б) участвовало 10 команд, и каждая команда сыграла бы ровно 5 матчей;
в) участвовало 9 команд, и каждая команда сыграла бы 4 матча?
Рассуждения ученика: а) так как каждая команда сыграла 5 матчей, то всего было игр, то есть не целое число. Но в любом турнире всегда количество игр - целое число. Приходим к противоречию. Следовательно турнир устроить нельзя.
б) Подсчитаем количество игр: - целое число. Значит турнир устроить можно.
в) Подсчитаем количество игр: - целое число. Значит турнир устроить можно.
Анализ ошибки: В рассуждениях пункта а) никаких замечаний нет. Действительно, в любом турнире число игр целое (*). Есть сомнения в пунктах б) и в). Ученик использует утверждение, обратное (*): если при подсчете количества игр мы получаем целое число, то турнир можно устроить. На самом деле это утверждение не такое уж и очевидное и требует доказательства. Ошибка: использование вместо теоремы обратного к ней утверждения. Приведем пример того, что при выполнении прямого утверждения обратное ему не всегда выполняется:
Можно ли для пяти команд устроить турнир в один круг так, чтобы четыре из них сыграли бы по четыре игры, а одна - две?
Понятно, что такой турнир устроить нельзя. Если четыре команды сыграют по четыре игры, то и пятая при этом должна будет сыграть тоже четыре. Число игр при этом - целое число. Этот пример ясно показывает, что обратное утверждение не всегда верно.
Задача 3-8а. На окружности выбраны 10 точек. Сколько существует выпуклых четырехугольников с вершинами в этих точках?
1) Рассуждения ученика: У нас имеется десять точек, пронумеруем их от 0 до 9. Тогда каждому четырехзначному числу будет соответствовать ровно один четырехугольник. Значит четырехугольников столько же, сколько четырехзначных чисел с различными цифрами, а их 10987=40320.
Анализ ошибки: Школьник хотел использовать для решения задачи взаимнооднозначное соответствие, но при этом установил его неправильно. Верно замечено, что каждому четырехзначному числу соответствует ровно один четырехугольник. Для взаимнооднозначного соответствия еще требуется, чтобы каждому четырехугольнику соответствовало ровно одно число, а их 4!=24. О биекции и речи быть не может. К примеру, числам 1234, 2341, 3412, 4123, 4321, 3214, 2143, 1432 соответствует один и тот же четырехугольник «1234». Мало того, кроме выпуклых четырехугольников были подсчитаны самопересекающиеся «1342» и «1324» (это причина действия стереотипа, формирующегося в школе, так как школьники в основном работают только с выпуклыми фигурами), каждый из которых может быть представлен восемью различными четырехзначными числами.
Причина ошибки: ученик просмотрев лишь несколько четырехугольников, сопоставив ему четырехзначное число, сделал вывод о взаимнооднозначности двух множеств. Данная ошибка - своего рода аналог ошибки «замена прямой теоремы обратной». Если проверена однозначность соответствия в одну сторону, то в обратную сторону соответствие автоматически считается однозначным. Это не верно. Примеры хорошо опровергают такие рассуждения.
Целые числа. Задания №3, 4.
§1.
Задача 1. Выяснить, какие из следующих утверждений верны, а какие - нет:
б) если a и b не делятся на 6, то a+b не делится на 6;
г) если a делится на 6, b не делится на 6, то ab не делится на 6;
д) если a делится на 6, b делится на 10, то ab делится на 60.
Рассуждения ученика: в решениях всех пунктов используется один и тот же метод. Утверждение проверяется лишь для конкретной пары чисел, удовлетворяющей условиям задачи. Результат проверки служит ответом.
Анализ ошибки: Выделим три случая: 1) при проверке для конкретной пары чисел утверждение неверно; 2) при проверке для конкретной пары чисел утверждение верно, но существуют пары чисел, при которых утверждение ложно; 3) при проверке для конкретной пары чисел утверждение верно и для остальных пар чисел оно также выполняется. Получается, что в первом и втором случаях утверждение неверное, а в третьем - верное. Ученики лучше всего действуют в первом случае, так как им легче оперировать конкретными числами. От них требуется лишь подобрать опровергающий пример. Если же все рассмотренные примеры подтверждают утверждение, но перебраны не все возможные случаи, что для бесконечного их множества просто невозможно, то нет гарантии, что это третий случай, а не второй. Поэтому требуются работать с классом чисел, в связи с этим возникают трудности представления в общем виде.
Все выше сказанное подтверждается в решениях школьников.
В пунктах б) и г) ученик находит пару чисел, при которых условие не выполняется, и делает правильный вывод, что утверждение не верно. В пункте д) также рассматривается одна или две пары a и b, для которых конечно же все справедливо. Делается вывод о выполнении утверждения для всех остальных чисел, то есть производится незаконное обобщение.
Стоит отметить следующий момент: в отличие от пунктов б) и г), где приводится одна пара чисел, в пункте д) ученики, как правило, рассматривают несколько пар чисел. Они понимают, что недостаточно рассмотрения конкретных чисел. Но рассмотреть все пары чисел невозможно, и они ограничиваются несколькими. Значит основная проблема состоит в переходе от конкретных чисел, обладающих определенным свойством, к классу, как объекту. Школьник не может представить класс в алгебраическом виде. Задача проверяющего - помочь ему в этом. На самом деле в методическом пособии приведено определение делимости, из которого можно понять, как представить класс чисел, делящихся на конкретное число, в общем виде. Конкретных примеров представления нет. Поэтому можно дать такой комментарий: «В пункте д) Вами был рассмотрен лишь частный случай. Выполнимость утверждения для всех оставшихся пар чисел (а их достаточно много) остается под вопросом. Чтобы проверить ее, необходимо рассуждать в общем виде. Скажем, число a, которое делится на 6 можно записать, как 6k, где k - некоторое целое число.»
Задача 2. Докажите утверждения:
г) если и , то .
д) если , то .
г) Рассуждения учеников: Так как , то либо либо . Дальше рассматриваются эти варианты и отдельно для каждого доказывается, что .
Анализ ошибки: Это типичный неполный перебор, рассмотрены не все варианты, а конкретно - не рассмотрен вариант, когда a и b не делятся на c. Ученик не учел случай, когда c представляется в виде произведения двух множителей, на один из которых делится a, на другой делится b. Причина ошибки - отождествление в сознании ученика делителя с простым числом и использование соответствующих свойств. Это обобщение свойств простого числа на все числа легко опровергается контрпримером: a=3, b=6, c=9. Понятно, что при этом , но ни a и ни b на c не делятся.
д) Рассуждения учеников: Так как и , то .
Анализ ошибки: В методическом пособии выделено несколько свойств делимости целых чисел. Одно из них формулируется следующим образом: если a и b делятся на c, то a+b и a-b делятся на c. Ученик воспользовался этим свойством, но неправильно, он его изменил: если c делится на a и на b, то c делится на a+b и на a-b (*). Причина в следующем: делимость - антисимметричное бинарное отношение. В школе ученики встречались лишь с равенством (симметричным отношением) и только начинают подробно изучать отношение порядка. Не удивительно, что они путают числа, которые делятся, и числа, на которые делятся. Единственное правило на первых этапах изучения делимости - внимательно применять свойства при решении задач. Для опровержения данного свойства (*) достаточно привести контрпример: 10 делится на 5 и на 2, но на 3 число 10 не делится. Для того, чтобы ученики лучше понимали суть делимости чисел и свойств, рекомендуется самостоятельно доказать некоторые из них, приведенные в пособии.
Задача 5-в. При каких n 3n2+2n+2 делится на 4n+3.
Рассуждения ученика: Так как , то и или .
Если n = - 1, то 4n+3 = - 1, и .
Если n = 0, то 4 - n не делится на 4n+3.
Если n=1, то 4 - n не делится на 4n+3.
Если n = 4, то .
Ответ: n = - 1.
Анализ ошибки: В рассуждениях нет логики, ученик рассматривает лишь некоторые n. Как обстоит дело с оставшимися числами - неизвестно. Это неполный перебор. Школьник пытался рассуждать по аналогии с примером, разобранном в методическом пособии ([9], с. 5), но не довел решение до конца, не сделав последний шаг: . Сейчас остается рассмотреть четыре случая 4n+3 = 19; 1; -1; -19. Других вариантов нет.
Задача 3. Докажите, что сумма 2n+1 последовательных натуральных чисел делится на 2n+1.
Рассуждения ученика:
1+2+3+…+(2n+1)=(1+2n+1)(2n+1)/2=(n +1)(2n+1) делится на 2n+1.
Анализ ошибки: Рассмотрен частный случай. На его основе проведено необоснованное обобщение выполнения свойства для всех остальных последовательностей. Хотя в данном случае рассуждения и будут аналогичные, но ведь это надо еще показать. Тем более, что можно привести пример, когда для нескольких частных случаев свойство выполняется, а в общем не верно.
Например: (n+1)(n+2)(n+3)(n+4) делится на 120 при n=1, 2, 3, 4, а вот при n=5 выражение (n+1)(n+2)(n+3)(n+4) = 6789 на 120 уже не делится.
Задача 4. Остаток от деления нечетного числа на 7 равен 2. Найдите остаток от деления этого числа на 14.
Рассуждения ученика: 9 = 7 1 + 2. 9 = 14 0 + 9. Остаток равен 9.
Анализ ошибки: Это типичная ошибка при решении задач на делимость: необоснованное обобщение. Ученик рассмотрел лишь одно число, удовлетворяющее условиям. При каком-то другом числе может получиться остаток, отличный от 9. Недостаточно найти правильный ответ, надо еще доказать , что все остальные будут неправильными.
В задачах на делимость есть два наиболее часто употребляемых метода решения:
1) разбиение общей задачи на несколько частных (дизъюнкция). При этом нужно следить за тем, чтобы все случаи (задачи) были разобраны. Если какой-то из них не рассмотрен, то метод теряет свою суть и решение считается неверным. Неполный перебор часто встречается в работах школьников.
2) решение в общем виде. Нелегко дается учениками, так как им легче оперировать с конкретными объектами. Этот метод хорош тем, что исключает потерю части решения. Большинство свойств доказывается именно в общем виде. При его использовании происходит абстрагирование, частные характеристики объектов не учитываются, рассуждения опираются на общие свойства данного класса объектов. Красота метода в том, что, работая с одним объектом, мы тем самым охватываем весь класс. Но это одновременное оперирование всеми объектами сразу и отталкивает детей с их конкретным мышлением. В действительности же, представив число в общем виде, он работает с ним, как с конкретным числом, ничего принципиально нового нет. Задачи на делимость - это благодатная среда для обучения абстрагированию: рассуждения в общем виде здесь не очень сложны и в то же время достаточно ярко показывают эффективность данного метода.
Чтобы ученик действительно понял преимущество решения в общем виде, разберем решение конкретной задачи двумя методами.
Задача: При делении на 5 число дает остаток 3. Какой остаток дает число при делении на 15?
1) Решение перебором. При делении на 15 могут получиться следующие остатки: 0, 1, …, 14. Если остаток равен
0: то при делении на 5 будет остаток 0 3;
1: то при делении на 5 будет остаток 1 3;
2: то при делении на 5 будет остаток 2 3;
3: то при делении на 5 будет остаток 3 = 3;
4: то при делении на 5 будет остаток 4 3;
5: то при делении на 5 будет остаток 0 3;
6: то при делении на 5 будет остаток 1 3;
7: то при делении на 5 будет остаток 2 3;
8: то при делении на 5 будет остаток 3 = 3;
9: то при делении на 5 будет остаток 4 3;
10: то при делении на 5 будет остаток 0 3;
11: то при делении на 5 будет остаток 1 3;
12: то при делении на 5 будет остаток 2 3;
13: то при делении на 5 будет остаток 3 = 3;
14: то при делении на 5 будет остаток 4 3;
Получается, что существует три варианта остатка: 3, 8, 13.
2) Решение в общем виде. Так как при делении числа a на 5 остаток равен 3, то его можно записать в виде а = 5k + 3. Пусть остаток от деления числа a на 15 равен b, тогда a = 15n + b, где 15 b > 0.
Значит 15n + b = 5k + 3 b - 3 = 5k - 15n = 5(k - 3n).
Получается, что 12 b - 3 > - 3 и b - 3 делится на 5.
Возможны три варианта:
b - 3 = 0 | b = 3 | |
b - 3 = 5 | b = 8 | |
b - 3 = 10 | b = 13. |
Трудно не согласиться, что решение в общем виде красивее и короче.
§3.
Задача 2. Докажите, что число 111…1(восемьдесят одна единица) делится на 81.
Рассуждения ученика: Так как сумма цифр числа 111…1(восемьдесят одна единица) делится на 9, то само число делится на 9. Сумма цифр делится на 9 два раза, значит и число делится два раза на 9, значит оно делится на 81.
Анализ ошибки: По сути дела, ученик сформулировал признак делимости на 81 по аналогии с признаком делимости на 9. В этом ничего плохого нет. Но ученик не проверил, верен ли этот признак. Это необоснованная аналогия. Что касается признака делимости на 81, то он ошибочен (хотя для чисел, составленных из одних единиц, он все-таки выполняется). Достаточно привести контрпример: 81818181818181819=811010101010101010 + 9, сумма цифр равна 81.
Задача 3. Найдите какое-нибудь целое число, записываемое одними единицами, которое делится на 33…3 (сто троек).
1) Рассуждения ученика: ответ 11…1(триста единиц).
Анализ ошибки: в данной задаче ответ получить не так уж и сложно. Главное - обосновать его. Этого этапа у многих школьников нет. Нужно разъяснить, что в тех задачах, где требуется найти какое-то число: первое - надо его указать; второе - надо доказать, что оно удовлетворяет всем условиям задачи.
2) Рассуждения ученика: 111 делится на 3 (сумма цифр равна трем, значит, число делится на три); 111111 делится на 33 (на 3 делится, так как сумма цифр делится на 3; на 11, так как 111111 = 11 10101); …;11…1(триста единиц) делится на 33…3(сто троек).
Анализ ошибки: Рассмотрены частные случаи и на их основе делается незаконное обобщение на все множество объектов. Ученик предполагает, что 11…1 (3n единиц) делится на 33…3 (n троек). Это верное предположение, но ее еще надо обосновать. Либо описать доказательство в общем виде либо доказать конкретно для числа 11…1 (триста единиц). Для убедительности необходимо привести пример подобной задачи, в которой свойство не обобщается:
1 | 1 | |
112 | 121 | |
1113 | 12321 | |
11114 | 1234321 | |
… | … | |
123…(n-1)n(n-1)…21 |
Понятно, что в этом случае обобщение неверное, начиная с n=10.
Метод координат на прямой и на плоскости.
Задача 1-4. Подумайте, какая из двух точек правее:
б) A(c) или B(c + 2);
в) A(x) или B(x2);
г) A(x) или B(x - a).
б) Рассуждения ученика: Рассмотрим три случая: 1) c > 0. Если к положительному числу прибавить положительное число, то оно увеличится. Значит c < c + 2 и точка B правее точки A; 2) c = 0. Так как 2 > 0, то точка B правее точки A; 3) c < 0. Если к отрицательному числу прибавить положительное, то оно станет больше. Значит c < c + 2 и точка B правее точки A.
Обсуждение: Это не ошибка, это скорее недочет. Даже по тексту решения видно, что три выделенных учеником случая по сути ничем не отличается. Ведь любое число увеличится, если к нему прибавить положительное число. Ученик просто воспроизводил решение подобно тексту, изложенному в методическом пособии. Отчасти эта ошибка спровоцирована не совсем уместным примером. Разобранный в пособии пример (что правее: A(2x) или B(x)?) действительно требовал рассмотрения трех случаев, действия же ученика излишни. Безусловно следует обратить на это внимание ученика, спросить, «чем отличаются его действия в каждом из случаев?»
Стоит задать ученику следующий вопрос: 1) что происходит с точкой, если ее координату увеличить на 1, на 2? 2) попробуй решить задачу теперь, пользуясь геометрическим смыслом увеличения координаты точки.
в) Рассуждения ученика: часто приводятся следующий ответ: точки совпадают при x = 0 и x = 1, во всех остальных случаях точка B(x2) лежит правее точки A(x).
Анализ ошибки: Можно лишь догадываться, как рассуждал ученик. Понятно, что x2 - неотрицательное число, а значит при x < 0 точка B правее A. Почему он не обратил внимание на промежуток (0; 1)? Потому что в этом промежутке нет ни одного целого числа. Подобная ошибка уже была нами рассмотрена в §1, с. 15.. Комментарии проверяющего будут в этом случае аналогичными: «Вы дали неправильный ответ. Например при x = Ѕ, точка лежит все-таки правее, а не левее точки B. Подумайте, какие еще точки вы определили неправильно. Кроме того, перебор не является достоверным источником ответа. Чтобы в ответе действительно не было никаких сомнений, решите эту задачу алгебраически. Для этого вам надо понять: какое неравенство должно выполняться, чтобы точка A была правее точки B. И наоборот: какое неравенство должно выполняться, чтобы точка B была правее точки A».
г) Рассуждения ученика: Рассмотрим 9 случаев:
1) x > 0, a > 0: A правее B.
2) x > 0, a = 0: A и B совпадают.
3) x > 0, a < 0: B правее A.
4) x = 0, a > 0: A правее B.
5) x = 0, a = 0: A и B совпадают.
6) x = 0, a < 0: B правее A.
7) x < 0, a > 0: A правее B.
8) x < 0, a = 0: A и B совпадают.
9) x < 0, a < 0: B правее A.
Анализ ошибки: опять же, от x ничего не зависит. Координаты отличаются на a, поэтому все зависит лишь от a. Если a - положительное, то точка B получается из A при помощи сдвига вправо на a единиц, если a = 0, то точки совпадают, если a - отрицательное, то делаем сдвиг влево. Пояснения к подобной ошибке были написаны выше в пункте 1).
Задача 2-6. Запишите без знака модуля выражение , если a - отрицательное число?
Рассуждения ученика: = a.
Анализ ошибки: Поскольку в данном случае -а > 0, верный ответ: -а. Ошибку спровоцировал нечастый в математике случай синонимии. Знак "-" может выполнять три разные функции: 1) признака отрицательности числа (-2, -5, -2003 и др.) ; 2) символа операции вычитания (a-b и др.); 3) символа операции перемены знака (-a и др.). Ученик в данном случае принял операцию перемены знака за символ отрицательности, не приняв в расчет, что эту роль знак минус может играть только перед числом, а не перед выражением. Хорошо отражает операцию смены знака соответствующая функция на калькуляторе (+/-). Так как большинству школьников он доступен, то есть возможность привести пример, с которым ребенок может непосредственно поработать и лучше понять суть операции.
§3. Общие рекомендации по проверке работ
учеников 8 класса ВЗМШ.
В данном параграфе мы постараемся дать общие рекомендации по написанию указаний к наиболее часто встречающимся видам ошибок.
Опираясь на анализ работ учеников 8 класса заочной школы ВЗМШ, проведенный во втором параграфе, можно выделить следующие группы типичных ошибок:
1) Необоснованное обобщение.
В общем случае ошибку этого вида можно охарактеризовать следующим образом. Имеется класс объектов. Ученик проверил, что некоторые из них обладают определенным свойством, и на этом основании утверждает, что этим свойством обладают все объекты данного класса. Наша задача - дать такие указания, которые бы убедили ученика в необходимости доказательства данного свойства для каждого объекта этого класса. При решении данной проблемы возникает два случая.
а) Утверждение, полученное при обобщении, неверно. Тогда достаточно привести контрпример, опровергающий доказательство ученика. Подобные ошибки рассмотрены в §2: задачи 2-6 (Комбинаторика) и 2 (Целые числа, §3).
б) Утверждение, полученное при обобщении, верно. Это более сложная ситуация. Контрпримера нет. Голословное требование доказать утверждение, справедливость которого интуитивно ясна, зачастую кажется ученику неубедительным. Чтобы подкрепить его, необходимо наглядно показать ученику, что в иной ситуации его действия могли бы привести к неверному результату. Для этого нужно подобрать соответствующий пример как можно более похожей задачи (лучше просто поменять условия в данной задаче). Примеры подобных ошибок и соответствующие комментарии к ним рассмотрены в §2: задачи 3-5 (Комбинаторика), 3 (Целые числа, §2) и 3 (Целые числа, §3).
С другой стороны, существуют ситуации, когда рассуждения, по форме проведенные учеником только для некоторых конкретных примеров, по сути проходят и для общего случая. Тогда не стоит заострять внимание ученика на строгости доказательства, тем более, что часть восьмиклассников еще не готова перейти на такой уровень строгости. Для этого требуется время и соответствующие задачи, в которых действия в общем случае не так очевидны.
2) Ошибки при использовании аналогии.
а) При изучении новых понятий мы пытаемся встроить их в уже имеющуюся систему знаний. При этом происходит поиск «схожих» с данным понятием структур и автоматическое присваивание понятию тех или иных свойств. К примеру, покоординатное сложение векторов определяется с помощью сложения чисел. Таким образом происходит некий перенос уже изученного материла на новый, что безусловно сокращает время и придает знаниям более системный вид. С другой стороны, раз появляется новое понятие, значит у него есть что-то новое, свойственное только ему. Очень часто у школьников аналогия переходит в отождествление, они не чувствуют разницу между новым и уже изученным понятием. К примеру, операции объединения множеств и сложения чисел имеют общую природу, но при объединении важно то, из каких элементов состоит множество, а при сложении - нас уже будет интересовать лишь количественная сторона. Ученики часто этой разницы не замечают. Данная ошибка разобрана в §2, задача 1-7 (Комбинаторика). Задача проверяющего - показать эту разницу ученику. Сделать это можно при помощи графических иллюстраций, хорошо подобранных примеров, тех же самых аналогий.
б) Синонимия. Иногда в математике одним и тем же символом обозначаются различные понятия. Такое явление называют синонимией. Определить значение данного символа помогают объекты, вместе с которыми он применяется. Скажем, если мы говорим про отрезки и пишем , то в данном случае - это конгруэнция. Если же мы работаем с группами, то символ будет обозначать изоморфизм групп. В математике много таких символов, но их значение однозначно определяются «средой» их применения. Существует такие примеры и в школьном курсе математики. Например, знак «-» имеет три значения (см. задачу 2-6, §2, Метод координат на плоскости).
В решениях школьников встречаются ситуации, когда они неверно определяют значение данного символа. В этом случае: 1) указывается, что символ употреблен не в том значении; 2) приводятся все значения данного символа, а также ситуации, в которых он эти значения принимает.
в) Подмена теоремы обратным к ней утверждением. Ошибки данного типа возникают в основном из-за того, что формулировки теоремы и обратного ей утверждений похожи. Действительно: если прямая теорема имеет структуру AB, то обратная - BA. Ученики как правило обращают внимание лишь на содержание A и B. Поэтому они отождествляют эти два утверждения. Примером может служить всем известная теорема Пифагора. Очень часто ученики ссылаются на нее, используя на самом деле обратную теорему. Все бы было хорошо, если бы у всех теорем обратные к ним утверждения были также верными. Но это на так. Поэтому необходимо требовать доказательства обратного к теореме утверждения. Как и при обобщении возникают два случая: обратное утверждение неверное; обратное утверждение верное. В первом случае достаточно привести контрпример. Во втором - необходимо подобрать схожее с данным утверждение, обратное к которому было бы неверным. Примеры ошибок данного вида приведены в §2: задачи 3-6 и 3-8а (Комбинаторика).
3) Стереотипы. При неоднократном выполнении одних и тех же операций формируется набор действий, который с некоторого момента начинает применяться в стандартных ситуациях уже бессознательно. С одной стороны, это экономит силы и время. С другой, если не следить за границами применения стереотипа, может случиться, что он будет использован некорректно, как это случилось, например, в задачах 1-7 и 3-8а (Комбинаторика), разобранных в §2. В такой ситуации, кроме всего прочего, бывает полезно объяснить ученику психологическую природу его ошибки.
Литература
1. Информация, с сайта ВЗМШ: www.vzms.director.ru.
2. Общая психология: Курс лекций для первой ступени педагогического образования / Сост. Е.И.Рогов. - М.: Гуманит. изд. центр ВЛАДОС, 1998.
3. Работы учащихся Кировского отделения ВЗМШ.
4. Повышение эффективности обучения математике в школе: Кн. для учителя: Из опыта работы./ Сост. Г. Д. Глейзер. - М.: Просвещение, 1989.
5. В.М. Брадис, В.А. Минковский, А.К. Харчева. Ошибки в математических рассуждениях. М., 1959.
6. Поучительные задачи: методические разработки для учащихся ВЗМШ.
7. Методика преподавания математики в средней школе: Общая методика / А. Я. Блох, Е. С. Канин, Н. Г. Килина и др.; Сост. Р. С. Черкасов, А. А. Столяр. - М., Просвещение, 1985.
8. Введение в комбинаторику: методические разработки для учащихся ВЗМШ АПН СССР при МГУ (В.Л. Гутенмахер, Н.Б. Васильев - М.: изд. АПН СССР, 40 с.).
9. Целые числа: учебные задания для учащихся заочной математической школы при ЛГУ./ Сост.: Б.М. Беккер, В.М. Гольховой.
10. Метод координат. Часть 1, глава 1. Координаты на прямой. М., 1997. Пособие для учащихся ВЗМШ. Составлено на основе книги И.М. Гельфанда, Е.Г. Глаголевой и А.А. Кириллова “Метод координат” (изд. “Наука”) с использованием методических материалов ВЗМШ./ Сост.: Е.Г. Глаголева, Л.Г. Серебренникова при участии Р.Н. Соловьева и Н.Ю. Вайсман.
11. Гордин Р.К. Геометрия. Планиметрия. 7 - 9 классы: Пособие для учащихся - М.: Дрофа, 2001.
