Использование методов научного познания при изучении темы "Четырехугольники"
Федеральное агентство по образованию
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования
«Вятский государственный гуманитарный университет»
Физико-математический факультет
Кафедра дидактики физики и математики
Выпускная квалификационная работа
Использование методов научного познания при изучении темы «Четырехугольники»
Выполнил: студент V курса
очной формы обучения
физико-математического факультета
Овечкин Константин Андреевич
Научный руководитель:
к. пед. н., доцент кафедры
дидактики физики и математики
Шилова З.В.
Рецензент: ст. пр. кафедры
дидактики физики и математики
Ошуева Е.С.
Работа допущена к защите в ГАК
«___» ________2008 г. Зам. зав. кафедрой __________ М. В. Крутихина
«___» _________2008 г. Декан факультета ___________ Е. В. Кантор
Киров 2008
Оглавление
- Введение
- Глава I. Методы научного познания в обучении математике
- 1.1. Эмпирические методы познания
- 1.2. Логические методы познания
- 1.2.1. Анализ и синтез
- 1.2.2. Сравнение и аналогия
- 1.2.3. Обобщение, абстрагирование и конкретизация
- 1.2.4. Индукция и дедукция
- 1.3. Математические методы познания. Математическое моделирование
- Глава II. Методические аспекты изучения темы «Четырехугольники» в школьном курсе математики основной школы
- 2.1. Анализ учебников по теме «Четырехугольники» в школьном курсе математики основной школы
- 2.1.1. «Геометрия, 7-11», авт. А. В. Погорелов
- 2.1.2 «Геометрия, 7-9», авт. Л. С. Атанасян
- 2.1.3. «Геометрия, 8-9», авт. А. Д. Александров
- 2.1.4 «Геометрия, 7-9», авт. И. М. Смирнова, В. А. Смирнов
- 2.1.5. «Геометрия, 7-9», авт. И. Ф. Шарыгин
- 2.2. Методика изучения темы «Четырехугольники»
- 2.2.1. Введение понятия четырехугольник
- 2.2.2. Частные виды четырехугольников
- 2.2.3. Изучение свойств и признаков четырехугольников
- 2.3. Применение методов научного познания при изучении четырехугольников
- 2.3.1. Анализ и синтез
- 2.3.2. Сравнения и аналогии
- 2.3.3. Обобщение
- 2.3.4. Наблюдение и опыт
- 2.3.5. Индукция
- Глава III. Опытное преподавание
- Заключение
- Библиографический список
- Приложение 1
- Приложение 2
Введение
В современной школе в связи с появлением новых учебников, новых подходов к изложению материала, возрастает интерес как к математическому образованию в целом, так и к вопросам преподавания математики, в частности геометрии.
Изучение четырехугольников в курсе геометрии основной школы является разделом традиционным и достаточно важным во всех периодах школьного образования. В курсе геометрии 7-9-х классов данная тема является весьма актуальной, так как на рассмотренном материале, как на фундаменте, строят и изучают другие разделы геометрии: преобразование фигур, площади, многоугольники. Кроме того, изучение многогранников, площадей и объемов также базируется на этой теме.
Между тем при изучении темы «Четырехугольники» возникают определенные трудности:
· при решении задач на построение;
· при применении определений, свойств и признаков четырехугольников к решению практических задач, к доказательству теорем и т. п.
Соответственно возникает необходимость в поиске наиболее эффективных форм и методов работы с теоретическим и задачным материалом по данной теме. В связи с этим цель квалификационной работы: исследовать возможности применения методов научного познания при изучении темы «Четырехугольники».
Объектом исследования является процесс обучения геометрии в основной школе.
Предмет - тема «Четырехугольники» в курсе геометрии основной школы.
Для осуществления цели данного исследования сформулируем гипотезу: изучение темы «Четырехугольники» будет более эффективным, если:
· использовать пропедевтическую направленность;
· применять методы научного познания.
Цель, предмет и гипотеза исследования определили следующие задачи:
1. Раскрыть содержание понятий методов научного познания.
2. Изучить учебно-методическую литературу по теме исследования.
3. Показать применение методов научного познания при изучении математики.
Для реализации цели и задач были использованы следующие методы:
1. Изучение и анализ учебно-методической литературы теме исследования.
2. Анализ учебников по математике.
3. Проведение опытного преподавания и экспериментальной работы.
Глава I. Методы научного познания в обучении математике
Одно из центральных мест в методике преподавания математики занимают методы обучения. Знание методов обучения математике необходимо для организации эффективного обучения школьников.
Выделяют следующие методы обучения математики [26]:
· методы обучения, выделяемые по источнику знаний;
· методы обучения, определяемые уровнем познавательной деятельности учащихся;
· проблемное обучение математике;
· эвристический метод обучения математике;
· метод программированного обучения в преподавании математики;
· методы информатики в обучении математике;
· методы научного познания в обучении математике.
В этой главе мы подробно рассмотрим методы научного познания в обучении математики. Среди методов научного познания можно выделить следующие:
1. Эмпирические методы познания.
2. Логические методы познания.
3. Математические методы познания.
1.1 Эмпирические методы познания
К эмпирическим методам познания относятся наблюдение, описание, измерение и эксперимент. Наиболее часто эти методы применяются в естественнонаучных дисциплинах (химии, биологии, астрономии, физике, географии и т. д.). Для математики эти методы не являются характерными. История развития математики свидетельствует о том, что эмпирические методы сыграли неоценимую роль в зарождении математических знаний, становлении математики как самостоятельной теоретической дисциплины. Школьное обучение математике в определенной мере повторяет ее исторический путь развития. Использование средств наглядности и технических средств обучения, как правило, предполагает применение различных эмпирических методов. Часто имеет место одновременное использование методов наблюдения, описания, измерения и эксперимента. Это помогает избежать пассивной созерцательности, активизировать действия учащихся, вовлечь их в целенаправленную работу по использованию демонстрационных наглядных пособий, приборов, моделей и т. п.
Математика не является экспериментальной наукой, и, следовательно, опытное подтверждение не может служить достаточным основанием истинности ее предложений. Это, несомненно, верно, если под математикой понимать совокупность готовых, уже построенных дедуктивных теорий, но это неверно, если под математикой понимать мыслительную деятельность, результатом которой являются подобные теории. В последнем случае дедуктивная теория лишь одна фаза математики. Но она имеет еще две фазы - предшествующую дедуктивной теории фазу накопления фактов (опытную, интуитивную) и следующую за ней фазу приложений. Эти две фазы независимо от того, считают ли их собственно математическими или «околоматематическими», не менее важны в обучении, чем сама дедуктивная теория: первая - для понимания этой теории, вторая - для ее оправдания.
Исходя из задач, стоящих перед школой, речь идет об обучении не только готовым знаниям, но и методам познания, приводящим к этим знаниям. Поэтому естественно применять в обучении и те эмпирические методы познания, с помощью которых формулируются гипотезы, подлежащие обоснованию (или опровержению) уже иными методами.
Наблюдение, опыт и измерения должны быть направлены на создание в процессе обучения специальных ситуаций и предоставление учащимся возможности извлечь из них очевидные закономерности, геометрические факты, идеи доказательства и т, д. Чаще всего результаты наблюдения, опыта и измерений служат посылками индуктивных выводов, с помощью которых осуществляются открытия новых истин. Поэтому наблюдение, опыт и измерения относят и к эвристическим методам обучения, то есть к методам, способствующим открытиям.
Проиллюстрируем такое применение наблюдения, опыта и измерений несколькими примерами.
Если показать учащимся IV-V классов различные фигуры, в том числе окружающие нас предметы, среди которых одни обладают, а другие не обладают осевой симметрией, то наблюдение этих фигур позволяет заметить, что каждая из «симметричных» фигур делится некоторой прямой на две части так, что, если согнуть фигуру по этой прямой, одна ее часть полностью наложится на другую. Для каждой же из «несимметричных» фигур такой прямой нельзя найти.
После такого наблюдения «симметричных» фигур вокруг нас (архитектурных украшений, строительных и других деталей, некоторых листьев на деревьях и т. д.) можно перейти к дальнейшему изучению осевой симметрии с помощью специального опыта (эксперимента).
Каждому ученику предлагается согнуть лист бумаги так, чтобы одна часть листа упала на другую и образовалась линия сгиба. Затем предлагается выпрямить снова лист и отметить на нем произвольную точку А, не лежащую на линии сгиба, затем снова согнуть лист по той же линии сгиба и определить, глядя на свет через согнутый лист, с какой точкой совпала при этом точка А. Пусть это точка А1 Учащимся сообщают, что точки А и А1 называются симметричными относительно прямой l (линии сгиба), называемой осью симметрии этих точек. Для другой точки В, лежащей по другую сторону от линии сгиба, чем точка А, предлагается определить (опытным путем, с помощью сгибания листа) симметричную ей точку относительно той же оси l. Замечаем, что, если взять точку С на линии сгиба, она остается неподвижной при сгибании листа, то есть. не совпадает с какой-либо другой точкой листа. Мы говорим, что любая точка оси симметрии (линии сгиба) симметрична самой себе.
Приведем пример, когда опыт способствует открытию геометрического свойства и подсказывает путь его доказательства.
Экспериментально обнаружить, что сумма углов данного треугольника равна 180°, можно сразу же, как только учащиеся научатся измерять углы с помощью транспортира.
Учащимся предлагается измерить транспортиром углы начерченного в тетради треугольника и сложить результаты измерения. У некоторых сумма углов треугольника получается меньше 180°, у других - больше, но у всех результаты близки к 180°, а у некоторых даже «точно» 180°. Ученики догадываются, что должно получиться 180°, а другие результаты объясняются погрешностями измерения. Они «совершают открытие»: «Во всяком треугольнике сумма внутренних углов равна 180°».
Это предположение подкрепляется вторым опытом, подсказывающим идею доказательства (одного из возможных доказательств). У каждого школьника заготовлен вырезанный из бумаги треугольник. Учитель предлагает «оторвать» два угла и приложить их к третьему так, как он это делает сам на большом треугольнике. Учащиеся замечают, что получены три угла с общей вершиной А, расположенные по одну сторону от прямой. Следовательно, сумма этих углов равна 180°. С помощью этого опыта (уже без измерений) мы пришли к той же гипотезе, и всем кажется, что обнаруженное свойство достоверно. Но можно ли быть уверенным в том, что два луча, сходящиеся в точке А, образуют прямую линию? Ведь они могут образовать ломаную, так мало отличающуюся от прямой, что мы этого не заметим. Но в этом случае сумма углов уже не будет равна 180°.
Таким образом, проведенный опыт не заменяет доказательство. Он лишь подсказывает один из возможных путей доказательства открытого опытным путем свойства.
Важно отметить, что с помощью эмпирических методов (наблюдения, опыта, измерений) выполняется лишь начальный этап работы по математическому описанию реальных ситуаций. Получаемый математический материал (интуитивные понятия, гипотезы, совокупности математических предложений) подлежит дальнейшей обработке уже другими методами.
1.2 Логические методы познания
К логическим методам познания относятся: анализ, синтез, сравнение, аналогия, абстрагирование, обобщение, конкретизация, индукция, дедукция, классификация и др.
1.2.1 Анализ и синтез
Логические методы познания особенно необходимы при отыскании решения задач. Рассмотрим, например, следующую задачу: «Определить площадь четырехугольника, диагонали которого взаимно перпендикулярны и равны 6 и 8 см». Поиск ее решения целесообразно начать, пользуясь методами анализа и синтеза. В процессе анализа задачи выделяются все ее утверждения: 1) необходимо вычислить площадь четырехугольника; 2) четырехугольник имеет взаимно перпендикулярные диагонали; 3) диагонали четырехугольника равны 6 и 8 см.
Выделение этих утверждений из «целого» (задачи) - результат проведения анализа. Анализ направляется вопросами: «Что дано в задаче?», «Что еще дано в задаче?», «О чем еще говорится в задаче?», «Что в задаче требуется найти?». Важно иметь в виду, что при решении задачи анализ проводится не один раз: возможен повторный анализ, анализ с новой целью, с иной точки зрения и т. п.
Так, для выполнения чертежа необходим дополнительный анализ, устанавливающий порядок использования данных задачи для построения чертежа. Выполнение чертежа предполагает уже другой метод познания - метод синтеза. Ошибки в выполнении чертежа являются поводом для проведения анализа с более конкретной целью, то есть более углубленного анализа. Например, при решении рассматриваемой задачи учащиеся иногда четырехугольник изображают в виде параллелограмма. Избежать ошибки в выполнении чертежа можно, если начать построения не с четырехугольника, а с его диагоналей, изображая их произвольными взаимно перпендикулярными отрезками.
В итоге дополнительного анализа на первый план выдвигается условие перпендикулярности диагоналей, которое является основным в отыскании общей идеи решения задачи, необходимых вычислений. Возможны различные решения задачи (в зависимости от того, в каком направлении будет вестись анализ, на какие треугольники будет разбит данный четырехугольник). Например, нетрудно заметить, что данный четырехугольник состоит из четырех (или двух) треугольников и задача тем самым сводится к нахождению суммы площадей этих треугольников.
Анализ - логический прием, метод исследования, состоящий в том, что изучаемый объект мысленно (или практически ) расчленяется на составные элементы (признаки, свойства, отношения), каждый из которых исследуется в отдельности как часть расчлененного целого [8].
Синтез - логический прием, с помощью которого отдельные элементы соединяются в целое [8].
Очень часто умение мыслить связывают с умением анализировать. Это вполне правомерно, так как вывод следствий, выражающих новые свойства изучаемого объекта, очень часто требует анализа того, что уже известно о нем. В математике, чаще всего, под анализом понимают рассуждение в «обратном направлении», то есть от неизвестного, от того, что необходимо найти, к известному, к тому, что уже найдено или дано, от того, что необходимо доказать, к тому, что уже доказано или принято за истинное. В таком понимании, наиболее важном для обучения, анализ является средством поиска решения, доказательства, хотя в большинстве случаев сам по себе решением, доказательством еще не является.
Синтез, опираясь на данные, полученные в ходе анализа, дает решение задачи или доказательство теоремы. Анализ лежит в основе весьма общего подхода к решению задач (имеется в виду нестандартных задач, для которых нет соответствующего алгоритма), известного под названием сведения (редукции) задачи к совокупности подзадач. Идея такого подхода состоит именно в свойственном для анализа «размышлении в обратном направлении» от задачи, которую предстоит решить, к подзадачам, затем от этих подзадач к подподзадачам и т. д., пока исходная задача не будет сведена к набору элементарных задач. Что же понимают под «элементарными задачами»? Это, во-первых, задачи, решаемые за один шаг поиска, во-вторых, более сложные задачи (то есть не решаемые за один шаг поиска), решение которых уже известно из имеющегося опыта решения задач.
Из такого понимания элементарной задачи следует, что чем больший опыт решения задач, тем больше задач становятся для нас «элементарными» в упомянутом выше смысле, а следовательно, тем меньше объем поиска при решении новых задач, их сведения к элементарным, так как цель поиска состоит в получении элементарных задач, останавливающих процесс поиска.
Подход к решению задач, состоящий в сведении задач к совокупности подзадач, находит широкое применение в практике решения не только задач на доказательство.
Приведем в качестве примера арифметическую задачу для IV класса: «В двух бригадах совхоза участки под зерновые составляли 2000 га и 3000 га соответственно. Первая бригада собрала по 30 ц, вторая по 26 ц с гектара. Продано государству 5500 т с первого участка и 7000 т со второго. Остальное зерно засыпано в семенной фонд. Сколько зерна засыпал совхоз в семенной фонд?»
Обычно анализ задачи по существу представляет собой процесс сведения данной задачи к совокупности подзадач, доведенный до элементарных задач. Здесь элементарной считается задача, решаемая с помощью не более одного действия над данными задачи (то есть элементарной считается и задача, решение которой находится среди данных, например: «Сколько зерна продано государству с первого участка?»).
Возможен и иной путь поиска. Построение самого процесса решения (синтез) осуществляется последовательным решением подзадач в обратном порядке.
Наряду с анализом и синтезом в обучении математике часто используются аналогия, обобщение и конкретизация.
Принцип сознательности обучения ориентирует учащихся на осознание путей получения новых знаний. Это осознание формируется на основе практики целенаправленного применения методов научного познания. Полезным является также краткий методологический комментарий процесса поиска решения математических задач.
