На цьому етапі учні не повинні запам'ятовувати напам'ять результати множення.
Конкретний зміст ділення розкривають у процесі розв'язування задач спочатку на ділення на вміщення, а потім на рівні частини.
У зв'язку з цим учні повинні вміти виконувати за умовою задачі операцію розбиття множини на ряд рівночисельних множин; розуміти, що з цією операцією пов'язана дія ділення; навчитися записувати розв'язування задач за допомогою цієї дії.
Учні II класу ознайомлюються з назвами компонентів і результатів дій множення і ділення: перший множник, другий множник, добуток, пізніше - ділене, дільник, частка. Тут же діти дізнаються, що терміни «добуток» і «частка» означають не лише результат дії, а й відповідний вираз, наприклад: 4 * 3 і 20: 5.
Наступний крок у вивченні дії множення - розкриття переставної властивості множення. Знати цю властивість насамперед для засвоєння дії множення, а крім того, знання цієї властивості дає можливість майже вдвічі скоротити кількість випадків, які треба вивчити напам'ять. Замість двох випадків (8 * 3 і 3 * 8) учні запам'ятовують лише один.
Переставну властивість множення учні можуть «відкрити» самостійно, використовуючи наочні посібники у вигляді рядів кліток (кружків, ґудзиків, зірочок тощо). Наприклад, діти креслять прямокутник, ділять його на квадрати (рис. 2).
Рис. 2
Їм пропонують дізнатися двома способами, скільки всього буде квадратів (4 * 3 = 12 і 3 * 4 = 12). Порівнявши ці приклади, учні помічають, що множники однакові, тільки помінялися місцями, добутки однакові.
Після виконання кількох аналогічних вправ учні формулюють властивість: «Від переставляння множників добуток не змінюється».
Засвоєнню переставної властивості множення допомагають вправи, аналогічні таким: обчисліть результат другого прикладу, користуючись результатом першого: 7 * 6 = 42 і 6 * 7 =…; порівняйте вирази і поставте замість зірочки знак «>», «<» або «=»: 6 * 3 * 3 * 6; вставте замість зірочки пропущений знак дії: 7 * 2 = 2 * 7; вставте пропущене число: 2 * 3 = 3 * ?. Виконуючи кожну вправу, учні повинні порівняти вирази і помітити, що в добутках множники однакові, тільки переставлені, отже, добутки однакові. На цій основі добирають знак дії або число.
У II класі переставну властивість множення записують у загальному вигляді за допомогою букв: а * b - b * а.
Щоб створити кращі умови для вивчення табличних випадків множення і ділення, розкривають зв'язок між компонентами і результатом дії множення, а також узагальнюють два види ділення. Виходячи з цих знань, учні на підставі кожного випадку множення можуть дістати відповідні випадки ділення: якщо 7 * 3 = 21, то 21: 7 = 3 і 21: 3 = 7.
Зв'язок між компонентами і результатом дії множення розкривають за допомогою наочних посібників. Учням пропонують скласти приклад на множення за рисунком (рис. 3).
Рис. 3
Учні складають приклад: 4 * 3 = 12. Назвіть перший множник. (4.) Назвіть другий множник. (3.) Назвіть добуток. (12.) Користуючись цим рисунком, складіть два приклади на ділення (12: 4 = 3, 12: 3 = 4). Дістаємо запис:
4 * 3 = 12
12: 4 = 3
12: 3= 4
Порівняйте приклади на ділення з прикладом на множення. Як дістали другий множник 3? (Добуток 12 поділили на перший множник 4.) Як дістали перший множник 4? (Добуток 12 поділили на другий множник 3.)
Виконавши кілька аналогічних вправ, учні роблять висновок: якщо добуток двох чисел поділити на перший множник, то дістанемо другий множник, а якщо добуток двох чисел поділити на другий множник, то дістанемо перший множник.
Пізніше ці два висновки об'єднують в один: якщо добуток двох чисел поділити на один з множників, то дістанемо другий множник.
Щоб добитися засвоєння учнями зв'язку між добутком і множником, пропонують такі вправи.
Складіть за прикладом 5 * 3 = 15 два приклади на ділення. Учні міркують: якщо добуток 15 поділимо на перший множник 5, то дістанемо другий множник 3, а якщо добуток 15 поділимо на другий множник 3, то дістанемо перший множник 5.
Аналогічно міркують учні під час виконання вправи на складання прикладів на множення і ділення, використовуючи задані числа, наприклад: 2, 5, 10 (2 * 5=10, 10: 2 = 5, 10: 5 = 2).
Корисно запропонувати розв'язати такі стовпчики прикладів:
3 * 5
7 * 2
6 * 4
5 * 3
2 * 7
4 * 6
15: 3
14: 7
24: 6
15: 5
14: 2
24: 4
Учні розв'язують приклади першого стовпчика, користуючись додаванням. Потім визначають результат відповідного прикладу з другого стовпчика, використовуючи переставну властивість множення, нарешті, розв'язують приклади третього і четвертого стовпчиків, користуючись знанням зв'язку між множниками і добутком.
Особливу увагу треба приділити вправам на знаходження результату ділення за відомим добутком. Нехай треба розв'язати приклад на ділення: 24: 6, якщо дано приклад на множення: 6 * 4=24. Учень міркує: 24 - добуток, а 6 - перший множник; якщо добуток 24 поділити на перший множник 6, то дістанемо другий множник 4.
Пізніше аналогічно розв'язують питання про знаходження невідомого діленого і дільника.
Далі доцільно розглянути питання про узагальнення двох видів ділення.
У зв'язку з тим що конкретний зміст дії ділення розкривали за допомогою розв'язування простих задач на ділення на вміщення і на рівні частини, в учнів може виникнути неправильне уявлення про дію ділення: ніби існує дві різні дії ділення. Тому дуже важливо показати дітям, що незалежно від того, чи ділимо на вміщення чи на рівні частини, дістанемо однакові частки, якщо ділимо ті самі числа.
До узагальнення двох видів ділення учнів підводять за допомогою порівняння розв'язувань пар простих задач з однаковими числовими даними на ділення на вміщення і на ділення на рівні частини. Наприклад, пропонують розв'язати таку пару задач:
1) 12 яблук розклали на 4 блюдечка порівну. Скільки яблук у кожному блюдечку?
2) 12 яблук розклали в блюдечка по 4 яблука. Скільки потрібно було блюдечок?
Записавши розв'язання кожної задачі і відповіді до них, встановлюють схоже і різне в задачах, розв'язаннях і відповідях. Особливу увагу звертають на однакові дані числа 12 і 4 і на однакові числа у відповідях 3. Виконавши кілька аналогічних вправ, учні з'ясовують, що в обох випадках при однакових ділених і однакових дільниках дістаємо однакові частки.
На цьому самому етапі вивчають прийоми для випадків множення і ділення з числами 1 і 10. Розкриваючи прийоми, учні застосовуватимуть тільки що здобуті знання, а отже, краще їх засвоять. Крім того, вони опанують прийоми, на основі яких швидко знаходитимуть результати, тому відпаде потреба їх заучувати.
Спочатку розглядають випадок множення одиниці на числа, більші за одиницю. Учні розв'язують ряд прикладів, знаходять результат додаванням: 1 * 2 = 1 + 1 = 2; 1 * 3 = 1 + 1 + 1 = 3 і т. д. Потім, порівнявши в кожному випадку результат з множниками, вони приходять до висновку: при множенні одиниці на будь-яке число виходить те число, на яке множили. Надалі аналогічні приклади розв'язують на основі цього правила.
Потім вводять правило множення на 1: при множенні будь-якого числа на 1 виходить те число, яке множили, наприклад: 4 * 1 = 4, 12 * 1 = 12, а * 1 = а. Тут не можна використати прийом заміни добутку сумою, через де не можна спиратися і на переставляння множників, тому треба просто повідомити дітям це правило і надалі використовувати його під час обчислення.
Ділення на число, яке дорівнює діленому (3: 3 = 1), розкривають на основі конкретного змісту ділення: якщо, наприклад, 3 олівці розкласти в 3 коробки порівну, то в кожній коробці буде по одному олівцю. Міркуючи так, учні розв'язують кілька аналогічних прикладів: 4: 4 = 1, 6: 6 = 1 і т. д. При цьому помічають, що при діленні на число, яке дорівнює діленому, у частці дістаємо 1.
Ділення на 1 вводять на основі зв'язку між компонентами і результатом дії множення: знаючи, що 1 * 4 = 4, знайдемо, що 4: 1 = 4. Розв'язавши так ряд прикладів і порівнявши їх між собою, учні роблять висновок: при діленні будь-якого числа на одиницю в частці дістаємо те саме число. Цим висновком вони користуються надалі під час обчислень.
При множенні 10 на одноцифрові числа учні користуються прийомом: щоб помножити 10 на 2, можна 1 дес. помножити на 2, буде 2 дес., або 20. Множачи на 10, діти використовують переставну властивість множення: щоб 2 помножити на 10, можна 10 помножити на 2, буде 2 дес., або 20. При діленні використовують знання зв'язку між компонентами і результатом дії множення: щоб 20 поділити на 10, треба підібрати таке число, при множенні якого на 10 буде 20; це 2; отже, 20: 2 = 10. Так само знаходимо, що 20: 2 = 10.
Знання про дії множення і ділення, а також уміння, набуті учнями на першому етапі, є основою вивчення на другому етапі табличних випадків множення і відповідних випадків ділення.
Табличне множення і ділення вивчають одночасно, тобто з кожного випадку множення дістають відповідні випадки ділення: якщо 5 * 3 = 15, то 15: 5 = 3 і 15: 3 = 5. Основою для цього є знання учнями зв'язку між компонентами і результатом дії множення.
Спочатку розглядають усі табличні випадки множення і ділення з числом 2, потім 3, 4 і т. д.
Табличні випадки множення і ділення з кожним числом вивчають приблизно за одним планом.
Насамперед складають таблицю множення за сталим першим чи другим множником. Якщо скласти таблицю за сталим першим множником (2 * 2, 2 * 3, 2 * 4), то учні легко знаходитимуть результат наступного прикладу, користуючись результатом попереднього (2 * 4 = 2 * 3 + 2), але в цьому випадку в деяких сумах буде багато доданків (2 * 9 - дев'ять доданків). Якщо складати таблицю за сталим другим множником (2 * 2, 3 * 2, 4 * 2 і т. д.), доданків буде менше. Ця таблиця зручніша для запам'ятання, зате тут важче знаходити результат: доданки кожного наступного прикладу інші (2 * 2 = 2 + 2, 3 * 2 = = 3 + 3, 4 * 2 = 4 + 4,…); щоб знайти результат наступного прикладу, користуючись попередніми, доведеться міркувати так:
4 * 2 = 3 * 2 + 2, 5 * 2 = 4 * 2 + 2.
Вчитель може взяти будь-який з цих двох варіантів.
Ми візьмемо спочатку таблицю за сталим першим множником. Щоб знайти результат, використовують різні прийоми: добуток замінюють сумою
(2 * 3 = 2 + 2 + 2 = 6); до результату попереднього прикладу з таблиці додають відповідне число: 5 помножити на 3, буде 15, а під час множення 5 на 4 (на одну п'ятірку більше) можна результат обчислити так: 15 + 5 = 20; або від відомого результату віднімають відповідне число: учні знають, що 8 * 10 = 80, 8 * 9 (на одну вісімку менше), тому результат можна обчислити так: 80 - 8 = 72; використовують переставляння множників (2 * 5 = 5 * 2).
Якщо таблицю складено за сталим першим множником, то з кожного прикладу на множення учні складають ще один приклад на множення (переставляють множники) і два приклади на ділення (на основі зв'язку між компонентами і результатом множення), наприклад:
І II III IV
2 * 2 = 4
2 * 3 = 6
2 * 4 = 8
2 * 5 = 10
3 * 2 = 6
4 * 2 = 8
5 * 2 = 10
4: 2 = 2
6: 2 = 3
8: 2 = 4
10: 2 = 5
6: 3 = 2
8: 4 = 2
10: 5 = 2 і т. д.
Кожну таблицю множення за сталим першим множником складають, починаючи з випадку однакових множників (2 * 2, 3 * 3, 4 * 4 і т. д.), оскільки випадки, які передують цим, вже були розглянуті раніше (наприклад, випадок 3 * 2 був наведений у таблиці з числом 2 і тому в таблиці з числом 3 його не вивчають).
Приклади на множення читають по-різному: по 5 узяти 2 рази, буде 10; 5 помножити на 2, буде 10; добуток чисел 5 і 2 дорівнює 10; перший множник 5, другий 2, добуток 10; двічі по п'ять - десять; пізніше: 5 збільшити в 2 рази, буде 10.
Приклади на ділення читають так: 6 поділити на 2, буде 3. Можна читати приклади на ділення інакше, використовуючи назви компонентів і результату: частка чисел 6 і 2 дорівнює 3; ділене 6, дільник 2, частка 3, а пізніше можна читати так: 6 зменшити в 2 рази, буде 3.
Розглянувши на одному уроці всі випадки множення і ділення з яким-небудь числом, треба виділити ті з них, які слід вивчити напам'ять. Корисно ці випадки виписати кожному учневі на окремий аркуш.
Розглянемо методику роботи з вивчення таблиці множення чотирьох і відповідних випадків ділення.
До підготовчої роботи можна включити вправи на знаходження невідомого множника (х * 2 = 8; 3 * а = 15), можна повторити таблицю множення двох і трьох і відповідні випадки ділення треба повторити також усі відомі дітям випадки множення і ділення з числом 4 (4 * 1, 4 * 2, 4 * 3, 4 * 10 і відповідні випадки множення та ділення).
Потім переходять до складання таблиці множення чотирьох за сталим першим множником.
Ви вже знаєте таблицю множення двох і трьох, а сьогодні складемо і вивчатимемо таблицю множення чотирьох.
Учитель відкриває заздалегідь записану на дошці таблицю множення чотирьох (4 * 4, 4 * 5,…, 4 * 9) і пропонує переписати її в зошит.
- Обчисліть перший добуток. (16.)
- Як обчислювали? (4+4+4+4 = 16.)
- Запишіть обчислення додаванням внизу під таблицею множення. (Учні записують у зошитах, а вчитель - на дошці.)
- Позначте добуток цих чисел, використовуючи квадрат з кутником (рис. 4). (Учні показують 4 ряди квадратів по 4 квадрати в кожному.)
Рис. 4
- Отже, скільки буде, якщо 4 помножити на 4? (16.)
- Запишіть у таблицю множення.
- Тепер обчислимо такий добуток: 4 * 5. Як ви позначите його на квадратах? (Діти показують 5 рядів квадратів, по 4 квадрати в кожному.)
- Скільки всього квадратів? (20.)
- Як ви дізналися? (4 + 4 + 4 + 4 + 4 = 20.)
- Запишіть цю суму під першою.
- Як можна обчислити другу суму, користуючись результатом
першої? (16 + 4 = 20.)`
- Як інакше можна обчислити результат? (Переставити місцями множники: 5 * 4 - це 5 + 5 + 5 + 5 = 20.)
- Скільки ж буде, якщо 4 помножити на 5? (20.)
- Запишемо. Який наступний приклад розв'язуватимемо? (4 помножити на 6.)
- Розв'яжіть і назвіть результат. (24.)
- Як обчислювали? (4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 = 24.)
- Запишемо. Як інакше можна розв'язати цей приклад? (Переставити місцями множники: 6 * 4 - це 6 + 6 + 6 + 6 = 24 або додати до попереднього результату, до 20, число 4.) Можна ще й так обчислити: 4 + 4 + 4 (підкреслити) і ще 4 + 4 + 4 (підкреслити), 12 + 12 = 24, тобто можна згрупувати доданки.
Так само розглядають інші випадки: деякі добутки діти ілюструють на своїх посібниках, знаходять кількість квадратів додаванням, записують суму, з'ясовують, якими ще способами можна обчислити результат (додати 4 до попереднього результату, згрупувати доданки, переставити множники місцями).
Як тільки будуть розглянуті всі випадки, учні читають таблицю множення.
- Ми записали всі випадки множення чотирьох. Скажіть, які ще приклади на множення можна скласти з такими самими результатами. (Переставити місцями множники.)
Поряд із таблицею множення чотирьох учні самостійно записують таблицю множення на 4 і читають її по-різному.
- Які приклади на ділення можна скласти за цими прикладами на множення? Почніть з другого прикладу. (20: 4 = 5, 20: 5 = 4.)
- Запишіть це.
- Як ви визначили? (Добуток ділили на один із множників, дістали другий множник.)
Учні складають до кожного прикладу на множення два приклади на ділення і записують їх. Останніми складають приклади до випадку 4 * 4; тут дістають однакові приклади на ділення.
Корисно запропонувати учням розглянути всі приклади першої таблиці і сказати, що цікавого вони помітили. Діти повинні відповісти, що перші множники однакові, другі множники збільшуються на одиницю, а добутки - на 4 одиниці. Так само порівнюють приклади й інших стовпчиків.
Таблицю множення чотирьох треба вивчити напам'ять, щоб щоразу не обчислювати результат. Обведіть її червоним олівцем, а вдома випишіть цю таблицю на окремий аркуш.
На дошці вчитель витирає результати всіх прикладів і пропонує закрити зошити: «Повторимо таблицю множення чотирьох, множення на 4 і всі випадки ділення».
Учитель викликає до дошки чотирьох учнів, кожний з яких називає приклад (почати краще з випадку 4 * 5):
Перший учень. 4 помножити на 5, буде 20.
Другий учень. 5 помножити на 4, буде також 20.
Третій учень. 20 поділити на 4, буде 5.
Четвертий учень. 20 поділити на 5, буде 4.
Так повторюють усі випадки.
Як було вже зазначено, аналогічно працюють над іншими таблицями. Кількість нових випадків у кожній наступній таблиці зменшується. Учні від таблиці до таблиці виявляють більше самостійності в складанні їх. Вони швидко помічають, що в кожній. таблиці множення за сталим першим множником першим береться приклад з однаковими множниками, що в кожному наступному прикладі на одиницю більший другий множник (2 * 3; 2 * 4). Усе це допомагає учням самостійно скласти черговий новий приклад і розв'язати його. Вже при складанні таблиці множення чотирьох або п'яти можна запропонувати учням самостійно назвати перший, другий і т. д. приклади таблиці по порядку.
Під час вивчення таблиць і пізніше треба приділяти велику увагу вправам на запам'ятовування табличних результатів: скласти чотири приклади на множення і ділення з однаковими числами (4 * 3 = 12, 3 * 4 = 12, 12: 4 = 3, 12: 3 = 4), повторити таблиці по порядку і в розбивку, скласти напам'ять таблицю множення двох або на 2, трьох або на 3 і т. д., замінити число (24) добутком відповідних множників (8 * 3, 6 * 4), відгадати задумане число (якщо його множили на 8 і дістали 72). Корисно з цією метою разом з учнями скласти таблицю множення Піфагора і навчити їх нею користуватися.
Зауважимо, що заучують напам'ять лише результати множення, а відповідні випадки ділення учні повинні вміти швидко знаходити, користуючись таблицею множення. Знаючи, наприклад, що 7 * 8 = 56, вони повинні швидко розв'язувати приклади: 56: 7 = 8 і 56: 8 = 7. Під час тренування учні повинні міцно запам'ятати трійки чисел, наприклад: 3, 7, 21; 9, 8, 72 і т. д.
