; 6; 2; 2.
На основании этого ряда трудно сделать какие-либо определенные выводы, и чтоб удобнее было анализировать информацию, в подобных случаях числовые данные ранжируют, располагая их в порядке возрастания. В результате ранжирования ряд примет такой вид:
0;0;0; 1;1;1;1; 2;2;2;2;2;2;2;2;2;2;2;2; 3;3;3;3;3;3;3;3;3;3;3;3;3;3;3;
4;4;4;4;4;4;4;4; 5;5;5; 6;6;6;6;6.
Мы видим, что ряд разбился на 7 групп. Каждая группа представляет определенный результат эксперимента: не решено ни одной задачи, решена одна задача и т.д. По этому ряду мы можем подсчитать частоту для каждого результата эксперимента. Например, частота появления события «девятиклассник не решил ни одной задачи» равна 3. Относительная частота равна отношению его частоты к объему выборки, т.е. 3/50, или 6%.
Для наглядности, рассмотрим табличное и графическое представление результатов.
Число верно решенных задач | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | |
Частота | 3 | 4 | 12 | 15 | 8 | 3 | 5 | |
Относительная частота (в %) | 6 | 8 | 24 | 30 | 16 | 6 | 10 |
Построим диаграмму:
Кроме диаграмм для графического представления результатов используют так называемые полигоны. Для их построения в системе координат отмечают точки, абсциссы которых - результаты случайного эксперимента, а ординаты - соответствующие им частоты. Для нашего случая полигон будет выглядеть следующим образом:
Так как мы полагаем, что выборка была репрезентативной, то на основании полученных результатов можно с достаточной уверенностью судить об уровне знаний всех девятиклассников города.
Например, в выборке 10% школьников решили все задачи. Значит можно ожидать, что и из 710 учеников примерно 10% справятся со всеми шестью заданиями. Это означает, что около 70 девятиклассников города обладают высоким уровнем математической подготовки.
Рассмотрим, какие еще выводы мы можем сделать на основе полученных данных. Считаем, что школьник, решивший не менее двух задач, достиг обязательного уровня знаний по математике. Судя по выборке таковых 12+15+8+3+5 = 43 человека, что составляет 86% от общего объема. Т.е мы можем предполагать, что 86% девятиклассников города имеют минимально необходимый уровень знаний.
Также мы можем найти основные статистические характеристики: моду - наиболее часто встречающийся результат (в нашем примере это результат «решены 3 задачи»), среднее арифметическое также равно 3, т.е. в среднем девятиклассник решает 3 задачи.
Чем же важны подобные исследования? Например, городское управление образованием могут интересовать средние результаты по школам, процент учеников, не справляющихся с программой. Высшие учебные заведения наверняка заинтересует количество учеников с высоким уровнем математической подготовки.
Преимущество обследования по репрезентативной выборке, в том, что не всегда выгодно проводить обследование всей генеральной совокупности, так как часто это бывает просто бессмысленно. Например, при проверке качества продукции, проверяя пропечен ли хлеб, годны ли консервы, абсолютно бессмысленно проверять всю продукцию, так как тогда придется вскрыть, а фактически испортить саму продукцию.
Рассматривая статистическое исследование вопроса «Удобна ли расположена школа?», сталкиваемся с тем, что имеем много различных значений, поэтому ранжирование не позволит нам выявить характерные черты ряда данных. В этом случае строят интервальные ряды, при построении которых можно по-разному разбивать их на промежутки. На основе полученных интервальных рядов строятся гистограммы.
Если позволяет время можно рассмотреть вопрос «Куда пойти работать?», в процессе рассмотрения которого вводятся такие понятия, как выборочная дисперсия и среднее квадратичное отклонение.
Заключение.
В данной дипломной работе была сделана попытка проанализировать возможность реализации стохастической линии в основной школе. Была проанализирована различная учебно-методическая литература по этой теме и на основе этого анализа сделаны конкретные выводы, с краткими методическими рекомендациями.
На основе этих выводов разработана методика реализации стохастической линии в основной школе по каждому классу, в каждом из которых рассматривается ведение всех направлений.
Данная методическая разработка лишь один из вариантов реализации стохастической линии в курсе основной школы. По данной теме сейчас активно ведется работа по всем направлениям, так как на данный момент осталось еще не мало нерешенных проблем связанных с реализацией этой линии в основной школе.
Данная работа может быть рекомендована для практического использования студентами-практикантами математического факультета и учителям математики. Этот материал может использоваться как на уроках, так и на факультативных и кружковых занятиях.
Библиография.
1. Бродский Я. Об изучении элементов комбинаторики, вероятности, статистики в школе // Математика. - 2004. - №31.
2. Бунимович Е.А. Вероятностно-статистическая линия в базовом школьном курсе математики // Математика в школе. - 2002. - №3.
3. Бунимович Е.А., Булычев В.А. Вероятность и статистика 5-9 кл.: пособие для общеобразовательных учебных заведений. - М.: Дрофа, 2002.
4. Бунимович Е.А., Суворова С.Б. Методические указания к теме «Статистические исследования». / Математика в школе.- 2003.- №3
5. Глеман М., Варга Т. Вероятность в играх и развлечениях. - М.: Просвещение, 1979.
6. Глотов Н.В., Глотова О.В. Вероятность и статистика в школе: взгляд биолога // Математика в школе. - 2002. - №4.
7. Гольдфаин И.И. Элементы теории вероятностей в современном школьном курсе биологии.// Математика в школе. - 2003. - №3.
8. Вентцель Е.С. Теория вероятностей. -М.,1964
9. Зубарева И.И., Мордкович А.Г. Математика. 5 кл.: учебник для общеобразоват. Учреждений. - М.: Мнемозина, 2003.
10. Зубарева И.И., Мордкович А.Г. Математика. 6 кл.: учебник для общеобразоват. Учреждений. - М.: Мнемозина, 2003.
11. Изучение теории вероятностей и статистики в школьном курсе математики. Программа для курсов повышения квалификации учителей [текст]/ Булычев В.А., Бунимович Е.А.// Математика в школе. - 2003.-№4.
12. Кордемский Б.А. Математика изучает случайности. Пособие для учащихся. М., «Просвещение», 1975.
13. Лютикас В.С. Факультативный курс по математике: теория вероятностей. Учебное пособие для 9-11 кл. сред. шк.- М.: Просвещение, 1990.
14. Макарычев Ю.Н. Алгебра: элементы статистики и теории вероятностей: учебное пособие для учащихся 7-9 классов общеобразовательных учреждений / Ю.Н.Макарычев, Н.Г.Миндюк. Под ред. С.А.Теляковского - М.: Просвещение. - 2003.
15. Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г. Изучаем элементы статистики. // Математика в школе. - 2004. - №5.
16. Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г. Элементы комбинаторики. // Математика в школе. - 2004. - №6.
17. Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г. Начальные сведения из теории вероятностей в школьном курсе алгебры. // Математика в школе. - 2004. - №7.
18. Математика: Учеб. Для 5 кл. общеобразоват. учреждений / Г.В.Дорофеев, И.Г.Шарыгин, С.Б.Суворова и др.; Под ред. Г.В.Дорофеева, И.Г.Шарыгина. - М.: Просвещение, 2000.
19. Математика. 6 класс: Учеб. для общеобразоват. учеб. заведений / Г.В.Дорофеев, И.Г.Шарыгин, С.Б.Суворова и др.; Под ред. Г.В.Дорофеева, И.Г.Шарыгина. - М.: Дрофа, 1997.
20. Математика. Арифметика. Алгебра. Анализ данных. 7 класс: Учеб. для общеобразоват. учеб. заведений / Г.В.Дорофеев, С.Б.Суворова, Е.А.Бунимович, Л.В. Кузнецова, С.С.Минаева; Под ред. Г.В.Дорофеева. - М.: Дрофа, 1997.
21. Математика. Алгебра. Функции. Анализ данных. 8 класс: Учеб. для общеобразоват. учеб. заведений / Г.В.Дорофеев, С.Б.Суворова, Е.А.Бунимович, Л.В. Кузнецова, С.С.Минаева; Под ред. Г.В.Дорофеева. - М.: Дрофа, 1999.
22. Математика. Алгебра. Функции. Анализ данных. 9 класс: Учеб. для общеобразоват. учеб. заведений / Г.В.Дорофеев, С.Б.Суворова, Е.А.Бунимович, Л.В. Кузнецова, С.С.Минаева; Под ред. Г.В.Дорофеева. - М.: Дрофа, 2000.
23. Мордкович А.Г, Семенов П.В. События. Вероятности. Статистическая обработка данных: дополнительные параграфы к курсу алгебры 7-9кл. общеобразоват. Учреждений. - М.: Мнемозина, 2003.
24. Мостеллер Ф. Пятьдесят занимательных вероятностных задач с решениями. - М., 1975.
25. О введении элементов комбинаторики, статистики и теории вероятностей в содержание математического образования основной школы / В.А.Болотов // Математика в школе - 2003. - №9.
26. Плоцки А. Вероятность в задачах для школьников: Книга для учащихся. - М.: Просвещение, 1996.
27. Реньи А. Трилогия о математике. - М.: Мир,1980
28. Сборник нормативных документов. Математика / составители Э.Д.Днепров, А.Г. Аркадьев. - М.: Дрофа, 2004.
29. Секей Г. Парадоксы в теории вероятностей и математической статистике. М.: Мир,1990
30. Селютин В.Д. О подготовке учителей к обучению школьников стохастике. [текст] // Математика в школе. - 2003.- №4.
31. Селютин В.Д. О формировании первоначальных стохастических представлений. [текст] // Математика в школе. - 2003. - №3
32. Студенецкая В.Н., Фадеева О.М. Новое пособие по теории вероятностей для основной школы. // Математика в школе. - 2004. - №7
33. Студенецкая В.Н., Фадеева О.М. Статистика и теория вероятностей на пороге основной школы. // Математика в школе. - 2004. - №6.
34. Тарасов Л.В. Мир, построенный на вероятности: Кн. Для учащихся. - М.: Просвещение, 1984.
35. Ткачева М.В. Анализ данных в учебнике Н.Я. Виленкина и других. // Математика в школе. - 2003. - №5
36. Ткачева М.В. Элементы статистики и вероятность: учебное пособие для учащихся 7-9 классов общеобразовательных учреждений / М.В.Ткачева, Н.Е.Федорова. - М.: Просвещение, 2004.
37. Ткачева М.В., Василькова Е.Н., Чуваева Т.В О готовности учащихся к изучению стохастики // Математика в школе. - 2003. - №9.
38. Ткачева М.В., Федорова Н.Е. Элементы стохастики в курсе математики VII-IX классов основной школы.[текст] // Математика в школе. - 2003.-№3
39. Тюрин Ю.Н. Теория вероятностей и статистика [текст] / Ю.Н.Тюрин, А.А.Макаров, И.Р.Высоцкий, И.В.Ященко - М.:МЦНМО: АО «Московские учебники», 2004.
40. Федосеев В.Н. Элементы теории вероятностей для VII - VIII классов средней школы / Математика в школе. - 2002. - №3.
41. Шихова А.П. Обучение комбинаторике и ее приложениям в средней школе. - Киров, 1994.
42. Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей в курсе математики основной школы / составитель В.И.Маркова. - Киров, 2004.
