Номер хода | Ходы | Ответ соперника | |
1 2 3 4 5 6 | 1568 1586 1658 2570 4539 3594 | 1б 1б 1к 1б 1б 3к 4б |
Наш первый ход 1568 дал ответ 1б. что это значит?
Ученики: Это означает, что в задуманном числе имеет всего одна цифра из названных, причем стоящая на своем месте.
Учитель: Постараемся отгадать ее, не привлекая пока - чтобы не запутаться - другие цифры. Сделаем второй ход 1586. Ответ 1б. О чем он говорит?
Ученики: Это говорит о том, что на своем месте стоит цифра 1 или 5.
Учитель: Теперь следует третий ход 1658, и ответ 1к. Что он показывает?
Ученики: Этот ответ показывает, что в задуманном числе на втором месте стоит 5, а цифр 1, 6, 8 в нем нет.
Учитель: Ходом 2570 постараемся выяснить наличие цифр 2, 7 и 0. Ответ 1б. что он нам дает?
Ученики: Этот ответ весьма удачен - этих цифр в искомом числе нет. Итак, ясно, что задуманное число состоит из цифр 3, 4.5, 9, причем на втором месте - 5.
Учитель: Сделаем следующий ход 4539. Ответ 1б 3к. Что это означает?
Ученики: Это означает, что задумано одно из чисел - 3594 или 9543. Если первая цифра 3, то 9 может быть только третьей, а если первая 9, то 3 только четвертой.
Учитель: Ход 3594 и ответ 4б привел нас к цели; ответ 1б 3к означал бы, что задуманное число 9543, в этом случае партия продлилась бы на ход дольше.
Учитель: Перед тем как начать игру, давайте послушаем доклад, об отличии быков и коров от мастермайнда:
Докладчик: В комплекте мастермайнда роль цифр выполняют колышки шести цветов (красные, желтые, синие, зеленые, белые, черные), они вставляются в отверстие доски, которая выглядит примерно так, как показано на рис.13. Задуманный набор кодовых колышков - цифр (вверху доски) шифровальщик загораживает специальными воротами, и он не виден расшифровальщику.
Для каждого хода также предусмотрены четыре отверстия, а еще четыре отверстия, размером поменьше, расположены слева - для ответа на него.
Ход состоит в том, что отгадчик вставляет в отверстия четыре цветных колышка, а загадчик в ответ маленькие ключевые колышки двух цветов (черные и белые) в отверстие слева от хода (в любом порядке). Черные колышки выполняют роль "быков", а белые "коров". Если угаданы не все цвета, то некоторые отверстия остаются пустыми.
Рисунок 13
В примере на рисунке 13. избран шифр ксбж. При ходе зчсж произошло одно полное совпадение (ж) и один цвет (с) оказался не на своем месте. Таким образом, ответ бч (по-старому 1б 1к). на втором ходу ответ чбб, на третьем - ббчч (определены все четыре цвета), на четвертом - чччч. Игра закончена. Партия длилась четыре хода. Вообще, как мы видим, доска рассчитана на десять ходов (только совсем не опытные игроки не укладываются в эти рамки).
В переводе мастермайнда на язык "быков и коров" мы получаем, что задуманное число и числа-ходы разрешается образовывать только из шести цифр (шесть цветов колышков). Правда, цвета колышков в шифре и ходах могут повторяться (в отличии от "быков и коров", где все цифры разные). Так, на рис.13. в девятой строке сделан ход сскк. Ответ на него чб (синий цвет на своем месте, красный не на своем) оба цвета считаются только один раз. При шифре ккбж и том же ходе сскк красный цвет считался бы уже дважды, и ответ бб.
Сформулируем более точно, как дается ответ на каждый ход в мастермайнде. Сначала сравниваются цвета первых колышков шифра и хода. Если они совпадают, ставится черный кодовой колышек ("бык"), а первые колышки шифра и хода исключаются из рассмотрения. Если они разные, сравниваются цвета первого колышка шифра и второго колышка хода. При совпадении ставится белый кодовый колышек ("корова"), а первый колышек шифра и второй хода исключается из рассмотрения. Если цвета разные, сравниваются цвета первого колышка шифра и третьего колышка хода и т.д. Когда первый колышек шифра будет исключен из рассмотрения (либо сам по себе, либо при одном из совпадений цветов - вместе с соответствующим колышком хода), точно такой же последовательно сравнивается цвет второго колышка с цветом шифра с цветами колышков хода, а затем аналогично третий и четвертый колышки шифра. Очевидно, для шифра и ходов в таблице 2 наша процедура даст те же ответы.
Мастермайнд отличается внешней привлекательностью - красивая доска, разноцветные колышки, ворота и т.д. Однако у "быков и коров" другое преимущество - для игры не нужно ничего, кроме бумаги и карандаша.
Для отгадывания числа в "быках и коровах" или шифра в мастермайнде партнер должен как бы придумать тест для разгадывания числа или шифра.
В мастермайнде на любом месте может стоять колышек любого цвета (из шести возможных), то есть всего 64=1296 вариантов.
Учитель: Давайте вернемся к быкам и коровам. Определим сколько различных чисел может быть загадано в быках и коровах.
Ученики делают вывод: Загадывая число в "быках и коровах", его первую цифру можно выбрать десятью способами, вторую - девятью (одна цифра занята), третью - восемь, наконец, четвертую - семь, всего имеем 10Ч9Ч8Ч7=5040 различных чисел.
Учитель: Итак, мы определили, что в "быках и коровах" имеется 5040 различных чисел, которые можно загадывать и которыми можно ходить. А сколько существует различных ответов? Все они указаны во втором столбце таблицы 3, их 14 (очевидно, ответ 3б 1к невозможен). Горизонтальной чертой в таблице разделены случаи, в которых обнаружены все четыре цифры, три цифры, две, одна и ни одной. В третьем столбце указано количество чисел, которые могут дать соответствующий ответ на первом ходу. Самый приятный ответ, конечно, 4б, сразу заканчивающий игру. Как мы видим, наибольшее разнообразие возможных чисел остается при ответе 1к - 1440.
Таблица 3
Номер хода | Ответы | Количество чисел, дающие соответствующий ответ на первом ходу | |
1 2 3 4 | 4б 2б 2к 1б 3к 4к | 1 6 8 9 | |
5 6 7 8 | 3б 2б 1к 1б 2к 3к | 24 72 216 264 | |
9 10 11 | 2б 1б 1к 2к | 180 720 1260 | |
12 13 | 1б 1к | 480 1440 | |
14 | 0б 0к | 360 |
Разумеется, результат игры, то есть количество ходов, за которое отгадывается задуманное число, в какой-то степени зависит от случая. Но многое определяется и искусством играющих. Здесь возникает вопрос: что понимать под мастерством игры в "быки и коровы"? Ведь даже начинающий игрок уже первым ходом может случайно отгадать задуманное число, но это еще не говорит о его умении.
Предположим, игроки А и Б сыграли матч из трех партий. Игрок А во всех трех партиях отгадал число партнера за 5 ходов. Игрок Б в двух партиях отгадал число за 4 хода, а в одной за 9. Кто играл лучше? Игрок Б выиграл матч со счетом 2: 1, но ведь общее число ходов у него больше. Если, скажем, в шахматах важна сама победа независимо от продолжительности партии, то в "быках и коровах" именно скорость отгадывания, количество затраченных ходов собственно и составляют результат игры. Тем самым, если считать по общему числу ходов, то одержал победу игрок А.
Давайте теперь поиграем, один из вас будет загадывать число, а я буду его отгадывать. Остальные ученики будут анализировать игру. Для определенности я всегда буду начинать с числа 1234.
Будут рассмотрены несколько партий. Разобрав их, получится неплохая иллюстрация тонкостей игры в "быки и коровы". Будут изучены все ситуации, когда ответ противника на первый ход - для определенности число 1234 - совпадает с одним из первых пяти в таблица 2. При ответе 4б партия продолжается всего один ход, а для каждого из четырех других случаев будет указан способ игры, гарантирующий отгадывания задуманного числа за наименьшее количество ходов. Другими словами. За сколько ходов число противника будет точно отгадано, каким бы оно ни было.
Партия 1. На первый ход 1234 ученик дал ответ: 2б 2к.
Учитель задает вопрос: Какое наименьшее количество ходов гарантирует отгадывание задуманного числа?
Ученики анализируют и приходят к умозаключению: Только шесть задуманных чисел в ответ на первый ход 1234 могут дать ответ 2б 2к (таблица 4, первый столбец), и при любом втором ходе по крайней мере три из них дадут одинаковый ответ.
Таблица 4
После 1-го хода 1234 и ответа 2б 2к | 2-й ход 1356 | 3-й ход 3256 | |
1324 1432 1243 4231 3214 2134 | 2б 1б 1к 1б 1к 2к 2к 2к | - 2к 1б 1к 1б 1к 2б 2к |
Учитель делает второй ход и одновременно анализирует: Вторым ходом сыграем 1356 (вместо цифр 5 и 6 можно было бы взять и другие, отличные от 1, 2, 3,4). Какие могут быть ответы?
Ученики анализируют все возможные варианты и приходят к умозаключению: Может быть три возможных ответа. Все возможные ответы находятся во втором столбце таблицы. Ответ 2б сразу определяет задуманное число - 1324 (у других чисел другой ответ), ответ 1б 1к оставляет два варианта, а ответ 2к - три.
Ученик на ход 1356 дал ответ: 2к.
Учитель делает третий ход: Третий ход 3256.
Ученики вновь анализируют: Третий ход (с учетом второго) вносит полную ясность - все пять чисел-кандидатов дают разную пару ответов. Прочерк в таблице 3 (и всех последующих таблицах) означает, что при соответствующем ходе "реакция" на него данного числа нас уже не интересует. Таким образом, на четвертом ходу гарантировал ответ 4б и партия длится не более четырех ходов.
Ученик дает ответ: 2к.
С этим ответом учитель сразу отгадывает число: 2134.
Так же учитель делает замечание к этой партии: Типичная и совершенно не очевидная ошибка, которую допускают многие, кто решают эту задачу, состоит в использовании для игры чисел, содержащих только цифры 1, 2, 3,4. Логика здесь простая - раз все цифры известны, то зачем подключать новое? Однако при таком подходе задуманное число с гарантией определяется на пятом ходу (ответ 4б).
Партия 2. Новая партия, вновь ход учителя 1234, но ответ на первый ход: 1б 3к.
Ученики анализируют и делают вывод: На первый ход 1234 восемь чисел могут дать ответ 1б 3к (таблица 5).
Учитель делает второй ход: 1256.
При этом ходе учитель получает ответ: 1б 1к.
Учитель предлагает проанализировать: Какие возможные варианты ответов могут быть на второе число?
Ученики анализируют и выдвигают гипотезу: При любом втором ходе хотя бы одна четверка чисел дает один и тот же ответ.
Учитель подводит итог: Для выяснения ситуации понадобятся еще два хода. При втором ходе 1256 числа разделяются на две группы; для чисел первой группы (ответ 1б 1к) сделаем третий ход 1563, а для чисел второй группы (ответ 2к) - ход 2564. Так как я получил ответ 1б 1к, я делаю ход 1563.
Учитель получает ответ: 1б 1к.
Ученики анализируют и приходят к выводу: После этого остаются две пары чисел в каждой группе, требующие еще одного хода.
Учитель делает четвертый ход: Четвертый ход 1564 полностью проясняет картину. Таким образом, вторая партия делится не более пяти ходов.
И действительно, он получает ответ: 2к.
Учитель с легкостью определяет число: 4213.
Таблица 5
После 1-го хода 1234 и ответ 1б 3к | 2-ой ход 1256 | 3-й ход | 4-й ход 1564 | ||
1563 | 2564 | ||||
1423 3241 1342 4213 2314 4132 3124 2431 | 1б 1к 1б 1к 1б 1к 1б 1к 2к 2к 2к 2к | 2б 2к 1б 1к 1б 1к | - 2б 2к 1б 1к 1б 1к | - 1б 1к 2к 1б 1к 2к |
Партия 3. Новая партия, вновь ход 1234, но ответ на первый ход другой: 4к.
Ученикам вновь предлагается проанализировать. И они приходят к умозаключению: В ответ на первый ход 1234 девять чисел могут дать ответ 4к (таблица 6).
Учитель делает второй ход: 3102.
Ученики анализируют и приходят к выводу: 3102 расшифровывает два числа, а остальные семь делит на две группы.
Учитель подтверждает это и подводит итог: В одной группе решает ход 4153, а в другой - 2456. Четвертый ход завершит партию (будет получен ответ 4б).
И действительно, на ход 4156, учитель получил ответ: 1б 2к.
Сделал новый ход: 4153.
Получил ответ: 3б.
Это и решило исход игры, учитель с легкостью отгадал число: 4123.
Таблица 6
После 1-го хода 1234 и ответа 4к | 2-й ход 3102 | 3-й ход | ||
4153 | 2456 | |||
3142 3412 2143 3421 4123 4312 2341 2413 4321 | 3б 2б 1к 1б 2к 1б 2к 1б 2к 1б 2к 3к 3к 3к | - 2б 1к 3к 3б 1б 2к | - 1б 1к 2б 2к |
Партия 4. Новая партия, вновь ход учителя 1234, но ответ на первый ход: 3б.
Ученики анализируют и приходят к выводу: Ответ 3б на первый ход 1234 дают 24 числа. Три цифры можно зафиксировать на своих местах четырьмя способами, а для четвертой имеется шесть возможностей: 0, 5, 6, 7, 8, 9, то есть всего 4*6=24 варианта.
Учитель предлагает рассмотреть таблицу: Рассмотрим таблицу 7а. В ее первых четырех строках б обозначает любую из цифр 8, 9, 0. Таким образом, здесь представлены все 24 возможности. Сделаем второй ход 1567. Что будет означать ответ 0б 0к?
Ученики делают вывод: Ответ 0б 0к оставляет выбор из трех неразгаданных чисел.
Учитель подводит итог: Для этого годится третий ход 8934 (табл.7б). При ответе 2б можно сыграть 1506 (табл.7в), а при ответе 1к - 5634 (табл.7г). Давайте разберем какие ответы могут быть на такие ситуации?
Ученики анализируют и приходят к умозаключению: Во всех этих вариантах ответы получаются различные, что и помогает с легкостью определить задуманное число.
Таблица 7а
После 1-го хода 1234 и ответа 3б | 2-й ход 1567 | |
б234 1б34 12б4 123б | 0б 0к 1б 1б 1б | |
1534 1264 1237 | 2б 2б 2б | |
5234 6234 7234 | 1к 1к 1к | |
1254 1274 1235 1634 1236 1734 | 1б 1к 1б 1к 1б 1к 1б 1к 1б 1к 1б 1к |
Таблица 7б
Ответ на 2-й ход 0б 0к | 3-й ход 8934 | |
8234 9234 0234 | 3б 2б 1к 2б |
Таблица 7в
Ответы на 2-й ход 2б | 3-й ход 1506 | |
1534 1264 1237 | 2б 1б 1к 1б |
Таблица 7г
Ответ на 2-й ход 1к | 3-й ход 5634 | |
5234 6234 7234 | 3б 2б 1к 2б |
Таблица 7д
Ответ на 2-й ход 1к | 3-й ход 3564 | 4-й ход | ||
5896 | 5698 | |||
1834 1934 1034 | 1б 1к 1б 1к 1б 1к | 1б 1к 0б 0к | - | |
1284 1294 1204 | 1б 1б 1б | 1к 1б 0б 0к | - | |
1238 1239 1230 | 1к 1к 1к | - | 1б 1к 0б 0к |
Таблица 7е
Ответ на 2-й ход 1б 1к | 3-й ход 0254 | 4-й ход 0689 | |
1254 1274 1235 1634 1236 1734 | 3б 2к 1б 1к 1б 1б 1б | - 1б 1к 0б 0к |
Учитель предлагает составить еще одну таблицу: Для девяти чисел с ответом 1б в табл.7а составим табл.7д (вновь б может принимать одно из значений - 8, 9, 0). Делаем третий ход 3564. Что произойдет?
Ученики приходят к выводу: Третий ход разделяет их на три равные группы, четвертым ходом числа идентифицируется, и пятый ход завершает игру (ответ 4б).
Учитель: У нас осталось еще шесть чисел, расположенных в нижних строках табл.7а, выпишем их отдельно (таблица 7е). Какой вывод можно сделать отсюда?
Ученики: И с этой шестеркой удается разобраться за два дополнительных хода. Итак, вновь партия делится не более пяти ходов.
И действительно, учитель делает второй ход: 1567.
Получает ответ: 2б.
Третий ход учителя (таблица 7в): 1506.
И вновь учитель получает ответ: 2б.
И теперь учитель с легкостью может назвать число: 1534.
Ученик подтверждает, что число отгадано.
Учитель подводит итог: Результаты всех рассмотренных партий собраны в таблице 8.
Таблица 8
Ответ на 1-й ход | Количество возможных чисел | Наибольшая длина партии | |
2б 2к 1б 3к 4к 3б | 6 8 9 24 | 4 5 4 5 |
Разобранные примеры показывают, что искусная игра в "быки и коровы" требует тонкого математического расчета.
Учитель подводит итог занятия: В игре быки и коровы были рассмотрены несколько партий с различными начальными ответами, что помогло более подробно проанализировать игру. Так же была рассмотрена игра мастермайнд. Теперь вы можете продолжить игру самостоятельно.
Замечание: Когда учащиеся начали анализировать игру, приходили к умозаключению о том, что длина партии в общем случае зависит от первого хода, поэтому они изучают сколько вариантов ответа может дать человек, который задумал число. Так как в игре крестики-нолики очень многое зависело от первого хода, то здесь учащиеся приходят к мысли о том, что нужно рассмотреть все возможные варианты ответа на первый ход гораздо быстрее.
Отметим, что если вначале первой партии ученики долго думали над вопросами учителя, то ближе к концу школьники стали отвечать быстрее и проводить анализ более правильно. Если ученики достаточно сильные, то к концу занятия они уже могут проводить анализ партий без помощи учителя. О том на сколько учащиеся поняли основные моменты занятия можно судить по тому на сколько тщательно и правильно они проводят анализ партий в конце занятия (когда играют друг с другом).
ЗаключениеВажнейшей задачей математического образования является вооружение учащихся общими приемами мышления, развитие способности понимать смысл поставленной задачи, умение логично рассуждать, усвоить навыки алгоритмичного мышления.Каждому важно научится анализировать, отличать гипотезу от факта, отчетливо выражать свои мысли, а с другой стороны - развить воображение и интуицию (пространственное представление, способность предвидеть результат и предугадать путь решения). Именно математика предоставляет благоприятные возможности для воспитания воли, трудолюбия, настойчивости и преодолении трудностей, упорства в достижении целей.Мне кажется, что в процессе изучения математики лучше всего может быть сформулировано именно логическое мышление.Подводя итоги работы, хочется отметить:Необходимость развития логического мышления учащихся не вызывает сомнений;Математика представляет широкие возможности для этого;Математические игры в занимательной форме способствуют развитию логического мышления и интереса к математике в целом.В своей работе я попыталась разработать факультативный курс с помощью которого можно развивать у школьников умения анализировть, сравнивать, обобщать и т.д.Мне было интересно и занимательно изучать эту тему, планирую продолжить дальнейшее изучение. Список литературы1. Абдулин, О.А. Педагогика/ О.А. Абдулин. - Москва: Просвещение, 1983.
2. Алдер, Х. НЛП. Современные психотехнологии / Хэрри Алдер. - Санкт-Петербург: Питер, 2000.
3. Астапов, В.М. Диагностика развития понятийных форм мышления/ В.М. Астапов. - Москва: Аркти, 2000.
4. Бабанский, Ю.К. Методы обучения в современной общеобразовательной школе/ Ю.К. Бабанский. - Москва: Просвещение, 1985.
5. Бурмистрова, Е.В. Развитие логического мышления детей старшего школьного возраста через дидактические игры/ Логические исследования 1996, № 5.
6. Войшвилло, А.Г. Самоучитель мышления 2-е изд. / А.Г. Войшвилло. - Москва: Информационно-Внедренческий центр "Маркетинг", 2001.
7. Гетманова, А.Д. Учебник по логике / А.Д. Гетманова. - Москва: Владос, 1995.
8. Гик, Е.Я. Занимательные математические игры / Е.Я. Гик. - Москва: Знание, 1987.
9. Гусев, Д.А. Искусство правильного мышления / Д.А. Гусев. - Москва: НЦ ЭНДС, 2003.
10. Данилков, А.А. Общая психология / А.А. Данилков, Н.С. Данилкова. - Новосибирск: НГПУ, 2007.
11. Дышинский, Е.А. Игротека математического кружка / Е.А. Дышницкий. - Москва: Наука, 1972.
12. Зак, А.З. Различия в мышлении детей. Учебно-методическое пособие/ А.З. Зак. - Москва: Владос, 1992.
13. Зверьев, А.А. Сборник бизнес-планов с рекомендациями и комментариями / А. А Зверьев, В.М. Попов, С.И. Ляпунов, С.Г. Млодик. - Москва: Владос, 2000.
14. Ивин, А.А. Искусство правильно мыслить / А.А. Ивин. - Москва: Просвещение, 1986.
15. Кондаков, Н.И. Логический словарь / Н.И. Кондаков. - Москва: Наука, 1971.
16. Кулагина, И.Ю. Возрастная психология / И.Ю. Кулагина. - Москва: Наука, 1998.
17. Макаренко, А.С. О воспитании в семье / А.С. Макаренко. - Москва: Учредгиз, 1955.
18. Основы общей психологии / под ред. Ю.В. Александровой. - Москва: Наука, 1999.
19. Подласый, И.П. Педагогика / И.П. Подласый. - Москва: Владос, 2003.
20. Прокофьев, А.А. Универсальный справочник по математике/ А.А. Прокофьев, И.Б. Кожухов. - Москва: Лист Нью, 2003.
21. Психология - Словарь / под ред. А.В. Петровского, М.Г. Ярошевского. - Москва: Издательство политической литературы, 1990.
22. Психология. Учебник для студентов педагогических учебных заведений/ под ред. И.В. Дубровиной, Е.Е. Даниловой, А.М. Прихожана. - Москва: Академия, 2001.
23. Рудн, Н. Педагогическая психология / Н. Рудн. - Москва: Наука, 2000.
24. Сиденко, А. Игровой подход в обучении/ Народное образование, 2000, №8.
25. Столяр, А.А. Как математика ум в порядок приводит/ А.А. Столяр. - Минск: Вышэйшая школа, 1991.
26. Технология игровой деятельности: учебное пособие / Л.А. Байкова, Л.К. Теренкина, О.В. Еремкина. - Рязань: РГПУ, 1994.
27. Тропина, Н.В. Интеллектуальные математические игры / Н.В. Тропина, Л.Н. Коваленко. - Новосибирск: Изд. НГПУ, 2000.
28. Холина, Л.И. Психология и педагогика/ Л.И. Холина. - Новосибирск: НГПУ, 2008.
29. Шадрин, Д.А. Логика/ Д.А. Шадрин. Москва: Наука, 1998.
30. Эльконин, Д.Б. психология игры / Д.Б. Эльконин. - Москва: Педагогика, 1978.
