Итак, мы ввели понятия всех тригонометрических функций (которые предусмотрены программой). Но перед тем, как перейти к их исследованию и построению графиков, необходимо проследить, чтобы у учащихся были отработаны следующие навыки:
ь Нахождение значений всех тригонометрических функций в «главных» точках.
(Для лучшего запоминания значений тригонометрических функций можно использовать следующую вспомогательную таблицу:
0 | /6 | /4 | /3 | /2 | sin |
50
cos |
Здесь значения синуса и косинуса представлены в наиболее удобной для восприятия и запоминания форме.)
ь Решение простейших тригонометрических уравнений и неравенств.
ь Определение знаков тригонометрических функций в заданных точках.
ь Упрощение выражений с использованием основного тригонометрического тождества и формул приведения.
ь Нахождение по заданному значению одной из тригонометрических функций значений всех остальных тригонометрических функций.
Приобретая вышеперечисленные навыки, учащиеся тем самым получают арсенал средств, достаточный для более основательного исследования и построения графиков тригонометрических функций.
Работа по построению графиков и исследованию функций может проводиться двумя способами:
1) Сначала по точкам строится график, а затем с помощью графической интерпретации исследуются все свойства функции
2) Построение графика происходит после исследования функции, а наглядные представления о свойствах учащиеся получают, анализируя поведение функций на числовой окружности.
Наиболее целесообразно применять второй подход, так как при этом подходе, во-первых, все свойства тригонометрических функций иллюстрируются на обеих моделях (на числовой окружности и на графике), а, во-вторых, это является хорошей подготовительной работой для дальнейшего обучения исследованию функций и построению графиков с помощью производной.
Несмотря на то, что анализируя поведение функции на числовой окружности, мы всего лишь иллюстрируем некоторое свойство, не стоит забывать, что иногда «доказательство» с помощью окружности является единственным доступным для школьников способом обоснования некоторых фактов. Хотя некоторые случаи все-таки требуют более четкого обоснования формулируемых утверждений.
Остановимся подробнее на исследовании тригонометрических функций.
1) Область определения.
«Областью определения функции действительного переменного называется множество действительных значений аргумента, при которых функция принимает действительные же значения».
Область определения функций у=sin x и у=соs x - множество всех действительных чисел. Этот факт достаточно легко обосновывается с помощью окружности: каждому действительному числу х соответствует точка на окружности Рх. Каждой точке Рх соответствуют ее абсцисса и ордината, каждая из них - это действительное число. Значит, значения функций у=sin x и у=соs x для любого действительного х будут действительными числами.
У функций у=tg х и у=сtg х область определения имеет некоторые ограничения. Обосновать это свойство можно исходя из того факта, что
tg х = sin x/ соs x. Тогда областью определения функции у=tg х будут все действительные числа, за исключением нулей функции у=соs x. Этот же самый факт можно обосновать и с помощью окружности:
рис.3
любому действительному числу х соответствует точка на окружности Рх. Если х /2+к, кZ, то эта точка имеет координаты, отличные от (0;1) и (0;-1), тогда через точки О и Рх. можно провести прямую, которая пересекает касательную к окружности, проходящую через точку (1;0), в некоторой точке Тх. Эта точка имеет ординату, которая является действительным числом. То есть в таких точках функция у=tg х будет принимать действительные значения. Если же х = /2+к, кZ, то прямая ОРх. будет совпадать с осью ОУ, а, следовательно, будет параллельна касательной к окружности. В этом случае мы не сможем найти точку Тх и ее ординату, а, значит, в этих точках функция у=tg х будет не определена. Таким образом, делаем вывод , что Дtg x =R/{/2+к }, кZ. Для функции у=сtg х рассуждения аналогичны, а, значит, учащиеся вполне могут провести их самостоятельно.
Область определения как свойство функций является ко времени изучения тригонометрии уже достаточно хорошо изученным, а процесс ее нахождения уже перешедшим из разряда умений в разряд навыков. Тем не менее при изучении тригонометрических функций стоит еще раз обратить внимание на отыскание области определения в особенности функций типа: у = сtg х * tg х; у=(sin х*соs х)/ сtg х, а также кусочно-заданных функций
сtg (х+/2), х< sin х, х<-/2
у = у =
1/(sin х +1), х tg х/(х-7) 2
2) Область значений функции.
«Областью значений функции f называется множество, состоящее из всех чисел f(х), таких, что х принадлежит области определения функции f». Четкого обоснования того факта, что областью значений функций у=sin х и у=соs х является отрезок [-1;1] ни в одном из действующих школьных учебников не приводится, а вместо этого рассматриваются неравенства -1 sin х 1 и -1 соs х 1, которые выполняются для всех значений х. Однако, отсюда совершенно не следует то, что в область значений данных функций входят все точки отрезка [-1;1]. На этот момент стоит обратить особое внимание, дабы разграничить в умах учащихся два совершенно различных свойства: ограниченность и область значений. Рассмотрим пример.
Рис.4
Функция f(x) в данном случае является ограниченной (выполняются неравенства -1 f(x) 1), но отрезок [-1;1] не является множеством значений данной функции. Поэтому необходимо все-таки показать тот факт, что любое число из отрезка [-1;1] является значением функции у=sin х (у=соs х) в некоторой точке. Показать это можно хотя бы следующим образом.
Возьмем произвольное действительное число х1 такое, что
-1 х1 1. Рассмотрим отрезок [-1;1] принадлежащий оси ОХ и возьмем точку этого отрезка соответствующую х1, восстановим из нее перпендикуляр к оси ОХ. Он пересечет единичную окружность в некоторой точке Рх1 Заметим, что х1 - это абсцисса точки Рх1, а, значит, число х1 является значением функции у=соs х для точки Рх1. (Аналогично для функции у=sin х.)
рис.5
После изучения области значений целесообразно рассмотреть свойство ограниченности функций у=соs х и у=sin х и провести взаимосвязь между этими свойствами не только для тригонометрических, но и для других классов функций.
3) Четность и нечетность.
При изучении свойств четности и нечетности тригонометрических функций необходимо четко обосновать тот факт, что sin(-х) = -sin(х), a cos(-х) = cos(х) для любых действительных значений х. Чаще всего обоснование этого факта сводится к симметричности точек окружности, соответствующих числам или углам t и - t в зависимости от того, на каком этапе происходит обоснование. «Если числу t соответствует точка М числовой окружности, то числу -t соответствует точка Р, симметричная точке М относительно горизонтального диаметра окружности (то есть относительно оси абсцисс). У таких точек одна и та же абсцисса, а ординаты равны по модулю, но отличаются знаком. Следовательно, sin(-t) = -sin(t), a cos(-t) = cos(t)» (см. [16]).
Заметим, что факт симметричности точек t и - t не является очевидным, а значит, сам нуждается в обосновании, провести которое можно, например, рассмотрев треугольник МОР. Обозначим точку пересечения отрезка МР с осью ОХ за В. Тогда треугольник МОР равнобедренный (ОМ = ОР как радиусы одной окружности), луч ОВ является биссектрисой угла МОР, а, следовательно, и высотой и медианой треугольника МОР. Тогда точки М и Р действительно будут симметричными относительно оси ОХ по определению. Это и позволяет сделать вывод о значениях синуса и косинуса противоположных углов. После этого обоснование равенств tg (-t) =-tg (t) и ctg (-t) = -ctg (t) не составит никакой трудности.
Далее следует еще раз обратить внимание учащихся на следующий факт. В определениях четных и нечетных функций в явном виде не указано то, что такие функции имеют область определения, симметричную относительно начала координат, но этот факт часто оказывается полезным при решении задач типа «Докажите, что функция у= sin x, не является ни четной, ни нечетной». Используя вышеупомянутый факт и определив, что область определения данной функции не является симметричной относительно начала координат, сразу можно сделать вывод о том, что функция у=sinx, действительно, не является ни четной, ни нечетной, не рассматривая соответствующих уравнений.
Так же полезно определять четность функций, заданных кусочно. Например, определить являются ли следующие функции четными или нечетными:
Sin (x), если х 0 Соs(x/2), если х
f(x)= f(x)= 2 + х2, если - х
Соs(x), если х0 Соs(x/2), если х
4) Монотонность.
При рассмотрении свойства монотонности тригонометрических функций в большинстве действующих учебников (кроме [11]) не приводится четкого доказательства возрастания функций y=sin x и y=соs x на промежутках [-/2;/2] и [-;0] соответственно, а обоснование этих фактов проводится с опорой на числовую окружность: «При движении точки по четвертой и по первой четвертям окружности в положительном направлении ( от -/2 до /2 ) ее ордината постепенно увеличивается (от -1 до 1), значит функция y=sin x является возрастающей на этом промежутке» (см. [16]). Более строгое доказательство этого факта приводится с опорой на формулу разности синусов и применимо в случае, когда тригонометрические преобразования изучаются раньше тригонометрических функций, то есть когда формула разности синусов к моменту исследования тригонометрических функций является уже известной (см. [11]). «Пусть
-/2 х1 х2 /2,
применяя формулу разности синусов находим
sin х2 - sin х1 = 2 соs [(х1 +х2)/2]*sin [(х2 - х1)/2].
Из неравенства -/2 х1 х2 /2 следует, что
-/2 (х1 + х2)/2 /2 и 0 (х2 - х1)/2 /2,
поэтому соs(х1+х2)/2 0 и sin(х2-х1)/2 0, а следовательно, sin х2 - sin х1 0 то есть sin х2 sin х1»(см. [11]). При этом учителю следует обратить внимание на пояснение того, как из неравенства -/2 х1 х2 /2 получаются неравенства -/2 (х1+х2)/2 /2 и 0 (х2-х1 )/2 /2.
Это целесообразно проиллюстрировать, изобразив отрезок [-/2;/2]. Заметим, что (х1+х2)/2 не что иное, как среднее арифметическое чисел х1 и х2, а, следовательно, принадлежит отрезку [х1;х2], который, в свою очередь, целиком лежит в отрезке [-/2;/2], то есть первое неравенство имеет место. Гораздо большую трудность вызывает обоснование второго неравенства. Заметим, что модуль разности х2-х1 - это расстояние между точками х1 и х2, а так как обе точки принадлежат одному отрезку [-/2;/2], то расстояние между ними не может превышать длины этого отрезка, то есть . С другой стороны модуль - функция неотрицательная, более того, в данном случае положительная, так как х1 и х2 различны. Имеем 0 х2-х1 , но так как х1 х2, то х2-х1 = (х2-х1). Разделив все части неравенства на 2, получим доказываемое неравенство.
Доказательство возрастания функции y=tg x на интервале (-/2;/2), целесообразнее всего проводить аналогичным образом, используя формулу разности тангенсов (см [11]). В случае же, когда преподавание ведется по учебникам, в которых тригонометрические преобразования изучаются после функций, то есть формула разности тангенсов к моменту исследования функций еще не известна, доказательство лучше проводить, разбив интервал (-/2;/2) на два полуинтервала [0;/2) и (-/2;0]. Обоснование возрастания функции y=tg x на полуинтервале [0;/2) не сложно и приведено во всех учебниках, а доказательство монотонности на втором интервале авторы учебников [16] и [2] почему-то считают сложным и опускают вовсе. Поэтому учителю следует обратиться к учебнику [3], в котором дано довольно строгое, но вместе с тем несложное доказательство:
Пусть -/2 х1 х2 0, тогда 0 -х2 -х1 /2. Теперь числа -х1 и -х2 лежат в первой четверти, в которой тангенс возрастает, следовательно tg(-х2 ) tg(-х1). Так как y=tg x нечетная функция, то
tg(-х2 ) tg(-х1) -tg (х2 ) - tg(х1),
а следовательно tg(х1) tg(х2). Что и означает, что функция y=tg x возрастает на промежутке (-/2;0], а значит и на интервале (-/2;/2). Доказательство монотонности функции y=сtg x целесообразно предложить в качестве задания для самостоятельного выполнения.
5) Нули функции и промежутки знакопостоянства.
Нахождение нулей функций и промежутков знакопостоянства сводится к решению простейших тригонометрических уравнений и неравенств, которые учащиеся рассматривали при изучении числовой окружности и не вызывает затруднений.
6) Периодичность.
Изучению этого свойства необходимо уделить особое внимание, так как учащиеся впервые сталкиваются с периодическими функциями. Для отработки понятия периодичности функции целесообразно использовать следующие упражнения.
1. На рисунке изображена часть графика периодической функции на отрезке [-2;2], длина которого равна периоду функции. Постройте график функции на отрезках [-6;-2], [2;3].
2. Постройте график периодической функции y=f(x), с периодом равным 2, если известно, что f(x)=х2/2 на отрезке [-1;1].
3. Является ли число 16 периодом функции y=sin x? А ее основным периодом?
4. Найти основные периоды функций y=sin(6x), y=соs(x/2), y=sin(кx).
5. Докажите, что если функция y=f(x) является периодической, то и y=k*f(x)+b тоже периодическая.
6. Пусть функция f периодическая, Т1 и Т2 - ее периоды. Докажите, что любое число вида nТ1 +mТ2, где n,mN, также является периодом функции f.
7. Докажите, что функции f(x) = sin x2 и cos (x)*cos x не являются периодическими.
8. Докажите, что возрастающая функция не может быть периодической. И т.п.
Следует обратить внимание учащихся на тот факт, что периодическая функция имеет бесконечное множество периодов, среди которых стараются выделить, если это возможно, наименьший положительный период, который называют основным.
После этого все свойства тригонометрических функций желательно проиллюстрировать на графике и свести в одну таблицу.
Свойства | у=sin(x) | у=cos(x) | у=tg(x) | y=ctg(x) | |
Область определения | |||||
Область значений | |||||
Нули функции | |||||
… |
Для дальнейшей отработки навыков по исследованию тригонометрических функций и построению их графиков используют гармонические колебания, которые имеют вид y =Asin(wt+a) и y =Acos(wt+a). Основной целью введения гармонических колебаний является наглядная демонстрация того, как изменяются свойства функций в зависимости от значения коэффициентов A,w и a. При этом целесообразно использовать задания вида:
1.По графику функций определите задающую ее формулу:
Рис.6
