1) доведене до крайнощів домінування логічної схеми міркування;
2) лаконізм, свідоме прагнення завжди знаходити найкоротший логічний шлях досягнення мети, відкидання всього несумісного з досконалою аргументацією;
3) чітка розчленованість процесу аргументації;
4) скрупульозна точність символіки [17, 23-24].
Вивчення математики у початковій школі являє собою складний процес, основними цільовими компонентами якого є:
- засвоєння учнями системи математичних знань;
- оволодіння школярами певними математичними вміннями й навичками;
- розвиток мислення молодших школярів [9, 49].
Ще не так давно вважалось, що успішна реалізація першої та другої цілей математичної освіти автоматично приводить до успішної реалізації третьої цілі. Тобто вважалось, що розвиток математичного мислення відбувається у процесі навчання математики спонтанно. Це правильно лише частково, оскільки результати досліджень багатьох вітчизняних і зарубіжних психологів та дидактів показали, що математичне мислення є не лише одним із найважливіших компонентів процесу пізнавальної діяльності, але й таким компонентом, без цілеспрямованого розвитку якого неможливо досягнути ефективних результатів оволодіння математичною наукою.
Будемо розуміти під математичним мисленням, по-перше, ту форму, якою є діалектичне мислення у процесі пізнання людиною конкретної науки математики або у процесі застосування математики в інших науках, техніці, господарстві і т. д.; по-друге, ту специфіку, яка обумовлена самою природою математичної науки, методів, що застосовуються для пізнання явищ реальної дійсності, а також тими загальними прийомами мислення, які при цьому застосовуються.
Математичне мислення має свої специфічні риси та особливості, вони обумовлені специфікою об'єктів, що вивчаються, а також специфікою методів їхнього вивчення [37, 53].
Існує загальна думка про активну роботу у процесі математичного мислення певних якостей мислення (гнучкість, просторова уява, вміння знаходити головне і т. д.), які в рівній мірі можуть бути співвіднесені як до математичного мислення, так і до мислення фізичного, технічного і т. д., тобто до наукового мислення взагалі.
До числа якостей наукового мислення відноситься гнучкість (нешаблонність), оригінальність, глибина, цілеспрямованість, раціональність, широта (узагальненість), активність, критичність, доведеність мислення, організованість пам'яті, чіткість та лаконічність мовлення та запису [36].
Для прояву гнучкості мислення потрібне сформоване вміння цілеспрямовано змінювати способи розв'язування пізнавальної проблеми, легкість переходу від одного шляху вирішення проблеми до іншого, вміння виходити за межі звичного способу дій, знаходити нові способи вирішення проблем при зміні заданих умов.
Найвищий рівень розвитку нешаблонного мислення проявляється в оригінальності мислення, яка у навчанні математиці, як правило, виступає у незвичності способів розв'язування відомих учням задач.
Глибина мислення характеризується вмінням проникати у сутність кожного з фактів, що вивчаються, у їхньому взаємозв'язку з іншими фактами; виявляти приховані особливості у матеріалі.
Цілеспрямованість мислення характеризується намаганням здійснювати розумний вибір дії при вирішенні певної проблеми, постійно орієнтуючись на поставлену цією проблемою ціль, а також у намаганні відшукати найбільш короткі шляхи її досягнення.
Цілеспрямованість мислення сприяє виявленню такої якості, як раціональність мислення, що характеризується схильністю до економії часу та коштів для вирішення поставленої проблеми, намагання відшукати простий у даному випадку розв'язок задачі, використовувати у ході розв'язування схеми, символіку та умовні позначення.
Раціональність мислення часто виявляється при наявності широти мислення, що характеризується здатністю до формування узагальнених способів дій, що мають широкий діапазон переносу і застосування до частинних, не типових випадків; вміння охоплювати проблему в цілому, не упускаючи при цьому деталей, що мають значення; узагальнити проблему, розширити область застосування результатів, отриманих у процесі її розв'язання [4, 152-153].
Усі розглянуті вище якості мислення можуть проявитися лише при умові прояву активності мислення, що характеризується сталістю зусиль, спрямованих на вирішення деякої проблеми, бажання обов'язково розв'язати поставлену проблему, вивчити різні підходи до її розв'язку, дослідити різні варіанти постановки цієї проблеми у залежності від умов і т. д.
Важливе місце займає критичність мислення, яка характеризується вмінням оцінити правильність обраних шляхів вирішення поставленої проблеми, отримані при цьому результати з точки зору їхньої вірогідності, значущості [37, 53].
З критичністю мислення тісно пов'язана доведеність мислення, що характеризується вмінням терпляче й скрупульозно ставитися до збору фактів, достатніх для винесення будь-якого судження, прагненням до обґрунтування кожного кроку розв'язання задачі, вмінням відрізняти результати достовірні від правдоподібних.
Організованість пам'яті означає здатність до запам'ятовування, довготривалого збереження, швидкого й правильного відтворення основної навчальної інформації та впорядкованого досвіду.
Такі якості наукового мислення, як ясність, точність, лаконічність мовлення і запису, не потребують особливих коментарів. Усі ці якості мислення взаємопов'язані одна з одною, часто виступають в органічній єдності [45, 74].
Отже, математичні об'єкти не володіють жодними речовими (матеріальними) та енергетичними характеристиками, маючи лише одну характеристику: ці об'єкти знаходяться у певних відношеннях один з одним, у відношеннях кількісних, просторових та їм подібних. Тому А. Пуанкаре мав повне право заявити: „Математик вивчає не предмети, але лише відношення між предметами; таким чином, для нього досить байдуже, чи будуть дані предмети замінені якими-небудь іншими, аби тільки не змінювались при цьому їх співвідношення".
Таким чином, математичне мислення - це дуже абстрактне, теоретичне мислення, об'єкти якого позбавлені матеріальності і можуть інтерпретуватися довільним чином, при умові збереження заданих між ними відношень.
Відомо, що розвивати математичне мислення можна за допомогою спеціально підібраної системи задач, вправ і методики роботи з ними. Розв'язування задач - найбільш характерна сфера людської діяльності і являє собою основну діяльність того, хто навчається математиці.
У психології задача розглядається як мета, задана в певних умовах, як особлива характеристика діяльності суб'єкта. Задача тут тлумачиться як суб'єктивне психологічне відображення тієї зовнішньої ситуації, у якій розгортається цілеспрямована діяльність суб'єкта. До задач у широкому розумінні відносять не лише текстові задачі, сюжетні, а й різного характеру вправи, приклади [4, 148].
При розв'язуванні задач формуються мислительні, розумові вміння, а разом з ними сприймання та пам'ять. Розв'язування математичних задач потребує застосування багатьох розумових вмінь: аналізувати задану ситуацію, зіставляти дані та шукане, задачу, що розв'язується зараз із задачами, розв'язаними раніше, виявляючи приховані властивості заданої ситуації; конструювати найпростіші математичні моделі, здійснюючи мислений експеримент; синтезувати, відбираючи корисну інформацію, систематизуючи її; коротко та чітко, у вигляді тексту, символічно, графічно і т.д. оформлювати свої думки; об'єктивно оцінювати отримані при розв'язуванні задачі результати, узагальнювати або спеціалізувати результати розв'язання задачі, досліджувати особливі прояви заданої ситуації. Усе сказане говорить про необхідність враховувати при навчанні розв'язуванню задач сучасні досягнення психологічної науки [17, 21].
Дослідженнями встановлено, що вже сприймання задачі розрізняється у різних школярів одного класу. Здібний до математики учень сприймає і одиничні елементи задачі, і комплекси її взаємопов'язаних елементів, і роль кожного елементу в комплексі. Середній за успішністю школяр сприймає лише окремі елементи задачі. Тому при розв'язуванні задачі необхідно аналізувати зв'язок та співвідношення елементів задачі. Так спроститься вибір засобів переробки умови задачі. При розв'язуванні задач часто доводиться звертатися до пам'яті. Індивідуальна пам'ять здібного до математики школяра зберігає не всю інформацію, а в основному „узагальнені та згорнуті структури". Зберігання такої інформації не обтяжує мозок надлишковою інформацією, а ту, що потрібно запам'ятати, дозволяє довше зберігати та легше використовувати. Навчання узагальненням при розв'язуванні задач розвиває, таким чином, не лише мислення, але й пам'ять.
Математичні задачі повинні перш за все пробуджувати думку молодших школярів, заставляючи її працювати, розвиватися, вдосконалюватися. Кажучи про активізацію мислення, не можна забувати, що при розв'язуванні задач учні не лише виконують побудови, перетворення та запам'ятовують формулювання, але і навчаються чіткому мисленню, вмінню розмірковувати, зіставляти та протиставляти факти, знаходити в них загальне і відмінне, робити правильні умовиводи [46, 16].
Задачі мають активізувати розумову діяльність учнів. Ефективність навчальної діяльності, спрямованої на розвиток мислення, багато в чому залежить від ступеня творчої активності школярів при розв'язуванні задач. Отже, необхідні такі задачі та вправи, які б активізували розумову діяльність.
А.Ф. Єсаулов поділяє задачі на наступні види: задачі, розраховані на відтворення (при їх розв'язуванні спираються на пам'ять та увагу); задачі, розв'язування яких приводить до нової, невідомої до цього думки, ідеї; творчі задачі. Активізує та розвиває мислення розв'язування задач двох останніх видів. Розглянемо деякі з них [15, 71-72].
1. Задачі, вправи, що включають елементи дослідження. Найпростіші дослідження при розв'язуванні задач треба пропонувати, починаючи вже з перших практичних занять. Згодом необхідно давати не лише задачі з елементами досліджень, але й задачі, що включають дослідження як обов'язкову складову частину. Такі дослідження необхідно включати у розв'язування багатьох геометричних задач на побудову, задач математичного аналізу тощо.
Задачі та вправи з виконанням деяких досліджень можуть знайти своє місце на будь-яких уроках математики у початковій школі.
2. Задачі на доведення здійснюють суттєвий вплив на розвиток мислення учнів. Саме при виконанні доведень відточується логічне мислення, розроблюються логічні схеми розв'язування задач, в школярів виникає потреба обґрунтувати математичні факти.
3. Задачі та вправи у пошуку помилок також відіграють суттєву роль у розвитку математичного мислення учнів. Такі задачі привчають звертати увагу на особливо тонкі місця у логічних міркуваннях, допомагають розрізняти дуже схожі поняття, привчають до точності суджень і математичної строгості і т.д. Перші кроки у відшуканні помилок повинні бути нескладними.
Таким чином, комплекс вправ, що складається із простих задач різного типу, шляхом поступового ускладнення розумових дій може сприяти вивченню конкретних математичних понять, формуванню математичних уявлень, і разом з цим у кінцевому результаті привести до якісних та кількісних змін у рівні розвитку мислення молодших школярів.
Розділ 2. Методика роботи над простими задачами на розкриття конкретного змісту арифметичних дій
2.1 Ступені і етапи роботи над задачами
Роль простих задач у навчанні математики надзвичайно велика. Вони є основним засобом у формуванні поняття про арифметичні дії та величини. В процесі розв'язування простих задач учні опановують основні прийоми роботи над задачею.
Важливим елементом задачі, що дає змогу досягти мети, є розв'язування [3, 40]. Розв'язування задачі -- це «процес перетворення її умови, який здійснюється на основі знань з тієї галузі, до якої належить задача, певних логічних правил виводу і особливих правил інтуїтивного (евристичного) характеру». В найбільш загальному плані можна сказати, що цей процес складається з таких етапів: аналіз задачі, пошук плану розв'язування; здійснення знайденого плану розв'язування (розв'язання); з'ясування, що здобутий результат задовольняє вимогу задачі (перевірка розв'язання); аналіз розв'язування (з'ясування прийомів розв'язування, розгляд інших способів розв'язування).
Зазначені етапи в тій або іншій мірі діяльності мають місце і знаходять застосування і в методиці розв'язування задач 1-4 класів. При цьому виділяють здебільшого такі чотири етапи: І -- ознайомлення із змістом задачі; II -- аналіз задачі і відшукання плану розв'язування; III -- розв'язання задачі; IV -- перевірка розв'язування. Розглянемо методику роботи на кожному з цих етапів [2].
1. Ознайомлення із змістом задачі. Усвідомлення змісту задачі -- необхідна умова її розв'язання. Учень не повинен приступати до розв'язування задачі, не зрозумівши її умови. Тому ознайомлення з задачею містить власне опанування її змісту і перевірки усвідомлення його дітьми.
Приступаючи до розв'язування задачі, важливо сприйняти її в цілому, а потім вже розбивати на окремі частини. При фронтальному ознайомленні вчитель читає (або переказує) задачу двічі. Першого разу задачу читають з метою ознайомлення з її змістом в цілому. Другого разу задачу читають частинами і так, щоб кожна частина містила певну смислову «одиницю» тексту. Поділ задачі на частини здебільшого передбачає виділення окремих числових даних її. Під час другого читання доцільно на дошці записувати умову. Читаючи задачу, вчитель паузами та інтонацією виділяє числові дані та слова, що визначають вибір дії та запитання задачі. Якщо в задачі є маловідомі дітям терміни, то їх слід пояснити заздалегідь, застосовуючи для цього предметне ілюстрування або малюнки.
Щоб перевірити, як учні усвідомили умову задачі, вчитель задає учням запитання (за смислом окремих частин) або пропонує переказати всю задачу. З метою активізації контрольного повторення задачі слід наперед ставити перед учнями те або інше завдання. Наприклад: «Послухайте задачу і повторіть вголос її запитання», «Прочитайте задачу самостійно і скажіть, що нам відомої про...».
2. Аналіз задачі і відшукання плану її розв'язування. Учень зможе успішно розв'язати задачу, якщо розумітиме значення слів і виразів, з яких вона побудована. На початку навчання і при розгляді нових задач усвідомлення значення слів та зв'язків між величинами досягається через відтворення тієї реальної проблемної ситуації, моделлю якої є задача. В подальшому дедалі частіше застосовується вербальний (словесний) аналіз (розбір) задачі.
Вербальний аналіз в широкому розумінні містить, з одного боку, семантичний аналіз, а з другого -- знаходження способу розв'язування її. Суть семантичного аналізу полягає в тому, що на основі аналізу тексту задачі визначають окремі значення величин, а також відношення, що їх пов'язують.
Під час аналізу треба з'ясувати, скільки величин розглядається в задачі та які вони мають значення. Задавання кожного значення величини звичайно складається з трьох частин: назви величини, зазначення особливості певного значення і числове значення, якщо воно відоме (задане). Якщо числове значення не задано, то воно є невідомим, і якщо, крім того, в завдання цього невідомого значення входить запитання «скільки»?» чи вимога «знайти», то це значення шукане [27, 23].
3. Розв'язання задачі -- це виконання арифметичних дій відповідно до складеного плану. Планом користуються і тоді, коли задачу розв'язують за допомогою складання виразу чи рівняння. Виконуючи дії, учні коментують їх: що знайдено за допомогою кожної дії. При усному розв'язуванні задачі необов'язково щоразу називати питання плану повністю. Можна практикувати короткі коментарі.
4. Перевірка розв'язання є складовою частиною і характерною рисою математичної діяльності. Перевірити розв'язання задачі -- це з'ясувати, правильне воно чи ні. Для вчителя цей процес є засобом виявлення прогалин у знаннях учнів, а в поєднанні з аналізом та оцінкою -- засобом виховання інтересу до вивчення математики. Треба поступово виховувати в дітей почуття необхідності самоперевірки, ознайомлювати їх із найбільш доступними прийомами перевірки. З цією метою слід проводити бесіди, в яких аналізувати допущені учнями помилки.
У процесі розв'язування простих задач учні дістають деякі уявлення про структуру задачі. При цьому учителі пропонують деякі спеціальні запитання і завдання, проте вони здебільшого зводяться до вимоги розчленувати задачу на умову і запитання: повторення умови задачі, її запитання; читання задачі і виділення в ній запитання; читання умови задачі про себе, а вголос -- тільки запитання; визначення, що в задачі відомо, а що невідомо. Щоб підкреслити основну відмінність складеної задачі від простої, ставлять, наприклад, такі запитання: Чи можна розв'язати задачу однією дією? Чому не можна розв'язати задачу однією дією? Яку маємо задачу -- просту чи складену? Такі запитання корисні, але вони не охоплюють усіх компонентів поняття "задача". Роботу в цьому напрямку потрібно урізноманітнити [54, 32].
Учні швидко усвідомлюють, що в арифметичній задачі має бути не менш як два числа. Проте іноді вони забувають про це намагаються розв'язати задачу тільки з одним числовий даним. З цією метою корисно також розглядати задачі з недостатньою кількістю даних.
У роботі над деякими задачами можна вказати прийоми, за допомогою яких з'ясовують, що числові дані задачі перебувають у певних зв'язках, а вибір їх визначається запитаннями. Для задач, пов'язаних різницевим або кратним відношенням, ці прийоми зводяться до постановки запитання: Що в задачі сказано про залежність між числами? Учні відповідають: "У задачі сказано, що друге число на 3 менше, ніж перше". До задач з пропорційними величинами ставлять узагальнені запитання: “Про що можна дізнатись, якщо відомі шлях і швидкість?” тощо [18, 35].
У підручниках для початкових класів переважна більшість задач містить запитання зі словом "скільки", решта задач містить запитання із такими словами та виразами: “Чому дорівнює...?”, “Знайти...”, “Обчислити”. Кількість цих задач з кожним наступним кроком зростає, але за змістом вони належать до практичних задач. Це є однією з причин того, що вимогу задачі учні розуміють як речення, яке починається зі слова "скільки".
Щоб запобігти такому стереотипу, слід іноді перебудовувати запитання. Наприклад, замість "Скільки літрів бензину залишилося?" запитуємо "Яка остача бензину?" або "Знайти остачу бензину", "Чому дорівнює остача бензину?" Узагальнюючим словом тут є "остача". Запитання "Скільки учень заплатив за всю покупку?" можна перебудувати так: "Яка вартість всієї покупки?" або "Обчисліть вартість всієї покупки". Запитання без слова "скільки" пропонує вчитель, а перебудоване запитання, яке містить слово "скільки", формулюють учні [2].
Для розвитку уявлень учнів про структуру задачі дуже корисними є вправи на перетворення та складання задач. Для простих задач основними вправами є добір запитання до умови або добір умови до запитання. До творчих завдань належать: складання задач за даним розв'язком, за малюнком; порівняння задач; перетворення даної задачі в споріднену (в них величини пов'язані однаковою залежністю).
