алее говорится, что после перевода задачи на математический язык поиск решения сводится к работе с математическими моделями - к вычислениям, преобразованиям, рассуждениям.

В 6 классе [12] выделяются этапы процесса математического моделирования, в соответствии с этими этапами выделяются этапы решения задач с помощью уравнений.

Большое внимание уделяется этапу формализации, который вызывает у школьников наибольшие трудности при решении задач.

Для сравнения возьмем учебники по математике для 5 - 6 классов Н. Я. Виленкина и других [6 - 7], Г.В. Дорофеева и И. Ф. Шарыгина [21 - 22], И. И. Зубаревой и А. Г. Мордковича [16 - 17] и определим, какую роль авторы этих учебников отводят моделированию.

В учебниках [6], [7] понятия «модель» и «моделирование» не вводятся ни в 5, ни в 6 классах, соответственно нет задач с формулировкой, характерной для метода моделирования.

В учебнике [22] небольшое внимание уделяется математическому языку, но не встречаются сюжетные задачи, требующие перевода условия задачи с русского на математический язык.

В учебнике [16] изучаются темы «Математический язык», «Математическая модель». Как и в учебнике [11] понятие модели вводится с помощью рассмотрения двух задач, в которых требуется найти значение одного и того же выражения. Выражение, полученное в процессе решения, - это математическая модель реальной жизненной ситуации, о которой говорится в задаче.

Авторы пишут: «Выполняя задания по переводу «обычной» речи на математический язык, мы каждый раз составляли математическую модель данной ситуации. Однако важно не только уметь составлять математические модели, но и выполнять обратную работу - понимать, какую ситуацию (или обстоятельства) описывает данная модель». Так неявно выделяются этапы моделирования: формализация и интерпретация.

Но следует отметить, что задачи, в которых требуется построить математическую модель, встречаются в учебниках [16], [17] очень редко.

2.2. Методика обучения математическому моделированию по учебникам Дорофеева Г. В., Петерсон Л. Г. «Математика-5», «Математика-6»

Учебники Г. В. Дорофеева, Л. Г. Петерсон «Математика-5», «Математика-6» [11 - 15] входят в часть единого непрерывного курса математики и являются продолжением учебника математики для начальной школы авторов Н. Я. Виленкина и Л. Г. Петерсон. Этот курс разрабатывается в настоящее время с позиции развивающего обучения, гуманизации и гуманитаризации математического образования.

Обучение школьников ведется на высоком уровне трудности. Но материал учебников предусматривает возможность работы по ним детей разного уровня подготовки.

Учебники ориентированы на развитие логического  мышления, творческих способностей ребенка и интереса к математике. Учебник для 5 класса состоит из двух частей, для 6 класса - из трех. Каждая часть включает в себя две главы. Эти учебники позволяют учащимся самостоятельно добывать знания, а главное учат учиться. С первых уроков ученикам предлагаются задания для формирования умений сравнивать, обобщать, классифицировать, рассуждать. Большая часть заданий требует от учащихся творческого подхода.

Новый материал вводится не через передачу готового знания, а через самостоятельное «открытие» его учениками. Часто задания для закрепления даны в игровой форме (кодирование и расшифровка, отгадывание загадок и т.п.) Учащиеся с огромным удовольствием выполняют эти задания.

В учебнике в системе даны задания на развитие логики, мышления, развитие всех видов памяти, творческих способностей.

«В совершенно различных, на первый взгляд, задачах можно обнаружить, что их решение практически одинаково. Например, если на столе лежат 2 яблока, 2 апельсина и груша, то как найти общее число фруктов? Конечно, 2 + 2 + 1 = 5. Но ведь точно также мы можем определить и число уроков во вторник, зная, что по расписанию будет два урока русского языка, две математики и физкультура.

В этих двух непохожих ситуациях мы использовали одну и ту же математическую модель, складывая не яблоки с апельсинами и не физкультуру с математикой, а натуральные числа.

Для того чтобы построить математическую модель, надо, прежде всего, научиться переводить условие задачи с привычного родного языка на специальный, математический язык, чем мы и займемся в этом пункте,» - так авторы учебника проводят мотивацию изучения математического моделирования еще в самом начале курса математики пятого класса (п. 1, §2, глава 1, [11]). Рассмотренный пример, настолько прост и нагляден, что понятен даже пятиклассникам, и становится ясно, что с помощью модели решать задачу будет проще, но еще не понятно, что именно представляет собой математическая модель.

Далее говорится, что после перевода задачи на математический язык поиск решения сводится к работе с математическими моделями - к вычислениям, преобразованиям, рассуждениям.

В этом же пункте авторы составляют модели пяти разнообразных задач, которые располагаются среди предложенных для решения, в том числе задач, основной сутью которых является отработка навыка перевода задачи на математический язык. Такими задачами являются задачи со следующими формулировками:

· Составь выражения для ответа на вопросы задач (№ 72).

· Придумай задачи, в которых математической моделью являются следующие выражения (№ 73).

· Среди данных задач найди такие задачи, математические модели которых совпадают (№ 74).

· Построй математическую модель (№ 82, № 111).

· Составь схему к задаче (№ 76).

· Переведи условие задачи с русского языка на математический (№ 83, № 87, № 98, №102, № 116).

· Составь таблицу по условию задачи (№ 124).

· Запиши математическую модель задачи, используя для обозначения неизвестных величин буквы x и y (№ 137).

Весь этот пункт направлен на овладение школьниками первым этапом решения задач с помощью математического моделирования. Заметим, что задачи с такими формулировками встречаются не только в этом пункте, но и по всему тексту учебника, например:

5 класс, часть 1, [11]: №№ 244, 338, 410, 436, 502, 507, 531, 680, 704, 767, 788, 789, 796, 797, 828 и другие;

5 класс, часть 2, [12]: №№ 39, 49, 107, 125, 167, 271, 272, 283, 333, 352, 411, 478, 530, 546, 712, 740, 769, 833, 870, 882, 904, 941, 1012, 1101, 1162 и другие;

6 класс, часть 1, [13]: №№ 115, 116, 117, 130, 133, 137, 175, 215 и другие;

6 класс, часть 2, [14]: №№ 20, 25, 220, 221, 314, 423, 424, 495 - 498, 505 - 507 и другие;

6 класс, часть 3, [15]: №№ 6, 10, 21, 24, 131, 626, 627, 633, 683, 700, 706, 729 и другие, что дает возможность сформировать у учащихся не только умения, но и навыки построения математических моделей сюжетных задач.

Но кроме умения строить математические модели необходимо уметь их разрешать и переводить результат на понятный человеку язык. Эти два этапа процесса моделирования авторы объединяют в один, который называют «Работа с математической моделью» (п. 2, §2, глава 1, [11]). Из рассмотренных в этом пункте примеров видно, что после перевода текста задачи на математический язык поиск решения сводится к работе с математическими моделями - к вычислениям, преобразованиям, рассуждениям. Для получения результата в некоторых задачах достаточно использовать алгоритмы действий с числами (например, № 82, [11]), в других - решение уравнений (например, № 144, [11]). Отсюда следует, что чем больше математических понятий и свойств знают учащиеся, тем больше они имеют возможность для отыскания короткого и простого решения.

При решении математических задач часто бывает так, что исследование полученной математической модели не сводится к известным случаям, то есть у учащихся нет достаточных знаний для исследования той или иной модели. Авторы учебника предлагают два специфических способа исследования математических моделей:

1) метод проб и ошибок;

2) метод перебора.

Рассмотрим на примерах, в чем состоит суть этих методов.

Метод проб и ошибок позволяет найти ответ даже в том случае, когда математическая модель представляет собой новый, еще не изученный объект. Однако при использовании этого метода следует всегда помнить о том, что подбор одного решения не гарантирует полноты решения. Поэтому требуется дополнительное обоснование того, что найдены все возможные решения, и ни одного не пропущено.

Задача. Ширина прямоугольника на 9 см меньше длины, а площадь равна 90 см2. Найти стороны прямоугольника (см. № 168 (2), [11]).

Решение. Математическая модель представляет собой следующее уравнение: . Нужно найти и . Никакие известные пятиклассникам правила преобразования не помогают найти ответ. Авторы предлагают подобрать решение «экспериментально», так называемым методом проб и ошибок.

Нам надо найти такое число х, чтобы значение выражения х (x - 9) было равно 90. Попробуем подставить в это выражение, например х = 13:

13 (13 - 9)=52

Мы видим, что полученное значение выражения слишком мало. Возьмем теперь х = 14:

14 (14 - 9)=70

И снова выбранное значение мало, хотя и ближе к искомому.

Далее возьмем х = 15. Получим:

15 (15 - 9)=90

Эта попытка оказалась удачной, при х = 15 имеем 15 (15 - 9)=90. Казалось бы, что задача уже решена, но это не так: ведь может оказаться, что есть другие x, при которых это выражение тоже равно 90. Допустим, что х > 15, тогда х - 9 > 6, следовательно произведение будет больше 90. Пусть х < 15, тогда х - 9 < 6, получим, что 15 (15 - 9)<90.

Нам требуется найти стороны прямоугольника. Получаем, х =15 и . Ответ: 15 см и 6 см.

Данный метод служит мощным средством при решении еще неизвестных уравнений, неравенств и систем уравнений. Однако он очень трудоемкий и нужно добиваться от учащихся поиска более рационального метода решения, если это является возможным в данной ситуации.

При решении задач методом проб и ошибок учитель должен объяснить школьнику, что простой подбор одного неизвестного числа не дает уверенности в том, что найдены все искомые значения. Поэтому для обоснования полноты решения требуются дополнительные иногда очень непростые рассуждения, а, значит, метод проб и ошибок имеет недостаток, который, в свою очередь не имеет другой метод - метод перебора.

Метод полного перебора. При поиске неизвестного числа полным перебором автор поясняет, что следует рассматривать «все мысленные возможности: если мы упустим хотя бы одну, то может оказаться, что именно она и дает решение задачи» [11].

Полный перебор требует, как правило, больших усилий и большого времени. Но следует обратить внимание учащихся на анализ условия, тем самым сократить систему перебора. Рассмотрим задачу.

Задача. Задумано двузначное число, которое на 66 больше произведения своих цифр. Какое число задумано? (Cм. № 181 (1), [11]).

Решение. После составления модели получаем следующую задачу:

Для цифр х и y двузначного числа выполняется равенство 10x + y = xy + 66. Найти это число.

Полный перебор можно провести, рассматривая последовательно все значения х от 1 до 9 и подбирая в каждом случае соответствующее значение y от 0 до 9. Однако этот перебор можно сократить, если заметить, что правая часть равенства больше 66. Значит, и левая его часть, то есть задуманное число больше 66. Поэтому неизвестное число х не меньше 6, и можно рассматривать только четыре значения х - от 6 до 9.

При х = 6 наше равенство имеет вид 60 + y = 6y + 66, а этого быть не может, так как левая часть получилась меньше правой при любых значениях y от 0 до 9.

При х = 7 имеем 70 + y = 7y + 66. Если мы от каждой части этого равенства отнимем одно и то же число y, то получим 70 = 6y + 66, откуда 6y = 4, что для натурального числа не возможно.

При х = 8 имеем равенство 80 + y = 8y + 66. Снова, вычитая из каждой части y, получим, 80 = 7y +66, 7y = 14, y = 2. Таким образом, для чисел х = 8 и y = 2 равенство выполняется, и число 82 удовлетворяет условию задачи:

82 = 8 · 2 + 66.

Следует обратить внимание учащихся, что нельзя считать задачу полностью решенной, поскольку перебор еще не закончен, и среди не рассмотренных случаев могут найтись решения.

Выполняя аналогичные преобразования, имеем при х = 9:

90 + y = 9y + 66,

90 = 8y +66,

8y = 24,

y = 3.

Показывая учащимся, что получилось еще одно решение, число 93, которое удовлетворяет 93 = 9 · 3 + 66, мы подчеркиваем важность полного перебора.

Авторы также советуют проводить перебор с помощью таблицы:

X	Уравнение	Упрощенное уравнение	Y
6	60 + y = 6y + 66		невозможно
7	70 + y = 7y + 66	6y = 4	невозможно
8	80 + y = 8y + 66	7y = 14	y = 2
9	90 + y = 9y + 66	8y = 24	y = 3

После того, как произведен полный перебор, важно научить школьников формулировать ответ в соответствии вопросу исходной задачи. В данном случае ответ будет таков: задумано либо число 82, либо 93.

К методу проб и ошибок и к методу перебора авторы еще раз возвращаются уже в 6 классе (§ 3, глава 3, [15]).

В 6 классе продолжается обучение методу математического моделирования. При изучении темы «Решение уравнений» рассматриваются различные по сюжету задачи, которые решаются с помощью уравнений. Но прежде чем приступить к решению задач, авторы учебника пытаются дать ответ на вопрос: «Для чего решают задачи?» и приходят к выводу, что, решая задачи, мы учимся строить математические модели реальных ситуаций. Далее выделяются три этапа математического моделирования:

1) построение модели;

2) работа с моделью;

3) практический вывод.

Распространенным видом математических моделей являются уравнения. В соответствии с этапами моделирования решение задач с помощью уравнений состоит также из трех этапов:

1) составление уравнения;

2) решение уравнения;

3) ответ на вопрос задачи.

Учащиеся обучаются выбирать переменные, составлять уравнения, решать их и анализировать результат.

Система задач, приведенная в учебниках [11 - 15] позволяет достаточно полно раскрыть методы исследования математических моделей, большое внимание уделяется решению задач с помощью уравнений, так как уравнения - это основной вид моделей, изучаемых в 5 - 6 классах. На основе этих упражнений учащиеся должны научиться понимать ценность решения сюжетных задач, видеть их практическую значимость, а также понимать значение математической модели, уметь строить ее, искать наиболее рациональный способ ее исследования и правильно делать вывод о проделанной работе, в том числе правильно формулировать ответ на задачу.

2.3. Анализ учебников Г. В. Дорофеева, Л. Г. Петерсон «Математика-5», «Математика-6» с точки зрения наличия задач для формирования умений, характерных для математического моделирования

Известно, что процесс мате-матического моделирования осуществляется в три этапа:

1) формали-зация;

2) решение внутри модели;

3) интерпрета-ция.

Следует отметить, что в школе больше внимания уделяется работе над вторым этапом моделирования, в то время как форма-лизация и интерпретация остаются недостаточно раскрытыми. Необходимо организовать обучение уча-щихся элементам моделирования, относящимся ко всем трем эта-пам. Важным средством обучения элементам моде-лирования, относящимся к этапам формализации и интерпретации, являются сюжетные задачи, но этап формализации при решении школьных сюжетных задач оказывается представлен слишком узко. Учащимся, как правило, сразу предъяв-ляется словесная модель задачи, поэтому представления о характе-ре отражения математикой явлений, описываемых в задачах, часто оказываются весьма примитивными, то есть нет условий для содержательного раскрытия деятельности, проходящей на этом этапе математического моделирования. Поэтому надо искать пути содержательного раскрытия и конкретизации этапов форма-лизации и интерпретации математического моделирования. Уже в 5 - 6 классах целесообразно использовать задачи, которые позволяют учить школьников действиям, характерным для этапов формализации и интерпретации.

Моделирование включает в себя большое число составных элементов, поэтому большую роль в успешности работы по математическому моделированию играет выявление элементов математического моделирования. В. А. Стукалов [28] выявляет следующие элементы:

1) замена исходных терминов выбранными математическими эквивалентами;

2) оценка полноты исходной информации и введению при необходимости недостающих числовых данных;

3) выбор точности числовых значений, соответствующей смыслу задачи;

4) оценка возможности получения числовых данных для решения задачи на практике.

На основе перечисленных элементов математического моделирования, характерных для этапов формализации и интерпретации, можно выделить умения, которыми должны овладеть учащиеся для успешного освоения методом математического моделирования:

1) умение заменять исходные термины математическими эквивалентами;

2) умение оценивать полноту исходной информации;

3) умение выбирать точность числовых значений;

4) умение оценивать возможность получения числовых данных для решения задачи.

Проанализируем учебники [11 - 15] Г. В. Дорофеева, Л. Г. Петерсон с точки зрения наличия задач, применяемых для формирования у учащихся 5 - 6 классов выделенных умений.

Выполнение действия замены исходных терминов выбранными математическими эквивалентами основывается прежде всего на жизненном опыте учащихся, то есть знании терминов, встречающихся в быту или при изучении других предметов, которые могут быть заменены математическими понятиями и отношениями. Из этого следует, что в системе задач школьных учебников должно быть больше задач, содержащих термины из различных научных областей, но не требующих длительного и громоздкого объяснения их сущности. Кроме этого, задачи расширяют словарный запас учащихся, знакомят с новыми интересными фактами из разных наук, вооружают учащихся навыками самостоятельной работы, способствуют сознательному применению имеющихся знаний к жизни, знакомят их с новыми приемами решения, развивают математическое мышление и практическую смекалку.

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6

Голосование

Как вы оцениваете работу нашего сайта? Отлично Хорошо Нормально Плохо Результаты