Понятие «прямоугольник»
· Площадь баскетбольной площадки прямоугольной формы а м2, а длина 20 м. Какова ее ширина? (Cм. № 16 (1), [11]).
· На рисунке показан план земельного участка и указаны его размеры. Найди площадь этого участка, и выразили ее в арах. Какова длина прямоугольника, имеющего такую же площадь и ширину 45 м? (Cм. № 57, [11]).
· Переведи условие задачи на математический язык:
Под строительную площадку отвели прямоугольный участок, длина которого на 25 м больше его ширины. При утверждении плана застройки длину участка увеличили на 5 м, а ширину - на 4 м, в результате площадь участка увеличилась на 300 м2. Какова площадь образовавшейся строительной площадки? (Cм. № 271 (2), [12]).
· Построй математическую модель задачи и найди ответ методом перебора:
Прямоугольный газон обнесен изгородью, длина которой 30 м. Площадь газона 56 м2. Найди длины сторон газона, если известно, что они выражаются натуральными числами (см. № 333(3), [11]).
Понятие «параллелепипед»
Прямоугольный параллелепипед является математическим эквивалентом «аквариума», «печи», «ящика», «бассейна». Например.
· Из фанеры требуется сделать открытый ящик, имеющий форму прямоугольного параллелепипеда с измерениями 40 см, 20 см и 15 см. Сколько фанеры потребуется для изготовления ящика? Какова будет его вместимость? (Cм. № 272, [11]).
· Из жести сделали бак без крышки. Он имеет форму куба с длиной ребра 8 дм. Бак надо покрасить снаружи и изнутри. Какую площадь надо покрасить? Какова вместимость бака? (Cм. № 712, [11]).
· Чтобы сделать бассейн, в земле выкопали котлован в форме прямоугольного параллелепипеда длиной 25 м, шириной 6 м и глубиной 3 м. Сколько кубических метров земли пришлось вынуть? (Cм. № 280 (1), [11]).
· Имеется два аквариума с измерениями 453250 см и 503245 см.
а) На изготовление какого из двух аквариумов потребовалось больше стекла?
б) Аквариумы заполнили водой так, что уровень воды в первом аквариуме ниже верхнего края на 10 см, а во втором - на 5 см. В каком аквариуме больше воды? (Cм. № 547, [15]).
Понятия «окружность» и «круг»
При изучении окружности, круга и их свойств в учебнике используются задачи, в которых используются такие термины как «окружность колеса», «обороты колеса», «арена цирка», «циферблат часов», «беговая дорожка», «экватор Земли».
· Великий древнегреческий математик Архимед (III в. до н.э.) установил, что длина окружности примерно в 3 раза больше ее диаметра. Пользуясь этим результатом, реши задачу: Какова длина беговой дорожки ипподрома, имеющей форму круга радиусом км? (Cм. № 307(1), [12]).
· Длина экватора Земли равна примерно 40000 км, а ее диаметр составляет длины экватора. Чему равен диаметр Земли? (Cм. № 488, [12]).
· Сколько оборотов сделает колесо на участке пути в 1,2 км, если диаметр колеса равен 0,8 м? Число округли до целых (см. № 549 (2), [15]).
· Чему равна площадь циферблата часов, если длина минутной стрелки равна 4,5 см. Число округли до целых (см. № 566 (а), [15]).
· Арена цирка имеет длину 40,8 м. Найди диаметр и площадь арены. Число округли до целых (см. № 737, [15]).
Также к этой группе относятся задачи:
5 класс, часть 1, [11]: №№ 102 (3), 142 (5), 280 (1), 716, 753, 791, 800;
5 класс, часть 2, [12]: №№ 269 (5), 271 (1), 307, 352 (3), 379 (1), 380 (2);
6 класс, часть 1, [13]: №№ 56 (а);
6 класс, часть 3, [15]: №№ 341, 342, 547, 549 (2,4), 562, 566.
Также при обучении действию замены исходных терминов выбранными математическими эквивалентами применяются задачи, в которых требуется замена одной единицы измерения другой более мелкой и наоборот. Таких задач в учебниках очень много, но в основном в них требуется переводить километры в метры, метры в сантиметры, минуты в часы (№№ (5 класс, часть 1, [11]) 146 (1,2,4), 162 (2), 340 (1), 392, 406, 408, 504, 561, 581, 679, 752. 764, 786, 797, 798; №№ 44, 56, 127 (3), 221, 228, 616 (2), 769 (2), 901, 992, 1065, 1067 (5 класс, часть 2, [12]); №№ 189 (2), 190 (2), 191 (2), 198, 199, 201, 209, 210, 212, 223, 233, 247, 305, 306, 334 (6 класс, часть 1, [13]); №№ 44, 49, 125,203, 204, 292, 293 (1), 322, 372, 373, 551 (6 класс, часть 2, [14]); №№ 116, 130 (а), 132,133, 154, 195, 223, 228, 304, 433-436, 444, 465, 466, 467, 499, 563, 633, 667, 678-680, 683, 700, 706, 717, 720, 727, 728, 738, 764, 767 (б) (6 класс, часть 3, [15])), что не вызывает больших сложностей у школьников. Например.
· Чтобы связать шарф длиной 1,4 м, нужно 350 г шерсти. Сколько шерсти потребуется, чтобы связать шарф такой же ширины длиной 180 см? (Cм. № 225 (1), [14]).
· Подводная лодка, идя со скоростью 15,6 км/ч, пришла к месту назначения за 3 ч 45 мин. С какой скоростью она должна была идти, чтобы пройти весь путь на 45 мин быстрее (см. № 227 (1), [14]).
Часто на практике используются такие единицы времени, как неделя, декада, квартал, век. В учебниках недостаточно задач, в которых название единиц измерения включено в сюжет задачи и требуется заменить одну единицу измерения другой в соответствии с условием. В таких задачах математическим эквивалентом будет являться число более мелких единиц измерения.
· Средняя температура воздуха за неделю равна 18,6, а за шесть дней без воскресенья - 18,4. Какой была температура воздуха в воскресенье? (Cм. № 285 (2), [13]).
Мы считаем, что необходимо рассматривать больше задач, в которых требуется перевод единиц измерения, не водящих в известные системы мер, чем их приведено в учебниках [11 - 15].
При обучении действию оценки полноты исходной информации и введения при необходимости недостающих числовых данных необходимо учитывать компоненты, которые могут быть в условии этих задач: сюжет (объекты), величины, их характеризующие, значения этих величин. При этом можно выделить следующие типы задач, представленные в таблице [19].
сюжет | величины | значения | ||
а) | + | + | - | |
б) | + | - | + | |
в) | - | + | + | |
г) | - | - | + | |
д) | - | + | - | |
е) | + | - | - |
Знак «+» обозначает наличие соответствующего компонента в условии, знак «-» - отсутствие. Знак «-» в графе «сюжет» характеризует задачи, в которых требуется подобрать объекты по заданным величинам и (или) значениям. Знак «-» в графе «величины» предполагает выделение системы необходимых исходных величин в условиях лишних или недостающих данных. Комбинации «+», «+», «+» и «-», «-», «-» не рассматриваются как не представляющие интереса.
Кроме того, задачи внутри одного типа могут отличаться и формой задания: таблица, диаграмма, чертеж, краткая запись и т. д. Приведем примеры задач, встречающихся в анализируемых учебниках, соответствующие выделенным типам.
Первый тип соответствует комбинации «+», «+» «-» и характеризуется наличием сюжета, величин и отсутствием значений величин. Сюда относятся такие задачи как:
· По шоссе автомобиль двигался 2 часа со скоростью 90 км/ч, а по проселочной дороге - 5 часов со скоростью v км/ч. Сколько всего километров проехал автомобиль по шоссе и по проселочной дороге? (Cм. № 14 (1), [11]).
· Зарплату рабочего, равную n руб., повысили сначала на 10%, а потом еще на 40% от новой суммы. Какой стала зарплата после второго повышения? (Cм. № 58 (г), [15]).
· Цену на компьютер снизили сначала на 20%, а потом еще на 50% от новой цены. После этого компьютер стал стоить k руб. Какой была его первоначальная цена? (Cм. № 58 (д), [15]).
К типу I относятся также следующие задачи:
5 класс, часть 1, [11]: №№ 10, 14 (1), 16 (2-8), 28 (б), 40 (1-4), 72 (1-5), 82 (1), 83 (2), 142, 158 (1), 207, 210 (3), 250 (2), 317 (1), 317 (5), 398, 431, 433, 465, 466, 505, 506, 509, 531, 680;
5 класс, часть 2, [12]: №№ 478, 487, 495, 870, 884, 929, 1000, 1001, 1097, 1122, 1137, 1162;
6 класс, часть 1, [13]: №№ 66 (1,2), 107, 200, 222, 228, 443;
6 класс, часть 2, [14]: №№ 47 (1,3,4), 53 (1,3), 83, 130 (1,3), 136, 286, 287, 329, 337, 374, 453;
6 класс, часть 3, [15]: №№ 10, 16, 24, 148, 268, 319, 367 (б, в, г, д, е), 729.
Ко второму типу относятся задачи, в которых есть сюжет, числовые данные, но нет величин, которые они характеризуют. Например.
· В пяти ящиках лежит по одинаковому числу яблок. Если из каждого ящика вынуть 60 яблок, то во всех ящиках останется столько яблок, сколько их раньше было в двух ящиках. Сколько яблок было в каждом ящике? (Cм. № 167, [11]).
· Составь выражение для задачи и найди его значение:
В классе 25 учеников. Из них после уроков домой ушли 7 человек, а остальные разбились на 3 команды для игры. Сколько человек в каждой команде? (Cм. № 38 (4), [11]).
· Переведи условие задачи с русского языка на математический язык:
На вопрос учеников о прошедшей контрольной работе учитель ответил: «Пятерок на 3 больше, чем двоек, троек на одну меньше, чем четверок, а четверок в 4 раза больше, чем двоек». Сколько человек получили пятерки и сколько четверки, если в классе 32 человека? (Cм. № 39 (2), [12]).
К типу II относятся также следующие задачи:
5 класс, часть 1, [11]: №№ 111 (4), 159 (1,2), 181 (1,4), 182 (2), 196, 213 (1), 275 (2), 278 (1,2), 281, 299, 301, 337 (1,2), 348, 349, 358, 413, 425, 438, 525 (1,2), 559, 563, 569 (1), 595 (1,2), 607, 635, 636, 644, 671 (1,2), 687, 707, 709, 715, 719, 745, 771, 804;
5 класс, часть 2, [12]: №№ 28 (1,2), 40 (1,2), 51, 78 (2), 94 (1,2), 95 (2), 133, 152 (1,2), 154 (1,2,3), 171 (1,2), 176, 184, 194 (1), 204, 206, 240, 249, 250, 253, 287, 304 (1,2), 329 (1), 330, 333 (4), 350, 367, 369, 385 (1), 387 (1,2,4,5), 427 (2), 490, 496, 497, 498, 504, 517, 558 (1,2), 559, 561 (1,2), 562 (1,2), 563 (2), 567 (1,2), 585, 587 (1,4), 595 (1,2), 599 (1,2), 674, 680, 712 (1,2), 778, 779, 834, 1049 (1,3);
6 класс, часть 1, [13]: №№ 17, 24, 57, 116, 130 (1,3,4), 133, 137, 165, 203, 212, 265, 301, 338, 410, 414, 450, 482, 483;
6 класс, часть 2, [14]: №№ 20, 25, 108, 109, 110, 111, 112, 121, 173 (2,3,4), 176 (3), 184, 190, 191, 199, 200, 207, 209 (2,3), 213, 225, 226,229, 230, 240, 241, 249, 250, 252, 256,268, 281, 295, 326, 528 (1,2), 535, 552, 582;.
6 класс, часть 3, [15]: №№ 6 (1), 21, 50 (а), 64, 65, 93, 94, 95, 108, 109, 110, 118, 119, 120, 122, 123, 124, 125 (а), 126, 127 (а), 150, 151, 152, 158, 292, 307, 368, 393, 464, 466, 467, 468, 472, 473, 497, 523, 627, 633, 699, 705, 767.
Ясно, что в учебнике очень много сюжетных задач, содержащих числовые данные, что обосновано целями образования.
Третий тип соответствует комбинации «-», «+» «+». К этому типу относятся задания, в которых нужно составить задачу по схеме или краткой записи. В учебниках Г. В. Дорофеева, Л. Г. Петерсон такие задачи представлены в следующем виде:
Составь по схемам задачи и найди неизвестные величины (dt -расстояние между объектами через t ч после выхода) (№ 197, [13]):
40 км/ч 80 км/ч
25
tвстр. = 2,5ч
? км s = ? d1,5 = ?
110 км/ч 70 км/ч
25
t = 2 ч
150 км tвстр. = ? d2 = ?
? км/ч 9 км/ч
25
t = 1,4 ч = ?
? км d1,4 = ? d3,2 = ?
В основном нужно составить задачи на движение в различных направлениях согласно указанным в схемах данным. К этому же типу относятся задачи №№ 215 [13]; 387 [14]; 131, 524, 627 [15].
Четвертый тип характеризуется отсутствием сюжета и величин и наличием значений, то есть это такие задания, в которых нужно составить задачу по числовому выражению, уравнению и т.д. В учебнике к этому типу относятся задачи вида:
· Придумай 3 задачи, решением которых является выражение (№ 115, [13]):
(a - a : 4) :2.
· Придумай ситуацию, математической моделью которой может служить данное выражение, и найди ответ (№ 424, [14]):
а) (-9) + (+4); б) (+6) + (+3);
в) (-5) + (-2); г) (-1) + (+7).
Аналогичные действия нужно выполнить в № 427 [14].
· Составь по данной математической модели задачу и реши ее (№ 496, [14]):
1) 0,48 : (1,6 - 2x) + 5,2 = 6 2) 2 (x -1,8) = 2/3 x.
Пятому типу соответствует комбинация «-», «+», «-», где нужно составить задачу с указанными величинами, например, расстояние, скорость, время; стоимость, цена, количество и др.
· Придумай задачу, приводящую к выражению 3х + 5у, о величинах:
1) путь, скорость, время (S = vt);
2) стоимость, цена, количество товара (C = an);
3) работа, производительность, время (A = vt);
4) площадь прямоугольника, его длина и ширина (S = ab) (см. № 15, [11]).
· Как найти: а) процент от числа; б) число по его проценту; в) процентное отношение двух чисел? Придумай и реши задачи на эти правила. Затем эти же задачи реши методом пропорций. Какой способ ты считаешь более удобным? Почему? (Cм. № 766, [15]).
В учебнике [14] отдельно выделяются задания, в которых нужно составить задачу о «доходах» и «расходах» по заданному выражению.
Например,
· Придумай по выражению задачу о «доходах» и «расходах» и найди ответ (№ 220, [14]):
1) (+3) + (-7); 2) (-5) + (-8); 3) (-1) + (-4).
Аналогичные этому №№ 221, 314 [14].
Авторы анализируемого учебника включили немного задач такого типа. Это можно объяснить тем, что школьники 5-6 класса еще не имеют достаточной подготовки и жизненного опыта решать задачи без числовых значений и сюжета, то есть самостоятельно придумывать задачи.
К шестому типу задач относятся задачи, которые характеризуются только наличием сюжета. Это задачи вида:
· Запиши выражение для ответа на вопрос задачи:
В 5 «А» классе а учеников, а в 5 «Б» классе - на 3 ученика меньше. Сколько всего учеников в этих двух классах? (Cм. № 11 (1), [11]).
· Составь выражение:
Барону Мюнхаузену а лет, а его лошадь на 25 лет моложе. Во сколько раз барон старше своей лошади? (Cм. № 28 (1), [11]).
· В одном классе a человек, а в другом - на 20% больше. Сколько человек в двух классах? (Cм. № 58 (а), [15]).
К этому же типу относятся задачи:
5 класс, часть 1, [11]: №№ 11 (2), 11 (3), 11 (4), 11 (5), 11 (6), 40 (5), 40 (6), 242, 250, 16 (7), 43, 295 (1), 295 (3), 295 (4), 217 (4), 317 (6), 596 (в), 596 (г), 596 (д), 596 (е), 751 (2);
5 класс, часть 2, [12]: №№ 42 (2), 42 (3), 102 (1), 102 (2), 102 (3), 102 (4), 194 (1), 260;
6 класс, часть 1, [13]: №№ 69, 288, 415;
6 класс, часть 2, [14]: №№ 47 (2,5,6), 53 (2), 130 (2,4);
6 класс, часть 3, [15]: №№ 367 (а), 778.
Говоря об обучении действию выбору точности числовых значений, соответствующих смыслу задачи, не имеется в виду формирование понятий и умений, связанных с приближенными вычислениями. Речь идет о привлечении внимания учащихся к тому, что любая математическая модель имеет погрешность. Например, считать массу краски для пола с точностью до грамма неразумно, поэтому необходимо уметь округлять числовые данные в соответствии со смыслом задачи.
Формирование данного действия должно начинаться уже в процессе знакомства учащихся с единицами измерения, что происходит еще в начальной школе. Целесообразно при изучении всех единиц рассматривать, какие объекты на практике измеряются данной единицей.
При обучении округления результата в соответствии со смыслом задачи могут использоваться задания, требующие округления, но без указания точности округления. Для того чтобы показать учащимся необходимость округления, можно использовать задачу: «Сколько нужно заплатить за половину буханки хлеба, если целая буханка стоит 6р. 75 к.?»
Приведем примеры задач, которые могут быть использованы для формирования рассматриваемого действия.
· Длина комнаты 7 м, ширина 4 м, а высота 3 м. Сколько квадратных метров обоев требуется для оклейки комнаты, если площадь окон и дверей составляет 9 м2? Сколько рулонов обоев для этого надо купить, если в каждом рулоне 10 м2 обоев? (Cм. № 280 (2), [11]).
