Задача заключается в том, чтобы выбрать последовательность управлений , которая "удовлетворяет" нечетким ограничениям и "обеспечивает" достижение нечеткой цели . Начальное состояние системы полагаем заданным. [11]
Заметим, что нечеткую цель можно считать нечетким подмножеством множества , поскольку состояние можно выразить в виде путем решения системы уравнений состояния (1) для .
После этого в соответствии с подходом Беллмана-Заде нечеткое решение задачи можно представить в виде
,
т.е. в виде нечеткого подмножества множества .
Будем искать максимизирующее решение задачи, т.е. последовательность управлений 0,…,N-1, имеющую максимальную степень принадлежности нечеткому решению D, т.е.
0,…,N-1)=(2)
Воспользуемся для этого обычной процедурой динамического программирования. Запишем (2) в следующей форме:
0,…,N-1)=(3)
Имеет место следующее равенство. Пусть - величина, не зависящая от , и - произвольная функция . Тогда
.
С помощью этого равенства запишем (3) в следующей форме:
0,…,N-1)= =
и введем обозначение
.
Функция представляет собой функцию принадлежности нечеткой цели для задачи управления на интервале времени от 0 до N-2, соответствующую заданной цели GN управления на интервале от 0 до N-1. Смысл этой функции можно пояснить следующим образом.
Допустим, что в результате выбора каких-либо управлений система перейдет из состояния в состояние , определяемое системой уравнений (1). Тогда выбором управления можно добиться максимальной степени достижения заданной цели, равной . Таким образом, есть максимальная степень достижения цели GN в случае, когда на N-2 шаге системы оказалась в состоянии .
Поскольку , то ясно, что величина есть максимальная степень достижения цели GN в случае, когда система оказалась (после N-2 шагов управления) в состоянии и на N-1 шаге было выбрано управление . Выбор на N-1 шаге следует сделать так, чтобы обеспечить по возможности большее значение величины
.
Введем обозначение
.
Величина - максимальная степень достижения заданной цели GN в случае, когда на N-2 шаге система оказалась в состоянии .
Продолжая эти рассуждения для , получим систему рекуррентных соотношений:
.
С помощью этих соотношений мы получаем последовательно (начиная с ) функции , а затем по заданному начальному состоянию и пользуясь уравнениями состояния системы (1), вычисляем в обратном порядке максимизирующие решения
Рассмотрим пример, иллюстрирующий описанную процедуру решения.
Пусть имеем трехэтапный процесс управления, т.е. примем, что . В любой момент времени управления система может находиться в одном из трех состояний , а параметр управления может принимать лишь два значения . Нечеткая цель управления (ограничение на ) описывается таблицей
x2 | ||||
0.3 | 1 | 0.8 |
Нечеткие ограничения на управления в моменты t=0 и t=1 имеют вид
t=0:
0.7 | 1 |
t=1:
1 | 0.8 |
Переходы системы из состояния в состояние описываются матрицей (отображение f):
ut x | ||||
Применим теперь рекуррентные соотношения для решения задачи. Для t=1 получаем
x1 | ||||
0.6 | 0.8 | 0.6 |
а соответствующая максимизирующая функция имеет вид
x1 | ||||
Далее, на следующем шаге t=0 получаем
x0 | ||||
0.8 | 0.6 | 0.6 |
а соответствующая максимизирующая функция имеет вид
x0 | ||||
или | или |
Допустим теперь, что начальное состояние системы (т.е. состояние при t=0) . Тогда соответствующее максимизирующее решение исходной задачи имеет вид , причем это решение обеспечивает выполнение цели G2 со степенью 0.8.
Подход Беллмана-Заде опирается на возможность симметричного описания множеств цели и ограничений в виде нечетких подмножеств одного и того же универсального множества альтернатив. Это позволяет определить решение задачи в довольно простой форме, как описано выше. [3], [10]
5.4 Метод комплексного финансового анализа на основе нечетких представлений
Полагается, что можно существенно усилить подход к анализу риска банкротства, объединяя учет количественных (финансовых) и качественных (индикаторных) показателей в анализе, причем рассматривая их не только в статике, но и в динамике. Однако имеющиеся методы не предоставляют аналитикам подобной возможности. Излагаемый далее подход к анализу риска банкротства позволяет, учитывая недостатки существующих подходов, анализировать риск банкротства, настраиваясь не только на страну, период времени, отрасль, но и на само предприятие, на его экономическую и управленческую специфику. Предлагается своего рода конструктор, который может быть использован (собран) любым экспертом по своему усмотрению.
Нечеткие описания в структуре метода анализа риска появляются в связи с неуверенностью эксперта, что возникает в ходе различного рода классификаций. Например, эксперт не может четко разграничить понятия "высокой" и "максимальной" вероятности. Или когда надо провести границу между средним и низким уровнем значения параметра. Тогда применения нечетких описаний означает следующее. [9]
Эксперт строит лингвистическую переменную со своим терм-множеством значений. Например: переменная "Уровень менеджмента" может обладать терм-множеством значений "Очень низкий, Низкий, Средний, Высокий, Очень высокий".
Чтобы конструктивно описать лингвистическую переменную, эксперт выбирает соответствующий ей количественный признак - например, сконструированный специальным образом показатель уровня менеджмента, который принимает значения от нуля до единицы. [10]
Далее эксперт каждому значению лингвистической переменной (которое, по своему построению, является нечетким подмножеством значений интервала (0,1) - области значений показателя уровня менеджмента) сопоставляет функцию принадлежности уровня менеджмента тому или иному нечеткому подмножеству. Общеупотребительными функциями в этом случае являются трапециевидные функции принадлежности (см. рис. 5.1.). Верхнее основание трапеции соответствует полной уверенности эксперта в правильности своей классификации, а нижнее - уверенности в том, что никакие другие значения интервала (0,1) не попадают в выбранное нечеткое подмножество. [10]
Рис. 5.1. Трапециевидные функции принадлежности
Для целей компактного описания трапециевидные функции принадлежности (х) удобно описывать трапециевидными числами вида (а1, а2, а3, а4), где а1 и а4 - абсциссы нижнего основания, а2 и а3 - абсциссы верхнего основания трапеции, задающей (х) в области с ненулевой принадлежностью носителя х соответствующему нечеткому подмножеству.
Теперь описание лингвистической переменной завершено, и аналитик может употреблять его как математический объект в соответствующих операциях и методах. [10]
Продемонстрируем это на примере следующего метода комплексного финансового анализа на основе нечетких представлений.
Алгоритм метода.
Этап 1 (Лингвистические переменные и нечеткие подмножества).
Введем следующие базовые множества и подмножества состояний, описанные на естественном языке:
а. Лингвистическая переменная Е "Состояния предприятия" имеет 5 значений:
E1 - нечеткое подмножество состояний "предельного неблагополучия";
E2 - нечеткое подмножество состояний "неблагополучия";
E3 - нечеткое подмножество состояний "среднего качества";
E4 - нечеткое подмножество состояний "относительного благополучия";
E5 - нечеткое подмножество состояний "предельного благополучия".
б. Соответствующая переменной E лингвистическая переменная G "Риск банкротства" имеет 5 значений:
G1 - нечеткое подмножество "предельный риск банкротства",
G2 - нечеткое подмножество "степень риска банкротства высокая",
G3 - нечеткое подмножество " степень риска банкротства средняя",
G4 - нечеткое подмножество " низкая степень риска банкротства ",
G5 - нечеткое подмножество "риск банкротства незначителен".
Носитель множества G - показатель степени риска банкротства g - принимает значения от нуля до единицы по определению.
в. Для произвольного отдельного финансового или управленческого показателя Хi задаем лингвистическую переменную Вi "Уровень показателя Хi" на нижеследующем терм-множестве значений:
Bi1 - подмножество "очень низкий уровень показателя Хi",
Bi2- подмножество "низкий уровень показателя Хi",
Bi3 - подмножество "средний уровень показателя Хi",
Bi4 - подмножество "высокий уровень показателя Хi",
Bi5- подмножество "очень высокий уровень показателя Хi".
Причем здесь и далее по умолчанию предполагаем:
Рост отдельного показателя Хi сопряжен со снижением степени риска банкротства с улучшением самочувствия рассматриваемого предприятия. Если для данного показателя наблюдается противоположная тенденция, то в анализе его следует заменить сопряженным. Например, показатель доли заемных средств в активах предприятия разумно заменить показателем доли собственных средств в активах.
Выполняется дополнительное условие соответствия множеств B, Е и G следующего вида: если все показатели в ходе анализа обладают, в соответствии с классификацией, уровнем подмножества Bij, то состояние предприятия квалифицируется как Ej , а степень риска банкротства - как Gj. Выполнение этого условие влияет, с одной стороны, на правильную количественную классификацию уровней показателей (см. далее этап 5 метода) и на правильное определение уровня значимости показателя в системе оценки (см. далее этап 3 метода).
Этап 2 (Показатели).
Построим набор отдельных показателей X={Хi}общим числом N, которые, по мнению эксперта-аналитика, с одной стороны, влияют на оценку риска банкротства предприятия, а, с другой стороны, оценивают различные по природе стороны деловой и финансовой жизни предприятия (во избежание дублирования показателей с точки зрения их значимости для анализа).
Этап 3 (Значимость).
Сопоставим каждому показателю Хi уровень его значимости для анализа ri. Чтобы оценить этот уровень, нужно расположить все показатели по порядку убывания значимости так, чтобы выполнялось правило
(1)
Если система показателей проранжирована в порядке убывания их значимости, то значимость i-го показателя ri следует определять по правилу Фишберна (4):
(2)
Правило Фишберна отражает тот факт, что об уровне значимости показателей неизвестно ничего кроме (1). Тогда оценка (2) отвечает максиму энтропии наличной информационной неопределенности об объекте исследования.
Если же все показатели обладают равной значимостью (равнопредпочтительны или системы предпочтений нет), тогда
ri = 1/N(3)
Этап 4 (Классификация степени риска).
Построим классификацию текущего значения g показателя степени риска как критерий разбиения этого множества на нечеткие подмножества (таблица 1):
Таблица 1
Интервал значений g | Классификация уровня параметра | Степень оценочной уверенности (функция принадлежности) | |
0 g 0.15 | G5 - "риск банкротства незначителен" | 1 | |
0 .15 < g < 0.25 | G5- "риск банкротства незначителен" | 5 = 10 (0.25 - g) | |
G4 - "низкая степень риска банкротства" | 1- 5 = 4 | ||
0.25 g 0.35 | G4- "низкая степень риска банкротства" | 1 | |
0.35 < g < 0.45 | G4- "низкая степень риска банкротства" | 4 = 10 (0.45 - g) | |
G3 - "степень риска банкротства средняя" | 1- 4 = 3 | ||
0.45 g 0.55 | G3- "степень риска банкротства средняя" | 1 | |
0.55< g < 0.65 | G3- "степень риска банкротства средняя" | 3 = 10 (0.65 - g) | |
G2 - "степень риска банкротства высокая" | 1- 3 = 2 | ||
0.65 g 0.75 | G2- "степень риска банкротства высокая" | 1 | |
0.75 < g < 0.85 | G2- "степень риска банкротства высокая" | 2 = 10 (0.85 - g) | |
G1- "предельный риск банкротства" | 1- 2 = 1 | ||
0.85 g 1.0 | G1- "предельный риск банкротства" | 1 |
Этап 5 (Классификация значений показателей).
Построим классификацию текущих значений x показателей Х как критерий разбиения полного множества их значений на нечеткие подмножества вида В (Таблица 2).
Таблица 2.
Наименование показателя | Критерий разбиения по подмножествам | |||||
Вi1 | Вi2 | Вi3 | Вi4 | Вi5 | ||
Х1 | x1<b11 | b11< x1<b12 | b12< x1<b13 | b13< x1<b14 | b14< x1 | |
… | … | … | … | … | … | |
Хi | xi<bi1 | bi1< xi<bi2 | bi2< xi<bi3 | bi3< xi<bi4 | bi4< xi | |
… | … | … | … | … | … | |
ХN | xN<bN1 | bN1< xN<bN2 | bN2< xN<bN3 | bN3< xN<bN4 | bN4< xN |
Этап 6 (Оценка уровня показателей).
Произведем оценку текущего уровня показателей и сведем полученные результаты в Таблицу 3.
Таблица 3.
Наименование показателя | Текущее значение | |
Х1 | х1 | |
… | … | |
Хi | хi | |
… | … | |
ХN | хN |
Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8
