(р.) (на столько повысилась цена).
Теперь найдем новую цену:
8200+2870=11070 (р.).
Можно рассуждать иначе. Старая цена составляет 100%, а новая - на 35% больше, т.е. она составляет 135%. Так как 135% - это 135:100=1,35, то цена увеличилась в 1,35 раза.
Имеем: (р.).
Также учащиеся знакомятся с задачами типа К2. Но авторы рассматривают эти задачи в рамках упражнений группы Б (более сложных).
№ 606. [15] В первый час работы продавец продал 40 кг яблок. Это составило 16% от первоначального количества яблок. Сколько килограммов яблок было у продавца первоначально?
В пункте «Выражение долей в процентах» центральной является задача об определении того, сколько процентов одна величина составляет от другой.
619. В избирательном округе 2500 избирателей. В голосовании приняли участие 1300 избирателей. Какой процент избирателей участвовал в голосовании?
Здесь принят подход, в соответствии с которым сначала находят, какую часть одна величина составляет от другой, выражают ее при необходимости десятичной дробью, а затем - в процентах.
Не следует торопиться приступать к решению новых задач. В учебнике предлагается система упражнений, в которых предлагается выразить дробь (обыкновенную или десятичную) в процентах.
№ 615. [15] Прочитайте предложение, выразив дробь в процентах:
а) бензином заполнили бака;
б) учащихся школы едут в школу на автобусе;
в) масса сушеной вишни составляет массы свежей вишни;
г) магазин продал привезенного сахара.
Одна из особенностей вычислительной линии курса состоит в формировании умений выполнять прикидку или оценку результата вычислений. При изучении процентов эта работа, естественно, продолжается. Учащимся предлагаются задачи из повседневной практики, в которых требуется найти приближенно с помощью прикидки процент от заданной величины. Для этого достаточно заменить данные другими числами, близкими к ним и удобными для расчетов. Так, если требуется прикинуть, чему равно 19% от какой-либо величины, то находят 20% этой величины, т.е. ее пятую часть.
№ 595. [15] Перед Новым годом магазин снизил цены на товары на 25%. На сколько примерно рублей понизилась цена товара, если до снижения она составляла 799 руб.? 1980 руб.? 11890 руб.?
№ 629. [15] Часть фигуры заштрихована (см. рис 4.). Определите, какой примерно процент фигуры заштрихован, выбрав наиболее подходящий ответ из данных.
Рис. 4
Третий этап в изучении процентов отнесен к 7классу. В силу возрастных возможностей семиклассников и уже накопленного ими опыта работы с процентами учащимся становятся доступными многие вопросы из тех, что традиционно не рассматривались со всем классом, а изучались лишь в качестве дополнительных в работе с сильными учениками. Учащиеся уже знакомы со всеми основными видами задач, теперь они осваивают другие способы их решения, которые были им неизвестны.
В первой главе учебника выделен пункт «Решение задач на проценты», в котором помещен материал, позволяющий вспомнить сведения из шестого класса и продвинуться в решении задач. Теперь есть возможность рассмотреть более сложные в техническом отношении задачи. Они требуют достаточно прочного навыка представления процентов дробью и наоборот, умение находить процент от величины, понимание того, какая из величин, участвующих в задаче, принимается за 100%. Поэтому в начале теоретической части пункта рассматриваются приемы, с помощью которых десятичная дробь выражается в процентах и наоборот; здесь специально выделяется вопрос о «маленьких» (меньше 1%) и «больших» (больше 100%) процентах, как наиболее трудный для усвоения.
№ 99. [18] В состав одного из поливитаминов входят минералы в следующих количествах: кальций и фосфор - по 4%, магний - 1,6%, железо - 0,07%, цинк - 0,06%. Сколько миллиграммов каждого минерала содержится в одной таблетке поливитамина, масса которой 25 г?
№ 88. [18] В конце 1996 г. рабочим была выплачена премия в 250% ежемесячной зарплаты. Какую премию получил рабочий, зарплата которого была 550 тыс. р.?
Предлагаемые в системе упражнений задачи, как правило, допускают разные способы рассуждений, и учащиеся самостоятельно выбирают более удобный и понятный для себя.
Кроме задач на нахождение процента от величины, рассматриваются задачи на нахождение величины по известному ее проценту.
№ 107. [18] После повышения цены на 30% книга стала стоить 52 рубля. Сколько стоила книга до повышения цены?
Решение. Первоначальная цена книги составляет 100%. Поэтому 52 руб., т.е. цена после подорожания, составляет 100%+30%=130% от первоначальной цены. Теперь можно решить задачу на нахождение величины по известному ее проценту.
Рассуждать можно по-разному:
1) 1% - это 52: 130=0,4(руб.), а 100% - это 0,4* 100=40(руб.);
2) 10% - 52:13=4(руб.), 100% - это 4*10=40(руб.);
3) 130% - это 1,3, поэтому 52 руб. составляют 1,3 первоначальной цены, а поэтому первоначальная цена равна 52:1,3=40(руб.).
Следует отметить еще один методический подход, использованный в изучении процентов. Первую главу заключает раздел «Для тех, кому интересно», в котором учащиеся еще раз встречаются с задачами на проценты. Здесь рассматривается восемь, если можно так выразиться, «классических олимпиадных» задач. Обычно они не включаются в учебники, т.к. являются трудными. Приведено более простое решение такого класса задач. Следует уделить им внимание хотя бы на кружке.
Задача. [18] Книга дороже альбома на 25%. На сколько процентов альбом дешевле книги? Вся методика обучения решению задач, принятая в учебнике, позволяет показать учащимся наглядный способ их решений с помощью рисунков (см. рис. 5). Хотя, конечно, эти задачи можно решать и арифметически.
Решение:
Цена альбома - 100%. Изобразим ее каким-либо отрезком
Увеличим этот отрезок на 25% т.е. на его части; получим отрезок, соответствующий цене книги.
Теперь цена книги составляет 100%. Она изображена большим отрезком. Цена альбома меньше цены книги на этого отрезка. Так как составляет 20%, то альбом дешевле книги на 20%.
Рис. 5
При изучении следующей главы «Отношения и пропорции» учащиеся активно пользуются опытом работы с процентами и приобретают новый. В систему упражнений нужно включить новые задачные ситуации.
№ 191.[18] В сплав входят медь, олово, сурьма в отношении 4:15:6. Сколько процентов сплава составляет каждый металл? («Деление в данном отношении»)
№ 252. [18] За определенное время с помощью принтера было распечатано 30 страниц. Сколько страниц распечатает принтер, производительность которого на 50% больше? («Прямая и обратная пропорциональность»)
№ 269. [18] Автомобиль за 2,4 ч проехал 60% всего пути. Через сколько минут ему останется проехать четверть всего расстояния, если он будет двигаться с той же скорость? («Решение задач с помощью пропорций»)
По мере овладения новым математическим аппаратом при изучении алгебры, учащиеся осваивают новый прием решения расчетных задач на проценты - с помощью составления уравнения.
№ 501. [18] Вкладчик открыл в банке счет. Через год на его счету было 360000 руб., что составило 120% от суммы, которую он внес первоначально. Сколько рублей внес вкладчик при открытии счета?
В VIII классе в теме «Алгебраические дроби» учащиеся снова обращаются к задачам на проценты. Задачи на «концентрацию», «сплавы», «банковские расчеты» - это хорошие примеры практических задач, позволяющих продемонстрировать, как формальные алгебраические знания применяются в реальных жизненных ситуациях. Для того чтобы помочь учащимся осознать на новом уровне подход к решению задач с процентами, стоит обратить их внимание на то, что в учебнике приводятся образцы решения ряда задач. К разобранному образцу учащиеся при желании может вернуться вновь и использовать его в качестве опоры при решении подобной задачи.
№ 187. [17] Разберите, как по условию задачи составлено уравнение и решите задачу. Клиент открыл счет в банке на некоторую сумму денег. Годовой доход по этому вкладу составляет 11%. Если бы он добавил 800 руб., то через год получил бы доход 220 руб. Какая сумма была внесена им в банк?
Решение. Пусть х руб. - сумма, которую клиент внес в банк. Тогда (х+800) руб. было бы на вкладе, если бы клиент добавил 800 руб.;
0,11(х+800) руб. - доход в 11%, который мог бы получить клиент с этой суммы.
Так как доход равен 220 руб., то имеем равенство:
0,11(х+800)=220.
№ 205. [17] Два слитка, один из которых содержит 35% серебра, а другой 65%, сплавляют и получают слиток массой 20 г., содержащий 47% серебра. Какова масса каждого из этих слитков?
При изучении темы «Системы уравнений» школьникам важно показать новый метод решения задач на проценты. Учащимся предлагается план решения.
№ 656. [17] В колбу налили некоторое количество 60%-го раствора соли и некоторое количество 80%-го раствора этой же соли. Получили 35 мл раствора, содержащего 72% соли. Сколько миллилитров каждого раствора налили в колбу?
Решите задачу, используя следующий план:
1. Обозначьте буквами количество 60%-го и 80%-го растворов соли.
2. Запишите уравнение, связывающее эти две величины и общее количество раствора.
3. Определите количество соли в получившемся растворе.
4. Запишите уравнение, связывающее количество соли в 60%-ном, 80%-ном и получившихся растворах.
5. Составьте систему и решите ее.
В IX классе в главе «Дробные уравнения» также можно предложить задачи на проценты, решение которых основано на составлении дробных рациональных уравнений.
№ 419. [16] На первые и вторые премии в конкурсе студенческих дипломных работ было выделено 15 тыс. р., причем 40% этих денег пошло на первые премии. Вторых было выдано на 4 больше, чем первых. Сколько студентов получили первые премии и сколько вторые, если известно, что вторая премия составляла 50% первой?
Завершается линия процентных вычислений в IX классе темой «Простые и сложные проценты», включенной в изучение главы «Арифметическая и геометрическая прогрессии». Сведения о простых и сложных процентах, которые сами по себе имеют большую практическую значимость, являются достаточно благоприятным материалом для применения знаний, полученных на уроках математики. Возможность опереться на сформированные навыки в работе с процентами, на умение воспользоваться калькулятором, табличным и графическим представлением информации позволило расширить диапазон решаемых задач на проценты.
В учебнике не вводятся формулы простых и сложных процентов. Учащиеся должны решать задачи, опираясь не на формулы, а на понимание на смысл понятия «процент», на умение находить процент от числа. В теме широко используется калькулятор, который позволяет рассматривать самые разнообразные задачи.
№ 639. [16] Один из акционеров предприятия имеет 100 акций, номинальная стоимость каждой из которых 50 р. Ежегодно ему выплачивается с каждой акции доход в 40% от ее номинальной стоимости.
а) Какой доход получит акционер за 1 год; за 2 года; за 10 лет; за n лет?
б) Через сколько лет его общий доход превзойдет удвоенную стоимость акций?
Авторы предлагают также задачи аналитического характера.
№ 654. [16] Виктор вложил на десять лет по 1000 р. на два разных счета - с 10% годовых и 20% годовых.
а) Каким будет доход по каждому из этих счетов через год? Во сколько раз доход по второму вкладу будет больше дохода по первому вкладу?
б) Каким будет доход по каждому из этих счетов за четвертый год? Во сколько раз доход по второму вкладу больше, чем по первому?
Как вы думаете, будет ли отношение ежегодных доходов по этим вкладам увеличиваться с течением времени и почему?
В ходе решения предлагаемых авторами задач учащиеся видят, что понятия арифметической и геометрической прогрессии, а также формулы их сумм - это не просто абстрактное отвлеченное понятие, а конкретное математическое знание, необходимое для жизни.
В данном курсе в русле новой содержательной линии «Анализ данных» формулируются приемы сбора, представления и анализа информации, так или иначе связанной с процентами.
Проценты также используются в VI - VII классах для представления информации в виде таблиц и диаграмм, а VIII - IX классах - при изучении вероятно-статистического материала.
№ 155. [15] На диаграмме показано, какой процент составляет тот или иной вид изделий от всей продукции ателье по пошиву мужской одежды.
а) Какова основная продукция данного ателье?
б) Какого цвета пиджаки ателье производит меньше всего? больше всего?
в) Сколько процентов продукции приходится на пиджаки светлого цвета? темного цвета?
г) Какой из следующих ответов может показывать , сколько процентов всех изделий составляют жилеты: 24%, 17%, 10%, 6%? (см.рис. 6)
Рис. 6
№ 675. [16] Закинул старик в реку невод. Пришел невод с таким уловом (в порядке вытаскивания):
П, О, Л, С, Я, П, К, О, З, К, П, К, Я, С, О, П, П, Л, О, О, Л, С, О, П, Л, П, К, Л, К, П, П, С, П, З, К, Я, П, З, С, О,О, Я, П, П, О, Л, С, Л, С, П,О, П, Л, К, С, О, Я, Л, П, С, О, Л, П, О, К, Л, П, О, О, П, О, Я, Л, П, С, П, О, Л, П, З.
Буквами обозначены: З - Золотая рыбка; К - Карась; Л - Лещ; О - Окунь; П - Пескарь; С - Сом; Я - Язь.
а) Произведите ранжирование ряда данных в алфавитном порядке.
б) Составьте таблицу относительных частот.
в) Какой процент пойманной рыбы составляют золотые рыбки?
г) Используя полученную стариком выборку, оцените, какие виды рыб наиболее и наименее распространены в местах, где старик закинул невод.
Таким образом, авторы данного курса уделяют большое внимание понятию процента. С помощью богатого задачного материала учащиеся могут увидеть все разнообразие применения данного математического термина.
Можно заметить, что понятие процента, как математически тривиального, вводится уже в младших классах среднего звена. В силу их возрастных особенностей и невысокой математической грамотности учащиеся не могут ознакомиться со всем спектром задач на проценты. В VII - IX классах данный термин забывается, и простейшие задачи шестого класса становятся для школьников сложными. Поэтому я считаю целесообразным уделять процентам больше внимания, как это сделано в учебном комплекте под редакцией Г. В. Дорофеева.
§ 2. Методические рекомендации для проведения урока
«Простые проценты» по учебнику «Математика. Алгебра. Функции. Анализ данных» 9 кл. под редакцией Г.В. Дорофеева.
Данный урок проводится в рамках темы «Арифметическая и геометрическая прогрессии». Он имеет две основные цели: во-первых, закрепить изученные понятия, связанные с арифметической прогрессией; во- вторых, познакомить учащихся с новым путем решения задач на проценты. Следует заметить, что в рамках IX класса проценты встречались только в теме «Уравнения и системы уравнений» в содержании двух задач. Итак, рассмотрим изложение вышеназванного урока.
1. Повторение ранее изученного материала. Нужно вспомнить с учащимися:
· Определение процента (Процент от некоторой величины - одна сотая часть данной величины).
· Как выражают проценты десятичной дробью. Для этого следует спросить учащихся общее правило (Чтобы выразить проценты десятичной дробью, нужно число, стоящее перед знаком процента, разделить на 100 или умножить на 0,01) и затем закрепить его при выполнении упражнения типа №636 а), в) (упражнение выполнить устно).
· Как увеличить (уменьшить) величину а на р% . Вспомнить общую формулу (), выписать ее на доску, выполнить упражнение на эту тему (устно) №637(Тексты задач приведены ниже).
2. Изложение нового материала. На этом этапе следует:
· объяснить учащимся, что процентные вычисления приходится выполнять в разных жизненных ситуациях, часто - это денежные расчеты;
· рассмотреть мотивационную задачу и этапы ее решения.
Задача: Пешеход перешел улицу в неположенном месте, и милиционер наложил на него штраф в 30 р. Штраф необходимо уплатить до 5 марта, после чего за каждый просроченный день будет начисляться пеня (от латинского слова poena - наказание) в размере 2% от суммы штрафа. Сколько придется заплатить пешеходу, если он просрочит уплату штрафа на 10 дней?
Для решения задачи нужно показать связь с понятием арифметической прогрессии, определить ее первый член и разность, оформить решение задачи на доске, предварительно вспомнив формулу n-го члена арифметической прогрессии.
Пример оформления:
Величина штрафа будет расти в арифметической прогрессии, где
а1=30; ; =36 р.
Ответ: 36 р.
· Подвести итог по задаче о том, что ее решение сводится к нахождению одного из элементов арифметической прогрессии.
3. Закрепление изложенного материала. В рамках этого этапа можно предложить учащимся решить задачи № 638, №640 (для их решения вызвать учащихся к доске), №653(учащиеся решают самостоятельно, ответы выписываются на доску, при затруднении разобрать решение на доске).
4. Подвести итог по уроку. Здесь можно сказать учащимся, что в рассмотренном классе задач использовались проценты, которые авторы учебника называют простыми процентами. Решение этих задач сводится к нахождению элементов арифметической прогрессии. На следующем уроке будут рассмотрены сложные проценты, и можно ответить на вопрос, что авторы учебника назвали простыми процентами, а что - сложными.
5. Домашнее задание №639.
Задачи, предложенные к уроку.
№ 636
Выразите десятичной дробью:
а) 25%; 38%; 60%; 80%;
в) 0,3%; 0,1%; 0,5%; 0,02%.
№ 637
Пусть цена альбома равна а рублей. Какова будет его цена, если:
а) ее повысят на 20%, на 3%, на 5,5%, на 0,7%;
