§3.6. Общие пространственные кривые и развертывающиеся поверхности

Применение дифференциальных операций к более общим пространственным образам, как и вообще их аналитическое изучение, последовало сравнительно поздно. В «Исследованиях» Клеро (1731), кроме подкасательной пространственной кривой, встречается лишь формула ds=. Какой-либо прогресс в этом отношении не наблюдается вплоть до выхода двух статей Эйлера о пространственных кривых, последовавших одна за другой в Act. Ac. Petr., 1782, I (1786). Поэтому две указанные работы следует считать в данной области основоположными. Чтобы не выделять особо какую-либо из осей координат, Эйлер сразу выбирает в качестве независимой переменной длину дуги s, полагая

dx = p ds, dy = q ds и dz = r ds.

Затем он описал вокруг точки кривой Z шар единичного радиуса, на который, как сказали бы мы, сферически отобразил окрестность точки кривой вместе с прямыми, проходящими через нее параллельно осям, и т. д.; прием этот вел свое происхождение из астрономии.

Далее, Эйлер применил формулы сферической тригонометрии, добавив, однако (в Dissertatio altera -- «Другое рассуждение»), для тех, кого не может удовлетворить этот «чужеродный принцип», совершенно иной вывод, отправлявшийся от соприкасающейся плоскости. Полученные результаты сам Эйлер резюмировал в заключении следующим образом. Если взять прямоугольный параллелепипед со сторонами х, у, z, то его диагональ дает длину и направление радиуса-вектора; диагональ параллелепипеда со сторонами р, q, r дает направление касательной и длина ее равна 1; диагональ параллелепипеда со сторонами

дает направление радиуса кривизны, а длина ее равна обратному значению последнего; наконец, если взять стороны равными и т. д., то длина диагонали будет та же, что и в предыдущем случае, а направление ее будет перпендикулярным к соприкасающейся плоскости.

В тесной связи с этими исследованиями находилась работа Эйлера о «телах», поверхность которых можно наложить на плоскость [Nov. Comm. Petrop., 1771 (1772)]. Подобными развертываниями многократно занимались с чисто практической точки зрения еще ранее Фр. Деран («Архитектура сводов и т. д.» -- L'architecture des voutes etc., Париж, 1643) и особенно

А. Фрезье («Теория и практика резки камней и дерева» -- La theorie et la pratique de la coupe des pierres et des bois, I, Страсбург, 1737; см. также ниже о Гварини, стр. 309). Но понятие развертывающейся поверхности создал Эйлер. Он взял на плоскости бесконечно малый прямоугольный треугольник, исходящий из точки (t, u), и определил на поверхности такой треугольник, исходящий из точки х, у, z, который был бы конгруэнтен с первым. Полагая и т. д., он получил условия развертываемости поверхности в виде

l2 +m2 + n2 =1, л2 + м2 + н2 =1, l л + m м + n н =0.

Затем Эйлер аналитически и геометрически показал, что касательные к любой пространственной кривой всегда образуют развертывающуюся поверхность, и что тоже относится к поверхности, образуемой общими касательными двух «тел», одно из которых рассматривается как светящееся. Тем самым было введено понятие развертывающихся поверхностей, а точки их представлены были с помощью двух параметров.

Замечательна не столько по результатам, сколько по своему методу относящаяся к тому же времени работа Эйлера о кратчайших линиях на поверхностях [Nov. Act. Petrop., 1799--1802 (1806); поступила в 1779]. Во-первых, для интегрирования дифференциального уравнения Эйлер здесь употребил угол, образуемый кратчайшими линиями с параметрическими линиями z = const., что, впрочем, не было у него выражено ясным образом. Во-вторых, он ввел прием, симметричный относительно трех координат, так что и дифференциальное уравнение получалось в симметричной форме. Некоторые другие работы Эйлера, о которых мы только упомянем, посвящены вопросу о спрямляемых кривых на шаре, эллипсоиде вращения и конусе [Nov. Comm. Petr., 1770 (1771); Act. Petr., 1781, I (1784), Nov. Act. Petr, 1785 (1788)]. [11]

§3.7. Общие поверхности

Во второй половине XVIII столетия прочное основание получила также дифференциальная геометрия общих поверхностей. Уравнение касательной плоскости к поверхности дали одновременно Тенсо и Монж в статьях (Mem. div. sav., IX, 1780). Обозначая координаты точки поверхности х, у, z, а координаты произвольной точки касательной плоскости р, ц, щ, Тенсо записал ее уравнение в виде

Заключенные в скобки дифференциальные частные нужно здесь рассматривать как частные производные. Кроме того, Тенсо рассмотрел задачу об определении линии прикосновения к поверхности касательного конуса, проведенного к ней из точки (а, b, с), как это сделал и Монж. Затем он разобрал такую же задачу для параллельных касательных и вопрос об установлении уравнений соответствующих конуса и цилиндра. Впрочем, для всех этих задач он ограничивался лишь указаниями. Готовые формулы или примеры отсутствовали. У Монжа уравнение касательной плоскости получило уже вполне современный вид:

z=p' ( x - x') + q' (y - y' ) + K'.

Эйлер в этой области также открыл ряд фундаментальных теорем. В одной большой работе о кривизне поверхностей [Mem. Ac. Berlin, 1760 (1767)] он прежде всего приступил к задаче об определении радиуса кривизны сечения данной поверхности, лежащего в плоскости z = б у--в x+г причем получил, разумеется, весьма сложное выражение. Затем он провел секущую плоскость через нормаль к поверхности и вычислил новое выражение для радиуса кривизны сечения, нисколько не более простое, чем предыдущее. Далее, он назвал «главным сечением» нормальное сечение, перпендикулярное к плоскости хОу. Для этого и еще для другого нормального сечения, перпендикулярного к первому, получались уже более простые выражения радиуса кривизны. Обозначив затем через ц угол, образуемый плоскостью произвольного нормального сечения с плоскостью главного сечения, Эйлер снова составил общее выражение радиуса кривизны. Получившуюся опять-таки очень громоздкую формулу он несколько упростил и в качестве примеров взял цилиндр

z = v(aa -- yy),

конус

z= v (ппхх --уу)

и эллипсоид

zz = aa -- тхх -- пуу.

Только в конце работы он привел формулу радиуса кривизны в виде

,

из рассмотрения которой извлек важные заключения. Так, например, он нашел, что три известных радиуса кривизны позволяют определить все остальные его значения в точке поверхности, что в каждой точке поверхности существует наибольший радиус кривизны f и наименьший g, плоскости которых взаимно перпендикулярны и которые в свою очередь определяют общую кривизну элемента поверхности, а именно:

.

В статье, носившей то же название, что и работа Эйлера, Ж. Менье поставил целью развить результаты последней (Mem. div. sav., 1785; поступила в 1776). Но Менье исходил из совершенно иной концепции. Отправляясь от мысли, что совпадение частных дифференциалов до второго порядка включительно обусловливает совпадение кривизн двух поверхностей, Менье заменил в точке u, v, t (причем ось t лежала на нормали к поверхности в этой точке) поверхность параболоидом

.

Менье преобразовал это уравнение к виду

и затем доказал, что каждый элемент поверхности (термин Менье) можно получить вращением малой дуги окружности вокруг оси, параллельной касательной плоскости этого элемента. Для радиуса этой окружности r и расстояния оси от точки поверхности с он получил выражения

и

.

переходящие одно в другое; при этом оказалось, что r и с совпадают с найденными Эйлером крайними значениями f и g радиусов кривизны нормальных сечений поверхности. К этому Менье присоединил теорему, носящую его имя. Именно, если R' есть радиус кривизны нормального сечения, проходящего через касательную AQ к кривой на поверхности, то R, радиус кривизны сечения, лежащего в другой плоскости, проходящей через AQ, определяется формулой R = R' sin щ, где щ -- угол между обеими плоскостями. Отправляясь от этого, Менье дал полный разбор соотношений между кривизнами на элементе поверхности. Среди примеров он рассмотрел, в частности, задачу об определении поверхностей, для которых r=с. Интегрируя соответствующее дифференциальное уравнение, он получил, что

1=(Ax+B)2+(Ay+C)2+(Az+D)2

т. е., как и должно быть, уравнение шаровой поверхности. Вслед за тем он приступил к решению задачи об отыскании среди всех поверхностей, проходящих через контур, ограниченный данной пространственной кривой, поверхности с наименьшей площадью. С помощью своего способа образования элемента поверхности он вывел важное условие, r+=0, а отсюда получил дифференциальное уравнение в частных производных минимальных поверхностей, найденное уже раньше другим способом Лагранжем [Misc. Taur., 1760/61 (1762)]. Частные интегралы этого уравнения дали ему в качестве примера минимальных поверхностей винтовую поверхность и катеноид. Принимая либо r, либо равным бесконечности, Менье далее вывел дифференциальное уравнение развертывающихся поверхностей, данное уже Монжем, а в заключение доказал, что оба радиуса кривизны общих линейчатых поверхностей всегда бывают различного знака.

Несмотря на появление этих прекрасных работ, общее понятие кривизны поверхности осталось невыясненным вплоть до К. Гаусса (1828). Эйлер даже ошибочно принял, что всякий элемент поверхности можно рассматривать как сферический («Dioptrica», I, Петербург, 1769); это же случилось раньше с Лейбницем (письмо к Иоганну Бернулли от 29 июля 1698), а позднее также с Далам-бером [«Encyclopedic methodique», Париж, 1784, статья «Кривая» («Courbe»), отдел «Кривые поверхности» (Surfaces courbes)].

Кроме упомянутых работ общего характера в рассматриваемый промежуток времени появился еще ряд работ, посвященных частным вопросам и прежде всего определению поверхностей, обладающих заданными свойствами. Так, Эйлер в Nov. Comm. Petr., 1769, I (1770) исследовал парадокс, заключающийся в том, что поверхности, площадь которых является данной функцией х, у, не должны быть конгруэнтны, как это имеет место в аналогичном случае для плоских кривых. Эйлер нашел дифференциальное уравнение с частными производными

p2+q2=f(x,y)

и проинтегрировал его в случае

f(x,y)=m2+n2.

При этом, кроме плоскости

z = a+ mx +пу,

получались все развертывающиеся поверхности, возникающие при движении плоскости, сохраняющей постоянный угол с осью Оz.

В другой статье [Nov. Act. Petr., 1788 (1790); поступила в 1776] Эйлер занялся поисками поверхностей с постоянным отрезком нормали между поверхностью и плоскостью хОу. Дифференциальное уравнение

z = a

дало здесь «искривленные цилиндры» («cylindri incurvati»), которые позднее были названы поверхностями каналов и которые возникают, когда центр некоторого данного круга движется вдоль произвольной кривой в плоскости хОу, причем плоскость круга все время остается перпендикулярной к касательной в соответствующей точке кривой. Эйлер здесь особо отмечает появление таких произвольных функций. Он тотчас же обобщил вопрос, потребовав, чтобы отрезок нормали представлял собой некоторую функцию Z аргумента z, так что в указанном выше дифференциальном уравнении вместо а появляется Z. В образовании соответствующих поверхностей при этом вместо окружности участвует некоторая другая плоская кривая. Так получаются геометрические образы, ныне называемые «резными поверхностями» («Gesimsfla-chen»). Эйлер возвращался к обоим видам поверхностей еще в Nov. Act. Petr. 1792 (1797; поступило в 1777) и 1794 (1801; поступило в 1778).

Эйлер перенес на пространство также проблему ортогональных траекторий [Mem. Ac. St-Pet., 1815/16 (1820; поступило в 1782)], причем в нескольких примерах ему удалось провести решение полностью. В Mem. Ac. Turin, (2) I (1784/85) Монж довольно общим образом рассмотрел вид дифференциального уравнения с частными производными, соответствующего классу поверхностей, конечное уравнение которых содержит п произвольных функций.

Как видно из заметки, опубликованной впервые в «Посмертных сочинениях» (Opera posthuma, I, Петербург, 1862), Эйлер уже около 1770 нашел общие уравнения, выражающие условия изгибаемости поверхностей, в опубликовании которых выход его работы опередил Гаусс (1828).

Дифференциальная геометрия получила применение и в картографии того времени. Ламберт в своих «Очерках об употреблении математики и ее приложении» (Beytrage zum Gebrauch der Mathematik und deren Anwendung, Berlin, 1772) дал дифференциальные формулы стереографической проекции. Для других видов отображения он лишь ясно разобрал требования общего характера. И здесь новые пути проложил Эйлер в одной работе о представлении шаровой поверхности на плоскости [Act. Ac. Petr., 1777, I (1778)]. Он поставил задачу найти координаты точки плоскости х, у как функции географических долготы t и широты и так, чтобы определяемое ими отображение удовлетворяло некоторым условиям. Затем он показал, что добиться конгруэнтности невозможно, и выдвинул требование, чтобы меридианы и параллельные круги перешли в ортогональные системы кривых, в частности, в систему линий, параллельных осям координат (что применяется в проекции Меркатора). Приведя пример отображения с сохранением площадей, он затем детальнее занялся отображением с сохранением углов. Условием ортогональности градусной сети является

pq+rs=0

где

Кроме того, должны соблюдаться условия

dx=p du+r dt cosu, dy = r du - p dt cosu.

Для интегрирования Эйлер впервые употребил здесь комплексные величины, составив выражение dx + i dy, с тем, чтобы правая часть этого выражения превратилась в произведение. Решение тогда имеет вид ( обозначает здесь символ функции):

x = [s (cost -- i sint)] + [s (cost + i sint)],

iy = [s (cost -- i sint)] - [s (cost + i sint)],

В заметке, непосредственно примыкавшей к этой статье, Эйлер показал, что стереографическая проекция является частным случаем рассмотренного им отображения. Для отображения шара с сохранением размеров площадей Эйлер привел в этой статье только частные решения, именно, для случая, когда градусная сеть переходит в две ортогональные системы кривых. [11]

§3.8. Заслуги Эйлера в преобразовании и дальнейших успехах тригонометрии

Понятно, что столь ярко выраженный аналитический гений, каким являлся Эйлер, раз занявшись вычислительной тригонометрией, должен был значительно продвинуть ее вперед. Повод обратиться к тригонометрии представился ему в уже неоднократно упоминавшемся «Введении в анализ» (1748). В восьмой главе его первого тома Эйлер впервые ввел в анализ угловые функции как числовые величины, с которыми можно производить вычисления, как со всякими другими, так, чтобы впредь они уже не оказывали влияния на размерность выражений. И хотя Эйлер и не определил нигде тригонометрические функции явно как отношения сторон прямоугольного треугольника, но всегда рассматривал их именно так. Если отвлечься от несущественных мелочей, то изложение и символика Эйлера были вполне современными. Уже в одной работе в Coram. Ac. Petr., 1729 (1735) он записал теорему косинусов сферической тригонометрии в виде

cos : ВС = cos : АВ * cos : AC + cos A * sAB * sAC;

целый синус, который все еще употребляло большинство прежних авторов, здесь уже был принят равным 1. Обозначения тригонометрических функций во «Введении» были таковы: sin. A. z или sin. z (A = arcus), cos. A. z или cos. z, tang. z, cot. z и т. д.

В начале названной главы были впервые систематически установлены формулы для sin (z + ), sin (z+) и т. д. Написав:

Эйлер раскрыл скобки и получил таким путем формулу для cosnz; аналогично он нашел формулу для sinnz. Беря п бесконечно большим, a z бесконечно малым, так что cosz=l и sinz=z, он вывел из этих формул бесконечные ряды для синуса и косинуса. Отсюда он получил ряды для синуса, косинуса, тангенса и котангенса , отчасти опубликованные им уже в Comm. Ac. Petr., 1739 (1750). Затем он исчерпывающим образом показал, как можно использовать эти ряды для вычисления тригонометрических таблиц. Позднее в Nov. Comm. Ac. Petr., 1754/55 (1760) он вывел дальнейшие ряды для sinn, cosn, sinm, cosn, следующие по функциям углов, кратных . На связь между показательной и тригонометрическими функциями Эйлер натолкнулся уже в одной работе о рядах, помещенной в Comm. Ac. Petr., 1740 (1750). Соответствующую определяющую формулу для синуса он дал в Misc. Berol., 1743, но доказаны были формулы для синуса и косинуса только во «Введении». О результатах Эйлер, очевидно, ничего не знал. Формулы

cos х = (eix + e-ix) и sin x = (eix -- e-ix)

он получил во «Введении» из выражений

и

полагая п = . К этому он присоединил еще формулу

Определение sin(x+iy) и cos(x+iy) он впервые дал в Mem. Ac. Berl., 1749.

Суммирование рядов синусов и косинусов, аргументы которых растут в арифметической прогрессии, Эйлер произвел уже в Misc. Berol., 1748. Во «Введении» он вновь вернулся к этому вопросу с более общей точки зрения. Позднее (Opuscul. anal., Петербург, 1783) он занялся аналогичными рядами, аргументы которых образуют геометрическую прогрессию. Представлением тригонометрических функций в виде произведений Эйлер начал заниматься уже в Comm. Ac. Petr., 1734/35 (1740), где разложил в бесконечное произведение синус. То же самое он провел для синуса и косинуса в Comm. Ac. Petr., 1740 (1750) и Misc. Berol., 1743. Все это вместе с некоторыми дополнениями было включено во «Введение», в 14-й главе которого он также детально занялся вопросом об умножении и делении углов, т. е. о тригонометрических функциях кратных углов. Мы указывали в первой части, что в этих разнообразных исследованиях Эйлер действовал более творчески, нежели критически. Это столь глубоко коренилось в его натуре, что он оставил без внимания возражения, сделанные ему главным образом Николаем I Бернулли уже в 1742 и 1743. Эйлер продолжал производить вычисления над любыми бесконечными рядами, распространял теоремы о конечных многочленах на бесконечные и придавал любые значения индексу п, в начале доказательства считавшемуся целочисленным. Несмотря на это, получаемые им результаты обычно бывали справедливы, хотя в некоторых случаях он пришел и к ошибочным выводам, как, например, в упоминавшейся статье в Nov. Comm. Ac. Petr., 1754/55 (1760).

Во втором томе «Введения» (глава 22-я) Эйлер применил к решению трансцендентных уравнений, вроде s=cos s или s=sin 2s и т. п., правило ложного положения. Как сообщает он сам, он придумал подобные задачи с целью посмотреть, нельзя ли приблизиться таким путем к квадратуре круга. Позднее, когда Ламберт уже доказал иррациональность , Эйлер вновь занялся подобными рассмотрениями, подчеркивая, что работа Ламберта отнюдь еще не доказала невозможность квадратуры круга.

Прежде чем перейти к заслугам Эйлера в сферической тригонометрии, упомянем еще о двух тригонометрических разложениях, лежащих несколько в стороне. Эйлер нашел их, развивая предложенный Декартом и затем неоднократно открывавшийся вновь способ построения окружности данной длины (Декарт, Opuscula posthuma, Амстердам, 1701, ср. его Oeuvres, т. X). Это бесконечный ряд

tg + tg +tg +...= - 2ctg2

[ср. Nov. Comm. Ac. Petr., 1760/61 (1763)] и бесконечное произведение

cos coscos... = ,

которое Эйлер другим путем вывел уже в Comm. Ac. Petr., 1737 (1744).

Сферической тригонометрией Эйлер специально занялся в двух больших статьях, подойдя при этом к ней с различных точек зрения. В первой, помещенной в Mem. Ac. Berl., 1753 (1755) он совершенно общим образом построил сферическую тригонометрию как геометрию треугольников, составленных на поверхности сферы линиями кратчайшего расстояния. Эйлер исходил из прямоугольного треугольника, обозначив катет АР через х, катет РМ через у, гипотенузу AM через s [рис. 4]. Если О -- полюс большого круга (экватора), на котором лежит АР, а Ор -- меридиан, бесконечно близкий к ОР, то

Рис. 4.

Mm = ds, mn = dy, Pp = dx

и линия Мп, лежащая на параллельном круге широты у, равна dxcosy, так что

ds = .

Далее, Эйлер искал условия, при которых интеграл этого элемента дуги будет иметь минимальное значение, и получил, таким образом, 10 уравнений, возникающих из правила Непера. Здесь в первый раз появились обозначения, которые мы теперь склонны считать само собой разумеющимися и отсутствие которых часто придавало такой неудобный вид прежним работам. Мы имеем в виду обозначение трех сторон буквами а, b, с, а противолежащих вершин и углов треугольника буквами А, В, С. То, что мы обозначаем последние по большей части буквами а, , , конечно, менее существенно. Греческие буквы были введены лишь в XIX столетии, хотя иногда а, , , применялись уже А. Кестнером в его «Основаниях арифметики, геометрии и тригонометрии» (Геттинген, 1759; 6-е изд. 1800). Новые обозначения позволили Эйлеру записать свои десять уравнений вполне в современном виде. Затем он получил из них шесть различных основных уравнений для прямоугольного треугольника. Соответствующим образом Эйлер поступил и в случае общего сферического треугольника. Определив минимум одной из сторон, он прежде всего нашел пять фундаментальных уравнений, из которых затем вывел теорему синусов, обе теоремы косинусов и так называемое правило котангенса (впервые встречающееся у Виета); последнее появилось у него в форме

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5

Голосование

Как вы оцениваете работу нашего сайта? Отлично Хорошо Нормально Плохо Результаты