/b>Ответ: 12,5%

Метод последовательных вычислений:

Сколько растворенного вещества содержится:

а) в 100 г 20%-ного раствора? [100*0,2 = 20(г)];

б) в 300 г 10%-ного раствора? [300*0,1 = 30(г)].

Сколько вещества содержится в образовавшемся растворе?

20 г + 30 г = 50 г.

Чему равна масса образовавшегося раствора?

100 г + 300 г = 400 г.

Какова процентная концентрация полученного раствора?

(50/400)100 = 12,5(%).

Ответ: 12,5%

Алгебраический метод:

Пусть х - процентная концентрация полученного раствора. В первом растворе содержится 0,2*100 (г) соли, во втором - 0,1*300 (г), а в полученном растворе - х* (100 + 300) (г) соли. Составим уравнение: 0,2*100 + 0,1*300 = х* (100 + 300). Получаем х = 0,125 (12,5%).

Ответ: 12,5%

Задача 5

· Смешали 10%-ный и 25%-ный растворы соли и получили 3 кг 20%-ного раствора. Какое количество каждого раствора в килограммах было использовано?

Решение:

Алгебраический метод:

а) C помощью уравнения:

Пусть х (кг) - масса 1-го раствора, тогда (кг) - масса 2-го раствора.

Получаем:

- 0,1*х (кг) соли содержится в 1-ом растворе;

- 0,25* (3-х) (кг) соли содержится в 2-ом растворе;

- 0,2*3 (кг) соли содержится в смеси.

Учитывая, что масса соли в 1-ом и 2-ом растворах равна массе соли в смеси, составим уравнение: 0,1х+0,25*(3-х)=0,2*3 или х=1. Итак:

-х=1 (кг) - масса 1-го раствора;

-3-х = 3-1=2 (кг) - масса 2-го раствора.

Ответ: 1 кг, 2 кг.

б) С помощью системы уравнений:

Пусть х (кг) - количество первого раствора, у (кг) - количество второго раствора. Система уравнений имеет вид:

Ответ: 1 кг, 2 кг.

Графический метод:

Рис. 2

Ответ: 1кг, 2кг.

Задача 6

· Найти два числа, зная, что их сумма равна 16, а сумма их квадратов - 130.

Для отдельных учащихся, увлечённых другими предметами, полезно решать задачи, связанные по содержанию с любимыми предметами.

Задача 7

· Тело движется по закону, где и a<0. Определить:

- время начала пути;

- длину пути;

- время остановки тела.

Решение. Эта задача связана с исследованием свойств функций при помощи производной. Обозначим через t1 время начала пути, а через t2 - время остановки тела. Производная равна скорости движения тела.

Для решения этой задачи можно применить метод мозговой атаки.

В этом случае у учащихся последовательно возникают следующие вопросы с соответствующими ответами:

1. При каких условиях тело движется?

Во временном интервале [p, q] тело движется при условиях:

;

-S'(t)>0, как только p < t <q.

2. Каким условиям удовлетворяет момент t1 начала пути?

Во первых, . Во вторых, S'(t1) . 0 и S'(t)<0 при 0 < t < t1.

3. Каким условиям удовлетворяет момент t2 остановки тела?

Во первых, t1 < t 2 . Во вторых, S'(t 2 )= 0 и S'(t)>0 при t1 < t < t 2 .

Выводы: 1. Для решения задачи находим корни х1, х2 квадратного уравнения . Если корни или мнимые, или равны, или оба неположительные, то задача физического смысла не имеет.

2. Предположим, что корни действительные, х1 < х2 и 0 < х2 . В этом случае t2 = х2 и t1 = max {0, x1}.

Конкретные примеры могут быть построены следующим образом:

- фиксируем действительные числа х1, х2 такие, что х1 < х2 и 0 < х2 ;

- фиксируем положительное число n и отрицательное число p;

- положим a = p:(n+3), b = -p(x1 + x2 ):(n+2), c = p. x1 . x2 :(n+1).

Задача 8

· Калорийность 100г свежей севрюги и 100г осетра составляет 644 ккал. Какова калорийность 100г осетрины, если известно, что она меньше калорийности 100г севрюги на 12 ккал?

Решение. Пусть калорийность 100г осетрины равна x, тогда калорийность 100г севрюги - (x+12). Учитывая, что их общая калорийность составляет 644 ккал, составим и решим уравнение:

x+x+12 = 644,

2x = 632,

x = 316.

Эту задачу можно решить и арифметическим способом.

Приведённые задачи удовлетворяют следующим принципам, которые выделены в пособии Л. М. Фридмана [19]:

1) решение задач используется для формирования у учащихся необходимой мотивации их учебной деятельности, интереса и склонностей;

2) решение задач используется для иллюстрации и конкретизации изучаемого учебного материала;

3) выработка у учащихся определённых умений и навыков;

4) решение задач - удобное и адекватное средство для контроля и оценки учебной работы учащихся;

5) решение задач используется для приобретения учащимися новых знаний.

Выявление практической значимости изучаемых фактов не только возбуждает интерес, но является и сильным стимулом, поскольку взаимосвязан с основными целями обучения.

2.4. Мотивационные элементы в преподавании школьных математических дисциплин

Варианты построения школьных математических дисциплин, с точки зрения характера используемого дедуктивного аппарата, претерпевали различные изменения. Характерной чертой целенаправленного применения рассматриваемого подхода, важной в мотивационном отношении, является ориентация на активное участие самих учеников в построении фрагментов математических теорий («дедуктивных островков») на основе специальной исследовательской работы, проводимой ими совместно с учителями.

Важно предусмотреть реализацию следующей последовательности этапов, являющейся результатом обобщения и уточнения предлагаемых в литературе методических схем [16]:

1) анализ эмпирического материала и выделение в нём определенных закономерностей;

2) перевод этих закономерностей на математический язык, формулы;

3) уточнение терминологии и формулировок рассматриваемых предложений на основе попыток обобщения, анализа предельных случаев, подбора контрпримеров;

4) доказательство различных математических фактов с опорой на интуицию и прошлый опыт учащихся;

5) применение прошлого опыта при решении, как стандартных задач, так и задач, предполагающих привлечение недостающей информации в заранее определенном (учителем, учеником или совместно) «диапазоне выбора»;

6) исследование других возможных вариантов логической организации рассматриваемого фрагмента теории (рекомендуется реализовать либо на внеклассных занятиях, либо в виде индивидуальных творческих заданий).

Такой подход к построению содержания школьных математических курсов даёт возможность осознать учащимися цели и характер их предметной деятельности, обеспечивает их активное участие в выборе и реализации направления этой деятельности, позволяет подготовить школьников к «деятельностному» восприятию материала других тем школьного курса математики.

Мотивационные характеристики метода обучения [16] можно представить в виде упорядоченной тройки признаков; доминирующий характер целеобразования (внешнего, смешанного или внутреннего - A1,A2,A3); ориентация на ту или иную степень соотнесения различных форм представления материала, соответствующих определённой когнитивной подструктуре мышления (незначительную, среднюю или высокую - I1, I2, I3); уровень обобщённости усваиваемого содержания (низкий, средний, высокий - G1, G2, G3). Данные параметры могут быть использованы в качестве ориентиров для описания различных стратегий обучения математике на всех уровнях его организации. Более подробное описание этих признаков представлено в следующей таблице:

Таблица 1

№	A	I	G
1	Цель «спускается сверху» с помощью прямого указания учителя	«Наглядно-эмпирическое» изучение материала	Выполнение действий по образцу или конкретному алгоритму
2	Производится работа по принятию учебной цели учащимися	Целесообразная перекодировка и преобразование содержания в рамках доступного когнитивного диапазона	Ориентация на вариативное применение общих предписаний, подкрепляемое наводящими вопросами и указаниями учителя
3	Цель осознаётся учащимися в ходе относительно самостоятельного решения проблемной ситуации	Организация проблемного исследования на основе многостороннего анализа ситуации	Преимущественная опора на сформированные общие и специальные учебные приемы

Какой из методов использовать в данной ситуации решается с позиции всей системы методов обучения данной теме или разделу. Оптимальное сочетание различных методов обучения должно достигаться не только в рамках целой темы, но и в рамках отдельного урока.

Демонстрация данного положения на примере плана по теме «Квадратные уравнения» представлена в Приложении (стр. 2).

2.5. Роль дидактических игр в повышении мотивации изучения математики

Повышение интереса к математике зависит, в большей степени, от того, насколько умело построена учебная работа. Особенно в V -VIII классах надо позаботиться о том, чтобы каждый учащийся работал активно и увлечённо. Для этого необходимо развить у учащихся чувство любознательности и познавательного интереса. Немаловажная роль для решения этой задачи отводится дидактическим играм. Дидактические игры в V -VIII классах можно рассматривать не только как возможность эффективной организации взаимодействия учителя и учащихся с присущими им элементами соревнования, но и как метод формирования исследовательских навыков.

Создание игровых ситуаций повышает настроение учащихся, облегчает преодоление трудностей в понимании и усвоении учебного материала. Дидактические игры на уроках математики следует отличать от игры и игровых форм занятий, от забавы. Игра в учебном процессе должна носить обучающий характер. Важным моментом при применении дидактических игр является дисциплина. В зависимости от цели урока для дидактических игр:

- определяется игровой замысел дидактической игры;

- определяются правила игры;

- определяются правила поведения и игровые действия учащихся;

- определяется познавательное содержание;

- учитывается наличие необходимого оборудования (технических средства обучения: компьютера, диапозитивов, таблиц, моделей и т.д.).

Все указанные структурные элементы дидактической игры должны быть взаимосвязанными.

Организационную и содержательную стороны построения уроков математики, содержащих элементы игры как форму взаимодействия учителя с учащимися, в процессе которого через систему игровых действий реализуются учебно-воспитательные возможности, заложенные в содержании учебного материала, можно рассмотреть на конкретных примерах, которые находятся в Приложении (стр 7).

2.5.1 Задачи занимательного характера и исторические экскурсы

Средствами эмоционального воздействия являются необычность, новизна, неожиданность, несоответствие ранним представлениям, элементы занимательности [12, 13, 14, 18].

При изучении темы «Арифметическая прогрессия» полезно сообщить учащимся следующие сведения из истории математики, которые связаны с формулой суммы п первых членов арифметической прогрессии. Речь идёт об эпизоде из жизни немецкого математика К. Ф. Гаусса (1777-1855). Когда ему было 9 лет, учитель, занятый проверкой работ учеников других классов, задал на уроке следующую задачу: «Сосчитать сумму натуральных чисел от 1 до 40 включительно». Какого же было удивление учителя, когда один из учеников (это был Гаусс) через минуту воскликнул: «Я уже решил…»

Большинство учеников после долгих подсчётов получили неверный результат. В тетради Гаусса было написано одно число и притом верное. Вот схема рассуждений.

o Сумма чисел в каждой паре 41.

o Таких пар 20, поэтому искомая сумма равна 41·20 = 820.

Примеры подобных задач можно увидеть в Приложении (стр 11).

Исторические моменты при изучении конкретных тем содержатся в книгах [7, 8, 9, 15]. Биографии знаменитых математиков следует сочетать с примерами проблем, решённых ими, которые просты в формулировке. Примеры также в Приложении (стр 11).

2.5.2 Интересный урок - путь к повышению мотивации

Давно замечено, что в процессе обучения, как правило, школьники лишь “впитывают” в себя новую информацию. Формы же их активности отличаются монотонностью, а источники обучения не отличаются разнообразием. И если ребенок остается пассивным на уроке изо дня в день, из недели в неделю, то развитие его познавательных способностей ограничивается лишь простым воспроизведением содержания предмета. Как правило, и учитель задает чаще стереотипные вопросы, направленные на воспроизведение материала урока. На то, чтобы ученики могли высказать свое мнение, не остается времени. В процессе обучения в арсенал приемов и методов человеческого мышления естественным образом традиционно включаются индукция и дедукция, обобщение и конкретизация, анализ и синтез, классификация и систематизация, абстрагирование, аналогия. Объекты математических умозаключений и правила их конструирования вскрывают механизм логических построений, вырабатывают умение формулировать, обосновывать и доказывать суждения, тем самым развивая мышление. Математика обладает огромными возможностями для умственного развития учеников, благодаря всей своей системе, исключительной ясности и точности своих понятий, выводов и формулировок.

Математика - это обширная страна, границы которой открыты для любого, кто по-настоящему любит думать. Она отражает в человеческом сознании захватывающую гармонию природы. Стоит отметить тот факт, что нельзя овладеть математикой путем лишь заучивания, зубрежки. Она требует сосредоточения, усердия и терпения. Необходимо поверить в то, что воспитание ума, культуры мышления учащихся, несмотря на сложность этого, казалось бы, косвенного пути, обеспечивает более высокие результаты в обучении математике.

Под математическим стилем мышления понимается целый комплекс умений:

o умение классифицировать объекты,

o умение открывать закономерности,

o умение устанавливать связи между разнородными на первый взгляд явлениями,

o умение принимать решения.

Такой стиль мышления оказывает влияние и на поведение человека, позволяя ему приступать к решению проблем, не ожидая помощи извне, аргументировать свое мнение, критически оценивать себя и окружающих.

Хорошо известно, что одним из главных условий осуществления деятельности, достижения определенных целей в любой области является мотивация. А в основе мотивации лежат, как говорят психологи, потребности и интересы личности. Следовательно, чтобы добиться хороших успехов в учебе школьников, необходимо сделать обучение желанным процессом.

Вспомним, что французский писатель Анатоль Франс отмечал: «Лучше усваиваются те знания, которые поглощаются с аппетитом».

Известный дидакт, одна из ведущих разработчиков проблемы формирования интереса в процессе учебы - Щукина Г.И. считает, что интересный урок можно создать за счет следующих условий:

o личности учителя (очень часто даже скучный материал, объясняемый любимым учителем, хорошо усваивается);

o содержания учебного материала (когда ребенку просто нравится содержание данного предмета);

o методов и приемов обучения.

Если первые два пункта не всегда в нашей власти, то последний - поле для творческой деятельности любого преподавателя.

Обратим внимание на некоторые требования к современному уроку. С позиций современной педагогической науки следует выделить следующее:

1. Учитель по возможности должен стараться на уроке обратиться к каждому ученику не по одному разу, а не менее 3-5 раз, т.е. осуществлять постоянную «обратную связь» - корректировать непонятное или неправильно понятое.

2. Ставить оценку ученику не за отдельный ответ, а за несколько (на разных этапах урока) - вводить забытое понятие поурочного балла.

3. Постоянно и целенаправленно заниматься пробуждением и совершенствованем качеств, лежащих в основе развития познавательных способностей: быстроты реакции, всех видов памяти, внимания, воображения и т.д. Основная задача каждого учителя - не только научить (в нашем случае - математика), а развить мышление ребенка средствами своего предмета.

4. Стараться, когда это возможно, интегрировать знания, связывая темы своего курса как с родственными, так и другими учебными дисциплинами, обогащая знания, расширяя кругозор учащихся.

Чтобы добиться этого необходимо вводить в процесс обучения развивающие приемы, повышающие интерес к предмету, а следовательно, и активность детей. Что же это за приемы? Приведем некоторые примеры.

2.5.3 Разминки: этот прием фронтальной работы, вовлекающий в деятельность весь класс, развивает быстроту реакции, умение слушать и слышать вопрос, четко и конкретно мыслить. Интересно, что в этом случае работают даже те дети, которые обычно молчат, поскольку интеллектуально пассивны или стесняются публичных ответов. Разминка занимает 5-7 минут.

В чем смысл данного вида работы? Он проводится или на этапе проверки домашнего задания или первичного усвоения, когда вопросы очень просты (репродуктивные) и требуют однозначный, быстрый ответ, проверяющий знания и внимание детей, умение слушать и слышать вопрос.

Если устную разминку проводить в начале урока перед объяснением новой темы, то она должна включать не только вопросы на проверку домашнего задания, но и актуализацию опорных понятий, пройденных раньше (неделю, месяц, год назад), которые необходимо восстановить в памяти ребенка.

Детям предлагается как можно быстрее, хором отвечать на вопросы (их обычно 15-20) и самостоятельно оценивать себя: в случае правильного ответа ставить себе в тетради заметку. В конце разминки учитель объясняет, за сколько ответов можно поставить себе «+».

Примеры вопросов находятся в Приложении (стр 12).

При использовании приема «Буквенный диктант» вопросы формулируются из соответствующей темы по математике, из любых предметов школьного курса и даже из кроссвордов. Прием ценен для развивающего обучения, но еще мало разработан как в теории, так и в практике.

Страницы: 1, 2, 3, 4

Голосование

Как вы оцениваете работу нашего сайта? Отлично Хорошо Нормально Плохо Результаты