В последних пунктах параграфа (п.п. 60 - 61) доказывается теорема о пропорциональных отрезках и рассказывается, как построить четвертый пропорциональный отрезок.
Таким образом, изучение четырехугольников идет по следующей схеме:
2.1.2 «Геометрия, 7-9», авт. Л. С. Атанасян
Тема «четырехугольники» изучается в начале восьмого класса. На её изучение отводится целая глава. Первый параграф данной главы посвящен многоугольникам. Дается определение многоугольника (п. 39), а также что называют вершинами и сторонами многоугольника. Говорится, что называется n-угольником. Приводятся примеры фигур, которые являются многоугольниками и тех, которые не являются многоугольниками. Дается определение соседних вершин и диагоналей многоугольника. В конце данного пункта говорит о том, что любой многоугольник разделяет плоскость на две части (внутренняя и внешняя область многоугольника).
В следующем пункте первого параграфа (п. 40) автор рассказывает о выпуклых многоугольниках. Приводит пример выпуклого и невыпуклого многоугольника. Рассматривая выпуклый n-угольником A1A2A3…An-1AnA1 автор говорит, что углы AnA1A2, A1A2A3, …, An-1AnA1 называются углами этого многоугольника и показывает чему равняется сумма углов выпуклого n-угольника.
Последний пункт данного параграфа (п. 41) посвящен четырехугольнику. Автор не дает определения четырехугольника, он просто говорит, что четырехугольник имеет четыре вершины, четыре стороны и две диагонали. Дает определение противоположных сторон и вершин. Приводит пример выпуклого и невыпуклого четырехугольника. На основании суммы углов выпуклого n-угольника делается вывод, что сумма углов выпуклого четырехугольника равна 360?.
Второй параграф посвящен параллелограмму и трапеции. При изучении параллелограмма (п. 42) дается его определение, и доказываются его свойства. Л. С. Атанасян предлагает другой способ доказательства свойств параллелограмма по сравнению с учебником [14]. Данные доказательства являются меньшими по объему и легче усваиваются учениками.
В следующем пункте параграфа (п. 43) рассказывается о признаках параллелограмма. В отличие от А. В. Погорелова Л. С. Атанасян рассматривает три признака параллелограмма. Это позволяет быстрее решать задачи на доказательство.
Последний пункт параграфа (п. 44) отводится трапеции. В этом пункте дается определение трапеции и рассматриваются виды трапеции. В этом учебнике также предлагается для изучения теорема Фалеса, но в явном виде она не выделена отдельным пунктом (по сравнению с учебником [14]).
Третий параграф посвящен прямоугольнику, ромбу и квадрату. Определение прямоугольника и ромба даются на основе параллелограмма (аналогично с учебником [14]). Так как прямоугольник и ромб являются параллелограммом, то они обладают всеми свойствами параллелограмма (этот факт не оговаривается в учебнике [14]). Также в учебнике рассматривается особые свойства прямоугольника и ромба. Определение и свойство квадрата рассматриваются подобно, что и в учебнике [14], добавляются особые свойства квадрата.
В конце параграфа отдельным пунктом (п. 47) выделена осевая и центральная симметрия. В конце главы предлагаются задачи на отработку ЗУН.
Изучение четырехугольников в учебнике Л. С. Атанасяна идет по следующей схеме:
2.1.3 «Геометрия, 8-9», авт. А. Д. Александров
Тема «Четырехугольники» изучается в восьмом классе в главе «Площади многоугольных фигур».
В первом параграфе рассказывается о многоугольниках и многоугольных фигурах. В первом пункте данного параграфа дается определение ломанной, рассматриваются различные особенности ломанной (замкнутая, пересекающая сама себя, косающая сама себя, простая ).
Следующие два пункта рассказывают о многоугольниках. Дается определение многоугольника, его сторон, вершин, диагоналей. Рассматривают выпуклые и невыпуклые многоугольники. Автор отмечает, что из всех многоугольников самые важные - выпуклые. Далее на примерах показывают, что любой треугольник является выпуклым многоугольником, а для четырехугольника это уже не всегда так. Также рассматривают свойства выпуклого многоугольника. Автор указывает наглядно очевидные свойства.
В пункте 1.4, который называется «Четырехугольники», автор рассказывает, что у четырехугольника 4 вершины, 4 угла, 4 стороны. Как принято обозначать четырехугольник. Рассказывает, какие стороны называются смежными, какие противоположными. Какие вершины являются соседними и противоположными. Также рассказывает про диагонали четырехугольника и автор напоминает, что сумма углов любого четырехугольника равна 3600.
Пункт 1.5 посвящен многоугольным фигурам. Дается определение многоугольной фигуры. Приводится пример многоугольных фигур составленных из многоугольников, не имеющих общих точек и имеющие только отдельные общие точки на границе. Также рассматриваются не пересекающиеся многоугольные фигуры, и дается определение составленной фигуры из многоугольных фигур.
Второй параграф посвящен площади многоугольных фигур. Дается определение площади многоугольной фигуры. Отмечается, что фигуры, имеющие равные площади называются равновеликими.
Далее переходят к измерению площади. Измерение площади определяется как сравнение площади данной фигуры с площадью фигуры принятой за единицу измерения. В конце параграфа рассматривается площадь прямоугольника, приводится доказательство, что величина a*b удовлетворяет любому прямоугольнику.
В третьем параграфе рассказывается о площади треугольника и трапеции. Трапеция определяется как четырехугольник, у которого одна пара параллельных сторон. Эти стороны называются основанием, а две другие боковыми. Дается определение равнобедренной (или равнобокой) трапеции. В конце параграфа доказывается теорема о средней линии трапеции. Автор отмечает, что треугольник можно считать вырожденной трапецией, когда одно из оснований становится точкой.
Последний параграф данной главы называется «Параллелограмм и его площадь». В первом пункте данного параграфа дается определение параллелограмма. Свойства параллелограмма рассматриваются в виде теоремы.
В пункте 4.2 доказывается теорема о признаках параллелограмма. Далее дается определение высоты параллелограмма и доказывается теорема о площади параллелограмма. Следующий пункт посвящен частным видам параллелограмма.
Первым частным видом параллелограмма является прямоугольник. Говорится, что прямоугольник является параллелограммом и доказывается важное свойство прямоугольника (в прямоугольнике диагонали равны) и признак прямоугольника (параллелограмм диагонали которого равны, является прямоугольником).
Вторым частым видом параллелограмма является ромб. Ромб определяется как четырехугольник, все стороны которого равны. Отмечается, что ромб является параллелограммом по признаку последнего (четырехугольник, имеющий две пары равных противоположных сторон является параллелограммом). Приводится доказательство свойства ромба и предлагается самостоятельно доказать два признака ромба.
Последний частный вид параллелограмма - квадрат. Здесь говорится, что квадрат является прямоугольником и ромбом одновременно, следовательно, его диагонали взаимно перпендикулярны и равны.
В последнем пункте данного параграфа речь идет о характерных свойствах фигур. Дается определение характерного свойства. Приводится пример характерных свойств параллелограмма, прямоугольника и ромба.
В конце каждого параграфа и главы приводятся вопросы и задачи для проверки ЗУН учащихся.
Изучение четырехугольников идет по следующей теме:
2.1.4 «Геометрия, 7-9», авт. И. М. Смирнова, В. А. Смирнов
Тема «Четырехугольники» изучается в восьмом классе в главе «Параллельность».
В первом параграфе рассматриваются параллельные прямые. Дается определение параллельных прямых, секущей. Определяются соответственные, внутренние накрест лежащие и внутренние односторонние углы. Доказывается признак параллельности двух прямых, и рассматриваются три следствия данной теоремы. Также доказывается теорема о равенстве внутренних накрест лежащих углов.
Следующий параграф посвящен сумме углов многоугольника. Сначала доказывается, что сумма углов треугольника равна 1800, а затем переходят к доказательству общего случая.
В третьем параграфе рассматривают параллелограмм. Дается определение параллелограмма, доказывается три его свойства. Рассмотрен пример на применение свойств параллелограмма. На признаки параллелограмма отводится четвертый параграф, в котором доказываются первый и второй признаки параллелограмма. Приведено два примера на применение данных признаков.
В пятом параграфе рассмотрены прямоугольник, ромб и квадрат. Прямоугольник и ромб определяются через параллелограмм. Авторы отмечают, что прямоугольник является частным случаем параллелограмма. Поэтому он обладает всеми свойствами параллелограмма и приводят доказательство признака прямоугольника (если в параллелограмме диагонали равны, то это прямоугольник).
Ромб также является параллелограммом, следовательно, он обладает всеми его свойствами. Приводится доказательство признака ромба (если в параллелограмме диагонали перпендикулярны, то это ромб).
Квадрат определяется через прямоугольник. Авторы отмечают, что квадрат также является ромбом, у которого все углы прямые. На основании этого следует, что квадрат обладает всеми свойствами прямоугольника и ромба.
Перед изучением трапеции авторы рассматривают теорему о средней линии треугольника. Дают определение средней линии треугольника и приводят доказательство теоремы. Этот шаг оправдан, так как при доказательстве теоремы о средней линии трапеции используется теорема о средней линии треугольника. Определение трапеции такое же, как и в других учебниках (см. [1], [2], [14]). Трапецией называется четырехугольник, у которого две стороны параллельны. Дается определение равнобокой, прямоугольной трапеций, средней линии трапеции. Приводится доказательство теоремы о средней линии трапеции и рассматривается следствие из данной теоремы.
В конце главы приводится доказательство теоремы Фалеса, которая является обобщением теорем о средней линии треугольника и трапеции. В конце каждого параграфа и главы приводятся вопросы и задачи для проверки ЗУН учащихся.
Изучение четырехугольников в учебнике И. В. Смирнова, В. А. Смирнов идет по следующей схеме:
2.1.5 «Геометрия, 7-9», авт. И. Ф. Шарыгин
Тема «Четырехугольники» изучается в главе «Подобие».
Первый параграф данной главы посвящен теме «Параллелограмм, прямоугольник, ромб, квадрат».
Свойства и признаки параллелограмма объединены в одну теорему, доказательство которой здесь же приводится. Автор отмечает, что из определения прямоугольника следует параллельность его противоположных сторон, то есть прямоугольник является частным случаем параллелограмма. Приводится доказательство теоремы о свойствах прямоугольника.
Свойства и признаки ромба также объединены в одну теорему, доказательство которой здесь же приводится. Автор отмечает, что квадрат обладает всеми свойствами прямоугольника и ромба, так как он является и прямоугольником, и ромбом. Еще один вид четырехугольника, а именно трапеция, изучается после теоремы Фалеса и теоремы о средней линии треугольника. Трапеция определяется как четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие не параллельны. Определены термины основания, боковые стороны трапеции. Доказана теорема о средней линии трапеции.
Таким образом, изучение четырехугольников идет по следующей схеме:
Проведенный анализ позволяет сделать следующие выводы:
· в каждом учебнике свой порядок изучения частных видов четырехугольников
· в каждом учебнике представлен большой объем упражнений для закрепления основных знаний, умений и навыков по данной теме.
2.2 Методика изучения темы «Четырехугольники»
2.2.1 Введение понятия «Четырехугольник»
Понятие четырехугольник вводится в зависимости от того, как и когда введено понятие многоугольника:
- в учебнике Л.С. Атанасяна четырехугольник вводится как частный вид многоугольника;
- в учебнике А.В. Погорелова понятие многоугольника вводится значительно позже, поэтому дается определение, аналогичное определению треугольника: «Четырехугольником называется фигура, которая состоит из четырех точек и четырех последовательно соединяющих их отрезков. При этом никакие три из данных точек не лежат на одной прямой, а соединяющие их отрезки не должны пересекаться».
В теме «Четырехугольники» рассматриваются выпуклые и невыпуклые четырехугольники. Для более наглядного представления полезно составить следующую схему:
Основанием для классификации выпуклых четырехугольников является наличие параллельных сторон: в случае одной пары параллельных сторон из класса четырехугольников выделяется множество трапеций, в случае двух пар параллельных сторон - множество параллелограммов.
Структурно - логическая схема основных классов геометрических фигур, составляющих её, имеет вид:
При классификации всех четырехугольников за основание классификации принимается сначала взаимное расположение противоположных сторон - не параллельность или параллельность их, вследствие чего множество всех выпуклых четырехугольников разбивается на три класса:
ь четырехугольники, не имеющие параллельных сторон;
ь трапеции (одна пара параллельных сторон);
ь параллелограммы (две пары параллельных сторон).
За основание классификации параллелограммов принимается равенство или неравенство смежных сторон (собственно параллелограммы и ромбы), а также отсутствие или наличие прямого угла (собственно параллелограммы и прямоугольники).
В основу классификации ромбов кладется отсутствие или наличие прямого угла (собственно ромбы и квадраты).
При классификации прямоугольников за основание принимается равенство или неравенство смежных сторон (собственно прямоугольники и квадраты).
Классификация трапеции проводится сначала по длине боковых сторон (равнобокая и неравнобокая трапеции); затем неравнобокие трапеции в свою очередь разбиваются на прямоугольные и непрямоугольные.
Описанный процесс составления классификации четырехугольников, в частности выпуклых четырехугольников, в основу которого положена последовательная целенаправленная деформация каждой вновь полученной фигуры (получить сначала параллельные, а потом и равные стороны, затем прямые углы), позволяет отчетливо выяснить генетический характер образования каждого частного вида выпуклых четырехугольников. Из четырехугольника с непараллельными сторонами получаются трапеции и параллелограммы, из параллелограммов - прямоугольники и ромбы, из ромбов и прямоугольников - квадраты.
Выяснение этого генезиса - происхождения одной фигуры из другой - помогает более отчетливому восприятию самих геометрических образов, выяснению связей между ними, а в силу этого позволяет распространять свойство одной более общей фигуры, например параллелограмма, на частные виды ее, на прямоугольник, ромб и квадрат. Представим это на схеме. Такую схему полезно использовать при обучении школьников.
2.2.2 Частные виды четырехугольников
Во всех действующих в настоящее время пособиях (см. [1], [2], [14], [18]) осуществляется одинаковый подход во введении частных параллелограммов: прямоугольников, ромбов и квадратов. Частные виды четырехугольников рассматриваются в соответствии с условной единой методической схемой:
ь дается определение (через ранее изученный вид четырехугольников);
ь указываются элементы;
ь формулируются и доказываются свойства и признаки;
ь рассматривается задача на построение этого четырехугольника.
Квадрат в одних учебниках вводится как четырехугольник, который одновременно является прямоугольником и ромбом. В других - квадрат определяется как частный вид прямоугольника. В большинстве учебников трапеция рассматривается после параллелограмма и его частных видов. Тема имеет большие возможности для развития логического мышления.
· легко выявляется логическая структура темы. Полезно использовать структурно-логические схемы;
· используются формально-логические определения (через ближайший род и видовое отличие).
Определить понятие, значит перечислить его существенные свойства, а это зачастую бывает нелегко. Однако, задача упрощается, если использовать ранее изученные понятия. Сказанное обусловило способ определения понятия, называемый «через ближайший род и видовое отличие». Конструирование определения этим способом заключается в следующем:
1. Указывается род, в который входит определяемое понятие как вид.
2. Указываются видовые отличия и связь между ними.
Пример: трапецией называется четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие нет. Род - четырехугольник. Видовое отличие, - у которого две стороны параллельны, а две другие нет.
2.3 Изучение свойств и признаков четырехугольников
Изучение свойств четырехугольников обычно не вызывают затруднений. При установлении различных свойств и признаков параллелограмма широко используются свойства и признаки равных треугольников, свойства углов, образованных при пересечении двух параллельных прямых третей, признаки параллельности. Материал о параллелограммах и их частных видах очень удобен для формирования и развития логического мышления учащихся. Именно здесь учитель имеет широкие возможности по работе с определениями: например, предложить ученику дать определение прямоугольника через понятие четырехугольника, параллелограмма и т.д. учащимся по силам самим установить, а затем и доказать различные свойства и признаки параллелограмма и трапеции.
