Задача 2. (№58 - Л В.Б.Лабковский, 220 задач по физике с решениями. 10-11., «Просвещение», 2006). «Маленький шарик скатывается с полусферы радиусом R. На какой высоте он оторвётся от сферы?
Решение. Пусть шарик отрывается от сферы в точке 2. Значит, в этой точке исчезает реакция опоры и остаётся только сила тяжести mg. Второй закон Ньютона имеет вид
Ось Х , как всегда при вращательном движении, направляем к центру траектории и проецируем уравнение на эту ось:
Из треугольника ОАВ
Из закона сохранения механической энергии
Решаем совместно два уравнения:
Ответ: »
Задача решена, ответ получен и на первый взгляд решение правильное. Однако отсутствует анализ физической ситуации и многие из возможных обстоятельств не учтены. Так например, для катящегося шарика необходимо учесть энергию вращения. Слабо прописаны параметры движения в момент отрыва. Краткость изложения не делает решение более понятным, и уж тем более не учит обстоятельности.
Эти недостатки базируются на следующей особенности мыслительного процесса, сопутствующего решению задачи. Мы здесь умышленно выделяем мыслительные операции, поскольку они протекают с очень высокой скоростью, и не всегда выливаются в устную и, тем более, письменную форму. Так вот, в ходе мысленного поиска ответа неизбежно затрагивается дополнительно обширный материал курса физики, как оказывается в дальнейшем, не играющий существенной роли в формировании ответа. Этот материал уместно отнести в общий базис задачи. Если этот базис принимается к обсуждению в ходе анализа условия задачи, то вероятность ошибки значительно уменьшается. В задаче №86 этого пособия, где также нет анализа физических процессов, вновь катятся шары, а в законе сохранения механической энергии записаны кинетические энергии только для поступательного движения.
Сравним теперь это решение с другим вариантом объяснения подобной же задачи.
Задача 3. (3.6. - Н Е.М.Новодворская, Э.М.Дмитриев, Методика проведения упражнений по физике во втузе, М., «Высшая школа», 1981.). «С вершины идеально гладкой сферы соскальзывает небольшой груз. С какой высоты h , считая от вершины, груз сорвётся со сферы? Радиус сферы R =90 см.
Анализ. Груз, который, очевидно, можно считать точечным телом, до некоторой точки - точки отрыва - движется по дуге окружности радиуса R. На груз во время его движения по сфере действует сила тяжести mg и сила нормального давления со стороны сферы. Уравнение второго закона Ньютона для этой части траектории имеет вид
(1)
Проекции этих сил на направление, нормальное к траектории, сообщают телу нормальное ускорение an = v2/R, где v - мгновенная ( и, очевидно, непрерывно возрастающая) скорость тела. В точке С отрыва прекращается взаимодействие между движущимся телом и поверхностью сферы и, следовательно, сила давления тела на сферу и соответственно сила реакции сферы N обращаются в нуль. (Начиная с этой точки тело движется только под действием силы тяжести и траектория его будет зависеть от модуля и направления скорости тела в точке отрыва от сферы.) Таким образом, в этой точке нормальное ускорение, однозначно зависящее от скорости, сообщает телу только проекция силы тяжести. Для того, чтобы определить высоту, на которой находится точка отрыва, надо найти связь скорости тела при его движении по сфере с его координатами, в частности с высотой. Такую связь можно найти, зная законы изменения со временем координат и скорости тела. Можно это сделать и рассматривая движение тела в поле силы тяготения Земли. Поскольку сила нормальной реакции работы не совершает, полная энергия тела остаётся неизменной, т.е.
ДE = ДK + ДU = 0. (2)
Очевидно, что применение закона сохранения энергии к переходу из начального состояния в точку отрыва даст в явном виде связь между скоростью тела и высотой рассматриваемой точки.
Решение. При скольжении груза по сфере потенциальная энергия его изменяется на
ДU =-mgh,
Где h - искомая высота, отсчитываемая от вершины сферы. Кинетическая энергия тела возрастает на
ДK = mv2c /2 - mv20/2.
На вершине сферы груз находится в состоянии неустойчивого равновесия и скорость v0, необходимую для начала движения, можно считать пренебрежимо малой. Тогда, подставляя найденные выражения в (2), получаем
-mgh + mv2c/2 = 0 (3)
Чтобы от векторного уравнения (1) перейти к скалярным соотношениям, введём ось Х, направленную вдоль радиуса. Тогда ax = an = v2/R. На основании уравнения (1) mv2/R = mghcosб - N. В точке отрыва от сферы an = v2c/R, N=0, следовательно ,
mv2c/R = mgcosб.
Как видно из рисунка, cosб = (R - h)/R. Тогда
mv2c = mg(R-h). (4)
Уравнения (3) и (4) содержат скорость и высоту, относящиеся к одной и той же точке С, и образуют систему, совместное решение которой позволяет найти
h = R/3 = 0,3 м. Автор этого решения в своём пособии не выделяет и не приводит ответов к решениям задач.»
Мы привели дословное текстовое описание решения задачи. Как видим, оно отличается детальным анализом физической ситуации. Здесь приняты во внимание такие подробности, как точечные размеры груза (тем самым исключена необходимость учитывать расход энергии на вращение твёрдого тела). Здесь подчеркнуто отсутствие трения (отмечена идеальная гладкость поверхности сферы). Не упущен вопрос о начальном моменте (пренебрежимо малая начальная скорость тела). Прослежена картина изменения скорости и нормального ускорения. Приведено обоснование рабочей записи закона сохранения энергии - в неё не включена работа силы нормального давления. После такого детального анализа решение задачи не представляет значительной трудности, практически с этого момента идёт процесс письменного оформления решения.
Приведём из того же пособия ещё один пример подробного анализа физической ситуации, соответствующей сюжету задачи, а также детального обоснования всех действий, составляющих её решение.
Задача 4 (2.5.Н5). На наклонной плоскости находится груз т1 = 5 кг, связанный нитью, перекинутой через блок, с другим грузом т2 =2 кг (рис. 13). Коэффициент трения между первым грузом и плоскостью k= 0,1; угол наклона плоскости к горизонту б = 37°. Определить ускорения грузов. При каких значениях т2 система будет находиться в равновесии?
Анализ. В задаче рассматриваются два тела, связанные нитью и совершающие поступательное движение. Если нить, как всегда, считать нерастяжимой, то ускорения этих тел равны по модулю:
а1 = а2.
На тело массы m1 действуют сила тяжести m1g, сила нормальной реакции N наклонной плоскости, сила натяжения Т1 нити и сила трения fТР. Сила трения направлена в сторону, противоположную скорости тела; если же направление движения системы неизвестно, то нельзя указать направление силы трения. Но так как сила трения не может изменить направление движения на противоположное, то следует определить сначала направление движения при отсутствии трения, а затем уже решать задачу с учетом силы трения. Второй закон Ньютона для первого тела без учета силы трения имеет вид
m1a1 =m1g +T1+N. (1)
На тело m2 действуют только сила тяжести m2g и сила натяжения Т2 нити:
m2a2 = m2g + T2. (2)
Вводя оси координат и заменяя векторные уравнения (1) и (2) скалярными равенствами, получим систему уравнений, решение которой позволит определить направление ускорения а1. Поскольку тела не имели начальной скорости, мгновенная скорость каждого из тел совпадает по направлению с его ускорением, следовательно, направление силы трения, действующей на тело m1 , будет известно. После этого можно решать задачу уже с учетом силы трения. При этом в уравнение (1) надо ввести в правую часть силу трения, уравнение (2), очевидно, не изменится. При рассмотрении условий равновесия следует повторить все рассуждения, учитывая, что в этом случае
a1 = a2=0 (3)
Решение. Для замены векторных уравнений (1) и (2) скалярными введем для описания движения тела m1 оси Х и У, тела m2 - ось з (рис. 13). Учитывая, что вследствие невесомости нити и блока, Т1 = Т2, получаем:
m1a1 x= m1gsinб--T, m2a2з = T - m2g , a1 x = a2з (4)
После совместного решения уравнений (4) получаем
Проекция вектора а на ось Х положительна, это значит, что тело m1 движется вниз по наклонной плоскости, следовательно, сила трения направлена вверх по наклонной плоскости.
Можно, не возвращаясь к векторным уравнениям, ввести силу трения в первое из уравнений (4). При этом следует учесть, что
a1 x = a2з= a, fTP=-fTPx= - kN.
Тогда
m1a= m1gsinб--T-kN, m2a = T - m2g.
Силу нормальной реакции N найдем из уравнения (1), записанного в скалярном виде для проекций на ось Y:
a1y = 0, 0 = N - m1gcosб,
откуда
N = m1gcosб.
Окончательно
(5)
Совместное решение системы (5) дает
Условия равновесия, соответствующие равенству нулю результирующей силы, действующей на каждое тело, зависят, очевидно, от наличия силы трения и ее направления.
Если трения нет, то, как следует из решения системы (4),
В условиях равновесия a1 x =0 и т2 = т2* = т1 sinб = 3 кг. Если т2 < т2* , то a1 x > 0--тело т1 движется вниз по наклонной плоскости; если m2> т2* , то a1 x < 0--тело т1 движется вверх по наклонной плоскости.
В условиях равновесия сила трения является силой трения покоя и ее направление противоположно направлению возможного движения тела т1.
В первом случае (т2 < т2*) сила трения направлена вверх по наклонной плоскости и систему (4) с учетом того, что a1 x = a2з=0, можно переписать в виде
0= m1gsinб - T -fTP, 0 = T-m2g, (6)
откуда
m2= m1sinб - fTP/g. (7)
Во втором случае (m2> т2* т) сила трения направлена вниз по наклонной плоскости и уравнения (6) примут вид
0= m1sinб - T + fTP, 0 = T - m2g, (8)
откуда
m2= m1sinб + fTP/g.
В обоих случаях сила трения покоя fTP ? kN = km1gcosб. С учетом этого неравенства выражения (7) и (8) примут вид
Легко видеть, что первое неравенство имеет смысл только когда sinб>kcosб. Оба неравенства не противоречат друг другу, и равновесие имеет место при 2,6 кг ?m2 ?3,4 кг.
Предельным значениям массы т2 соответствует наибольшая сила трения покоя
(f тр.макс = kN). Если т2 =2,6 кг или m2=3,4 кг, то при малейшем толчке (в первом случае--вниз, во втором--вверх) начнется движение системы. В обоих случаях движение будет равномерным.
Задача решена аналитическим методом, её описание содержит дополнительный материал, который лишь на первый взгляд делает решение излишне громоздким. На самом деле это хорошая иллюстрация методологии физики, как науки, при рассмотрении любой физической ситуации. Пользуясь такими пояснениями можно существенно повысить точность и обоснованность ответа, углубить уровень усвоения теоретического материала и приобрести навыки решения задач повышенной сложности.
3. Запись условия задачи следует завершать после её анализа
Как видно из приведённых примеров, авторы пособий по решению задач по разному подходят к рассматриваемой проблеме. Так например, в предисловии цитированного выше решебника В.Б.Лабковского выделены пять составных частей (этапов) решения задач, перечень которых нам представляется не только не идеальным, но во многом ошибочным.
Первым этапом автор считает запись условия. Однако следует помнить, что с чтением условия начинается процесс понимания содержания задачи. А понимание невозможно без анализа физической сути, скрытой в литературном сюжете. С момента ознакомления, с самых первых слов текста задачи непроизвольно, мысленно в ней выделяются физические явления, физические параметры и величины. Уже на этом этапе память настраивается на поиск аналогов и алгоритмов. Пренебрегать этим свойством нашего мышления на этапе восприятия задачи нельзя. Нередко к концу чтения задачи её ответ уже известен. А это возможно только в том случае, если процесс решения шёл одновременно с ознакомлением с её условием. Поэтому запись условия задачи по существу отражает не исходный, а переработанный - адаптированный и трансформированный текст задачи. И чтобы не допустить ошибок «этапу записи условия» должен предшествовать детальный анализ сюжета с точки зрения физики, который завершается представлением абстрактной модели физического сюжета задачи. Отсутствие в решебниках специально выделенного этапа анализа физического сюжета задачи (как и в реальной практике на уроке) следует отнести к существенным методическим ошибкам. Вместо обучения в этом случае производится «натаскивание», в основу которого положен принцип: «знай все формулы и научись ими манипулировать».
Второй этап автором обозначен как «Составление и решение уравнений». Следует отметить, что и составлению уравнений или их систем должен предшествовать анализ физической ситуации, из которого должны вытекать как сами уравнения, так и обоснования их применимости в условиях данной задачи. К сожалению, в этом пособии анализ отсутствует, а если и имеется, то никак не выделяется в тексте. Тем самым ослаблена одна из важнейших функций обучения - ознакомление с методологией физики, как точной и доказательной науки. Именно анализ ситуации приводит к необходимости вводить какие-либо ограничения и условности, текст задачи перерабатывается, подводится под идеализированные понятия и законы. Учащимся должна быть ясна вся эта «кухня», они должны производить эти действия осознанно, тогда они могут усвоить общие, а не частные подходы к составлению планов решения задач.
4. Проверка ответа - это один из важнейших этапов решения задачи
Нельзя считать удачным третий этап, названный «Проверкой единиц физических величин». Основание для такого заключения - малый удельный вес этого действия в общем процессе решения задачи. По сути, это проверка конечной формулы методом размерности входящих в неё величин. Сам автор довольно редко использует этот приём.
Далее идёт этап «Получение числового результата», представляющий элементарные математические действия. Наше отношение к объёму и качеству математических действий, сопутствующих решению физических задач, мы показали выше.
И завершается решение задачи этапом «Запись ответа». Автор осознаёт важность этого этапа, в качественных и в ряде вычислительных задач он приводит довольно подробный анализ и комментарий полученного результата. Но в качестве иллюстрации значимости записи ответа приводит пример, досадная погрешность которого часто встречается в учительской практике. Поэтому считаем необходимым и целесообразным его рассмотрение.
Задача 4. (Л. с.7) «Пуля, начальная скорость которой 600м/с, движется к цели с отрицательным ускорением 500м/c2. Через сколько времени она поразит цель, отстоящую от неё на расстоянии 300 м?».
При её решении получено два ответа: +0,71 и +1,69 с. Какой из двух ответов следует выбрать, как единственный верный? Автор решебника предлагает проверить следующим способом - он определяет время, по истечении которого скорость пули станет равной нулю t=v0/a =1,2c. Откуда следует, что верным является ответ 0,71 с.
Ответ правильный, нет замечаний и к данному варианту проверки ответа. Но есть существенное замечание к глубине объяснения полученных результатов. Оно состоит в том, что учащимся не дано никакого объяснения по поводу второго ответа. Это можно понимать как неявное утверждение, что он неверен. У учащихся формируется ложное представление, что даже правильное математическое описание в виде уравнений или формул, в принципе может дать неверный ответ. Но уравнение живёт самостоятельной жизнью, в нём для пули нет препятствия в виде цели, с точки зрения уравнения она движется «вечно». Следовало бы разъяснить, что с момента остановки (1,2 с) пуля, движется с прежним по величине и направлению ускорением, но теперь уже к исходной точке выстрела. Через 1,69 с после выстрела она вновь оказывается на расстоянии 300 м от места выстрела и продолжает дальнейшее движение.
