ОДЗ неравенства есть все действительные x, кроме -1. Разобьем ОДЗ на три промежутка и рассмотрим неравенство на каждом из этих промежутков. На первом и третьем промежутках неравенство выполняется для любого x: (); (); (). Следовательно, оба промежутка являются решением неравенства. На втором промежутке , то есть неравенство решений не имеет. Исходя из этого получаем решением неравенства .
3. Постановка домашнего задания.
1) Выучить теоретический материал.
2) Найти множество значений функций:
а); б) .
3) Решить уравнение .
Занятие №6 Тема: «Использование понятия области изменения функции при решении уравнений».
Цель: закрепить знания по теме «Использование понятия области изменения функции при решении уравнений».
Ход занятия:
1. Проверка домашнего задания. До начала занятия один из учеников записывает домашнее задание на доске учитель и другие ученики проверяют решение.
2. Решение задач. На доске написан список задач. Учащиеся по одному решают у доски. Учитель напоминает, что данные уравнения и неравенства решаются с использованием множества значений функций, в них входящих.
1) ;
2) ;
3) ;
4) ;
5) ;
6) ;
7) ;
8) ;
9) ;
10) .
3. Подведение итогов занятия.
Учитель выставляет баллы за занятие: 1 балл за решение домашнего задания, по одному баллу за решение задач у доски
4. Постановка домашнего задания
Решить уравнения и неравенство:
1) ;
2) ;
3) ;
4) .
Занятие №7 Тема: «Использование неотрицательности функций, входящих в уравнение или неравенство».
Цели: познакомить учащихся с приемом решения уравнений и неравенств, состоящих из неотрицательных функций.
Ход занятия:
1. Проверка домашнего задания. На доске записывается ответ к каждому заданию. Уравнение, вызвавшее трудности, разбирается учеником, выполнившим его.
2. Изучение нового материала.
Утверждение 1. Пусть имеется уравнение . Если множество значений каждой из функций принадлежит промежутку , то уравнение равносильно системе .
_Назовите функции, которые принимают неотрицательные значения на всей области определения ().
Пример1. Решить уравнение .
Преобразуем уравнение . Наше уравнение будет равносильно системе , которая не имеет решений. Значит и исходное уравнение решений не имеет.
Аналогичное утверждение можно сформулировать и для неравенств.
Утверждение 2. Пусть имеется неравенство . Если множество значений каждой из функций принадлежит промежутку , то неравенство равносильно системе .
Пример 2. Решить неравенство .
Так как для любого x справедливы неравенства , то неравенство равносильно системе , решением которой является . Значит, неравенство имеет единственное решение .
Утверждение 3. Пусть имеется неравенство . Если множество значений каждой из функций принадлежит промежутку , то решениями неравенства являются все x из ОДЗ, за исключением тех x, которые являются решениями системы .
Пример 3. Решить неравенство
ОДЗ неравенства . Для нахождения решения неравенства нужно исключит из его ОДЗ все решения системы . Решениями неравенства являются все x из множества .
3. Решение задач. На доске написаны два варианта заданий. Учащиеся в течение 13-15 минут решают каждый свой вариант, затем в паре обмениваются тетрадями и проверяют решение соседа по парте и ставят баллы (по одному за каждое верное решение уравнения или неравенства). Учитель выписывает ответы на доске.
Вариант 1.
1) ;
2) ;
3) .
Вариант 2.
1) ;
2) ;
3) .
4. Подведение итогов занятия. Учитель выставляет баллы полученные учениками. 1 балл ставится ученику, объяснявшему домашнее задание.
5. Постановка домашнего задания
Решите уравнения и неравенство:
1) ;
2) ;
3) ;
4) .
Занятие №8 Тема: «Использование свойств четности или нечетности и периодичности функций».
Цель: знакомство с новым приемом решения уравнений и неравенств - использование свойств четности, нечетности и периодичности функций.
Ход занятия:
1. Проверка домашнего задания. До начала занятия двое учащихся выписывают решение на доске. Остальные на занятии проверяют правильность решения.
2. Актуализация знаний.
_Какие функции называются четными, какие нечетными?
_Приведите примеры.
_Исследовать функции на четность: ;.
_Сформулируйте определение периодической функции.
_Какие из перечисленных функций являются периодическими, укажите их период: , , .
Изучение нового материала.
Утверждение 1. Пусть дана функция с областью существования X. Пусть дано число б ?0. Тогда функция имеет область существования X1, которая характеризуется свойством: для любого число , а для любого число . При этом, если функция имеет период T, то функция имеет период .
Утверждение 2. Если функция F(x) - периодическая, то решение уравнения F(x)=0 или неравенства F(x)>0 (F(x)<0) достаточно найти на промежутке, равном по длине периоду функции, после чего записать общее решение.
Утверждение 3. Чтобы решить уравнение F(x)=0, где F(x) - четная или нечетная функция, достаточно найти положительные (или отрицательные) корни, после чего записать отрицательные (или положительные) корни, симметричные полученным. Для нечетной функции корнем будет x=0, если это значение входит в область определения F(x). Для четной функции значение x=0 проверяется непосредственной подстановкой в уравнение.
Утверждение 4. Чтобы решить неравенство F(x)>0 (F(x)<0), где F(x) - четная функция, достаточно найти решения для x?0 (или x?0). Если решением данного неравенства является промежуток (x1, x2), где x1, x2 - числа одного знака или одно из них равно нулю, то его решением будет и промежуток ( _ x2, _ x1).
Утверждение 5. Чтобы решить неравенство F(x)>0 (F(x)<0), F(x) - нечетная функция, достаточно найти его решения для x>0 (или x<0). Действительно, функция F(x) для любого x?0 (x?0) из области ее определения может находиться с нулем в одном из трех отношений: «равно», «больше», «меньше». Следовательно, если нам известно, при каких значениях x F(x)?0 (F(x)?0), то нам будет известно, при каких значениях x F(x)>0 (F(x)<0) (оставшиеся значения x из области определения). Но если нам известны промежутки знакопостоянства функции F(x) для x>0 (или x<0), то легко записать промежутки знакопостоянства и для x<0 (x>0).
Решение задач. Список заданий написан на доске. Первое и второе учитель подробно разбирает. Остальные учащиеся самостоятельно решают в тетради и по желанию демонстрируют свое решение на доске.
1) Решить уравнение
Период, входящих в уравнение функций Т=200. Возведем обе части в квадрат и получим ; . Проверим корни в пределах периода:
Решением уравнения является .
2) Решить уравнение ;
Заметим, что в обеих частях уравнения стоят четные функции, поэтому решим данное уравнение с использованием свойств четной функции. С учетом сказанного выше для четной функции, достаточно найти решения для x?0. Но x=0 не есть корень уравнения. Рассмотрим два промежутка (0, 2], (2, ?). На промежутке (0, 2] имеем ; ; x=. На промежутке (2, ?) имеем ; ; 3x=2x; x=0. Но так как x=0 не является корнем уравнения, то для x>0 данное уравнение имеет корень x=. Но тогда x= _ также является корнем уравнения.
3) ;
4) .
3. Подведение итогов занятия.
Учитель выставляет баллы учащимся по одному баллу за решение домашнего задания и за решение у доски.
Постановка домашнего задания. На этом занятии завершается теоретическая часть курса. Следующий урок посветим решению разных задач. Поэтому вам нужно повторить всю теорию, посмотреть приемы решения уравнений и неравенств, рассмотренные нами на предыдущих занятиях. Занятие пройдет в форме игры. Класс нужно разделить на команды. Каждая команда готовит название, девиз.
Занятие №9 «Морской бой»
Цели: закрепить имеющиеся знания учащихся по изученному материалу.
Правила игры.
Занятие проводится в форме игры «Морской бой». Основой игры является детская игра «Морской бой». Поле с проставленными на нем очками является игровым полем для данной игры. Например, для морского боя 5*5 клеток игровое поле и поле ведущего будут выглядеть следующим образом:
На игровом поле проставлены очки и буквы «Б» блиц-турнир (за 60 секунд ответить на максимальное количество вопросов), «М» - музыкальный конкурс (спеть песни, в которых содержаться числительные, кто больше), «К» - конкурс капитанов.
На поле у ведущего расположены корабли, координат которых играющие не знают.
Команды распределяют между собой поровну корабли (по 2 корабля каждой команде) и ведущий называет командам в тайне от других координаты этих кораблей.
Та команда, которой выпадает по жребию начинать игру, называет координату первого «выстрела». Если на этой клетке стоит корабль, то команда получает в плюс очки, проставленные на клетке и продолжает стрельбу. Если на этой точке нет корабля, то ведущий предлагает команде вопрос той сложности, сколько очков стоит на этой клетке. Если команда ответила правильно, то очки засчитываются в плюс, если неправильно или не ответила, то в минус. Ход переходит к противнику.
Команда выбывает из игры, если «потоплены» все её корабли. Выигрывает та команда, которая к моменту, когда сбиты все корабли, наберет больше очков (победителем может считаться и та команда, у которой остался последний корабль «на плаву»).
Участники: команды по 10 человек.
Продолжительность игры: около 90 минут.
Система судейства: воспитатели и группа детей.
Реквизит: игровое поле, табло для очков, модели кораблей для жеребьевки, фломастеры, для обозначения ходов на игровом поле.
Ход занятия:
1. Представление команд.
2. С помощью жребия выбирают, кто ходит первым.
Задания. 5 баллов:
1. ;
2. ;
4 балла:
1. ;
2. ;
3. ;
3 балла:
1. ;
2. ;
3. ;
4. ;
2 балла:
1. ;
2. ;
3. ;
4. ;
5. ;
1 балл:
1. ;
2. ;
3. ;
4. ;
5. ;
6. ;
7. .
«К» - конкурс капитанов.
«БУКВЫ»: для проведения этого конкурса понадобится подготовить буквы алфавита по 3 - 4 пары каждой. Капитаны команд вытягивают из ящика (коробки) заранее оговоренное ведущим число букв (8 - 10). Задание - из букв сложить возможное количество слов. Победителем становится тот, кто быстрее и правильнее выполнит задание.
«СЛОГИ»: капитаны обмениваются слогами, перебрасывая, друг другу мяч. Например, первый говорит «да», второй «ча». И так до тех пор, пока кто-нибудь не запнется, не сможет составить слово. (Составляемые слова должны быть по изученной теме)
«М» - музыкальный конкурс (спеть песни про математику или в тексте которых содержится числительное, кто больше).
«Б» - блиц-турнир (за 60 секунд ответить на максимальное количество вопросов).
Примерные вопросы:
_Что называется функцией?
_Перечислите основные свойства функций.
_Что называется областью определения функции?
_Что называется множеством значений функции?
_Какая функция называется четной?
_Какая функция называется четной?
_Приведите пример ограниченной функции.
_Какая функция называется монотонной?
_Приведите пример функции возрастающей на всей области определения.
Подведение итогов: выяснить допущенные ошибки, недостатки в проведении игры. Узнать мнение участников и зрителей о проведенном мероприятии. Команде-победителю вручается диплом и каждому члену команды ставится 5 баллов. Команде, занявшей второе место ставится 4 балла. Можно наградить отдельных участников в номинациях «Приз зрительских симпатий», «Лучший капитан», и т.д.
В конце урока напомнить учащимся, что следующее занятие зачетное.
Занятие №10 Зачет.
Цели: проверить знания учащихся по теме «Решение уравнений и неравенств с использованием свойств функций».
Оборудование и средства: карточки с заданиями на 2 варианта.
Ход занятия:
1. Организационный момент. Постановка целей занятия, настрой на работу. На занятии ученикам предстоит выполнить зачётную работу, составленную по типу контрольно-измерительных материалов единого государственного экзамена, поэтому её можно считать непосредственно подготовкой к сдаче ЕГЭ, который предстоит пройти по окончании школы.
2. Проверка уровня знаний и умений. В работе предлагается три задания уровня А, с выбором ответа, три заданий уровня В, где требуется написать свой ответ. Далее учащиеся выполняют одно задание поля С, где требуется привести полное подробное решение. После проверки учителем выставляется итоговая оценка.
Зачетная работа.
Вариант 1.
Часть 1
При выполнении заданий этой части укажите цифру, которая обозначает выбранный вами ответ.
А1. Решите уравнение .
1) -2; 2) 2; 3)1; 4) не имеет корней.
А2. Решите уравнение и укажите верное утверждение о его корнях.
1) корень только один, и он положительный;
2) корень только один, и он отрицательный;
3) корней два, и они разных знаков;
4)корней два, и они отрицательные.
А3. Найдите область значений функции .
1)[-2;0]; 2)[-2;1]; 3)[-3;1]; 4)[-2;2].
Часть 2
Ответом на каждое задание этой части работы будет некоторое число. Это число надо вписать рядом с номером задания.
В1. Решите уравнение . (Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите сумму всех его корней).
В2. Решите уравнение
В3. Решите неравенство
Часть 3
На листке запишите номер задания, а затем приведите полное, обоснованное решение.
С1. Найдите нули функции
Вариант 2.
Часть 1
При выполнении заданий этой части укажите цифру, которая обозначает выбранный вами ответ.
А1. Решите уравнение .
1) -5; 2) 5; 3)4; 4) не имеет корней.
А2. Решите уравнение и укажите верное утверждение о его корнях.
1) корней два, и они разных знаков;
2) корней два, и они положительные;
3) корень только один, и он положительный;
4) корень только один, и он отрицательный.
А3. Найдите область значений функции .
1)[3;+?); 2)(-?;+?); 3)(-?;3); 4)(3;+?).
Часть 2
Ответом на каждое задание этой части работы будет некоторое число. Это число надо вписать рядом с номером задания.
В1. Решите уравнение . (Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите сумму всех его корней).
В2. Решите уравнение
В3. Решите неравенство
Часть 3
На листке запишите номер задания, а затем приведите полное, обоснованное решение.
С1. Найдите нули функции .
Ответы к зачетной работе.
Номер задания | А1 | А2 | А3 | В1 | В2 | В3 | С1 | |
Вариант 1 | 2 | 2 | 3 | 0 | 3 | 0 | -2 | |
Вариант 2 | 2 | 3 | 2 | 1 | 0 | 3 | Нет решений |
Критерии оценок:
Часть А: каждое задание оценивается по 1 баллу. Всего можно получить 3 балла.
Часть В: за верное выполнение задания выставляется 1 балл. Всего - 3 балла.
Часть С: максимум - 3 балла, если приведена верная последовательность всех шагов решения, все тождественные преобразования выполнены верно, получен верный ответ;
2 балла - приведена верная последовательность всех шагов решения, при решении одного из уравнений допущена одна описка, или негрубая вычислительная ошибка, не влияющая на правильность дальнейшего хода решения;
1 балл _ приведена верная последовательность всех шагов решения, допущена грубая ошибка в тождественных преобразованиях, в результате которой получен неверный ответ;
0 баллов - все случаи решения, которые не соответствуют вышеуказанным критериям выставления оценок.
Оценка: «5» - 7-9 баллов;
«4» - 5-6 баллов;
«3» - 2-4 балла;
Не зачтено - 0-1 балл.
3. Подведение итогов занятия. Учащимся выставляются оценки за урок. На следующем занятии конференция. Ученикам предлагается подготовить выступление.
Занятие №11 Конференция.
Цель: подведение итогов изучения элективного курса;
Ход занятия:
1. Выступление учащихся. Учащиеся выделяют наиболее интересные темы и задачи, наиболее трудные и легкие для усвоения; отмечают «плюсы» и «минусы» данного курса, вносят свои предложения по его изучению, оценивают свою деятельность и работу учителя.
Учитель фиксирует для себя сказанное учениками.
2. Выступление учителя.
Обобщает все сказанное учениками.
Подводит итоги по табелям баллов: сообщает уровень, на котором ученики освоили данный курс: 1 уровень - более 45 баллов; 2 уровень - 30-44 балла; 3 уровень - менее 30 баллов.
3. Подведение итогов. Вручение ученикам сертификатов, подтверждающих прохождение курса, с отмеченным в нем уровнем освоения курса.
§3. Опытное преподавание
Опытное преподавание проводится с целью объективной и достоверной проверки гипотезы и предполагает ряда методов, например, наблюдение, диагностирующие контрольные работы, беседа и другие.
Опытное преподавание проводилось в МОУ СОШ № 8 города Кирова с учениками 11 «А» класса (общеобразовательный класс). Было проведено 4 занятия.
Основные задачи проведения опытного преподавания:
1) проверить правильность отбора содержания материала и системы упражнений;
2) выявить тот материал, который вызывает у учащихся наибольшие затруднения;
3) определить эффективность усвоения материала посредством итоговой проверки;
4) выявить заинтересованность учащихся в изучении данной темы.
Занятие №1 Тема: «Использование области определения функций».
Цель: познакомить учащихся с методом решения уравнений и неравенств, основанном на применении области определения, входящих в них функций.
Занятие №2 Тема: «Использование монотонности функций».
Цель: познакомить учащихся с методом решения уравнений и неравенств, основанном на применении монотонности функций; обобщить и систематизировать знания учащихся о монотонности функций, способах исследования функции на монотонность.
Занятие №3 Тема: «Использование неотрицательности функций, входящих в уравнение или неравенство».
Цель: познакомить учащихся с приемом решения уравнений и неравенств, состоящих из неотрицательных функций.
Занятие №4. Контрольная работа.
Цель: проверить знания по рассмотренным темам.
Результаты контрольной работы показали положительную тенденцию применения учащимися свойств функций при решении уравнений и неравенств.
Заключение
Элективные курсы представляют собой новейший механизм дифференциации и индивидуализации процесса обучения. Их введение позволит учащимся определить свою программу обучения и получить образование с углублением в любую область знаний (выбранную самим учеником).
В ходе исследования получены следующие результаты:
1) в школьных учебниках не уделяется большого внимания методу решения уравнений и неравенств с использованием свойств функций;
2) результаты ЕГЭ показывают, что большинство учащихся решают уравнения с использованием стандартных, алгоритмических методов, что дает иногда очень громоздкие выкладки. В связи с этим процент выполнения заданий второй и третьей частей невысокий.
В результате исследования были решены следующие задачи:
1. Проанализирована программа и основные учебники, предусмотренные Федеральным перечнем учебников по математике для 10-11 классов, с точки зрения применения свойств функций при решении уравнений и неравенств.
2. Проанализированы задания и результаты ЕГЭ.
3. Подобрана система заданий для работы на элективных курсах по математике.
4. Разработаны методические рекомендации по обучению решения уравнений и неравенств с использованием свойств функций.
5. Проведено опытное преподавание.
Гипотеза, выдвинутая в начале исследования о том, что умение применять необходимые свойства функций при решении уравнений и неравенств позволит учащимся выбирать наиболее рациональный способ решения получила положительные подтверждения через опытное преподавание. Из-за недостатка возможности и времени для проведения эксперимента нельзя сделать точные статистические выводы о том, в какой мере повысилась эффективность изучения темы. Но, опираясь на полученные положительные результаты, можно сделать вывод, что цель работы была достигнута.
Таким образом, данная работа может быть рекомендована для практического использования студентами-практикантами математического факультета и учителями математики. Материал может быть использован на математических кружках и факультативах, и на уроках математики.
Библиографический список:
1. Алгебра и начала анализа 10-11класс [Текст]: учебник для общеобразовательных учреждений / Ш. А. Алимов [и др.]. _ М.: Просвещение.-1993. - 254с.
2. Алгебра и начала анализа 11 класс [Текст]: учебник для общеобразовательных учреждений / С. М. Никольский [и др.]. _ М.: Просвещение.-2003. - 448с.
3. Алгебра и начала анализа 11 класс. В 2 частях. Ч. 1 [Текст]: учебник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) / А. Г. Мордкович, П.В.Семенов. - М.: Мнемозина, 2007. - 287 с.
4. Алгебра и начала анализа. 10-11 классы [Текст]: учебник / Под ред. А.. Н. Колмогорова. - М.: Просвещение, 1991. 320 с.
5. Алгебра и начала анализа. 10-11 классы. В 2 частях. Ч. 1: Учебник для общеобразовательных учреждений. [Текст]: учебник / Под. ред. А. Г. Мордковича. - М.: Мнемозина, 2003.
6. Алгебра и начала анализа. 10-11 классы. В 2 частях. Ч. 2: Задачник для общеобразовательных учреждений. [Текст]: учебник / Под. ред. А. Г. Мордковича. - М.: Мнемозина, 2003.
7. Варшавский, И. К., Гаиашвили, М. Я., Глазков, Ю. А. Степени, корни и показательная функция в заданиях ЕГЭ [Текст] / И. К. Варшавский [и др.] //Математика в школе. - 2005 _ №9. С 2 - 12.
8. Варшавский, И. К., Гаиашвили, М. Я., Глазков, Ю. А. Функция, ее производная и первообразная на ЕГЭ [Текст] / И. К. Варшавский [и др.] //Математика в школе. - 2005 _ №8. С 2 - 15
9. Василевский, А. Б. задания для внеклассной работы по математике: 9-11 классы [Текст]: книга для учителя / А. Б. Василевский. _ Минск.: Народная асвета, 1988. - 175 с.
10. Ваховский, Е. Б., Рывкин, А. А. Когда помогают графики [Текст] / Е. Б. Ваховский, А. А. Рывкин // Квант. - 1975. _ №2. С 43-48.
11. Вопросы обучения математики в школе [Текст]: сборник статей. - Киров, 1962. - 143 с.
12. Глейзер, Г.Д. История математики в школе [Текст] / Глейзер Г. Д. - М.: Просвещение, 1964. 375 с.
13. Горнштейн, П. И. Экзамен по математике и его подводные рифы [Текст] / П. И. Горнштейн, А. Г. Мерзляк [и др.]. - М.: Илекса, 2004. - 236 с.
14. Денищева, Л. О.,Глазков, Ю. О. Единый государственный экзамен 2007. математика. Учебно-тренировочные материалы для подготовки учащихся [Текст] / Л. О. Денищева, Ю. О. Глазков [и др.]. - М.: Интеллект-Центр, 2007. - 272 с.
15. Ермаков, Д. С. Элективные курсы для профильного обучения [Текст] / Д. С. Ермаков // Педагогика. - 2005. _ №2. С. 36-41.
16. Ермаков, Д. С., Петрова, Г. Д. Создание элективных учебных курсов для профильного обучения [Текст] / Д. С. Ермаков, Г. Д. Петрова // Школьные технологии. - 2003. _ №6.
17. Концепция модернизации российского образования на период до 2010г. [Текст] // Стандарты и мониторинг в образовании. - 2002. - №3.
18. Концепция профильного обучения на старшей ступени общего образования [Текст] // Стандарты и мониторинг в образовании. - 2002. - № 5.
19. Крутихина, М. В. Элективные курсы [Текст]: учебно-методические рекомендации / М. В. Крутихина, З. В. Шилова. - Киров: Изд-во ВятГГУ, 2006. - 40с.
20. Кузнецов, А. А. Базовые и профильные курсы: цели, функции, содержание [Текст] / А. А. Кузнецов // Стандарты и мониторинг в образовании. - 2003. - № 3.
21. Лященко, Е. И. Изучение функций в курсе математики восьмилетней школы [Текст]: книга для учителя / Е. И. Лященко. - Минск.: Народная асвета,1970. - 175 с.
22. Маркова, В. И. Деятельностный подход в обучении математике в условиях предпрофильной подготовки и профильного обучения [Текст] \ В. И. Маркова. - Киров: КИПК и ПРО, 2006. - 200 с.
23. Математика: 10 настоящих вариантов заданий для подготовки к единому государственному экзамену-2007 [Текст] / А. Г. Клово. - М.: Федеральный центр тестирования, 2007. - 94 с.
24. Математика: тренировочные тематические задания повышенной сложности с ответами для подготовки к ЕГЭ и к другим формам выпускного и вступительного экзаменов [Текст] / Сост. Г. И. Ковалева [и др.]. - Волгоград: Учитель, 2008. 494 с.
25. Методика преподавания математики в средней школе [Текст]: учебное пособие / А. Я. Блох, В. А. Гусев [и др.]; сост. В. И. Мишин. - М.:Просвещение,1987. - 416 с.
26. Методика преподавания математики в средней школе. Частные методики. [Текст]: учебник для вузов / Ю. Колягин [и др.]. - М.: Просвещение, 1977. - 317с.
27. Мигина, Л. Решение уравнений с применением оригинальных приемов [Текст] / Л. Мигина //Математика. - 2001. _ №37. - с. 26-29.
28. Мордкович, А. Г. Беседы с учителями математики. [Текст] / А. Г. Мордкович. - М.: Мир и образование, 2005.
29. Мордкович, А. Г. Общие методы решения уравнений [Текст] / А. Г. Мордкович // Математика для школьников. - 2005. _ №4. С 40 - 49.
30. Нараленков, М. И. Вступительный экзамен по математике. Алгебра: как решать задачи [Текст]: учебно-практическое пособие / М. И. Нараленков. - М.: Экзамен, 2003. - 448 с.
31. Олехник, С. Н. Уравнения и неравенства. Нестандартные методы решения. 10-11 классы [Текст]: учебно-методическое пособие / С. Н. Олехник [и др.]. - М.: Дрофа, 2004. - 192 с.
32. Программы для общеобразовательных школ, гимназий, лицеев. Математика. 5-11 классы [Текст] / Сост. Г. М. Кузнецова, Н. Г. Миндюк. - М.: Дрофа.-2004. - 320 c.
33. Результаты единого государственного экзамена в Кировской области в 2003 г. Статистический сборник. - Департамент образования, г. Киров, 2003. - 680 с.
34. Результаты единого государственного экзамена в Кировской области в 2004 г. Статистический сборник. - Департамент образования, г. Киров, 2004. - 160с.
35. Саакян, С. М. Задачи по алгебре и началам анализа [Текст]: пособие для учащихся 10-11 классов общеобразовательных учреждений / С. М.. Саакян [и др.]. - 4-е издание. - М.: Просвещение, 2003. - 286 с.
36. Сборник задач по алгебре и началам анализа для 9 и 10 классов [Текст]: пособие для учителя / Б. М. Ивлев [и др.]. - М.: Просвещение, 1978. - 272 с.
37. Супрун, В. П. Избранные задачи повышенной сложности по математике [Текст] / В. П. Супрун. - Мн.: Полымя, 1998. - 108 с.
38. Ткачук, В. В. Математика - абитуриенту [Текст] / В. В. Ткачук. - М.: МЦНМО, 2005. - 944 с.
39. Шандер, В. Н. Уравнения и неравенства. Методические разработки для учащихся ВЗМШ [Текст] / В. Н. Шандер. - М.: изд. РАО, 1992. - 67 с.
40. Шарыгин, И. Ф., Голубев, В. И. Факультативный курс по математике: решение задач [Текст]: учебное пособие для 11 класса средней школы / И. Ф. Шарыгин, В. И. Голубев. - М.: Просвещение, 1991. - 384 с.
41. Шунда, Н. Н. Об использовании свойств функции при решении уравнений и неравенств [Текст] / Н. Н. Шунда //Математика в школе. - 1970. _ №3. - с. 61-64.
42. http://www.ege.edu.ru.
