Весьма важным для повышения эффективности обучения, преодоления формализма и процентомании является вопрос о критериях развития, то есть о выявлении тех показателей, по которым, можно судить об успешности работы учителя по уровню развития учатся. Следует сразу отметить, что до сих пор эта проблема не решена в психологии однозначно. Анализ работ советских и зарубежных авторов ( Б.Г.Ананьев, Н.Д.Левитов, Н.А. Менчинская, Д.Н. Бороявленский, В,В. Давыдов, Л.В.Занков. Е.Н.Кабанова-Меллер,Я.А. Пономарев, Э. де Боно. И.Ломпшер и др. ) дает тем не менее основание мыле лить некоторые критерии умственного развития. И развития личности в целом первая группа критериев охватывает некоторые особенности мышления, а именно:
Ъ) самостоятельность мышления;
2) широта переноса приемов умственной деятельности
3) проникновение в сущность изучаемых явлений;
4) быстрота умственной ориентировки при решении нестандартных задач.
Самостоятельность мышления предполагает два аспекта. Первый постоит в том, насколько ученик самостоятельно, без чьей-либо помощи осуществляет учение. Но само знание и пути его усвоения при этом не являются объективно новыми, оригинальными.
Второй аспект рассмотрения самостоятельности мышления с точки зрения развития состоит в том, чтобы выяснить ,пришел ли .ученик к ответу самостоятельно, оригинальным путем. В этой связи следует подчеркнуть, что "тугодумы",учащиеся, на первых этапах обучения несколько отстающие от своих " быстрых разумом" сверстников, могут в конце концов перегнать их за счет большей оригинальности подходов, продуманности способов решения мыслительных задач.
Критерий прийомов переноса приемов мыслительной деятельности, выдвигаемый Е.Н. Кабановой-Меллер (1968 г. ) .заключается в том, чтобы выяснить, насколько верно учитель формирует у учащихся отношение к решению учебных задач как к частным случаям некоторых общих приемов решения целого класса задач.
Критерий проникновения в сущность изучаемых явлений предполагает развитие у детей глубины ума, выделения главного в учебном материале.
Развивающее обучение включает в свои главные задачи овладение памятью, управление мнемическими процессами, что является одним из резервов повышения познавательной активности. Известно, например, что составление плана ответа вдвое улучшает эффективность запоминания учебного материала.
Кроме того, если ученик понял материал, сущность изучаемых явлений, то в памяти сохранится наиболее важное, главное. Это и будет основой для дальнейшего умственного развития, ибо, как утверждал выдающийся педагог и психолог П.П. Блонский, "пустая голова не рассуждает".
Однако запечатленный учебный материал не должен быть консервативным грузом информации. Важнейшим показателем развития является быстрота ориентировки ребенка в тех задачах, которые никогда ему не встречались в учебной деятельности.
Если учитель, как это делает В.П. Иржавцева, много работает над созданием "нешаблонного" ( де Боно ) мышления, над готовностью ребенка быстро перестроиться в соответствии с новой ситуацией, то такие усилия не пропадут даром и будут весьма перспективны с точки зрения требований к психике человека, которые предъявляет современная жизнь.
Все ситуации, которые придется решать в жизни, нельзя проектировать в обучении, но если учитель - а именно так поступает В.П. Иржавцева - обращает самое пристальное внимание на свободное выдвижение гипотез при решении проблем, на упражнения в решении нестандартных задач, ребенок будет лучше подготовлен к творческой деятельности в любых областях культуры, науки, производства.
Ко второй группе критериев развития личности можно отнести анализирующего наблюдения, представляющего собой синтез процессов направленного на объект восприятия и мышления.
Третью группу критериев составляют показатели практической деятельности учащихся. Здесь индикаторами успешности развитии служат: антиципация ( предварительное планирование целей и операций),самоконтроль в процессе деятельности, быстрота и четкость всего процесса исполнения, словесный отчет о ходе практических действий.
В.П. Иржавцева, учитывая в своей работе все перечисленные критерии, исходит также из того, что одним из общих показателей развития является положительное отношение к учению, желание учиться, развиваться. Здесь действует один из психологических парадоксов: чем более высок уровень развития человека, тем более развитой является его потребность в знаниях. Эта духовная потребность является ненасыщаемой. Формирование у школьников I--III классов вычислительных навыков остается одной из главных задач начального обучения математике, поскольку вычислительные навыки необходимы как в практической жизни каждого человека, так и в учении.
Действующая сейчас программа по математике предусматривает «формирование вычислительных навыков на основе сознательного использования приемов вычислений. Последнее становится возможным благодаря тому, что в программу включено знакомство с некоторыми важнейшими свойствами арифметических действий и вытекающими из них следствиями». Такой подход к формированию вычислительных навыков оправдал себя в практике работы школы.
Рассмотрим прежде всего, что такое прием вычисления (вычислительный прием). Пусть надо сложить числа 8 и 6. По принятой в настоящее время методической системе прием вычисления для этого случая будет состоять из ряда операций: 1) замена числа 6 суммой удобных слагаемых 2 и 4; 2) прибавление к числу 8 слагаемого 2; 3) прибавление к полученному результату, к 10, слагаемого 4. Здесь выбор операций и порядок их выполнения определяется соответствующей теоретической основой приема -- применением свойства прибавления к числу суммы (сочетательное свойство): замена числа 6 суммой удобных слагаемых, затем прибавление к числу 8 последовательно каждого слагаемого. Кроме того, здесь используются и другие знания, например, при выполнении первой операции используется знание состава чисел первого десятка: 10=8+2 и 6=2+4.
Таким образом, можно сказать, что прием вычисления над данными числами складывается из ряда последовательных операций (системы операций), выполнение которых приводит к нахождению результата требуемого арифметического действия над этими числами; причем выбор операций в каждом приеме определяется теми теоретическими положениями, которые используются в качестве его теоретической основы. В большинстве случаев уже в начальных классах школы для нахождения результата арифметического действия можно использовать в качестве теоретической основы различные теоретические положения, что приводит к разным приемам вычислений (разным способам вычислений). Например:
1) 15-6=15+15+15+15+15+15=90
2) 15-6=(10+5)-6=10-6+5-6=90
3) 15-6=15-(2-3) = (15-2)-3=90
Теоретической основой для выбора операций, составляющих первый из приведенных приемов, является конкретный смысл действия умножения; теоретической основой второго приема -- свойство умножения суммы на число, а третьего приема -- свойство умножения числа на произведение. Операции, составляющие прием вычисления, имеют разный характер. Многие из них сами являются арифметическими действиями. Эти операции, как будет показано далее, играют особую роль в процессе овладения вычислительными приемами: выполнение приема в свернутом плане сводится к выделению и выполнению именно операций, являющихся арифметическими действиями. Поэтому операции, являющиеся арифметическими действиями, можно назвать основными. Например, для случая 16-4 основными будут операции: 10-4=40, 6-4=24, 40+24=64. Все другие операции (замена числа суммой, произведением и т. п.) -- вспомогательные, хотя в приеме они все одинаково важны.
Число операций, составляющих прием, определяется прежде всего выбором теоретической основы вычислительного приема. Например, при сложении чисел 57 и 25 в качестве теоретической основы может выступать свойство прибавления суммы к числу, тогда прием будет включать три операции: замена числа 25 суммой разрядных слагаемых 20 и 5, прибавление к числу 57 слагаемого 20 и прибавление к результату, к 77, слагаемого 5; если же теоретической основой явится свойство прибавления суммы к сумме, то прием для того же случая будет включать пять операций: замена числа 57 суммой разрядных слагаемых 50 и 7, замена числа 25 суммой разрядных слагаемых 20 и 5, сложение чисел 50 и 20, сложение чисел 7 и 5, сложение полученных результатов 70 и 12. Число операций зависит также от чисел, над которыми выполняются арифметические действия. Так, при использовании одной и той же теоретической основы -- свойства прибавления суммы к сумме -- прием сложения чисел 57 и 25 содержит меньше операций, чем прием сложения чисел 257 и 425.
Число операций, выполняемых при нахождении результата арифметического действия, может сокращаться по мере овладения приемом. Например, для случаев вида 8-|-2 на начальной стадии формирования навыка ученик выполняет три операции: замена числа 2 суммой чисел 1 и 1 (хотя в явном виде эта операция не дается), прибавление числа 1 к 8, прибавление числа 1 к результату, к 9; однако после заучивания таблицы сложения ученик выполняет одну операцию -- он сразу связывает числа 8 и 2 с числом 10. Как видим, здесь один прием как бы перерастает в другой.
Дадим теперь характеристику вычислительного навыка.
Вычислительный навык -- это высокая степень овладения вычислительными приемами. Приобрести вычислительные навыки -- значит для каждого случая знать, какие операции и в каком порядке следует выполнять, чтобы найти результат арифметического действия, и выполнять эти операции достаточно быстро.
Полноценный вычислительный навык характеризуется правильностью, осознанностью, рациональностью, обобщенностью, автоматизмом и прочностью.
Правильность -- ученик правильно находит результат арифметического действия над данными числами, т. е. правильно выбирает и выполняет операции, составляющие прием.
Осознанность -- ученик осознает, на основе каких знаний выбраны операции и установлен порядок их выполнения. Это для ученика своего рода доказательство правильности выбора системы операций. Осознанность проявляется в том, что ученик в любой момент может объяснить, как он решал пример и почему можно так решать.
Это, конечно, не значит, что ученик всегда должен объяснять решение каждого примера. Как будет показано далее, в процессе овладения навыком объяснение должно постепенно свертываться.
Рациональность -- ученик, сообразуясь с конкретными условиями, выбирает для данного случая более рациональный прием, т. е. выбирает те из возможных операций, выполнение которых легче других и быстрее приводит к результату арифметического действия. Разумеется, что это качество навыка может проявляться тогда, когда для данного случая существуют различные приемы нахождения результата, и ученик, используя различные знания, может сконструировать несколько приемов и выбрать более рациональный. Как видим, рациональность непосредственно связана с осознанностью навыка.
Обобщенность -- ученик может применить прием вычисления к большему числу случаев, т. е. он способен перенести прием вычисления на новые случаи. Обобщенность так же, как и рациональность, теснейшим образом связана с осознанностью вычислительного навыка, поскольку общим для различных случаев вычисления будет прием, основа которого -- одни и те же теоретические положения.
Автоматизм (свернутость) -- ученик выделяет и выполняет операции быстро и в свернутом виде, но всегда может вернуться к объяснению выбора системы операций.
Программа предусматривает разную степень автоматизации различных случаев выполнения арифметических действий. Высокая степень автоматизации должна быть достигнута по отношению к табличным случаям (5+3, 8--5,9+6, 15--9, 7-6, 42:6). Здесь должен быть достигнут уровень, характеризующийся тем, что ученик сразу же соотносит с двумя данными числами третье число, которое является результатом арифметического действия, не выполняя отдельных операций. По отношению к другим случаям арифметических действий происходит частичная автоматизация вычислительных навыков: ученик предельно быстро выделяет и выполняет систему операций, не объясняя, почему выбрал эти операции и как выполнял каждую из них. В этом смысле и говорят об автоматизации вычислительных навыков. Заметим, что осознанность и автоматизм вычислительных навыков не являются противоречивыми качествами. Они всегда выступают в единстве: при свернутом выполнении операций осознанность сохраняется, но обоснование выбора системы операций происходит свернуто в плане внутренней речи.
Благодаря этому ученик может в любой момент дать развернутое обоснование выбора системы операций.
Прочность -- ученик сохраняет сформированные вычислительные навыки на длительное время.
Перейдем к методике формирования вычислительных навыков.
Формирование вычислительных навыков, обладающих названными качествами, обеспечивается построением начального курса математики и использованием соответствующих методических приемов.
В целях формирования осознанных, обобщенных и рациональных навыков начальный курс математики строится так, что изучение вычислительного приема происходит после того, как учащиеся усвоят материал, являющийся теоретической основой этого вычислительного приема. Например, сначала ученики усваивают свойство умножения суммы на число, а затем это свойство становится теоретической основой приема внетабличного умножения. Так, при умножении 15 на 6 выполняется следующая система операций, составляющая вычислительный прием: 1) число 15 заменяем суммой разрядных слагаемых 10 и 5; 2) умножаем на 6 слагаемое 10, получится 60; 3) умножаем на 6 слагаемое 5, получится 30; 4) складываем полученные произведения 60 и 30, получится 90. Как видим, здесь применение свойства умножения суммы на число (термин «распределительный закон» в начальном курсе не вводится) определило выбор всех операций, поэтому и говорят, что прием внетабличного умножения основан на свойстве умножения суммы на число или что свойство умножения суммы на число -- теоретическая основа приема внетабличного умножения. Легко заметить, что кроме свойства умножения суммы на число здесь использованы и другие знания, а также ранее сформированные вычислительные навыки: знание десятичного состава чисел (замена числа суммой разрядных слагаемых), навыки табличного умножения и умножения числа 10 на однозначные числа, навыки сложения двузначных чисел. Однако выбор именно этих знаний и навыков диктуется применением свойства умножения суммы на число.
Общеизвестно, что теоретической основой вычислительных приемов служат определения арифметических действий, свойства действий и следствия, вытекающие из них. Имея это в виду и принимая во внимание методический аспект, можно выделить группы приемов в соответствии с их общей теоретической основой, предусмотренной действующей программой по математике для начальных классов, что даст возможность использовать общие подходы в методике формирования соответствующих навыков.
Назовем эти группы приемов.
1. Приемы, теоретическая основа которых -- конкретный смысл арифметических действий.
К ним относятся: приемы сложения и вычитания чисел в пределах 10 для случаев вида а+2, а+3, а+4, а+0; приемы табличного сложения и вычитания с переходом через десяток в пределах 20; прием нахождения табличных результатов умножения, прием нахождения табличных результатов деления (только на начальной стадии) и деления с остатком, прием умножения единицы и нуля.
Это первые приемы вычислений, которые вводятся сразу после ознакомления учащихся с конкретным смыслом арифметических действий. Они, собственно, и дают возможность усвоить конкретный смысл арифметических действий, поскольку требуют применения конкретного смысла. Вместе с тем эти первые приемы готовят учащихся к усвоению свойств арифметических действий. Таким образом, хотя в основе некоторых из названных приемов и лежат свойства арифметических действий (так, прибавление двух по единице выполняется на основе использования свойства прибавления суммы к числу), эти свойства учащимся явно не раскрываются. Названные приемы вводятся на основе выполнения операций над множествами.
2. Приемы, теоретической основой которых служат свойства арифметических действий.
К этой группе относится большинство вычислительных приемов. Это приемы сложения и вычитания для случаев вида 2+8, 54=F20, 27=F3, 40--6,45=F7, 50+23, 67+32, 74+18; аналогичные приемы для случаев сложения и вычитания чисел больших, чем 100, а также приемы письменного сложения и вычитания; приемы умножения и деления для случаев вида 14-5, 5-14, 81:3, 18-40, 180:20, аналогичные приемы умножения и деления для чисел больших 100 и приемы письменного умножения и деления.
Общая схема введения этих приемов одинакова: сначала изучаются соответствующие свойства, а затем на их основе вводятся приемы вычислений.
3. Приемы, теоретическая основа которых -- связи между компонентами и результатами арифметических действий.
К ним относятся приемы для случаев вида 9 -- 7, 21:3, 60:20, 54:18, 9:1, 0:6.
При введении этих приемов сначала рассматриваются связи между компонентами и результатом соответствующего арифметического действия, затем на этой основе вводится вычислительный прием.
4. Приемы, теоретическая основа которых -- изменение результатов арифметических действий в зависимости от изменения одного из компонентов.
Это приемы округления при выполнении сложения и вычитания чисел (46+19, 512 -- 298) и приемы умножения и деления на 5, 25, 50.
Введение этих приемов также требует предварительного изучения соответствующих зависимостей.
5. Приемы, теоретическая основа которых -- вопросы нумерации чисел.
Это приемы для случаев вида a=Fl, 10 + 6, 16--10, 16--6, 57-10, 1200:100; аналогичные приемы для больших чисел.
Введение этих приемов предусматривается после изучения соответствующих вопросов нумерации (натуральной последовательности, десятичного состава чисел, позиционного принципа записи чисел).
6. При е, мы, теоретическая основа которых -- правила.
К ним относятся приемы для двух случаев: а Л, а-0. Поскольку правила умножения чисел на единицу и нуль есть следствия из определения действия умножения целых неотрицательных чисел, то они просто сообщаются учащимся и в соответствии с ними выполняются вычисления.
Целый ряд случаев может быть отнесен не только к указанной группе приемов, но и к другой. Например, случаи вида 46+19 можно отнести не только к четвертой группе, но и ко второй. Это зависит от выбора теоретической основы вычислительного приема.
Как видим, все вычислительные приемы строятся на той или иной теоретической основе, причем в каждом случае учащиеся осознают сам факт использования соответствующих теоретических положений, лежащих в основе вычислительных приемов. Это -- реальная предпосылка овладения учащимися осознанными вычислительными навыками. Общность подходов к раскрытию вычислительных приемов каждой группы -- есть залог овладения учащимися обобщенными вычислительными навыками. Возможность использования различных теоретических положений при конструировании различных приемов для одного случая вычисления (например, для случая сложения 46+19) является предпосылкой формирования рациональных гибких вычислительных навыков.
В принятой сейчас системе изучения арифметических действий предусматривается такой порядок введения приемов, при котором постепенно вводятся приемы, включающие большее число операций, а ранее усвоенные приемы включаются в качестве основных операций в новые приемы. Например, при изучении сложения и вычитания в пределах 10, сначала вводятся приемы для случаев вида а + 1, после их изучения и выработки соответствующих навыков вводятся приемы для случаев а + 2, которые включают в качестве операций случаи а + 1; затем вводятся приемы для случаев а+~3, включающие в качестве операций случаи а + 2 и т. д. Как видим, выполняя операции, составляющие новый прием, ученик не только усваивает этот прием, но и совершенствует навыки вычислений ранее рассмотренных случаев. Такая система включения приемов создает благоприятные условия для выработки у учащихся прочных и автоматизированных навыков.
В методике работы над каждым отдельным приемом можно предусмотреть ряд этапов.
На этом этапе создается готовность к усвоению вычислительного приема, а именно: учащиеся должны усвоить те теоретические положения, на которых основывается вычислительный прием, а также овладеть каждой операц„y„u„z, составляющей прием. Следовательно, чтобы обеспечить соответствующую подготовку к введению приема, надо проанализировать прием и установить, какими знаниями должен овладеть ученик и какие вычислительные навыки он должен уже приобрести. Например, можно считать, что ученики подготовлены к восприятию вычислительного приема для случаев а +" 2, если они ознакомлены с конкретным смыслом действий сложения и вычитания, знают состав числа 2 и овладели вычислительными навыками сложения и вычитания для случаев вид„p а+1; готовностью к введению приема внетабличного умножения (14-5) будет: знание учащимися правила умножения суммы на число, знание десятичного состава чисел в пределах 100 и овладение навыками табличного умножения, навыками умножения числа 10 на однозначные числа, навыками сложения двузначных чисел. Центральное же звено при подготовке к введению нового приема -- овладение учеником основными операциями, которые войдут в новый прием.
На этом этапе ученики усваивают суть приема: какие операции надо выполнять, в каком порядке и почему именно так можно найти результат арифметического действия.
При введении большинства вычислительных приемов целесообразно использовать наглядность. Для приемов первой группы это -- оперирование множествами. Например, прибавляя к 7 число 2, придвигаем к 7 квадратам (кружкам и т. п.) 2 квадрата (кружка и т. п.) по одн„Ђ„}„…. При ознакомлении с приемами второй группы в качестве наглядности используется развернутая запись всех операций, что весьма положительно влияет на усвоение приема. Например, при введении приема внетабличного умножения выполняется такая запись: 14-5= (10+4) -5=10-5 + 4-5=70. в ряде случаев наряду с развернутой записью используется и оперирование множествами (например, при ознакомлении с приемами сложения и вычитания в пределах 100).
Выполнение каждой операции важно сопровождать пояснениями вслух. Сначала эти пояснения выполняются под руководством учителя, а затем учащиеся выполняют их самостоятельно. В пояснении указывается, какие выполняются операции, в каком порядке и называется результат каждой из них, при этом не поясняются ранее изученные приемы, входящие в качестве операций в рассматриваемый прием (основные операции). Например, прибавляя к 7 число 2, ученик так поясняет выполнение операций: к семи прибавлю 1, получится 8; к восьми прибавлю 1, получится 9 (как прибавить 1, не поясняется); при умножении чисел 14 и 5 пояснение будет следующим: заменю число 14 суммой разрядных слагаемых 10 и 4, получится пример: сумму чисел 10 и 4 умножить на 5; умножим на 5 первое слагаемое -- 10, получится 50; умножим на 5 второе слагаемое -- 4, получится 20; сложим результаты 50 и 20, получится 70 (здесь не поясняется, как умножить 10 на 5, как умножить 4 на 5 и как сложить 50 и 20). Пояснение выбора и выполнение операций приводит к пониманию сущности каждой операции и всего приема в целом, что в дальнейшем станет основой овладения учащимися осознанными вычислительными навыками.
Степень самостоятельности учащихся должна увеличиваться при переходе от приема к приему одной группы. Следует учитывать, что во многих случаях ученики могут самостоятельно найти новый вычислительный прием и выполнить соответствующее обоснование. Например, установлено, что все приемы устных вычислений над числами в пределах 1000 учащиеся находят самостоятельно, поскольку эти приемы являются прямым аналогом приемов, изученных в концентре «Сотня» (сравнить: 9 + 7 и 90+70, 8-4 и 80-4 и т. п.). Значительно повышается доля самостоятельности учащихся в «открытии» новых приемов, если используются «предписания -- планы» (Л. Н. Ланда). Например, при изучении сложения и вычитания в пределах 100 учащимся можно предложить руководствоваться при вычислениях таким планом: заменить одно из чисел суммой удобных слагаемых (часто удобными являются разрядные слагаемые), назвать, какой получился пример, решить этот пример удобным способом. Умение пользоваться таким планом приводит к тому, что ученики сами находят различные вычислительные приемы даже для новых случаев, а это есть предпосылка образования рациональных навыков и вместе с тем проявление осознанности и обобщенности вычислительного навыка.
На этом этапе учащиеся должны твердо усвоить систему операций, составляющих прием, и предельно быстро выполнять эти операции, т. е. овладеть вычислительным навыком.
В процессе работы здесь важно предусмотреть ряд стадий в формировании у учащихся вычислительных навыков.
На первой стадии закрепляется знание приема: учащиеся самостоятельно выполняют все операции, составляющие прием, комментируя выполнение каждой из них вслух и одновременно производя развернутую запись, если она была предусмотрена на предыдущем этапе. Таким образом, здесь учащиеся выполняют самостоятельно то же, что на предыдущем этапе выполняли под руководством учителя. Подробное объяснение и развернутая запись позволяют им осознанно усвоить вычислительный прием. Начинается эта стадия, как правило, на том ж„u уроке, на котором учитель знакомит детей с новым приемом. Заметим, что не следует слишком долго задерживать учащихся на этой стадии, иначе они настолько привыкают к подробной записи и подробному объяснению, что всегда пользуются ими, а это тормозит свертывание выполнения операций.
На второй стадии происходит частичное свертывание выполнения операций: учащиеся про себя выделяют операции и обосновывают выбор и порядок их выполнения, вслух же они проговаривают выполнение основных операций, т. е. промежуточных вычислений. Надо специально учить детей выделять основные операции в каждом вычислительном приеме. Так, при формировании навыка внетабличного умножения учитель на этой стадии указывает, чтобы при умножении, например, 27 на 3 ученики про себя заменили число 27 суммой разрядных слагаемых (20 и 7), про себя сказали, какой получился пример (сумму чисел 20 и 7 умножить на 3), а вслух объяснили, как удобнее решить этот пример, называя только, над какими числами и какие арифметические действия они выполняют (20 умножить на 3, получится 60; 7 умножить на 3, получится 21; к 60 прибавить 21, получится 81). Развернутая запись при этом не выполняется. Сначала такое проговаривание ведется под руководством учителя, а затем самостоятельно. Проговаривание вслух помогает выделить и подчеркнуть основные операции, а выполнение про себя вспомогательных операций способствует их свертыванию, т. е. быстрому выполнению в плане внутренней речи.
На третьей стадии происходит полное свертывание выполнения операций: учащиеся про себя выделяют и выполняют все операции, т. е. здесь происходит свертывание и основных операций. Чтобы добиться этого, надо и на этой стадии руководить деятельностью учащихся: учитель предлагает детям выполнять про себя и промежуточные вычисления (основные операции), а называть или записывать только окончательный результат. На этой стадии свертывание основных операций будет несколько отставать от свертывания вспомогательных операций (их свертывание началос„Ћ на предыдущей стадии), благодаря чему основные операции будут актуализироваться, т. е. ученики воспроизведут именно те операции, выполнение которых позволит им правильно и быстро найти результат арифметического действия. Актуализация основных операций и выполнение их в свернутом плане и есть собственно вычислительный навык.
На четвертой стадии наступает предельное свертывание выполнения операций: учащиеся выполняют все операции в свернутом плане, предельно быстро, т. е. они овладевают вычислительными навыками. Это достигается в результате выполнения достаточного числа тренировочных упражнений.
На всех стадиях формирования вычислительного навыка решающую роль играют упражнения на применение вычислительных приемов, причем содержание упражнений должно подчиняться целям, которые ставятся на соответствующих стадиях. Важно, чтобы было достаточное числ„Ђ упражнений, чтобы они были разнообразными как по числовым данным, так и по форме, чтобы при этом предусматривались аналогии в приемах и в соответствии с ними предлагались упражнения на сравнение приемов, сходных в том или ином отношении.
Названные стадии не имеют четких границ: одна постепенно переходит в другую. Надо иметь в виду, что свертывание выполнения операций не у всех учащихся происходит одновременно, поэтому важно время от времени возвращаться к полному объяснению и развернутой записи приема. Продолжительность каждой стадий определяется сложностью приема, подготовленностью учащихся и целями, которые ставятся на каждой стадии.
Правильное выделение стадий позволит учителю управлять процессом усвоения учащимися вычислительного приема, постепенного свертывания выполнения операций, образования вычислительных навыков.
