b>2. Допустим, что m (x-a1) 2… (x-an) 2+1 приводим, тогда

m (x-a1) 2… (x-an) 2+1 = f1 (x) f2 (x).

Как и выше, f1 (x) = f2 (x) =1 либо f1 (x) = f2 (x) = - 1 для всех x из {a1; …; an}. Если f1 (x) принимает значения и 1 и - 1, то в силу непрерывности многочлена, f1 (x) = 0 для некоторого x. Но тогда для этого x выполнено равенство

m (x-a1) 2… (x-an) 2+1 = f1 (x) f2 (x) = 0,

чего быть не может ни при одном натуральном m. Поэтому для определенности будем считать, что f1 (ai) = f2 (ai) =1 для всех i от 1 до n. (В случае, когда, f1 (ai) = f2 (ai) =-1 для всех i от 1 до n доказательство проводится аналогично) Как и в пункте 1, получаем

f1 (x) = t (x-a1) … (x-an) +1;

f2 (x) = d (x-a1) … (x-an) +1.

Отсюда,

m (x-a1) 2… (x-an) 2+1 = f1 (x) f2 (x) = td (x-a1) 2… (x-an) 2+ (t+d) (x-a1) … (x-an) +1.

Из равенства многочленов получаем m = td и (t+d) (x-a1) … (x-an) = 0. Последнее равенство выполнено при всех значениях x, поэтому из него следует, что t+d = 0, то есть t = - d. Откуда натуральное m = - t2. Противоречие показывает, что многочлен m (x-a1) 2… (x-an) 2+1 неприводим. Утверждение доказано.

3. Рассмотрим неприводимый многочлен ax2+bx+1. Допустим, дискриминант b2-4a<0, а многочлен a (x-a1) 2… (x-an) 2 + b (x-a1) … (x-an) +1 = f1 (x) f2 (x) приводим. Как и в пункте 2, учитывая, что при отрицательном дискриминанте многочлен не будет обращаться в 0, получаем:

f1 (x) = t (x-a1) … (x-an) +1;

f2 (x) = d (x-a1) … (x-an) +1.

Отсюда,

a (x-a1) 2… (x-an) 2 + b (x-a1) … (x-an) +1 =

= f1 (x) f2 (x) = td (x-a1) 2… (x-an) 2+ (t+d) (x-a1) … (x-an) +1.

Из равенства многочленов получаем, что a = td и b = t+d. Значит t и d являются корнями уравнения x2 -bx +a = 0. Но согласно предположению дискриминант этого уравнения b2-4a<0. Уравнение не имеет корней. Таким образом допущение не верно и при отрицательном дискриминанте многочлен a (g (x)) 2+bg (x) +1 неприводим.

3.2 Пример 2: волнистые числа

Назовем девятизначное число волнистым числом первого типа, если

Например, число 162539581 волнистое число первого типа. Назовем девятизначное число волнистым числом второго типа, если

а) Найдите количество девятизначных волнистых чисел первого и второго типа.

б) Найдите формулу для вычисления количества волнистых п-значных чисел первого и второго типа.

Назовем девятизначное число волнистым числом третьего типа, если

Назовем девятизначное число волнистым числом четвертого типа, если



а) Найдите количество девятизначных волнистых чисел третьего и четвертого типа.

б) Найдите формулу для вычисления количества волнистых п-значных чисел третьего и четвертого типа.

Предложите свои обобщения этой задачи и исследуйте их.

Решение

Лемма 1. Обозначим через f (n,k1,k2) - количество n-значных волнистых чисел первого типа, начинающихся с цифры k1 и заканчивающиеся на цифру k2, g (n,k1,k2) - количество n-значных волнистых чисел второго типа, начинающихся с цифры k1 и заканчивающиеся на цифру k2. Тогда

и

Также, и

Доказательство. Рассмотрим n-значные волнистые числа первого типа.

Нетрудно заметить, как они получаются. Берутся все n-1-значные волнистые числа и, в зависимости от текущего знака (“<" или ”>”), дописывается каждому числу цифра, меньшая или большая последней, т.е. чтобы найти количество n-значных волнистых чисел, заканчивающихся на k, надо найти сумму всех количеств n-1-значных чисел заканчивающихся на цифры от 0 до k-1 или от k+1 до 9.Т. к. на каждом шаге мы корректно вычисляем волнистые числа, то нет необходимости знать всё число: все зависит от последней цифры.

Следовательно, можно составить рекуррентную формулу, которая будет корректно вычислять количество n-значных волнистых чисел первого типа начинающихся на цифру k1 и заканчивающихся на цифру k2.

Рассмотрим рекуррентную формулу для волнистых чисел первого типа.

Начальные её значения , т.е. есть только по одному однозначному волнистому числу, начинающемуся на i и заканчивающемуся на i ().

Пусть , тогда по четности/нечетности i () определяем текущий знак “<” или “>”:

Если i-нечетное, то является суммой всех количеств i-1-значные волнистых чисел первого типа, которые начинаются на k1 и у которых последняя цифра меньше k2.

Если i-четное, то является суммой всех количеств i-1-значные волнистых чисел первого типа, которые начинаются на k1 и у которых последняя цифра больше k2.

Аналогично, выводится рекуррентное соотношение для волнистых чисел второго типа.

Теорема 1. Количество n-значных волнистых чисел первого типа:

и количество n-значных волнистых чисел второго типа:

.

Составим таблицу некоторых значений f (n,k,k2)

k
0	1	0	0	0	0
1	1	8	44	276	1650
2	1	7	42	259	1561
3	1	6	39	235	1430
4	1	5	35	205	1260
5	1	4	30	170	1055
6	1	3	24	131	820
7	1	2	17	89	561
8	1	1	9	45	285
9	1	0	0	0	0
	10	36	240	1410	8622

k
0	0	0	0	0
1	10032	60654	367422	2224299
2	9471	57309	347073	2101296
3	8651	52403	317253	1920984
4	7596	46067	278782	1688269
5	6336	38471	232715	1409487
6	4906	29820	180312	1092234
7	3345	20349	123003	745161
8	1695	10317	62349	377739
9	0	0	0	0
	52032	315390	1908909	11559469

Составим таблицу некоторых значений g (n,k,k2)

k
0	1	0	0	0	0
1	1	1	9	45	285
2	1	2	17	89	561
3	1	3	24	131	820
4	1	4	30	170	1055
5	1	5	35	205	1260
6	1	6	39	235	1430
7	1	7	42	259	1561
8	1	8	44	276	1650
9	1	9	45	285	1695
	10	45	285	1695	10317

k
0	0	0	0	0
1	1695	10317	62349	377739
2	3345	20349	123003	745161
3	4906	29820	180312	1092234
4	6336	38471	232715	1409487
5	7596	46067	278782	1688269
6	8651	52403	317253	1920984
7	9471	57309	347073	2101296
8	10032	60654	367422	2224299
9	10317	62349	377739	2286648
	62349	377739	2286648	13846117

Ответ:

а) первого типа: 11559469; второго типа: 13846117

б)



Лемма 2. Обозначим через t (n,k1,k2) - количество n-значных волнистых чисел третьего типа, начинающихся с цифры k1 и заканчивающиеся на цифру k2, r (n,k1,k2) - количество n-значных волнистых чисел четвертого типа, начинающихся с цифры k1 и заканчивающиеся на цифру k2. Тогда

и

Также и

Доказательство. Рассмотрим n-значные волнистые числа третьего типа.

Нетрудно заметить, как они получаются. Берутся все n-1-значные волнистые числа и, в зависимости от текущего знака (”", ”<”, ”>", ””), дописывается каждому числу цифра, меньшая, равная или большая последней, т.е. чтобы найти количество n-значных волнистых чисел, заканчивающихся на k, надо найти сумму всех количеств n-1-значных чисел заканчивающихся на цифры от 0 до k, или от 0 до k+1, или от k+1 до 9, или от k до 9.Т. к. на каждом шаге мы корректно вычисляем волнистые числа, то нет необходимости знать всё число: все зависит от последней цифры.

Следовательно, можно составить рекуррентную формулу, которая будет корректно вычислять количество n-значных волнистых чисел третьего типа начинающихся на цифру k1 и заканчивающихся на цифру k2.

Рассмотрим рекуррентную формулу для волнистых чисел третьего типа.

Начальные её значения , т.е. есть только по одному однозначному волнистому числу, начинающемуся на i и заканчивающемуся на i ().

Пусть , тогда по остатку от деления i-2 на 4 определяем текущий знак: ”", ”<”, ”>", ””:

Если (i-2) mod 4=0, является суммой всех количеств i-1-значные волнистых чисел третьего типа, которые начинаются на k1 и у которых последняя цифра меньше либо равна k2.

Если (i-2) mod 4=1, является суммой всех количеств i-1-значные волнистых чисел третьего типа, которые начинаются на k1 и у которых последняя цифра меньше k2.

Если (i-2) mod 4=2, является суммой всех количеств i-1-значные волнистых чисел третьего типа, которые начинаются на k1 и у которых последняя цифра больше.

Если (i-2) mod 4=3, является суммой всех количеств i-1-значные волнистых чисел третьего типа, которые начинаются на k1 и у которых последняя цифра больше либо равна k2.

Аналогично, выводится рекуррентное соотношение для волнистых чисел четвертого типа.

Теорема 2. Количество n-значных волнистых чисел третьего типа:

и количество n-значных волнистых чисел четвертого типа:

.

Составим таблицу некоторых значений t (n,k,k2)

k
0	1	0	0	0	0
1	1	9	36	240	990
2	1	8	28	196	826
3	1	7	21	154	665
4	1	6	15	115	510
5	1	5	10	80	365
6	1	4	6	50	235
7	1	3	3	26	126
8	1	2	1	9	45
9	1	1	0	0	0
	10	45	120	870	3762

Страницы: 1, 2, 3, 4

Голосование

Как вы оцениваете работу нашего сайта? Отлично Хорошо Нормально Плохо Результаты