Обучение решению задач на проценты в курсе алгебры основной школы
2
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ВЯТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ГУМАНИТАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
Математический факультет
Кафедра математического анализа и методики преподавания математики
Выпускная квалификационная работа
ОБУЧЕНИЕ РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ НА ПРОЦЕНТЫ
В КУРСЕ АЛГЕБРЫ ОСНОВНОЙ ШКОЛЫ
(по учебному комплекту под редакцией Г.В. Дорофеева)
Выполнила студентка V курса математического факультета Киселёва Е.Н.
/ подпись/
Научный руководитель
к.п.н., доцент Крутихина М.В.
/ подпись/
Рецензент
к.п.н., доцент Ситникова И.В.
/ подпись/
Допущена к защите в ГАК
Зав. кафедрой Крутихина М.В.
« » 2004 г.
Декан факультета Варанкина В.И.
« » 2004 г.
КИРОВ
2004
Содержание- ВВЕДЕНИЕ..............................................................................................................3
- Глава I. ТЕОРИТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ИЗУЧЕНИЯ ПРОЦЕНТОВ В КУРСЕ АЛГЕБРЫ ОСНОВНОЙ ШКОЛЫ. 5
- § 1. Особенности учебного комплекта по математике под редакцией Г.В. Дорофеева. 5
- § 2. Понятие процента, основные задачи на проценты. 8
- § 3. Изучение темы «Проценты» в современной школе 12
- Глава II. МЕТОДИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ИЗУЧЕНИЯ ПРОЦЕНТОВ ПО УЧЕБНОМУ КОМПЛЕКТУ ПОД РЕДАКЦИЕЙ Г.В. ДОРОФЕЕВА. 21
- § 1. Методические рекомендации изложения темы «Проценты » по учебному комплекту под редакцией Г.В. Дорофеева для V - IX классов. 21
- § 2. Методические рекомендации для проведения урока «Простые проценты» по учебнику «Математика. Алгебра. Функции. Анализ данных» 9 кл. под редакцией Г.В. Дорофеева. 34
- § 3. Методические рекомендации к проведению факультатива «Задачи на проценты» в IX классе. 39
- § 4. Опытное преподавание 46
- ЗАКЛЮЧЕНИЕ. 48
- СПИСОК ЛИТЕРАРУРЫ 49
ВВЕДЕНИЕ
В настоящее время уделяется большое внимание школьному образованию как первой ступени образовательного процесса. Одна из важнейших его задач - обеспечить учащимся глубокие и прочные знания, а также умение рационально применять их в учебной и практической деятельности.
Большое практическое значение имеет умение решать задачи на проценты, потому что понятие процента широко используется как в реальной жизни, так и в различных областях науки.
В школьном курсе эта тема изучается в V - VI классе, но в силу возрастных особенностей школьников не может быть полностью освоена. Далее этому вопросу не уделяется значительного внимания. Задачи на проценты становятся прерогативой химии, которая внедряет свой взгляд на проценты, а в математике их место только в рамках задач на повторение и задач повышенной трудности. Таким образом, учениками забываются проблемы универсальности процентов и разнообразия сфер их применения. В связи с этим является актуальным вопрос о том, чтобы задачи на проценты заняли достойное место в VII - IX классах. В этот период школьники изучают различные виды уравнений и их систем, закрепление которых ведется на текстовых задачах, а присутствие процентов в содержании текстовых задач дает возможность связать абстрактные математические понятия с реальной жизнью.
Такая тенденция прослеживается в учебном комплекте по математике под ред. Г.В. Дорофеева. В VI классе авторы комплекта уделяют внимание формированию понятия процента, а в VII - IX классах рассматривают основные задачи на проценты и различные способы их решения. Причем следует отметить большое разнообразие задач. Но для такого богатого материала не имеется четкой методики изучения, так как комплект еще «молодой» и особенно в школах не распространен.
Поэтому цель данной работы состоит в разработке методических рекомендаций по изучению темы «Проценты» по учебникам [20], [15], [18],[17], [16].
Объектом исследования является обучение математике в V - IX классов.
Предмет исследования - обучение решению задач на проценты в курсе алгебры VII - IX классов.
В данной работе выдвинута следующая гипотеза: Обучение решению задач на проценты будет более эффективным, если:
1. Формирование понятия процента начать в V - VI классе.
2. Рассматривать различные типы задач на проценты в течение всего курса алгебры VII - IX класса.
3. Использовать символическую наглядность, как при формировании понятия процента, так и при изучении основных типов задач.
Задачи данной работы:
1. Выявить особенности учебного комплекта по математике под ред. Г.В. Дорофеева.
2. Провести анализ содержания данного комплекта с точки зрения изложения темы «Проценты».
3. Разработать методические рекомендации по изучению темы «Проценты».
4. Осуществить опытное преподавание.
Для достижения поставленных целей, проверки гипотезы и решения сформулированных выше задач были использованы следующие методы исследования:
1. Изучение учебно-методической и математической литературы.
2. Анализ школьных учебников.
3. Опытное преподавание.
4. Наблюдение во время проведения занятий с учащимися.
Глава I. ТЕОРИТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ИЗУЧЕНИЯ ПРОЦЕНТОВ В КУРСЕ АЛГЕБРЫ ОСНОВНОЙ ШКОЛЫ.
§ 1. Особенности учебного комплекта по математике под редакцией Г.В. Дорофеева.
В учебный комплект по математике под редакцией Г.В. Дорофеева Г.В. Дорофеев - заведующий отделом математического образования Института общего и среднего образования Российской академии наук, профессор, родоначальник литературы для абитуриентов. входят учебники [20], [15], [18],[17], [16]. Это комплект нового поколения. В нем учтены результаты опыта преподавания математики последних десятилетий, а также отражены современные методические и педагогические тенденции. Содержание комплекта полностью соответствует современным образовательным стандартам. Он рекомендован Министерством общего и профессионального образования Российской Федерации для преподавания математики в средней школе.
Основные идеи этого курса - это общекультурная ориентация содержания, интеллектуальное развитие учащихся средствами математики на материале, отвечающем интересам и возможностям детей. Одним из главных отличий данного комплекта является то, что большое внимание уделяется арифметике, формированию вычислительной культуры в ее современном понимании. Это прикидка, оценка и проверка результатов действий. Сделан упор на обучение арифметическим, логическим приемам решения текстовых задач.
В учебниках комплекта принята следующая система подачи материала. Теоретический материал каждой главы разбит на пункты, которые завершаются перечнем упражнений. Предложенные упражнения имеют два уровня сложности: первый ориентирован на базовый уровень обучения, второй содержит развивающие задания. В конце главы выделен пункт «Для тех, кому интересно», в которых предлагается материал, не предусмотренный школьной программой, но предлагаемый на школьных олимпиадах. Это позволяет сделать знания учащихся более прочными, пробудить интерес к математике. Это уравнения с параметрами, делимость натуральных чисел, примеры использования комбинаторного правила умножения и другие вопросы математики. Для более успешного усвоения материала в каждую главу включены вопросы для повторения и задачи для самопроверки. К каждому учебнику разработан набор справочно-методической литературы (рабочие тетради, сборники дидактических материалов), облегчающих работу, как учителю, так и ученику.
Рабочая тетрадь применяется преимущественно на начальных этапах изучения темы. Туда включены задания, которые позволяют организовать разнообразную практическую деятельность (вычеркнуть, дорисовать, закрасить). Это освобождает детей от работы непринципиального характера, позволяет увеличить объем учебной работы и сосредоточить внимание на главном.
Дидактические материалы содержат дополнительный набор упражнений по арифметике, алгебре, анализу данных, организованных в виде самостоятельной работы с заданиями разного уровня сложности. Материал может быть использован на различных этапах изучения темы и для различных групп учащихся. В конце сборника помещены материалы для внеклассной работы.
Учебники [20], [15] заложили одну из первых «сквозных» линий, которую через все классы проводит один авторский коллектив (далее он несколько изменяется, но руководство Г.В. Дорофеева остается неизменным; последние учебники этой линии для X - XI класса еще ожидаются). Наличие «сквозной» авторской линии дает некоторые преимущества в плане сохранения авторских подходов и преемственности между блоками классов. В данных учебниках принят естественный порядок изучения дробей: сначала обыкновенные, потом десятичные. Вопрос о знаке числа изучается сначала на целых числах, что методически и педагогически правильнее. Особенно выделяется наглядно-деятельностная геометрия. Есть линия «Анализ данных». Не смотря на то, что арифметическая линия не завершена по сравнению с традиционно принятым объемом содержания, изучаемого в V - VI классах, это не препятствует обучению в рамках той же авторской линии.
Учебники [18], [17], [16] являются непосредственным продолжением комплекта [20], [15]. В них получают дальнейшее развитие арифметическая, алгебраическая и вероятностно-статистическая линии курса. Некоторый материал, изучавшийся раньше в V - VI классах перенесен в следующие классы. В рамках одной линии учебников такой подход не нарушает целостности изучения материала. В содержание курса алгебры VII - IX классов включен блок арифметических вопросов. Уделено внимание дальнейшему развитию вычислительной культуры школьников, обучению различным приемам выполнения действий с дробями, в том числе с использованием калькулятора, вычислению процентов и вероятностно-статистических характеристик. В VII классе рассмотрены также практически значимые вопросы об отношении, пропорции, прямой и обратной пропорциональности. В VIII классе уделено внимание формированию вычислительных умений извлечения квадратного корня и отработке его простейших свойств. Отработка этих умений проводится на арифметических выражениях без использования символики. После этого в качестве обобщения авторы предлагают алгебраический подход к понятию корня. При изучении прогрессий в IX классе сделан акцент на их практическое применение, поэтому для изучения предложена тема «Простые и сложные проценты».
Отбор учебного материала и выбор методических подходов в учебниках осуществляется с учетом возможностей и особенностей детей данного возраста, что способствует более глубокому и осмысленному пониманию данных вопросов. В связи с этим авторы курса переносят рассмотрение некоторых тем на более поздние сроки. Это позволяет изучить практически значимый и интересный для детей материал, который позволяет говорить о математике, как о части общечеловеческой культуры.
В настоящее время в школе не распространен подход целостного изучения математики V - IX классов, поэтому этот комплект можно назвать комплектом нового поколения.
§ 2. Понятие процента, основные задачи на проценты.
Слово «процент» происходит от латинского pro centum, что буквально означает «на сотню», «со ста» или «за сотню». В популярной литературе возникновение этого термина связывается с внедрением в Европе десятичной системы счисления в XV в. Но идея выражения частей целого постоянно в одних и тех же величинах, вызванная практическими соображениями, родилась еще в древности у вавилонян. Ряд задач клинописных табличек посвящен исчислению процентов, однако вавилонские ростовщики считали не «со ста», а «с шестидесяти». Проценты были особенно распространены в Древнем Риме. Римляне называли процентами деньги, которые платил должник заимодавцу за каждую сотню.
По-видимому, процент возник в Европе вместе с ростовщичеством. Есть мнение, что понятие процент ввел бельгийский ученый Симон Стевин. В 1584 г. он опубликовал таблицы процентов. Употребление термина «процент» в России начинается в конце XVIII в. Долгое время под процентами понималось исключительно прибыль или убыток на каждые 100 рублей. Они применялись только в торговых и денежных сделках. Затем область их применения расширилась, проценты встречаются в хозяйственных и финансовых расчетах, статистике, науке и технике.
Интересно происхождение обозначения процента. Существует версия, что знак % происходит от итальянского pro cento (сто), которое в процентных расчетах часто сокращенно писалось cto. Отсюда путем дальнейшего сокращения в скорописи буква t превратилась в наклонную черту (/), возник современный знак процента (см. схему 1).
2
Схема 1
Также есть предположение, что знак % возник в результате опечатки. В Париже в 1685 г. была напечатана книга - руководство по коммерческой арифметике, где по ошибке наборщик напечатал знак %.
Сейчас проценты употребляются для сравнения однородных положительных количеств. Один процент - это по определению одна сотая: 1%=. Соответственно, p%=. Один процент от количества А - это, по определению, одна сотая часть количества А:
1% от А равен А .Соответственно, p% от А равен А.
Все задачи на проценты можно разделить на две основные группы.
Первая группа задач относится к той ситуации, когда даны количество А и некоторый процент p. Требуется найти количество, которое этот процент выражает.
Вопрос К1. Каково количество, составляющее p% от А?
Формула ответа: А.
Обсуждение решения: нужно обсудить, что принимается за базу в 100% .
Пример:
В городе N состоялись выборы в городскую думу, в которых приняли участие 75% избирателей. Только 10% от числа принявших участие в выборах отдали свои голоса партии «зеленых». Сколько жителей проголосовали за эту партию, если всего в городе 1 миллион избирателей?
Решение. Здесь нужно дважды применить формулу ответа на вопрос К1. По условию, в выборах приняли участие чел. От них 10% - это .
Ответ: 75000.
Вопрос К2. Каково количество, p% от которого есть А?
Формула ответа: А.
Обсуждение. Вопросы К1 и К2 родственны. Пусть искомое количество (в данном случае стопроцентная база) есть x. Тогда мы находимся в ситуации вопроса К1: А=x. Отсюда получаем формулу ответа на вопрос К2. Можно воспользоваться другим способом рассуждения при ответе на вопрос К2: если на А приходится p%, то один процент от неизвестного количества есть , соответственно неизвестное количество есть 100.
Пример:
При помоле пшеницы получается 80% муки. Сколько пшеницы нужно смолоть, чтобы получить 480 кг пшеничной муки?
Решение:
По формуле К2 искомое количество пшеницы есть 480=600 кг
Ответ: 600 кг.
Вопрос К3. Каково количество, большее чем А, на p%?
Формула ответа: А.
Обсуждение. В данном случае стопроцентная база - это А. Разница между неизвестным количеством и базой по условию составляет p%, что по формуле ответа на вопрос К1 дает А. В результате искомое количество есть А+А=А.
Вопрос К4. Каково количество, меньшее чем А, на p%?
Формула ответа: А.
Обсуждение. Аналогично предыдущему случаю. Если ответ на данный вопрос приводит к отрицательному числу, то искомое количество считают несуществующим, а сам вопрос некорректным.
Вторая группа задач освещает обратную операцию - вычисление процентов по известным количествам.
Вопрос П1. Сколько процентов составляет А от В?
Формула ответа: %.
Обсуждение. Нужно обратить внимание на то, что является стопроцентной базой (в данном случае - это В).
Пример:
В одном городе Канады 70% жителей знают французский язык и 80% - английский язык. Сколько процентов жителей этого города знают оба языка (если учесть, что каждый житель города знает хотя бы один из двух языков)?
Алгебраическое решение: Пусть x жителей знают только английский, y - только французский, z - оба языка. Тогда можно дважды применить формулу, соответствующую вопросу П1.
Сложив оба эти равенства, получим
1+
Ответ: 50%.
Геометрическое решение. Разместим всех жителей города на отрезке так, что знающие английский язык стоят на отрезке слева, а знающие французский - справа. Если этот отрезок - 100%, то общая часть этих множеств есть отрезок [30%,80%] «протяженностью» в 50% (см. рис 1.).
Рис 1.
Вопрос П2. На сколько процентов А больше чем В?
Формула ответа: %.
Обсуждение. Как и при обсуждении вопроса П1 нужно определить стопроцентную базу (в данном случае - это В).
Вопрос П3. На сколько процентов А меньше, чем В?
Формула ответа: %.
Обсуждение. Конструкция ответа аналогична предыдущему случаю.
Следует отметить, что решение данной группы задач можно проводить как алгебраическим, так и геометрическим способом.
Таким образом, можно сказать, что задачи на проценты очень разнообразны, а понятие процента используется в различных областях науки и практики.
§ 3. Изучение темы «Проценты» в современной школе.Понятие процента имеет широкое практическое применение, поэтому оно является обязательной частью школьной программы по математике. Школьники должны научится решать основные задачи на проценты, представлять их в виде десятичных и обыкновенных дробей.Традиционно тема «Проценты» изучается в рамках младших классов среднего звена. Можно выделить несколько подходов к изучению данной темы.
