Итак, в математике вначале было не число, а множество. Анализ понятия множества и выяснения его подлинного значения в математике есть заслуга главным образом немецкого математика Георга Кантора (1845-1918 гг.). Созданная им теория множеств, некоторые идеи которой имелись и у предшественников Кантора и в частности были сравнительно подробно разработаны у чешского философа Бальцано (1781-1848 гг.), лежит ныне не только в основе математического анализа, но и проникает в известной мере в учебники школьной арифметики и алгебры. Современной человек уже в ранние годы жизни легко приобретает способность считать, называя числа один, два, три, четыре и т.д. Этот числовой ряд мы называем натуральным, его элементы - натуральными числами. Уже в I н. э. греческий математик Никомах говорит о натуральном, т. е. естественном ряде чисел. Термин «натуральное число» впервые употребляет римский автор Боэций (475-524 гг. н.э.). Время от времени термин этот встречается затем в рукописях XI века и позже. В современном смысле понятии «натуральное число» и последовательное употребление термина находит применение у французского просветителя Даламбера (1717-1783 гг.) в изданной им сотрудничестве с другими передовыми писателями во всеобщее употребление. Во многих языках, в том числе славянском, существуют такие грамматические формы, как единственное число, двойственное число и множественное; слово, обозначающее предмет, имеет различные окончание, в зависимости от того идет ли речь об одном, о двух или более чем о двух предметах. В некоторых языках имеется еще особая форма тройственного числа. Эти языковые формы являются пережитками той отдаленной эпохи развития, в которую человеком были освоены лишь числа один и два или один, два и три; всякая более многочисленная группа предметов характеризовалась словами «много», «тьма». В замечательном памятнике древнерусской литературы «Поучение Владимира Мономаха» написанном лет восемьсот назад, формы слов в различных падежах совпадают с современными, когда речь идет об одном или о многих предметах (формы единственного или множественного чисел). Когда же говорится о двух предметах или парных, появляется непривычная нам форма. «Конь диких своима рукама связал есмь. А лось ругама бол…»
В этом отрывке, понятном по смыслу, подчеркнутые слова имеют форму двойственного числа (речь идет о двух, о трех рогах). (4, 42-43) Исчезновение двойственного числа в русских памятниках начинается с 13 в. Наиболее освоенное число натурального ряда, граничащее с не считаемым, часто приобретало особый ореол чудесного и, по видимому, служило основанием для возникновения суеверий, связанных с различными числами, сохранившимся в языке до сих пор. Суеверия связанные с такими числами как 3,7,13,40 распространены. Как мы знаем, у нас сейчас в употреблении десятичная система счисления. Единственной причиной, заставивший большинство народов избрать десятичную систему счисления, является наличие у человека на руках десяти пальцев, которые служили удобнейшей вещественной основой счета. Десять пальцев - это то стандартное множество, с которым сравнивал первобытный человек всякое другое множество до тех пор, пока у него не образовалось в сознание новое стандартное множество, в виде абстрактного ряда натуральных чисел. Историческую роль пальцев при образование числовых понятий мы вспоминаем каждый раз, когда советуем ученику считать по пальцам. Пальцевый счет - обозначение чисел при помощи пальцев - обладал не только большой наглядностью, но и был вызван практическими потребностями. Приемы его излагались еще в учебниках XVI в., например у Рикорда (1510 -1558 гг.). Пальцевый счет был необходим в торговых местах, где сталкивались представители разных народов, не имевших общего языка. Практическая необходимость выработала общий пальцевой счет, понятный без слов, и этому счету обучали детей в школе. (7, 20 - 27)
Числа 1, 2, 3, 4, . . . называются натуральными.
Понятие натурального числа является одним из основных понятий в математике. Возникло оно, как и вся наука математика, из потребности практической деятельности людей. Складывалось оно постепенно в процессе решения все усложняющихся задач с начала практического , а затем и теоретического характера. Причиной, которая привела человека к созданию натуральных чисел, является необходимость сравнивать различные конечные множества между собой. В своем развитии понятие натурального числа прошло несколько этапов. В глубокой древности, чтобы сравнивать конечные множества, устанавливали или между одним из множеств и подмножеством другого множества, т.е. на этапе человек воспринимал численность множества предметов без счета их. Например, о численности группа из пяти предметов он говорил: «Столько же, сколько пальцев на руке», о множестве из двадцати предметов: «Столько же, сколько пальцев у человека». Такой метод обладал недостатком, что сравниваемые множества должны быть одновременно обозримы. В результате очень долгого периода развития человек пришел к следующему этапу создания натуральных чисел - сравнения множеств стали применять множества-посредники уже представляли собой зачатки понятия натурального числа, хотя и на этом этапе число не отделялось от сосчитываемых множеств: речь шла о пяти камешках, пяти пальцах, а не о числе вообще. Названия множеств-посредников стали использовать для определения численности множеств, которые с ними сравнивались. Так, у некоторых племен численность множества, состоящего из пяти элементов, обозначалась словом «рука», а численность множества из 20 предметов - словами «весь человек».
Только после того как человек научился оперировать множествами-посредниками, установил то общее, что существует, например, между пятью пальцами и пятью яблоками, то есть когда произошло отвлечение от природы элементов множеств-посредников, возникло представление о натуральном числе. На этом этапе при счете, например, яблок перечислялось уже не одно яблоко, два яблока и т.д., а проговаривали слова «один», «два», «три» и т.д. Это был важнейший этап в развитии понятие числа. Вот как об этом говорил крупнейший математик современности Н.Н. Лузин: «Мы должны склониться перед гением человека, созданию (не открывшего, а создавшего) понятие единицы. Возникло число, а вместе с ним возникла Математика . Идея числа - вот с чего начиналась история величайшей науки»
Со временем люди научились не только называть числа, но и обозначать их, а также выполнять над ними действия. Многие трудности в решении этих проблем были преодолены с созданием в Древней Индии десятичной системы записи чисел и понятие нуля. Постепенно сложилось и представление о бесконечности множества натуральных чисел .
После того как понятие натурального числа сформулировалось числа стали самостоятельными объектами и появилась возможность изучать их как математические объекты. Наука, которая стала изучать числа и действия над ними, получила название «арифметика».
Арифметика возникла в странах Древнего Востока, Вавилоне, Китае, Индии, Египте. Накопленные в этих странах математические знания были развиты и продолжены учеными Древней Турции. В средние века большой вклад в развитие арифметики внесли математике Индии, стран арабского мира и Средней Азии, а начиная с 13 века -европейские ученые.
Термин «натуральное число» впервые употребил римский ученый А. Боэций. В настоящее время свойства натуральных чисел, действия над ними изучаются разделом математики, носящим название «теории чисел». В 19 веке внимание ученых было обращено на построение и логическое обоснование математических теорий натурального числа, т. е. тех теорий, которые лежат в основе вычислений с натуральными числами.(4, 123 - 125)
За счетную группу, или основание системы счисления, можно применять любое число. Это положение явным образом было высказано французским математиком Б. Паскалем в 1665 году. Некоторое из систем счисления, основания которых отличны от десяти, употреблялись или предлагались в разное время. Естественным является предложение, что до того как человек принял к десятичному счислению, он пользовался при счете пальцами одной руки. Это привело его к созданию пятеричного счисления. Следы пятеричной системы счисления которой пользовались когда-то, вероятно все народы, сохранились в римской письменной нумерации. С несомненностью можно установить ясные следы пятеричного счисления у чукчей. Вот что сообщает о них уже не раз цитированный писатель Т. Семушкин, который работал ряд лет у чукчей: «Уроки арифметики чукотские дети любили не менее « разговора по бумажке» (чтения и письма). Но здесь помехой является их обычный счет пятерками, по числу пальцев на каждой руке и ноги. Взрослые чукчи таким счетом пользуются очень хорошо в пределах тысячи. Они редко ошибаются, хотя считают довольно долго. Для большого удобства они иногда снимают обувь, и счет производится на двадцати пальцах рук и ног. Пять человек составляют сотню. (20, 25-27)
Двоичная система счисления как самая простая существовала, по- видимому, вначале у всех народов. При помощи черточек и пар точек в те времена записывали числа от нуля семи смысл этой таблички указал Лейбниц (1646-1716 гг.), который рекомендовал миссионерам, сообщившим ему эту запись использовать двоичную систему нумерации для обращения китайцев в христианство: христианская религия, по которой человек-нуль, ничто рядом с богом - единицей, должна быть по душе китайцам, в системе счисления которых фигурировали только знаки для 0 и 1. (11, 123-125)
Итак, путь развития числа и счета очень сложный и для этого понадобилось несколько тысячелетий. Развитию чисел способствовало потребность числа в практической деятельности. В математике вначале было не число, а множество. В глубокой древности, чтобы считать предметы, устанавливали сравнение или между одним из множеств, или подмножеством другого множества предметов, т.е.человек воспринимал численность множества предметов без счета их. Например, о численности из пяти предметов он говорил: «Столько же, сколько пальцев на руке». Такой метод обладал недостатком: сравниваемые множества должны быть одновременно обозримы. Со временем люди нашли то общее, что существует между пятью пальцами и пятью камешками. Возникло представление о натуральном числе. Когда считали, они проговаривали «один», «два», «три», «четыре», и т. д. После того как понятие натурального числа сформировалось, числа стали самостоятельными. Затем появилась возможность изучать их как математические объекты. В настоящее время свойства натуральных чисел, действия над ними изучается разделом математики, носящим название «теория чисел».
1.2 Теоретико-множественный смысл понятия числа и арифметических действий над ними
Чтобы понять, что такое натуральные числа, приведем такой пример. Между людьми имеются отношения, которые обозначаются словом «дружба». Каждый из вас должно быть, имеет друга или несколько друзей, и вам поэтому известно и понятно, что представляет собой это отношение. Но заметьте: имеется (существует), во-первых, отношения между людьми, называемое дружбой, во-вторых, наше (общечеловеческое) представления об этом отношении, имеется, в-третьих, слово обозначающее это отношение и наше представление о нем, и, наконец, имеется запись этого слова на каком-то языке (на русском, на немецком и т.д.). Примерно также обстоит дело с натуральными числами. Имеется свойства множеств предметов, состоящие в том, что все множества предметов можно разделить на классы, объединив в одном классе все множества, одинаковые по количеству предметов, также человечество исторически на протяжении многих веков выработало (создало) общечеловеческое (т.е. одинаковое для всех людей) представление об этих свойствах множеств предметов (подобные представления в науке называют моделями свойств). Эти представления и есть сами натуральные числа. Затем каждый народ разработал систему устной нумерации и письменной нумерации (которая принята большинством народов). (12, 5-9)
В основе устной нумерации всех народов лежит идея группового счета, т.е счета предмета не по одному, а одинаковыми группами из этих предметов. Если нас в первую очередь интересует установление количества предметов в данном множестве, то указывая каким-либо образом на каждой из предметов множества, мы произносим названия натуральных чисел один, два, три и т.д. Конечно, при этом важно не пропустить ни один из предметов, и не сосчитать один и тот же предмет дважды. Если это выполнено, то, указав на последний предмет, мы называем натуральное число, которое указывает количество предметов в перечисляемом множестве. Если, например, указав на последний предмет, мы произносим «восемь», то это значит, что количество предметов в этом множестве равно 8. Значит, это множество содержит 8 элементов.
Заметим, что в каком бы порядке мы не считали предметы множества, опыт показывает, что результат счета будет один и тот же. Если же нас интересует установление порядка между предметами данного множества, то при счете этих предметов мы используем порядковые названия натуральных чисел (первый, второй, третий и т.д.). Тем самым предметы множества мы как бы располагаем в ряд. Одновременно с этим мы устанавливаем и количество предметов в множестве. Если последний из перечисленных предметов оказался восьмым, в множестве имеется 8 элементов.
Дети должны уметь последовательно выделять признаки предметов («Что это? Для чего нужны? Какой формы? Какого размера? Какого цвета? Сколько?»). Сравнивать предметы и объединять их в группы в основе одного из выделенных признаков, в образование групп. Они выделяют признаки, общие для всей группы предметов или лишь для части предметов данной группы, т.е. выделяют подгруппы предметов по тому или иному признаку, устанавливать количественные соотношения между ними. Например: «Сколько машин? Сколько деревянных игрушек? Сколько металлических? Сколько больших игрушек? Сколько маленьких?»
В заключение можно предлагать придумать вопросы со словом сколько, основываясь на умение выделять, признаки объектов и объединять их по общему для данной подгруппы или группы в целом признаку.
Каждый раз перед ребенком ставит вопрос: почему он так думает? Это способствует лучшему осознанию количественных отношений. Упражняясь, дети сначала устанавливают, каких предметов больше, каких меньше, а затем пересчитывают предметы и сравнивают числа либо сначала определяют количество предметов, попавших в разные подгруппы, а затем устанавливают количественные отношения между ними: «Чего больше, если треугольников 6, а кругов 5?».
Сравнивая совокупности предметов дети должны знать способы практического сопоставления их элементов: наложение, приложение, раскладывание предметов 2 совокупностей парами, использование эквивалентов для сравнения 2 совокупностей, наконец, соединение предметов 2 совокупностей стрелочками. Например, учитель рисует на доске 6 кружков, а с права - 5 овалов и спрашивает: «Каких фигур больше (меньше) и почему? Как проверить? А если не считать?» Кому-либо из детей предлагает каждый кружок соединить стрелочкой овалов . Выясняет, что 1 кружок оказался лишним, значит, их больше, чем других фигур, 1 овалов не хватила, значит, их меньше, чем кружков. «Что надо сделать, чтобы фигур стало поровну?» и т. д. Детям предлагается самим нарисовать указанное число фигур 2 видов.
