Эвристические методы поиска способа решения задач
Вятский Государственный Гуманитарный Университет
Кафедра Методики преподавания математики
КУРСОВАЯ РАБОТАЭвристические методы поискаспособа решения задачВыполнила студенткаматематического факультета4 курса группы М - 43Гагаринова ОльгаНаучный руководитель:ассистент Шилова З.В.Киров 2003 СОДЕРЖАНИЕВведение.1. Структура процесса решения задач. Поиск способа решения задач.2. Эвристический метод решения задач, его понятие.3. Система эвристических методов Л.М. Фридмана/3.1 Метод разбиения задачи на подзадачи.3.2 Метод преобразования задачи.3.3 Метод моделирования.3.4 Метод вспомогательных элементов.4. Система эвристических методов М.Б. Балка/4.1 Аналогия.4.2. Индукция.4.3 Предельный случай.4.4 Соображения непрерывности.Заключение. ВВЕДЕНИЕВ настоящее время во всех сферах человеческой жизнедеятельности - науке, технике, народном хозяйстве и др. - возникают вопросы, проблемы нестандартного характера, разрешение которых зачастую невозможно осуществить посредством стандартных приемов, методов, ставших уже привычными. Условия жизни ставят всех нас перед необходимостью полного применения своих способностей и психо-физических ресурсов для решения сложных, нестандартных задач, что в итоге приводит к психическому и физическому перенапряжению, истощению жизненных сил. Такое положение вещей приводит нас к необходимости научиться решать подобные задачи с наименьшим объемом затрат. Известный психолог XX века В.Н.Пушкин по этому поводу высказывал свое мнение: “Человек должен совершить некоторую совокупность действий, решить ту или иную задачу, однако наличные условия не подсказывают ему способа решения этой задачи… . Чтобы найти выход из подобной ситуации, человеку необходимо создать новую, не имевшуюся у него ранее стратегию деятельности, т.е. совершить акт творчества”. В итоге встает вопрос об универсальном методе действий, который включает в себя продуктивный способ мышления, характер (направленность) действий, позволяющем разрешить поставленную проблему.
В науке давно известен и до сих пор совершенствуется такой метод. Название его - эвристический метод. Эвристическая деятельность является “разновидностью человеческого мышления, которая создает новую систему действий или открывает ранее неизвестные закономерности …”[7, стр.6].
С точки зрения американского математика Дердье Пойа цель эвристики - исследовать правила и методы, ведущие к открытиям и изобретениям.
Однако, по мнению того же В.Н.Пушкина, эвристика-наука исследует закономерности эвристической как творческой деятельности человека.
В виду этого несложно усмотреть, что эвристика, в частности, эвристические приемы, методы оказывают достаточно сильное влияние на развитие творческих способностей, и, что не менее важно, на развитие творческого мышления.
Поэтому оказывается очень важным прививать новому поколению эвристические знания, а значит, обучать в школе эвристическому мышлению. Лучше всего это можно осуществить на уроках математики, изучая “общие приемы поиска решения задач, пригодных к любым, в том числе и “нетиповым”, нестандартным задачам”, иначе, обучая владению эвристическими приемами (методами) решения математических задач.
В связи с этим, целью данной работы является изучение эвристических методов решения математических задач.
В процессе выполнения работы необходимо было решить следующие задачи:
? во-первых, для осознания сути решения математической задачи важно было изучить структуру решения задачи;
? было рассмотрено понятие эвристического метода решения задачи и трактовка его особенностей с различных позиций;
? далее нужно было изучить соответствующие эвристические системы методов решения задач русских математиков Л.М. Фридмана и М.Б. Балка;
? в работе излагаются обе системы эвристических методов, причем система методов Л.М. Фридмана иллюстрируется примерами задач, подобранными самостоятельно;
? кроме того, в работе сравниваются две данные системы эвристических методов на основе выделения особенностей каждой.
I. СТРУКТУРА ПРОЦЕССА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ. ПОИСК СПОСОБА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
Если под процессом решения задач понимать процесс, начинающийся с момента получения задачи до момента полного завершения ее решения, то, очевидно, что этот процесс состоит не только из изложения уже найденного решения, а из ряда этапов, одним из которых и является изложение решения.
Рассмотрим все этапы, составляющие весь процесс решения любой задачи.
При получении задачи первое, что нужно сделать, - это разобраться в том, что представляет собой задача, а именно, - каковы условия задачи, в чем состоит вопрос (требование) задачи, то есть, проводится анализ задачи.
Это первый этап решения задачи.
Часто такой анализ необходимо бывает как-то зафиксировать, записать, для чего обычно строится модель задачи в виде схематической записи, таблицы, графика, рисунка. Построение модели задачи является вторым этапом процесса решения.
Анализ задачи и построение ее схематической записи необходимы главным образом для того, чтобы найти способ решения данной задачи. Именно поиск способа решения данной задачи определяет третий этап процесса решения.
Когда способ решения найден, необходимо этот способ применить к данной задаче, то есть, осуществить решение. Изложение (осуществление)
решения есть четвертый этап.
После того как решение осуществлено и изложено (письменно или устно), необходимо убедиться, что это решение правильное, что оно удовлетворяет всем требованиям задачи. Для этого производят проверку решения, что составляет пятый этап процесса решения.
При решении многих задач, кроме проверки, необходимо еще произвести исследование задачи, а именно установить, при каких условиях задача имеет решение и сколько различных решений она имеет в каждом отдельном случае; при каких условиях задача вообще не имеет решения и т.д. Этот этап является шестым в процессе решения задачи.
Следующим - седьмым этапом является четкая формулировка ответа задачи.
Иногда бывает полезно провести познавательный анализ задачи и ее решения: чем интересна решенная задача, нет ли другого способа ее решения, нельзя ли задачу обобщить и т.д. Все это составляет восьмой - заключительный этап процесса решения.
Так весь процесс решения задачи можно разделить на восемь этапов:
1-й этап - анализ задачи;
2-й этап - построение модели задачи;
3-й этап - поиск способа решения задачи;
4-й этап - осуществление решения задачи;
5-й этап - проверка решения задачи;
6-й этап - исследование задачи;
7-й этап - формулирование ответа задачи;
8-й этап - познавательный анализ задачи и ее решения.
Эвристический метод решения задачи направлен на 3 этап - на то, как осуществляется поиск способа решения любой задачи. Отметим, что такой этап решения всегда должен присутствовать в решении любой задачи: для самой элементарной и тем более для той, которая сложнее. Также заметим, что при решении более сложных задач поиск способа решения является самым трудным и основным этапом решения.
Проиллюстрируем на примерах осуществление поиска решения стандартной задачи (опираться будем на полученную схему).
Задача 1. Решить систему неравенств:
Решение. 1) Для решения системы неравенств с одной переменной существует определение решения, которое является свернутым алгоритмом.
2) Алгоритм существует, поэтому в построении модели задачи необходимости нет.
3) Способ решения дан в определении решения системы неравенств с одной переменной: решением системы неравенств с одной переменной является значение неизвестной, при которой верно каждое из неравенств системы.
4) Данное определение развернем в пошаговую программу алгоритма, применяя которую к нашей системе, найдем ее решение:
1 шаг - решаем первое неравенство системы:
? ? ;
2 шаг - решаем второе неравенство системы:
? ? ;
3 шаг - решаем третье неравенство системы:
? ? ;
4 шаг - находим пересечение числовых промежутков
(-11;+?), (-?;3), (2;+ ?), (2;3].
5) Проверку решения и исследование задачи в данном случае не проводим.
6) Ответ задачи: решением системы неравенств является промежуток изменения x равен (2;3].
Следующий пример также иллюстрирует осуществление поиска решения задачи.
Задача 2. Выписать первые пять членов арифметической прогрессии, если а=10, d=4.
1) В задаче указан ее вид: имеем задачу на нахождение членов арифметической прогрессии.
2) Ищем способ решения задачи:
вспоминаем определение арифметической прогрессии:
числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предшествующему члену, сложенному с одним и тем же числом (разностью прогрессии), называется арифметической прогрессией.
на основе этого определения составляем программу решения задачи: нам известно, поэтому находить будем используя определение: и т.д.
3) Проводим решение задачи по найденному способу.
II. ЭВРИСТИЧЕСКИЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ И ЕГО ПОНЯТИЕ
Фридман Л. М. говорит, что для нестандартной задачи в курсе математики не имеется общих правил и положений, определяющих программу решения такой задачи [2, стр.48]. Однако многие выдающиеся математики и педагоги нашли ряд общих указаний-рекомендаций, которыми следует пользоваться при решении нестандартных задач. Такие указания общепринято называют эвристическими правилами, или эвристиками. В той же книге Фридман замечает, что эвристики в отличие от математических правил носят характер не обязательных рекомендаций, советов, следование которым может привести, а может и не привести, к решению задачи.
О.Б. Епишева несколько иначе трактует понятие эвристики: это “система указаний, пользуясь которыми можно безошибочно выполнить то или иное действие и составляющие, таким образом, ориентировочную основу действий по решению задач”.
В Большой советской энциклопедии под эвристическими методами решения задач понимают специальные методы решения задач, которые обычно противопоставляются формальным методам решения, опирающимся на точные математические модели.
Кроме того, “использование эвристических методов сокращает время решения задачи по сравнению с методом полного ненаправленного перебора возможных альтернатив” [3]. Авторы энциклопедии не утверждают, что эвристический метод решения универсален, а только относят его к “множеству допустимых решений”.
В результате решения огромнейшего числа разнообразнейших задач у большинства учащихся (и даже учителей) складывается неверное представление, что существует необозримое число различных методов и способов решения математических задач, и разобраться в этом многообразии очень сложно. Между тем уже с древнейших времен многие математики занимались поиском общих эвристик - общих эвристических схем, которые помогают в поиске способа решения конкретных задач. Разработкой таких эвристических схем занимался Папп (один из комментаторов Эвклида), великие математики Рене Декарт, Готфрид Лейбниц. Бернард Больцано составил интересное и подробное изложение эвристик. В XX веке этим занимался американский математик Д. Пойа. Кроме того, русские математики Л.М. Фридман и М.Б. Балк разработали эвристические системы для поиска решения математической задачи и успешно их использовали в своей практической работе с учащимися.
III. СИСТЕМА ЭВРИСТИЧЕСКИХ МЕТОДОВ Л.М. ФРИДМАНА
3.1 Метод разбиения задачи на подзадачи
Этот метод состоит в том, что сложную нестандартную задачу разбивают на несколько более простых подзадач, по возможности стандартных или ранее решенных, при последовательном решении которых будет решена и исходная сложная задача.
Метод разбиения задачи на подзадачи имеет три разновидности.
1) Разбиение условий задачи на части.
2) Разбиение требования задачи на части.
3) Разбиение области задачи на части.
1)Разбиение условий задачи на части.
Задача 3. Площадь треугольника АВС равна 30 см. На стороне АС взята точка D такая, что AD : DC = 2 : 3. Длина перпендикуляра DE на BC равна 9 см. Найти BC.Решение. Построим модель данной задачи.Дано: 1) ?ABC; S?ABC = 30 см.D АС и AD : DC = 2 : 3.2) DE BC, E BC, DE = 9 см.Найти: ВС.Внимательно проанализировав условия задачи, нетрудно заметить, что данную нам задачу можно с точностью разделить на две другие, более простые задачи. Переформулировать задачу в две другие возможно так:
1) Найти площадь треугольника BDC, если сторону AC ?ABC точка D делит в отношении AD : DC = 2 : 3 и S?ABC = 30 см?.
2) Найти сторону BC треугольника BDC, зная его площадь и длину высотыDE.
Решаем первую задачу.
Проведем отрезок BD в ?ABC. Треугольники
ABD и BDC имеют общую высоту BF, следовательно,Вплощади данных треугольников относятся как
длины соответствующих оснований, то есть:Е
S?ABD : S?BDС = 2 : 3 ? S?BDС = (?)S?ABC.
А значит, S?BDС = (?)•30 = 18 см. А С
Решаем вторую задачу.FD
Для вычисления площади треугольника имеем формулу - половина произведения основания на высоту, поэтому S?BDС = (?)BC•DE, то есть, 18 = (?)BC•9, откуда BC = 4см.
2)Разбиение требования задачи на части.
Задача 4. При каких значениях а корни уравнения
х + х + а = 0 больше а ?
Решение. Требование этой задачи очень сложное. Чтобы сделать суть данной задачи наглядной, разобьем это требование на более простые условия.
Во-первых, чтобы корни данного квадратного уравнения были больше а, они должны вообще существовать на множестве действительных чисел, а для этого дискриминант D должен быть неотрицательным. Поскольку коэффициент старшего члена квадратного уравнения равен единице, то ветви данной параболы будут направлены вверх. Тогда при любом значении а значение функции, заданной данным квадратным уравнением, в точке а всегда будет положительно. Это второе условие.Последнее условие, которое можно извлечь из иx иллюстрации к данной задаче, - абсцисса вершины параболы, всегда строго больше значения а.Таким образом наша задача разделилась на систему более простых задач:
1) ? ? ;
2) ? ? a (-?;-2) ? (0;+ ?);
3) ? .
Объединяя решения данных задач, получаем ответ: а < - 2.
3)Разбиение области задачи на части.
Задача 5. Решить уравнение х - х+ х- х+ 1=0.
Решение. Изучая данное уравнение, возможно заметить, что нечетные степени переменной х входят в уравнение с отрицательным знаком. Такое положение может натолкнуть на мысль разбить область решения данного уравнения на области, включая области отрицательных и положительных действительных чисел:
* при х < 0 левая часть уравнения всегда принимает положительные значения, поэтому она не может быть равна нулю. Это значит, что в области отрицательных чисел уравнение решений не имеет.
* область неотрицательных чисел будем рассматривать как два промежутка в отдельности: а) 0 х < 1; б) х = 1; в)х > 1.
а) преобразуем данное уравнение следующим образом:
х + х - х + 1 - х = 0, далее х + х(1 - х) + 1 - х = 0. Тогда при х < 1 левая часть всегда положительна, и поэтому не равна правой части.
б) при х = 1 левая часть уравнения равна 1 .
в) рассматривая уравнение на множестве х >1, также его преобразуем:
х(х - 1) + х (х - 1) +1 = 0 . Очевидно, левая часть всегда больше 1.
Поскольку во всех трех случаях левая часть не равна 0, то уравнение решений на множестве неотрицательных чисел также не имеет.
3.2 Метод преобразования задачи
Если разбить задачу на несколько подзадач невозможно, то следует попытаться ее как-то преобразовать, но, не меняя язык на котором была задана данная задача. Это значит, что если задача была алгебраической, то преобразованная задача тоже должна быть алгебраической, если она была геометрической то преобразованная задача тоже должна быть геометрической и т.д., поскольку если изменится язык, на котором изложена задача, то это уже будет не преобразование, а моделирование, которое будет рассмотрено ниже.
Задача 6. Решить уравнение х =5. (*)
Данное уравнение не степенное, так как показатель х степени - переменная; и не показательное, так как основание степени - переменная. То есть, имеем дело с уравнением неизвестного вида. Сводим данное уравнение к знакомому виду - показательному, используя подстановку:
? (*): х = 5 (**).
Страницы: 1, 2
