Математические игры, как средство развития логического мышления
) как стрелять, чтобы повысить вероятность попадания в неприятельские корабли;2) как расставлять собственные корабли, чтобы противнику было труднее их потопить? Предположим, мы хотим попасть в неприятельский линкор. Как мы должны стрелять, чтобы сделать это как можно быстрее?Ученики предлагают различные варианты ответа: Можно стрелять последовательно сначала по полям первой горизонтали (слева на право), затем по полям второй и т.д.Учитель: А давайте определим после какого удара мы точно попадем в линкор?Школьники считают и делают вывод: В худшем случае это будет на 97-ом ударе (если корабль занимает поля с ж10 по к10).Учитель: А давайте подумаем, как делать ходы, чтобы сделать это быстрее.Дети анализируют сыгранные партии и приходят к умозаключению: Оптимальным вариантом будет, если делать ходы так, как показано на рисунке 5а или 5б.Учитель: Сколько максимально может быть ходов?Ученик: Это произойдет не позднее 24-го удара (24 крестика следуют друг за другом через три поля вдоль каждой вертикали и горизонтали). Рисунок 5Рисунок 6Учитель: А давайте рассмотрим более общий случай. Предположим, что на доске nЧn расположен один-единственный корабль kЧ1 (k-мино). Совокупность выстрелов, гарантирующих нам попадание в этот корабль, назовем стратегией. Стратегию, содержащую минимальное число выстрелов, назовем оптимальной; число выстрелов в ней обозначим через . Для начала рассмотрим доску 4Ч4 и корабль размером 4Ч1. Сколько будет равна ?Школьники анализируют и приходят к умозаключению: . Все семь оптимальных стратегий для доски 4Ч4 представлены на рисунке 8 (стратегии, которые совпадают при поворотах и зеркальных отражениях доски, мы не различаем). Сдвигая все выстрелы на четыре поля по вертикали и горизонтали, получаем семь стратегий на доске 10Ч10. Однако две из них являются оптимальными (рисунок.5а и 5б), причем .Учитель: А как же будет в общем случае, для попадания в корабль kЧ1, расположенный на доске nЧn?Школьники, подумав, вновь выдвигают гипотезу: Выстрелы должны отстоять друг от друга на k полей по вертикали и горизонтали. Это означает, что на каждой линии содержится примерно по выстрелов оптимальной стратегии, и мы получаем приближенную формулу .Учитель подводит итог: Опытные игроки обычно действуют следующим образом. Сначала, пользуясь одной из стратегий на рисунке 5, обнаруживают единственный линкор противника. Когда с ним будет покончено, принимаются за поиск крейсеров. Теперь удары наносятся не через три поля по вертикали и горизонтали, а через два. Потопив оба крейсера, переходят к эсминцам. Когда непотопленными останутся одни катера, выбор полей ударов уже не будет иметь никакого значения, и приходится полагаться только на случай. Конечно, "легкие" корабли могут быть обнаружены и при охоте за "тяжелыми".Итак, труднее всего обстоит дело с катерами, для нахождения которых нельзя придумать эффективной стратегии. Поэтому при размещении собственной флотилии надо располагать все крупные корабли поплотнее, представляя противнику для поиска катеров как можно больше свободной территории. Наиболее выгодное в этом смысле размещение показано на рисунке 7. Если даже соперник потопил все шесть наших крупных кораблей, для обнаружения четырех катеров у него имеется территория наибольшей площади - целых 60 полей (на рисунке справа от черты). Рисунок 7Учитель: Сейчас нам некоторые из учеников расскажут доклады, приготовленные ранее, о разных вариациях игры морской бой и некоторых интересных аспектах этой игры.Докладчик 1: Доклад о различных досках и кораблях. Форма доски в морском бое, вид кораблей и состав флотилии особенного значения не имеют. Так, шахматисты, возможно, предпочитают играть на доске 8Ч8. Заметим, что в терминах игры "полимино" наши корабли имеют такие названия: катер - мономино, эсминец - домино, крейсер - прямо тримино, линкор - прямое тетрамино (рисунок 4). В качестве кораблей в этой игре можно использовать и другие виды полимино. На рисунке 4 представлены все девять кораблей, содержащих не более четырех клеток.Сражение можно вести не только на море, но и на суше. Для этого доску следует разбить на две части - морскую и береговую. Противники получают в свое распоряжение три вида боевых средств - флот (корабли могут располагаться только в море), сухопутные войска (размещаются на суше) и самолеты, которые находятся как в море, так и на суше. Можно, например, использовать для игры 20 боевых единиц: во флотилию включить десять кораблей обычного морского боя, в сухопутные войска - два квадратных, два косых, два Т-и два L-тетрамино и, наконец, два прямоугольных тримино превратить в самолеты. Одно из расположений всех видов войск на доске 20Ч15 представлено на рисунке 8 (беговая часть доски на рисунке заштрихована). Как и положено, флот находится в море, а сухопутные войска дислоцированы на суше, один самолет летает над морем, другой охраняет берег.Рисунок 8Рисунок 9Вот еще одна разновидность морского боя. Игра протекает на шахматных досках 8Ч8; каждый из двух игроков разбивает свою доску на четыре части произвольной формы, состоящее из одинакового количества полей - по 16 каждая. На рисунке 9. даны четыре варианта разбиения доски. Ход состоит из четырех одновременных выстрелов по полям доски, образующими произвольный квадрат 2Ч2, например б5, б6, в5, в6 (на рис.9 его поля помечены крестиками). Обстреливаемый игрок сообщает номера частей, в которые произошло попадание, не указывая при этом, какие поля каким частям принадлежат. Для наших квадратов ответы будут такие: 2, 2, 2, 3 - рис.9а; 1, 1, 2, 2 - рис.9б; 2, 2.3, 4 - рис.9в; 2, 2, 3, 3 - рис 9г. После каждого хода партнеры делают определенные выводы о возможном разбиении доски и на их основании выбирают следующий ход. Побеждает игрок, который первым определяет, на какие четыре части разбил противник свою доску.Докладчик 2:Я хочу рассказать о интересном "эндшпиле", в котором одна неточность сразу решает исход боя (этот пример придумал В. Чванов).На рисунке 10 изображено положение, возникшее в процессе игры. К данному моменту обе флотилии - и наша (рисунок 10а) и противника (рисунок 10б) пострадали одинаково. У обеих потоплены линкор, один крейсер и один эсминец, продолжают сражение по одному крейсеру, по два эсминца и все четыре катера. Расположение наших кораблей противнику уже известно (на рисунке 10а они обведены пунктиром), и при своем ходе он разгромит их без промаха.Рисунок 10Рисунок 11 К счастью ход наш и судьба партии в наших руках. Мы должны потопить один за другим все семь кораблей, сосредоточенных в квартале 5Ч5. Для нахождения победной комбинации в этой напряженной схватке требуется прежде всего провести логический анализ ситуации.По правилам любые два корабля отстоят друг от друга не меньше чем на одно поле. Окружим каждый корабль каймой шириной в полполя (рис.11), полученный прямоугольник назовем достройкой этого корабля. Найдем теперь площадь достроек всех семи кораблей, которые предстоит потопить. Какими они будут?Ученики: Достройка катера - 4 клетки (2Ч2), эсминца - 6 клеток (3Ч2) и крейсера - 8 клеток (4Ч2). Общая площадь достроек составляет 36 клеток.Докладчик2: Верно. Но площадь достройки доски (достройка с каймой в полполя) также 36 клеток, из чего следует, что угловые поля доски 5Ч5 обязательно заняты кораблями (иначе угловая площадь достройки доски "пропадает"). Передерем все возможные расположения кораблей. Сколько их будет, если повороты и зеркальные отражения доски не учитывать?Ученики: Их всего пять (рисунок 12а - д).Рисунок 12Докладчик2: Проведенный анализ позволяет эффективно завершить игру. Как вы думаете, куда надо выстрелить вначале?Ученики: Первые четыре выстрела следует произвести по углам доски 5Ч5. Как мы убедились, все они достигают цели. Если при этом три катера будут потоплены (рис.12а), то расположение остальных кораблей определяется однозначно.Докладчик 2: Пусть потоплен только один катер (рисунок 12б, в,). Какой вывод можно сделать?Ученики: Так как достройки кораблей плотно покрывают достройку доски, пятый и шестой выстрелы можно без риска произвести по полям а3 и е1, отстоящем на два поля от углового, занятого потопленным катером. От результата этих двух выстрелов зависит, какой из случаев - "б" или "в" - имеет место.Докладчик2: Если выстрелы по углам привели к потоплению двух катеров (рисунок 12г, д), что можно сказать?Ученики: Удары по полям а3 и в5 позволят сразу выяснить, какой из двух вариантов избрал противник.Докладчик 2: Итак, после шести выстрелов мы имеем полную информацию о расположении неприятельских кораблей и следующими пятью ударами победно завершим эту напряженную битву. Рассмотренный пример показывает, что в критической ситуации от играющих в морской бой требуется не малое искусство и выдержка.Докладчик 3: Мой доклад о залпах выстрелов. До сих пор рассказывалось о том, что каждый выстрел производится по одному полю доски. Интересной разновидностью морского боя является игра, в которой один ход состоит сразу из ряда выстрелов - ведется, так сказать, массированный огонь по неприятельскому флоту. Соперник сообщает общие результаты стрельбы, не указывая при этом, в какой корабль и на каком поле произошло попадание. Например, при трех одновременных выстрелах ответы могут быть такими: три промаха; два промаха и одно попадание; один промах и одно потопление и т.д. (последний ответ означает, что два выстрела из трех попали в один и тот же корабль и потопили его). Остальные правила игры не меняются. После каждого хода и ответа на него игроки извлекают определенную информацию о дислокации неприятельских кораблей и следующими ходами пытаются использовать ее.В другом варианте этой игры каждому игроку разрешается одновременно производить выстрелы по стольким полям доски, сколько у него еще осталось непотопленных кораблей. Обстреливаемый игрок вновь сообщает стреляющему только общее число попаданий, потоплений и промахов. При обычной флотилии из десяти кораблей первый ход состоит из девяти выстрелов. Если один или несколько кораблей потоплены, то число выстрелов уменьшится. Когда все корабли пойдут на дно, игрок лишается права хода (0 выстрелов), но оно ему больше не нужно - бой закончился его поражением.Рассмотрим еще одну интересную модификацию морского боя на произвольной квадратной доске. В ней также разрешается производить серии выстрелов. Будем считать, что флотилии обоих партнеров состоят из кораблей одного типа: катеров, эсминцев, крейсеров, линкоров или вообще кораблей kЧ1 (k-мино) на доске nЧn (k?n). Число k оговаривается до начала игры. Игрок может расставлять на доске любое количество кораблей, быть может, ни одного, не сообщая это число противнику.Игра состоит всего из одного хода, который заключается в одновременном произведении выстрелов по ряду полей доски (залп выстрелов). При этом игрок получает информацию о каждом поле доски - попадание или промах (о потоплениях сообщений не делается) проанализировать ответы противника, он должен однозначно определить расположение всей его флотилии. Победителем становится игрок, залп которого содержит меньше выстрелов.И в конце учитель подводит итог:Мы с вами рассмотрели игру морской бой. Поиграв в нее мы сравнивали, анализировали и приходили к умозаключению о правильной стратегии этой игры, что развивает логическое мышление.Учитель подводит итог: Итак, на занятиях посвященных морскому бою были рассмотрена обычная игра морской бой. Мы попытались найти оптимальную стратегию для выигрыша. А так же были рассмотрены различные вариации игры и некоторые интересные аспекты игры.Замечание: Отметим, что на занятиях посвященных морскому бою школьники анализировали то, как лучше расставлять корабли, чтобы противнику было сложнее их найти и то, как нужно наносить удары по вражеской флотилии, чтобы одержать победу. Сначала был рассмотрен частный случай, как найти ленкор (4Ч1), затем учащиеся предложили рассмотреть более общий случай: корабль размером kЧ1. Проводя обобщение и анализ учащиеся должны были сформулировать гипотезу о примерном количестве выстрелов, необходимом для гарантированного попадания в корабль. То есть учащиеся переходили от поля и кораблей к формулам и обратно (абстрагирование и конкретизация).Так же учащиеся познакомились с некоторыми вариациями игры в морской бой. Если их заинтересовала эта тема, то они могут дома самостоятельно провести анализ возможных стратегий игры. Затем, учащиеся при рассмотрении "эндшпиля" перебирают все возможные комбинации расположения семи кораблей в квартале 5Ч5 и выявляют существенные моменты этих расположений.2.4 Отгадай слово (2ч)В начале урока учитель рассказывает правила игры. А затем рассматривает пример: Игра "отгадай слово" впервые появилась на свет в конце 60-х годов, почти одновременно с "быками и коровами", о которой будет рассказано позже, и до сих пор пользуется большой популярностью, в нее охотно играют школьники, студенты, научные сотрудники.Действительно, как мы сейчас увидим, эта увлекательная игра значительно богаче и глубже большинства известных словесных игр. Для успеха в ней важен не только большой запас слов, лексикон играющих, но и умение логически рассуждать.Играют двое. Один игрок задумывает слово из пяти букв, а другой должен его отгадать. С этой целью он называет одно за другим слова, состоящие из произвольного числа букв, на каждое из которых партнер в ответ сообщает число, означающее, сколько раз буквы задуманного слова входят в названное; при этом каждая буква задуманного слова учитывается в ответе столько раз, сколько она содержится в названном.Естественно, слова задумывают оба игрока, причем они стараются выбрать их потруднее для отгадывания. Побеждает тот, кто отгадал слово противника, то есть получает ответ "отгадал", за меньшее число ходов.Как и в большинстве игр в слова, и задуманное слово, и "ходы" должны быть существительными, нарицательными, в единственном числе. Чтобы избежать лишних споров, лучше всего сразу договориться о том, какие разрешается использовать словари.Очевидно, игра "отгадать слово", как и "быки и коровы", является тестовой. Выбор слов-ходов, приводящий к цели, по существу, есть тест для отгадывания задуманного противником слова (шифра), и задача игрока состоит в том, чтобы построить тест как можно короче. Конечно, игру легко обобщить, разрешая задумывать слова другой длины, однако длина пять является оптимальной (подобно четырем цифрам в "быках и коровах" - разнообразие пятибуквенных слов очень велико, и отгадать их совсем не просто).Делать ходы (назвать тестовые слова) не обязательно по очереди, важно общее число ходов. При большом количестве партий в каждой из них можно учитывать не только то, кто раньше отгадал слово, но и на сколько ходов быстрее. Для того чтобы лучше ознакомиться с игрой, почувствовать ее тонкости, рассмотрим несколько партий, то есть выражаясь шахматным языком, прокомментируем их. Всюду предполагается, что слово задумывает ваш партнер, и нам надо его отгадать. Рядом с названными словами указываются ответы противника на них.Приведем пример. Пусть наш воображаемый партнер задумал слово КОЛБА, а мы своим ходом назвали слово ОБОРОНА. Тогда он должен ответить числом 5. В самом деле, буквы К и Л задуманного слова не входят в названное (или иначе - входят 0 раз), буква О входит 3 раза, буквы А и Б - по 1 разу. Итого: 0+0+3+1+1=5.Называя некоторое слово и получая на него ответ, мы всякий раз делаем определенные выводы относительно задуманного слова. Так, ответ противника на слово ОБОРОНА означает, что задуманное слово, пока не известное нам, обязательно содержит букву О (в противном случае максимальный ответ был бы равен 4), а так же две буквы из четырех Б, Р, Н, А. Рассмотрим другие возможности. Ответ 0 свидетельствовал бы о том, что в отгадываемом слове нет ни одной из пяти букв, входящих в слово ОБОРОНА; ответ 1 или 2 - что в нем содержится соответственно одна или две буквы из четырех - Б, Р, Н, А и нет буквы О; ответ 3 - что в нем есть О и нет Б, Р, Н, А, или, наоборот, есть три из этих четырех букв и нет О; наконец, при ответе 4 делаем вывод, что задуманное слово содержит букву О и одну букву из четырех остальных или все эти четыре буквы вместе, но тогда отсутствует О.Извлекая на каждом ходу ту или иную информацию о задуманном слове противника, мы делаем следующий ход и т.д., пока не получим ответ "отгадал".Давайте рассмотрим одну партию вместе.Партия 1Учитель начинает игру: Я загадываю слово и противник на первое свое слово получает ответ 2. Что это значит?ПЕРЕВАЛ 2Ученики анализируют и приходят к умозаключению: В данной партии первый ход позволяет сделать следующий вывод: либо в задуманном слове есть буква Е и нет букв П, Р, В, А, Л, либо есть две буквы из этой пятерки, но нет Е.Учитель: Цель второго хода - разобраться в ситуации. Противник называет следующее слово и получает ответ 0.СВАЛКА 0Ученики вновь анализируют и приходят к выводу: Ответ 0 дает возможность выбросить из рассмотрения целый ряд букв. В данном случае после второго хода мы видим, что в задуманном слове нет букв В, А, Л (и, конечно, С и К), и значит, с учетом первого хода, оно содержит либо Е, либо одновременно П и Р.Учитель: Каким словом можно определить точное наличие, например буквы П?Школьники, не долго думая, выдают ответ: ПОП.Учитель: На это слово ответ будет 0. Что это значит?ПОП 0Ученики: Итак, второй вариант отпадает, буквы П, а вместе с ней и Р в слове нет, а есть Е.Учитель вновь предлагает новое слово к рассмотрению: На новое слово противника ответ будет 4. Какой вывод мы можем сделать из этого, если вспомнить, что отсутствие некоторых букв мы уже определили?ФАКУЛЬТАТИВ 4Ученики вспоминают те буквы, которых уже нет и делают вывод: Так как мы уже знаем, что букв А, К, Л, В в слове нет, то последний ход и ответ на него означают, что фактически нам надо проанализировать следующую ситуацию с фиктивным словом-ходом: ФУЬТТИ 4.Учитель: Предположим, что в задуманном слове нет Т. Что это значит?Ученики: Тогда оно содержит все четыре оставшиеся буквы, то есть Ф, У, Ь, И. поскольку буква Е уже найдена раньше, искомое слово должно состоять из букв Ф, У, Ь, И, Е.Учитель: А можно ли из этих букв составить слово?Учащиеся проводят анализ (это уже не логический анализ, а чисто словесный), и приходят к умозаключению: Из этих букв собрать слово невозможно. Таким образом, в задуманном слове обязательно присутствует буква Т, кроме того, в нем есть Е и две буквы из четырех Ф, У, Ь, И.Учитель делает некоторые выводы: Очередными ходами мы бы могли определить две эти буквы и недостающую пятую. Однако сначала попробуем извлечь побольше информации, не делая ходов, а только основываясь на полученных ответах (самое тонкое место партии!). Две буквы из четырех можно выбрать шестью способами, . Добавляя к каждой паре уже известные буквы Е и Т, получаем шесть возможных комбинаций:1) Ф, У, Е, Т;2) Ф, Ь, Е, Т;3) Ф, И, Е, Т;4) У, Ь, Е, Т;5) У, И, Е, Т;6) Ь, И, Е, Т. Какие же из комбинаций даже при добавлении третьей буквы не могут образовать слово?Школьники анализируют и выдвигают гипотезу: Последние три комбинации при любом добавлении пятой буквы не могут образовывать никакого слова. Что же касается первых трех комбинаций, то, добавляя к первой из низ букву Б, ко второй Н или к третей Ш, получаем три возможных слова: БУФЕТ, НЕФТЬ, ФЕТИШ.Учитель: Конечно, анализ требует большого перебора вариантов, но зато мы не сделали ни одного лишнего хода!Итак, нам осталось выяснить, какая буква из трех букв - Б, Н, Ш - выходит в задуманное слово. Попытаемся справиться с этой задачей за один ход. Для этого используем такой прием: поберем слово, в котором одна из этих букв не содержится вовсе, а две другие содержатся, но в разном количестве. Следующий ход удовлетворяет требованиям. Ответ на который 1. Какой же вывод мы можем сделать?
