Простейшей операцией над множествами является операция соединения (объединения) нескольких множеств в одно новое множество. Если мы имеем два множества А и В, то в результате получается новое множество С, такое, что каждый элемент с является или элементом множества n (А), или элементом множества n (В). И обратно: каждый элемент множества n (В) входят в множество n (С).
А В
С
Рис. 2.
Если количество элементов множества n (А) равно а, а количество элементов множества n (В) равно в, то действие с помощью которого находят количество элементов в множестве n (С) - объединения множеств А и В, есть сложение чисел а и в, которое записывается так: а + в = с. При этом числа а и в называются слагаемыми, а число с - результат сложения чисел а и в называются их суммой.
Числовые равенства интерпретируются на числовом луче. Можно условно выделить три вида ситуаций, связанных с операцией объединения:
а) увеличение данного предметного множества на несколько предметов:
Рис. 3.
б) увеличение на несколько предметов множества, равночисленного данному:
Рис.4.
в) составление одного множества из двух данных:
Рис.5.
В процессе выполнения предметных действий у ребенка формируется представление о сложении как о действии, которые связано с увеличением количества предметов. Другой простейшей операцией над множествами является операция вычитания (отнимания) при операции вычитания из одного множества элементов отнимают элементы другого множества. Так на рисунке 1 из множества n (С) можно отнять множество n (А) и останется множество n (В). При формировании у детей представлений о вычитании можно условно ориентироваться на следующие предметные ситуации:
а) уменьшение данного предметного множества на несколько предметов (множество предметов, которые удаляются, зачеркнуто):
Рис.6.
б) уменьшение множества, равночисленного данному, на несколько предметов:
Рис.7.
в) сравнение двух предметных множеств, т. е. ответ на вопрос «На сколько предметов в одном множестве больше (меньше), чем в другом?»:
Рис.8.
В процессе выполнения предметных действий у ребенка формируется представление о вычитании как о действие, которое связано с уменьшением количества предметов.
Рассмотрим конкретный пример: «У Маши было пять кукол. Две она подарила Тане. Покажи куклы, которые у нее остались». Дети рисуют 5 кукол, зачеркивают 2 и показывают куклы, которые у нее остались.
Рис.9.
Для разъяснения смысла вычитания, также как и сложения, можно использовать представления детей о соотношение целого и части. В этом случае куклы, которые были у Маши («целое»), состоят из двух частей: «куклы, которые она подарила и куклы, которые у нее остались».
Часть всегда меньше целого, поэтому нахождение части связано с вычитанием. Обозначая части и целое их числовыми значениями, дети получают выражение 5 - 2 или равенство 5 - 2 = 3. В процессе выполнения у детей формируется представление о понятие «меньше на».
Из курса математики нам известно, что если а и в целые неотрицательные числа, то:
а) а · в = а + а + а + … + а, при в < 1;
в слагаемых
б) а · 1 = а, при в = 1
в) а · 0 = 0, при в = 0
Теоретико-множественная трактовка этого определения лежит в основе разъяснения младшим школьникам смысла умножения. Она легко переводится на язык предметных действий и позволяет для усвоения нового понятия активно использовать ранее изученный материал. Для осознания необходимости введения нового действия можно использовать различные реальные ситуации. Например: учащимся предлагается подсчитать количество кафельных плиток, необходимых для выкладки стены на кухне. Стена имеет форму прямоугольника разбитого на квадраты (это может быть клетчатая часть доски). Они, естественно, начинают действовать способом по единичного счета клеток, но скоро обнаруживают трудоемкость такой работы. Подчеркнув это, учитель ставит задачу найти более простой путь поиска ответа. Конечно, сами учащиеся могут не менее при этом будут созданы благоприятные психологические условия для его принятия.
Аналогичный пример: учащимся предлагается схематический рисунок поля прямоугольной формы, которое разбито на равные участки (квадраты), нужно определить, на сколько участков (квадратов) разбито данное поле.
Рис.10.
Достаточно посчитать число квадратов в одном ряду (их 11) и повторить это число слагаемым 4 раза (11 +11 + 11 + 11). После этого учитель вводит новую запись 11 4 = 44 и предлагает учащимся составить эти две записи. Выясняется: что обозначает во втором равенстве первый множитель и второй множитель. Это помогает детям лучше усвоить чтение выражение вида: 11 4, 7 6, 28 4. (9,112-116)
Детям также предлагается различные задания на соотнесение рисунка и математической записи, на запись и набор выражений, соответствующих паре рисунков. Затем предметные множества заменяются схемами. Для этой цели можно использовать отрезки. Например:
- Выбери отрезок, который в 6 раз больше отрезка АВ.
При объяснение о смысле действия деления основой его формирования у младших школьников служит теоретико-множественный подход к трактовке частного, суть которого сводится к разбиению конечных множеств на равночисленные подмножества, не имеющие общих элементов.
Выбор этого подхода обусловлен тем, что он позволит опираться на жизненный опыт ребенка при введение новой терминологии и математической записи. Действительно, большинство учащихся легко справляются с таким практическим заданием:
«Раздай 10 яблок - по 2 каждой девочке».
Наглядное изображение выполняемых действий помогает ребенку осознать их математический смысл.
Рис.11.
Он сводится к разбиению конечного множества яблок на равночисленные подмножества (по 2 яблока). В результате получаем число частей в этом разбиение. На языке, доступном младшему школьнику, это означает, что он разделил яблоки на части, по 2 яблока в каждой, т.е. узнал: «Сколько раз по 2 содержится в 10». Выполненные действия в математике принято записывать так: 10:2 = 5 (десять разделить на два получится пять).
Термин «разделить по» употребляется в случае, когда речь идет о конкретных предметах, что связано с особенностями русского языка. Например, по-русски не говорят: «10 яблок разделить по 2 яблока». При чтении же числового равенства мы не называем предметы, поэтому можно сказать: « 10 разделить на 2, получим 5». Термины «деление по содержанию» и « деление на равные части» вводить не следует, так как числовые равенства вида 10:2 = 5 могут соответствовать предметной ситуации, связанный как с делением по содержанию, так и с делением на равные части.
В процессе выполнения учащиеся осознают связь действий умножения и деления, которая обобщается в виде правил, отражающих взаимосвязь компонентов и результатов умножения и деления. Эти правила формируются в таком виде:
1) если значение произведения разделить на один множитель, то получим другой множитель.
2) если делитель умножить на значение частного, то получим делимое.
3) если делимое разделить на значение частного, то получим делитель.
Формирование представления о смысле деления связано с введением понятий «уменьшить в несколько раз» («меньше в») и «кратное сравнение» («во сколько раз меньше?», «во сколько раз больше?»).
Для их усвоения используются также действия с предметными множествами. Однако деятельность учащихся может быть организовано по разному.
Детям дается такое правило на заучивание. Чтобы узнать, во сколько раз одно число больше или меньше, чем другое, надо большее число разделить на меньшее. Показ независимости числа предметов в множестве от их размера, площади и формы расположения. Сопоставляются множества, составленные из предметов разного размера или по-разному расположенные.(3, 64-69) Когда детей познакомят со всеми числами до 10, им показывают, что для ответа на вопрос сколько? не имеет значения, в каком направление ведется счет. Они в этом сами убеждаются, пересчитывая одни и те же предметы в разных направлениях: слева направо и справа налево; сверху вниз и снизу вверх. Дается представление о том, что считать можно предметы, расположенные не только в ряд, но и самыми различными способами. Они считают игрушки, расположенные в форме разных фигур (по кругу, парами, неопределенной группой), изображения предметов на карточке, наконец, кружки числовых фигур. Детям показывают разные способы счета одних и тех же предметов и учат находить более удобные (рациональные), позволяющие быстро и правильно сосчитать предметы. Пересчет одних и тех же предметов разными способами (3-4 способа) убеждает детей в том, что начинать счет можно с любого предмета и вести его в любом направлении, но при этом надо не пропустить ни один предмет и ни один не сосчитать дважды.(3, 8)
Итак, изучение использования множеств в обучении арифметическим действиям очень важный вопрос математики. Дети должны уметь употреблять множество, группировать предметы по разным признакам, сравнивать группы множеств. А также должны уметь показать независимости числа предметов от их размера, площади и формы расположения. Также важно при изучении употребления множеств, чтобы дети научились самостоятельно прибегать к способам практического сопоставления групп предметов, доказывая правильность своих суждений о связях и отношениях между смежными числами.
1.3 Методика раскрытия конкретного арифметических действий в начальных классах
В начальном курсе математики арифметические действия над целыми неотрицательными числами является центральной темой. Основная цель изучения этого раздела программы - выработать у учащихся начальных классов умения решать арифметические действия и задачи.
Изучение конкретного смысла арифметических действий строятся в начальном курсе математики концентрически. В программе намечена система постепенного расширения области рассматриваемых с детьми чисел (десяток - сотня - тысяча - многоязычные числа). Изучение арифметических действий в пределах 10 имеет некоторые особенности. Десять - основание десятичной системы счисления, поэтому числа от 1 до 10 образуется в результате счета простых единиц. Арифметические действия (сложение и вычитание) непосредственно связаны с операциями над множествами. Случаи сложения и вычитания в пределах 10 являются табличными, они заучиваются наизусть. При формировании навыков счета и отсчета важно наряду со счетом отдельных предметов упражнять детей в счете групп, состоящих из однородных предметов.
Прежде чем приступить к изучению арифметических важно отработать умение считать, поэтому на каждом уроке включаются упражнения в счете предметов - именно счет предметов - а не так называемый «отвлеченный счет». Дети считают предметы окружающей обстановки, предметные картинки, предметы, изображенные на картинках в учебнике, а также палочки, кружки, треугольники и др.
Считая предметы в различном порядке, учащиеся своими словами формируют вывод о том, что результат счета не зависит от порядка счета. Они должны усвоить, что если последний предмет оказался пятым при счете, то всего предметов пять, и наоборот, если всего предметов пять, то последний предмет пятый, но вместе с тем «пятый» - это только один предмет. Дети, считая предметы, знакомятся с первыми десятого числами натурального ряда (их названиями, последовательностью), выясняют на примере этих чисел, как образуется каждое следующее число в натуральном ряду. Сначала это делается на основе выполнения соответствующих операций над множествами (присчитывание и отсчитывание по одному и группами). Каждое из четырех арифметических действий должно прочно связаться в сознании детей с теми конкретными задачами, которое требует его применения, смысл действия и раскрывается главным образом на основе практических действий с множествами предметов. На этой основе доводится до сознания детей связь между компонентами и результатами действий, связь между действиями, рассматриваемые свойства действий и изучаемые математические отношения. Раскрытие конкретного смысла сложения и вычитания изучается на основе практических упражнений, связанных с объединением двух множеств предметов иди удалением части данного множества предметов. Такие упражнения выполнялись начиная с первых уроков математики, продолжаются они и в теме «Сложение и вычитание». Но здесь главное значение приобретает ознакомление с действиями над числами. Программа предусматривает ознакомление с основными приемками вычислений, которыми учащиеся должны уметь пользоваться при сложении и вычитании чисел. Прием прибавления и вычитания числа по его частям (по единице и группами) универсален: он может быть использован применительно к любому случаю сложения и вычитания.
С первых же уроков подготовительного периода отрабатывается умение сравнивать численности множеств. Сравнение чисел натурального ряда выполняется с опорой на сравнении множеств. С этой целью предлагается детям такие задания: «Скажите, на котором окне цветов больше, в каком ряду елочек на рисунке меньше; каких кружков больше, а каких меньше на наборном полотне?». Упражнения на сравнение множеств даются так, чтобы дети выполняли их не только с помощью счета, но и путем соотношения элементов «один к одному». Сравнение множеств путем соотнесения предметов «один к одному» дает возможность уже в этот период устанавливать не только где больше, а где меньше предметов, но и на сколько предметов больше, на сколько меньше. При выполнении этих упражнений, опираясь на множество, учитель должен каждый раз обращать внимание детей на взаимосвязь отношений «больше» и «меньше»; например, если квадратов на 1 больше, чем треугольников (показывает лишний квадрат), то треугольников на 1 меньше, чем квадратов.
Также включают упражнения на преобразование не равночисленных множеств в равночисленные и обратно. Например, дети установили, что яблок на 1меньше, чем груш, а груш на 1 больше, чем яблок. Учитель ставит вопрос: «Что надо сделать, чтобы яблок стало столько, сколько яблок?» (Убрать одну грушу).
В целях раскрытия конкретного смысла сложения и вычитания следует показать, что прибавлять и вычитать можно разные числа, а не только единицу. Поэтому при изучении арифметических действий рассматриваются все случаи сложения и вычитания в пределах 10 (а+2, а+3, а+4, а+5). Результаты действий находят путем соответствующих операций над множествами, что помогает детям понять конкретный смысл сложения и вычитания. После того как дети найдут результат сложения, сразу выясняют, как получили этот результат. (Сколько получится, если к 3 прибавить 2?). На основе таких упражнений учащиеся постепенно запоминают не только результаты действий в пределах 10, но и состав чисел 2,3,4,5,6,7,8,9 и 10 из слагаемых. Состав же этих чисел иллюстрируются с помощью операций над множествами. При раскрытии конкретного смысла арифметических действий рекомендуется научить детей решать примеры в два действия вида 6+1+1, 9-1-1, чтобы дети закрепили умения прибавлять и вычитать единицу и накопили наблюдения: если прибавим (вычтем) 1 и еще 1, то всего прибавим (вычтем) 1 и еще 1, то всего прибавим (вычтем) 2. Вначале решение таких примеров иллюстрируют действиями с предметами, например: «Положите 4 синих квадрата, придвиньте 1 желтый квадрат. Сколько квадратов получилось? придвиньте еще 1 желтый квадрат. Сколько квадратов получилось? Запишите пример: 4+1+1; объясните, как решаем такой пример (к 4 прибавить 1,получится 5, к 5 прибавить 1, то получится 6).
