Методика обучения школьников планиметрии с использованием объектных моделей

ри движении модели видно, что если увеличивать дугу, то и стягивающая ее хорда увеличивается (резинка растягивается) и, обратно, увеличение хорды вызывает увеличение дуги. Но это можно не только показать, но и доказать. Каковы бы ни были хорды АС и АЕ, через точки С и Е можно провести прямую (накладываем на точки С и Е прямую стержень, на рисунке он показан пунктиром). Тогда можно видеть, что АЕ больше АС (наклонная, имеющая большую проекцию). Так как дуга АЕ также больше дуги АС и так как это положение модели мы могли получить, либо увеличивая дугу, либо увеличивая хорду, то отсюда и вытекает сделанный вывод. Рассматривая одно из положений модели, приходим к формулировкам учебника.

После того как ученики познакомятся со вписанными углами, можно объяснить тот факт, что перпендикуляр АО будет все время находиться по одну сторону от наклонных АЕ и АС при любых положениях точек С и Е. Этот факт, наблюдаёмый на модели непосредственно, объясняется тем, что вписанный угол АСЕ опирается на дугу, большую полуокружности, и поэтому он всегда тупой, а высота, опущенная в тупоугольном треугольнике из вершины острого угла, всегда лежит вне его [38].

Можно разобрать такую задачу с использованием модели: доказать, что если медиана треугольника равна половине основания, то этот треугольник прямоугольный.

Используем для иллюстрации условия той задачи модель смежных углов (рис. 10). От точки А откладываем равные отрезки АВ, АС и АD), в точках , С и D просверливаем отверстия и прикрепляем резинки СВ и СD.

Доказательство получаем, замечая, что при любом положении модели треугольники АВС и АСD равнобедренные.

После изучения вписанных углов можно разобрать и другое доказательство, основанное на том, что через точки В, С и D при любом положении подвижной модели можно провести окружность с центром в точке А [38].

В случаях, когда доказательство по модели было по каким-то причинам неудобно, все равно изучаемую зависимость мы наблюдали на модели, а уже затем переходили к чертежу - фиксированному положению этой модели.

Для теоремы Пифагора можно использовать следующую модель.

Картонную модель «египетского» треугольника (а = 3; 6 = 4; с=5). С построенными квадратами на его сторонах.

Приведём лишь небольшую деталь в порядке демонстрации этой модели.

Желательно показать модель не всю сразу в развёрнутом виде, а постепенно, так, как производится построение: «Построим квадрат на стороне треугольника а» (и из-за треугольника, обращённого к учащимся, показывается квадрат с площадью, разграфлённой на клетки). Так последовательно появляются все три квадрата. Загибание квадратов за плоскость треугольника требует широких швов присоединения квадратов, что снижает демонстративную ценность прибора. Поэтому целесообразно сохранять картонную модель теоремы Пифагора в более глубокой коробке, вынимание модели производить постепенно, отчего квадраты будут появляться из футляра последовательно: с площадью 32; 42; 52 [38].

При изучении суммы углов треугольника и свойство внешнего угла треугольника можно использовать модели, где имеются накладные углы , которые равны основным углам. Подробно использование таких моделей можно посмотреть далее в опытном преподавании.

Еще одну группу динамических моделей образует группа наглядных пособий, которая называется геометрическим конструктором.

Рассмотрение подвижных моделей следует сочетать с созданием мысленных подвижных образов. Например, решая задачу на построение треугольника по одной заданной стороне, можно мысленно убедиться, что решений здесь бесконечное множество. Достаточно представить в уме подвижную вершину, противоположную данной стороне, чтобы убедиться, что существует множество различных треугольников, имеющих одно и то же основание. Некоторые случаи различного положения вершины можно фиксировать мелом на доске [7].

Мысленное (а затем в случае необходимости фактическое) движение осуществляется, например, когда ученикам предлагается опознать, какие фигуры являются симметричными относительно оси (относительно точки), какие нет.

2.2.2 Геометрический конструктор
Как уже было сказано, к ним относятся шарнирные палочки, шпильки и так далее. Шарнирные модели демонстрируют виды углов (острые, тупые, прямые; вертикальные, смежные; углы, образованные при пересечении двух параллельных прямых третьей и др.) [38]

При знакомстве с углом существенным является представить себе правильно, что эта фигура характеризует степень отклонения угла. В частности такого угла может и не быть, в этом случаи лучи совпадают и угол равен 0. В то же время учащемуся трудно уяснить процесс непрерывного изменения угла. При использовании раздвижной шарнирной модели это явление становится наглядным и очевидным.

Опишем следующий порядок использования такой модели. Сперва учитель показывает некоторый угол, медленно уменьшает его до нуля, затем увеличивает до угла больше 900. Учащиеся во время демонстрации делают зарисовки в тетради и видят множество углов, среди которых, заданный является частным случаем. Полезно также показать, что удлинение стороны угла не изменяет его величины, это можно сделать, если растянуть или сдвинуть штабики (рис.11), образующие стороны угла [7].

Шарнирные подвижные модели углов встречаются либо набором моделей, либо в виде отдельных пособий. Недостатками модели являются:

1. Плохая конструкция муфты, дает грубое представление геометрическому образу-прямой линии.

2. Неудачный шарнир не позволяет образовать ни малых углов, ни нулевого положения.

3. Модель искажает понятие вершины угла.

Но это можно разрешить, если использовать вместо планки металлическую трубку и стержни, входящие в них [7].

Другие шарнирные модели из набора восьми моделей показывают смежные, вертикальные углы, углы при параллельных прямых и др. Эти модели также найдут себе применение для того, чтобы помочь учащимся выявить динамическую сущность вопросов.

Фигура треугольника настолько проста для представления и настолько знакома учащимся из окружающей обстановки, что не нуждается ни в другом изображении, кроме чертежа. Речь может идти иллюстрации на моделях преобразования треугольника из одного вида в другой. В этом смысле чертежи указывают лишь, очень небольшое количество образов; один вид переходит в другой разрывно, скачкообразно. На модели же форма изменяется непрерывно, и перед глазами учащихся проходит множество видов треугольников [7].

Вместе с углами и сторонами в треугольнике приходится изучать такие элементы, как медиана, перпендикуляр к стороне в её середине (медиатриса), высота и биссектриса. Было бы недостаточно выучить их определения и построить эти линии, в одном - двух треугольниках; необходимо пронаблюдать на подвижной модели, как располагается каждая из них в равнобедренном, правильном, прямоугольном, тупоугольном треугольниках и как они располагаются друг относительно друга.

При трансформации треугольника указанные элементы расположатся иначе: в прямоугольном треугольнике (рис. 12 б) высота 1 совпадёт со стороной (катетом), биссектриса остаётся левее медианы. По мере приближения треугольника к равнобедренному, внутренние элементы его сближаются и, наконец, совпадают: в равнобедренном треугольнике высота, медиана и биссектриса угла при вершине сливаются (рис. 12 в). Перемещая вершину В вправо, мы увидим, что биссектриса переместится и станет вправо от медианы, а высота, постепенно смещаясь, займёт крайнее правое место по отношению к ним (рис. 12 г) [7].

Перечисленные сопоставления помогут глубже представить себе существо дела и свободнее разобраться в задачах, где встречаются различные построения; например, построить равнобедренный треугольник по медиане и высоте, опущенной на боковую сторону, и т. п.

В этом случае исследование задачи, указание на два возможных решения при остром и тупом угле при вершине легче даются учащимся, которые связывают положение внутренних линий в треугольнике с его формой. К данной модели полезно вернуться в VII классе после изучения темы «Углы в окружности» и предложить обосновать конструктивные предпосылки анализируемого пособия. Такого рода упражнение можно рассматривать как несложную задачу на доказательство по данным, полученным учащимися самостоятельно из рассмотрения прибора, а также как упражнение в анализе конструкции технического приспособления [7].

Большой интерес вызывают зарисовки и наблюдения движения некоторых элементов фигуры. В качестве примера можно привести демонстрацию шарнирного треугольника или треугольника, образованного резиновыми жгутами, в которых при постоянном основании перемещается вершина и изменяется высота фигуры или, наоборот, при сохранении высоты растягивается или сокращается основание, наконец, одновременно меняются оба элемента. После такого рода наблюдений функциональная зависимость периметра или площади от линейных элементов очевидна из геометрических представлений, а не только из формулы. Подобные размышления чрезвычайно способствуют математическому развитию.

Однако с демонстрацией моделей надо быть очень осторожным, так как приспособления, раскраска, разметка, могут отвлечь учащих от геометрической сущности [7].

Рис. 13 (а и б)

Наблюдения «замечательных точек треугольника» может, происходит следующим образом. Выводы существования единых точек пересечения медиан, «биссектрис, перпендикуляров из середин сторон проводятся по отношению к некоторому треугольнику; далее из того, что треугольник берётся произвольный, следует, что полученные свойства присущи треугольникам всех видов. Такого рода обобщение учащиеся иногда принимают на веру, не будучи до конца в этом убеждены. Оказывается, если после логического доказательства подтвердить вывод демонстрацией моделей, представления получаются более осмысленными (рис. 13 а, б) [7].

Вершины резиновой модели треугольника медленно перемещаются, в это время трансформируется самый треугольник, а металлические стержни, изображающие медианы, показывают общую точку пересечения трёх линий. Для случая перпендикуляров стержни закрепляются одним концом в середине стороны, а другой конец остаётся свободным.

Изображение биссектрис основано на свойстве равноудалённости их точек от сторон угла.

Приведем еще одну модель теоремы Пифагора, кроме описанной выше картонной модели.

Квадратный футляр содержит четыре равных прямоугольных треугольника, которые на рис. 14 ( а, б) сложены так, что свободными от них остаются два квадрата, построенные на катетах треугольников [7].

Другая конфигурация вкладышей-треугольников оставляет открытой площадь квадрата на гипотенузе.

Таким образом, модель наглядно демонстрирует, как из одной и той же площади квадрата-футляра два раза отнималась одинаковая площадь четырёх треугольников, вследствие чего оставались равные площади. А так как последние представлялись в одном случае в виде суммы площадей квадратов, построенных на катетах, а в другом - квадратом на гипотенузе, то и получалась модель для иллюстрации связи на основании теоремы Пифагора.

Особенно удобно демонстрировать сразу два таких прибора с указанными построениями.

Общепринятое геометрическое доказательство теорему после приведённых наблюдений проводится только при помощи чертежа.

Многолетний опыт и отзывы учителей убеждают, что небольшая затрата времени на демонстрацию пособий окупает себя вполне [7].

Следует отметить еще один вид наглядных пособий, который может применятся в процессе изучения некоторых тем курса планиметрии это модели из полосок, конструирование фигур из бумаги, перегибание листа бумаги.

2.2.3 Конструирование фигур из бумаги
Результаты психолого-педагогических исследований показывают; эффективное обучение невозможно без активной и сознательной деятельности самих учащихся, С целью ее активизации, формирования и развития у школьников познавательного интереса на уроках математики используются различные приемы, Один из них - конструирование фигур из бумаги.

Конструирование из бумаги относится как к познавательной, так и к эстетической, художественной деятельности. Воплощая в своих работах реально существующие предметы, сказочные фигурки и т.д., дети всегда стараются украсить их, придать им необычные формы, сохраняя при этом основной образ [32].

Конструирование из бумаги учит детей совершать последовательные действия, концентрировать внимание, слушать и воспринимать устные инструкции учителя; способствует развитию мелкой моторики, памяти, формированию пространственного воображения и умения мысленно оперировать плоскими и объемными предметами; стимулирует развитие творческих способностей. Существуют разные техники работы с бумагой: сминание, скручивание, разрывание, разрезание, сгибание. Последние две, хотя и являются самыми сложными, наиболее распространены в педагогической практике используются на уроках математики (как на этапе изучения нового материала, так и на этапе его обобщения и повторения), делая процесс изучения предмета более доступным, занимательным и творческим.

Полоски служат моделями прямых линий, лучей отрезков. С помощью полосок можно составить угол. Из трех полосок скрепляя их в концах гвоздиками можно построить единственный треугольник. Стороны его нельзя ни сдвинуть, ни раздвинуть [32].

Можно задать вопрос: «Из всяких ли трех полосок можно составить треугольник?» Попробуй построить треугольник из полосок, данных на рис. 15.

Рис. 15. Полоски для построения треугольника

Как ни верти правую и левую полоски, они друг до друга не достанут. Треугольник из них не построишь. Тут возникает проблема, а когда же треугольник можно построить. Этот пример можно использовать как мотивации при изучении темы соотношение между углами и сторонами треугольника [32].

При изучении видов треугольника можно использовать модель, образованную из двух полосок и цветного растягивающегося шнурка. Здесь же следует обратить внимание учащихся на то, что при увеличении угла увеличивается и противолежащая сторона.

Модель ромба, образованную четырьмя равными полосками и надев на противолежащие вершины шнурки. Замечаем, что при раздвигании модели свойство ромба сохраняются [32].

Рассмотрим известную головоломку «Танграм» [22]

Напомним, что «Танграм» состоит из семи частей: одного квадрата, одного параллелограмма, двух больших, одного среднего размера и двух маленьких прямоугольных треугольников (рис. 16),

Замечательной особенностью головоломки является то, что из нее можно собрать около 1700 различных фигур, среди которых фигурки животных, растений и людей, буквы, цифры, геометрические фигуры и т.п.

«Танграм» имеет свои правила.

Во-первых, в каждую фигурку должны входить все семь фрагментов головоломки.

Во-вторых, кусочки должны тесно примыкать друг к другу без пробелов и никогда не налегать друг на друга даже краешком.

Использование головоломки позволяет объединить наглядно-образные и конструктивные методы в обучении математике. «Танграм» можно применять, с одной стороны, в качестве интересного наглядного материала при объяснении отдельных тем курса геометрии, ас другой - как средство развития логического и образного мышления учащихся [22].

Работу с головоломкой можно начать в любом классе с учащимися разного возраста. Для этого достаточно взять квадрат из бумаги и разрезать его на части, как показано на рис. 16.

Но для того чтобы по-настоящему увлечь школьников рассматриваемой головоломкой, предлагаем поступить так.

Раздать ученикам по листу бумаги формата А4 и попросить сделать из него квадрат. Затем начать рассказывать следующую сказку, сопровождая повествование разрезанием исходного квадрата на части и складыванием из частей разных фигур.

Геометрическая сказка [22].

Давным-давно существовал такой мир, в котором все состояло из квадратов: дома, звери, птицы, деревья и т.д. В этом квадратном мире жил очень любознательный мальчик по имени Никита.

Однажды, прогуливаясь по улице и наблюдая за всем, что происходило вокруг, Никита подумал: интересно, неужели существует только одна геометрическая фигура - квадрат? Он тут же побежал домой и спросил у мамы: «Почему все вокруг состоит только из квадратов?» Мама никогда не задумывалась над этим вопросом и быстро ответила: «Потому что так было всегда».

Такой ответ не устроил мальчика, и он решил понаблюдать за тем, что происходит вокруг. Каково же было удивление Никиты, когда однажды утром он увидел бабочку, и она была такой (рис.17).

(составлена из двух частей исходного квадрата)

Очень обрадовался Никита, когда познакомился с новой фигурой треугольником, и понял, что в мире существуют не только квадраты, но и другие геометрические фигуры.

В другой раз, играя на берегу реки, Никита увидел кораблик (рис. 18).

(составлен из двух частей исходного квадрата).

А затем и рыбу, которая выглядела так (рис. 19). (составлена из трех частей исходного квадрата) [22].

Когда в следующий раз Никита гулял в лесу, он увидел ель (рис.20.).

Каждый раз, выходя на прогулку, Никита надевал свои любимые башмачки (рис. 21.).

Но однажды, гуляя по лесу, мальчик споткнулся, упал и порвал любимые башмачки. У одного оторвался каблучок, а у другого - расклеился мысок, и башмачки стали выглядеть так (рис. 22.).

Таким образом, Никита узнал, что существует много различных геометрических фигур, не только квадраты, но и треугольники, трапеции, параллелограммы и др.

Закончив рассказ, следует предложить детям задание; кто сможет быстрее остальных собрать из получившихся фигурок большой квадрат, который был у всех до начала истории?

Когда дети сложат исходный квадрат (см. рис. 16.), им сообщается, что этот квадрат носит название древней китайской головоломки «Танграм» [22].

Приведенный пример показывает, как в занимательной форме учащиеся изготавливают из листа бумаги геометрическую головоломку.

«Танграм» можно использовать и при изучении отдельных тем и разделов школьного курса геометрии. Например, при изучении свойств геометрических фигур разного вида и отношений между элементами одной и той же фигуры; при рассмотрении понятий площади и периметра многоугольника; при решении задач, связанных с теоремой Пифагора.

На первых уроках целесообразно предлагать учащимся простые задания, которые позволят ребятам освоиться с головоломкой и ее частями, научиться узнавать различные геометрические фигуры, входящие в «Танграм». Например, задания на составление фигурок животных: кенгуру, зайца, утенка и др.

После этого можно обратить внимание учащихся на геометрические свойства фигур, составляющих головоломку: исходный квадрат состоит из пяти треугольников, квадрата и параллелограмма (рис. 23) [22].

В частности, указать на следующие свойства.

1. Все пять треугольников - прямоугольные и равнобедренные.

2. Два больших треугольника (на рис. 23 они обозначены буквой Т) равны, их гипотенузы равны стороне исходного квадрата, а катеты - равны половине диагонали исходного квадрата.

3. У среднего по размерам треугольника (обозначен буквой ) катеты равны половине стороны исходного квадрата, а гипотенуза - равна половине диагонали исходного квадрата.

4. Маленькие треугольники (обозначены буквой t) равны, их гипотенузы равны половине стороны исходного квадрата, а катеты - равны четвертой части диагонали исходного квадрата.

5. Сторона квадрата, обозначенного буквой q, равна четвертой части диагонали исходного квадрата.

6. Одна из сторон параллелограмма, обозначенного буквой р равна половине стороны исходного квадрата, а другая - четвертой части диагонали исходного квадрата [22].

Укажем некоторые темы, при изучении которых можно использовать «Танграм»:

1. Многоугольники

2. Периметр треугольника и четырехугольника

3. Площади многоугольников

4. Построения с помощью циркуля и линейки

Страницы: 1, 2, 3, 4

В соцсетях