Методика обучения школьников планиметрии с использованием объектных моделей
. Подобие.Примеры заданий на конструирование из фрагментов «Танграма» различных фигур и возможные графические решения к ним прилагаются в приложении [22].Заслуживающим серьёзного внимания методом построения моделей геометрических фигур, является метод перегибания (складывания) листка бумаги, разработанный индийским математиком Роу Сундара [13].Геометрические построения циркулем и линейкой основаны на свойстве окружности как геометрического места точек. Геометрические построения посредством перегибания листка бумаги основаны на принципе осевой симметрии.Листок бумаги, сложенный вдвое и образующий прямую линию перегиба, является моделью двойной полуплоскости, каждая точка которой есть двойная точка, отстоящая от оси перегиба на единственном определённом расстоянии.2
Раскроем листок: две полуплоскости превращаются в одну плоскость, а двойная точка превращается точки, лежащие на общем перпендикуляре АВ перегиба на равных от неё расстояниях, т. е. две точки, А и В, симметричные относительно перегиба (рис.24), где линии АВ и СD линии сгиба.Перегибая такой сложенный вдвое листок бумаги различным направлениям и образовав из рёбер перегибания фигуру, мы, расправив листок, получаем на нём две симметричные фигуры.Складывая листок вчетверо, мы образуем на нем простейшим способом четыре прямых угла. Перегибание листка бумаги даёт простые и наглядные способы деления угла пополам, деления отрезка пополам, восставления и опускания перпендикуляров и, следовательно, проведения параллельных прямых, биссектрис, медиан и высот треугольников, построения ромба, параллелограмма и других фигур [13].Приём перегибания листка бумаги удобен при демонстрации всему классу свойств геометрических фигур, а особенно углов.Вырезая фигуры (треугольники, параллелограмм и др.), полученные перегибанием листка бумаги на бумаге, учитель может, делая дальнейшие перегибания, показать некоторые свойства геометрических фигур. Так как основные построения; деление отрезка и угла пополам восстановление и опускание перпендикуляра, посредством перегибания листка бумаги проще, чем циркулем линейкой, то демонстрации учителя сильно упрощаются и становятся более наглядными.Демонстрацию способов вычисления площадей прямоугольного остроугольного и тупоугольного треугольников, параллелограмма, ромба и трапеции на моделях, образованных пригибанием листа бумаги. Особенно ценным при этом будут самостоятельные упражнения учащихся на своих листках. Коллективный опыт всегда более продуктивен и более убедителен, чем простое наблюдение.Рассмотрение подвижных моделей следует сочетать с созданием мысленных подвижных образов. Например, решая задачу на построение треугольника по одной заданной стороне, можно мысленно убедиться, что решений здесь бесконечное множество. Достаточно представить в уме подвижную вершину, противоположную данной стороне, чтобы убедиться, что существует множество различных треугольников, имеющих одно и то же основание. Некоторые случаи различного положения вершины можно фиксировать мелом на доске.Мысленное (а затем в случае необходимости фактическое) движение осуществляется, например, когда ученикам предлагается опознать, какие фигуры являются симметричными относительно оси (относительно точки), какие нет [13].Особое внимание нужно уделить изготовлению наглядных пособий самим учащимся. Приведу в качестве примера высказывание известного методиста:«К наглядности надо присоединить активную деятельность самого ученика…Активность ученика достигает высшего предела тогда, когда он сам что - либо делает, когда в работе участвует не только голова, но и руки, когда происходит всестороннее (не только зрительное)восприятие материала, когда он имеет дело с предметами, которые он может по своему усмотрению перемещать, по - разному комбинировать, ставить их в определенном отношении и делать из наблюдений выводы» [11].2.3 Изготовление моделейИзготовление наглядных пособий силами самих учащихся в настоящее время может широко применяться при изучении геометрии, так как в начальной школе закладывается прочный фундамент развития трудовых навыков учащихся на уроках ручного труда (работы с бумагой и картоном, с тканью, с глиной или пластилином и на учебно-опытном участке), в V-VII классах - в учебных мастерских (по дереву и металлу). Получив задание на изготовление того или иного наглядного пособия или прибора, учащиеся могут дома или в учебной мастерской под руководством инструктора выполнить требуемую работу [32].Процесс изготовления наглядных пособий имеет большое воспитательное и образовательное значение.Чтобы работа носила творческий, учащемуся следует указать лишь название модели, которую он должен изготовить. В этом случае учащийся сначала выступает в роли конструктора, который должен вычертить заданную фигуру, сообразуясь с имеющимся материалами, рассчитать и проставить необходимые размеры на чертеже, вычертить наглядное изображение. После утверждения чертежа учителем учащийся приступает к изготовлению модели, выступая уже в роли квалифицированного рабочего, исполнителя идеи конструктора [32].Итак, приемы и навыки самостоятельной работы учащихся должна вырабатывать и развивать школа на уроках геометрии. А закрепление этих навыков большей частью проводится вне класса - дома или в группах продленного дня. В последнем случае обеспечивается наблюдение за самостоятельной работой учащихся со стороны руководителя группы, который следит за выполнением задания и в необходимых случаях может оказать и помощь.2.4 Применение моделей на этапах урокаМодели можно использовать на всех этапах процесса обучения: на этапе актуализации знаний, при объяснении нового материала учителем, при закреплении изученного материала, при формировании умений и навыков, при выполнении домашних заданий, на этапе контроля степени усвоения учебного материала.Рассмотрим применение средств наглядности, при изучении курса планиметрии, на основных этапах урока: актуализации знаний, изучения нового материала, закрепления изученного материала, контроля усвоения изученного материала.Этап актуализации знаний направлен главным образом на подготовку учащихся к усвоению нового материала, применению имеющихся знаний в стандартных и новых ситуациях, овладению определенными умениями, стимулированию познавательной деятельности учащихся, проверку учителем уровня усвоения знаний. С этой целью в начале урока используются стереометрические модели, подвижные модели планиметрические модели.Этап актуализации необходим для установления связей нового материала с ранее изученным, неизвестного с известным. Это способствует систематизации материала, более глубокому пониманию его, формированию прочных знаний [17].На этапе актуализации знаний наиболее уместно использовать следующие моделиПример 1. При изучении темы «Взаимное расположение двух окружностей» можно использовать модели двух окружностей.Для этого перед учащимися ставится вопрос: «Как могут располагаться две окружности относительно друг друга?» В руках учителя две модели. Один из учащихся говорит, что окружности могут пересекаться. Учитель наглядно показывает им это на моделях и задает следующий вопрос (здесь же учитель рассматривает случай, когда окружности совпадают): сколько общих точек имеют окружности?Следующий случай, когда окружности касаются. Учитель снова наглядно демонстрирует и задает вопрос: сколько общих точек имеют окружности?Следующий случай, когда окружности не пересекаются. Учитель снова ставит тот же вопрос.Далее делается вывод, как могут располагаться окружности. И переходят к изучению нового материала.Этап изучения нового материала. Это ключевой этап в структуре урока. С опорой на него или во взаимосвязи с ним решаются на уроке вопросы закрепления нового материала и контроля степени усвоения изученного материала.Целью данного этапа урока является овладение учащимися новым материалом. Среди различных способов ознакомления с новым материалом выделим три: новый материал может быть объяснен самим учителем, в ходе совместной деятельности с учащимися либо отработан учащимися самостоятельно [17].При изучении нового материала начинают решаться вопросы, связанные с усвоением, т. е., пониманием, запоминанием, умениями его применять.Также при изучении нового материала необходимо обеспечить учащимся «ориентировку» в нем. Она достигается фиксированием основного содержания, которое необходимо усвоить. Система ориентиров должна быть представлена в таком виде, чтобы ученик мог правильно воспользоваться ими с первого же раза. Для этого используются краткие схематические записи (опорные конспекты), соответствующие образцы применения нового материала при решении задач и т. д [17].Пример 2. Изучая тему «Площадь трапеции» можно использовать шарнирную модель (рис. 25) при осуществлении поиска доказательства формулы2
Рис. 25.На этой модели ?АDМ = ?ЕСМ.Точка М закреплена на стороне DС, а ?МСЕ подвижный. Ученикам демонстрируется, что трапеция АВСD состоит из ?AMD и ?АВЕ без ?МСЕ, а ?АВЕ состоит из ?MCE и трапеции АВСD без ?АМD.Но ?МСЕ = ?АDМ и из этого учащиеся делают вывод о равенстве площадей трапеции ABCD и треугольника ABE.Поэтому В процессе изучения нового материала курса планиметрии могут применяться модели, образованные перегибанием листа бумаги. Так, например, можно получить образ отрезка, перегнув лист бумаги. Если его перегнуть дважды нужным образом, то можно получить образ угла, смежных и вертикальных углов, параллельных прямых и т. д. [40] Также для мотивации решения той или иной задачи можно использовать перегибание моделей (например, треугольника, трапеции и т. п. (см. опытное преподавание)).Пример 3. При изучении темы «Длина окружности и площадь круга» учащимся выдается тонкая нить и различные круги, вырезанные из картона и такое задание: «С помощью нити измерьте длину выданной вам окружности и длину ее диаметра. Найдите отношение длины окружности к длине диаметра и сравните полученный результат с числом р».На этапе закрепления изученного материала обеспечивается усвоение учащимися учебного материала на уровне, отвечающем программным требованиям.В ходе закрепления важно обеспечить запоминание учебного материала и формирование умений применять его при решении задач.Знания усваиваются только в ходе соответствующей собственной работы с ними [19].Поэтому при закреплении изученного особое внимание следует уделять организации собственной деятельности учащихся в форме, позволяющей учителю проконтролировать ее ход и получаемые результаты. Подготовка к контрольной работе, подготавливающая обучаемых к осмысленной и активной учебной деятельности, должна завершаться постепенным снятием внешнего контроля и переходом к выполнению действий в умственном плане.Закрепление знаний на уроках планиметрии проходит, в основном, через решение задач, поэтому на этапе закрепления используют подвижные модели.Пример 4. Доказать, что если медиана треугольника равна половине основания, то это треугольник прямоугольный (пример разобран в п.2.2).Интересными для школьников могут быть комбинаторно-геометрические задачи, в которых нужно кроить, резать и клеить. Затем для обоснования своих действий школьник должен применить свои познания в геометрии. Элемент нестандартности, который присутствует в таких задачах, возбуждает интерес и желание их решить, а наглядность и минимум знаний, достаточных для их решения, позволит рассматривать эти задачи со школьниками 7-9 классов (на факультативе, на математическом кружке).Пример 5. В четырехугольнике ABCD сумма углов ABD и BDC равняется 180є, а стороны AD и BC равны. Докажите, что углы при вершинах А и С такого четырехугольника равны [35]Решение: Разрежем четырехугольник по диагонали BD и, перевернув треугольник ВСD, вновь приложим его к диагонали ВD (рис. 26). Получится равнобедренный треугольник АСD (АD = DС), поэтому А = С.2
Вообще, при поиске решения задач главное - установить цепочку логических следований, которая приводит к доказываемому утверждению. Чтобы научить школьников логически грамотно рассуждать, надо развивать у них навыки такого мышления, которое помогало бы им выстраивать разрозненные геометрические факты в логические взаимосвязи.На этапе контроля устанавливается обратная связь в системе учитель - ученик, которая позволяет регулярно получать информацию, используемую для определения качества усвоения учащимися учебного материала, своевременного диагностирования и корректирования их знаний и умений.Назначением средств наглядности на этапе контроля является то, что они вносят разнообразие в учебный процесс - это позволяет поддерживать познавательный интерес у учащихся. А также средства наглядности облегчают труд учителя на уроке, быстро позволяют демонстрировать учащимся их результаты [19].Контроль может быть осуществлен с помощью устного опроса. Например после изучения темы параллелограмм и его виды. Учитель показывает фигуру сделанную из картона (параллелограмм, прямоугольник, квадрат, и так далее). Ученики должны назвать эту фигуру и ее свойства.2.5 Недостатки использования моделейКак показывает опыт, использование моделей в обучении математике характеризуется рядом недостатков.Не следует рассматривать наглядные средства как временную опору при начальном усвоении знаний, а также следовать правилу: чем старше учащиеся, тем меньше моделей должно применяться в преподавании математики.Не следует использовать средства наглядности только в иллюстративных целях. Необходимо не только демонстрировать учащимся готовые модели, но также привлекать их к самостоятельному изготовлению, оперированию с ними.Например, при изучении темы «Параллелограмм» модель параллелограмма можно использовать не только в иллюстративных целях. С его помощью можно решать с учащимися интересные задачи - на построение параллельных прямых и перпендикуляров, на отыскание биссектрисы угла и т. д.Неудачная конструкция модели или неумелое обращение с ней могут вызывать недостатки в понимании учащимися учебного материала.Чрезмерное увлечение наглядными средствами ради иллюстрации выведенных правил, законов, теорем также является значительным недостатком [17].Первоначальные геометрические сведения сообщаются школьникам еще в начальной школе. Основным методом является наблюдение конкретных форм окружающих ребенка. В - классах эти наблюдения пополняются и систематизируются.2.6 Опытное преподаваниеОпытное преподавание проводилось в ходе педагогической практики в 7 классе средней общеобразовательной школы № 21. Был проведен урок по теме «Сумма углов треугольника».В данном классе изучение геометрии ведется по учебнику [4].Урок был проведен 30.01.07, после изучения «параллельности прямых, их свойств и признаков. Урок изучения нового материала Цели урока:- повторить признаки и свойства параллельности прямых;- изучить теорему о сумме углов треугольника, ее доказательство и следствие, с применением моделей;- научить решать задачи на применение нового материала;- воспитывать ответственное отношение к учебному труду, аккуратность, последовательность выполнения действий.Оборудование и средства: учебное пособие «Алгебра 7 кл.» в двух частях А. Г. Мордкович, тетрадь, карандаш, авторучка, подвижные модели, мел, доска и линейкаСтруктура урока:1. Постановка домашнего задания(2 мин.).2. Ознакомление с темой и постановка целей урока (2 мин.).3. Актуализация знаний(10мин.).4. Изучение нового материала(15 мин).5. Первичное осмысление и применение материала (10 мин.).6. Подведение итогов урока(2мин.).7. Резервные задачи.Содержание урока:I этап. Постановка домашнего задания.Здравствуйте, садитесь. Открыли дневники, записали домашнее задание. §30 №224, №228(а), №230*, №229. Задания похожи на задачи, какие будем решать в классе. Кому нужна оценка выше, чем 3, решаем под звездочкой.II этап. Ознакомление с темой и постановка целей.На предыдущих уроках при решении задач вы использовали теорему о сумме углов треугольника. Но строгого доказательство этого равенства не было, следовательно, пользоваться этим утверждением было нельзя. На этом уроке мы докажем, что равенство верно для любого треугольника и вы смело можете применять это утверждение при решении задач. Также познакомимся, понятием внешнего угла треугольника, сформулируем свойство внешнего угла треугольника. Целью нашего урока будет познакомиться с доказательством теоремы о сумме углов вывести свойство внешнего угла треугольника и порешать задачи по этой теме.III этап Актуализация знаний учащихся;2
На доске нарисован треугольник.Докажем, что BD биссектриса. Что нам для этого нужно показать, Дима?Нам нужно показать, что прямая BD делит угол пополам.Что значит, делит угол пополам, Таня?Это значит, что угол CBD равен углу FBD?Что нам известно в задаче?Что прямая AF параллельна BD.А, что нам известно про параллельные прямые, Саша?Что у параллельных прямых при пересечении с секущей накрест лежащие углы равны и сумма внутренних односторонних углов равна 1800.Чем мы воспользуемся в задаче, Дима?Накрест лежащими углы равны.И так какие углы мы рассмотрим, Стас?Угол AFB и угол DBF, образованные секущей BF при параллельных прямых AF и BD.Правильно Стас, из этого мы можем сделать вывод, что эти углы равны. Продлим прямую BD отметим точку L с другой стороны от точки B и рассмотрим секущую АB. Что мы можем заметить?Что углы ABL и FAB равны как накрест лежащие углы при параллельных прямых и секущей. Верно ребята. Посмотрим на рисунок, что мы можем сказать про углы ABL и DBC?Эти углы вертикальные, а значит, они равны.В итоге мы получим: (записи ведутся на доске учителем)(1)Из того, что треугольник равнобедренный (2)Из равенства (1) и (2), делаем вывод:Другими словами BD-биссектриса.Решим еще одну задачу:Ребята посмотрите в руках у меня модель сделанная из картона, рисунок такой же, как на доске (рис. 29.). Что мы можем сказать про углы.Они равны.Почему?Эти углы накрест лежащие при параллельных прямыхи AC и секущей AB.Верно, посмотрим на модель.(учитель разворачивает угол 1 (рис 30.)и показывает на модели, что углы действительно равны)По аналогии, что мы можем сказать про углы ABC и CBE?Они тоже равные.(Учитель разворачивает угол 2 (рис. 31.) и показывает, что углы действительно равны)В итоге мы получаем, что:Это не, что иное, как сумма углов треугольника. А случайно ли сумма углов треугольника равна 180 или этим свойством обладает любой треугольник?Этим свойством обладает любой треугольник, так как выбор треугольника не изменит равенство накрест лежащих углов. В итоге мы получаем, что:У каждого треугольника сумма углов равна 1800Это утверждение носит название: теорема о сумме углов треугольникаИ так тема нашего урока: «Сумма углов треугольника. Внешний угол треугольника». Этап изучение нового материала.Открыли тетради, отступили четыре клеточки, записали число, классная работа и тему нашего урокаКлассная работа.Сумма углов треугольника. Внешний угол треугольника.Запишем план доказательства:Максим, Дима, Маша работают у доски.План доказательства:Построить DEAC через вершину B, Доказать, что Доказать, что если то (рис. 32)2
Молодцы, ребята, садитесь.Мы с вами рассмотрели сумму углов треугольника, а теперь введем определение внешнего угла треугольника и запишем его в тетрадь.Внешним углом треугольника называется угол, несмежный с внутренним.Посмотрите на доску (рис. 33.).Назовите внешний угол треугольника.()Задание классу: докажите, что и сформулируйте свойство.Доказательство: и смежные и получаем . Угол ACB из суммы углов треугольника равен . Подставляем .Запишем свойство в тетрадь.Внешний угол треугольника равен сумме двух углов треугольника, не смежных с ним.Посмотрим на модель (рис 34)., на ней нарисован треугольник и внешний угол треугольника. Передвинем угол 1 и развернем угол 2. Получили, что внешний угол треугольника равен сумме двух других углов? Этап первичного осмысления и применения материала.Выполним устно №223(б), в), г).), №225, №226.№223 б)260; в)1800-3; г)600.№225значит №226. Если бы углы при основании равнобедренного треугольника бы прямыми или тупыми, то сумма этих углов была бы уже равна или больше1800, что противоречит теореме о сумме углов треугольника.Письменно: №228(в), №227(б). Один ученик работает у доски, остальные в тетради.Вопросы: может ли угол треугольника при основании равнобедренного треугольника быть равен 100.Чему равна сумма углов при основании данного треугольника? А каждый из них?№227 (б) Чему равен угол при основании равнобедренного треугольника, если он в три аза меньше внешнего угла смежного с ним?Чему равны другие углы данного треугольника?Этап подведение итогов.Закрыли тетради. Что мы узнали сегодня нового на уроке.Мы познакомились с теоремой о сумме углов треугольника, с понятием внешнего угла треугольника. Какое свойство внешнего угла треугольника мы доказали Даша продиктуй:Внешний угол треугольника равен сумме двух других углов треугольника не смежных с нимВсем спасибо за урок, до свидание. этап резервные задачи№ 227 (а), №229.Краткий анализ проведенного урока.Проведенный урок по теме «Сумма углов треугольника. Внешний угол треугольника» прошел успешно, учащиеся на уроке работали активно, отвечали на все поставленные вопросы. Немаловажную роль в этом сыграла достаточно хорошая подготовка учащихся, а также использование различных моделейИспользование средств наглядности очень помогло при изучении темы, с их помощью материал стал более доступным и в течение всего урока учащиеся были заинтересованы в его изучении. ЗАКЛЮЧЕНИЕПрименение наглядности на уроках изучения планиметрии в основной школе занимает особое место. Систематическое применение моделей позволяет решить проблему более качественного и полного усвоения курса планиметрии, а также способствует повышению темпа усвоения учебного материала, развитию и поддержанию интереса к предмету у школьников.При использовании моделей на уроках планиметрии у учащихся развиваются абстрактные представления и понятия, различные формы мыслительной деятельности, образное и логическое мышление.В данной работе приведена классификация моделей, сформулированы требования и правила применения моделей в обучении математике. При этом большое внимание уделено использованию различных видов моделей при обучении планиметрии, в частности их применению на различных этапах урока.Таким образом, приведенные в работе теоретические положения и практические рекомендации по использованию моделей в процессе обучения планиметрии могут быть использованы учителями математики в своей практике, а также студентами математического факультета при подготовке к занятиям по теории и методике обучения математике. БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК1. Болтянский В.Г. Формула наглядности - изоморфизм плюс простота [Текст] / В.Г. Болтянский // Советская педагогика. - 1970. - № 5. - с. 46 - 60.2. Бурмистрова Н.В. Наглядная геометрия [Текст]: тетрадь для учащихся 5-го класса / Н.В. Бурмистрова, Н.Г. Старостенкова. - Саратов: Лицей, 2001. - 48 с.3. Волович М. Б. Наука обучать [Текст]: технология преподавания математики / М.Б. Волович. - М.: LINKA-PRESS, 1995. - 280 с.4. Геометрия [Текст]: учеб. для 7-9 кл. сред. шк. / Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев [и др.]. - М.: Просвещение, 1992. - 335 с.5. Дорф П.Я. Наглядные пособия по математике и методика их применения в средней школе [Текст]: пособие для учителей / П.Я. Дорф. - М.: Гос. учеб.-пед. изд-во Мин-ва Просвещения РСФСР, 1960.6. Дорф П.Я. Наглядные пособия по математике. - М.:1955, 1607. Дорф П.Я. Наглядные пособия по математике и методика их применения. - М.:1960.-335с.8. Дудницын Ю.П. Урок математики: применение наглядных пособий и технических средств обучения. - М.: Высшая школа, 1987 - 128.9. Епишева О. Б. Общая методика преподавания математики в средней школе [Текст]: курс лекций: учеб. пособие для студентов физ.-мат. спец. пед. ин-тов / О.Б. Епишева. - Тобольск: Изд. ТГПИ им. Д.И. Менделеева, 1997. - 191 с.10. Ивашев-Мусатов О.С. О первом знакомстве с геометрией [Текст] / О.С. Ивашев-Мусатов // Математика в школе. - 2003. - № 7. - с. 44 - 48.11. Из опыта преподавания математики (6-8 классы) [Текст]: пособие для учителей / Cост. М.Р. Леонтьева. - М.: Просвещение, 1977. - 175 с.12. Имранов Б. Никогда не забывайте о наглядности [Текст] / Б. Имранов // Математика в школе. - 2001. - № 2. - с. 49 - 51.13. Калинин И. А. Электронный учебник [Текст] / И.А. Калинин // Математика в школе. - 2000. - № 8. - с. 75 - 77.14. Карасев П.А. Элементы наглядной геометрии в школе. - М.-1955.15. Каченовский М.И. Математический практикум по моделированию. - М.,1958-190.16. Костицин В.Н. Моделирование на уроках геометрии: Теория и методические рекомендации. - М.: Гуманит. Изд. Центр ВЛАДОС,2000.-160.17. Лабораторные и практические работы по методике преподавания математики [Текст]: учеб. пособие для студентов физ.-мат. спец. пед. ин-тов / Е.И. Лященко, К.В. Зобкова, Т.Ф. Кириченко [и др.]; под ред. Е.И. Лященко. - М.: Просвещение, 1988. - 223 с.18. Манвелов С.Г. Конструирование современного урока математики [Текст]: кн. для учителя / С.Г. Манвелов. - М.: Просвещение, 2002. - 175 с.19. Метельский Н.В. Дидактика математики [Текст]: лекции по общим вопросам / Н.В. Метельский. - Мн., Изд-во БГУ, 1975. - 256 с.20. Методика преподавания математики в средней школе [Текст]: общая методика: учеб. пособие для студентов физ.-мат. фак. пед. институтов / Cост. Ю.М. Колягин, В.А. Оганесян, В.Я. Саннинский, Г.Л. Луканкин. - М.: Просвещение, 1975. - 462 с.21. Методика преподавания математики в средней школе [Текст]: общая методика: учеб. пособие для студентов пед. ин-тов / А.Я. Блох, Е.С. Канин. [и др.]; сост. Р.С. Черкасов, А.А. Столяр. - М.: Просвещение, 1985. - 336 с.22. Мищенко Т.М. Индивидуальные карточки по геометрии для VII - IX классов [Текст] / Т.М. Мищенко, А.В. Семенов // Математика в школе. - 2002. - № 2. - с. 19 - 25.23. Мячина М.В. Конструирование из бумаги на уроках математики в 5-6 кл. /М.В. Мячина // Математика в школе. - 2006. - № 9. - с. 36 - 41.24. Наглядные пособие по математике». Сборник статей. Под ред.А.М. Пышкало и Е.Г. Гаврилов.: М., 1962-141.25. Ожегов С.И. Словарь русского языка [Текст] / С.И. Ожегов; под ред. Н.Ю. Шведовой. - 20-е издание. - М.: Изд-во «Русский язык». - 1987. - 752 с.26. Педагогика [Текст]: учеб. пособие для студентов пед. вузов и пед. колледжей / Под ред. П.И. Пидкасистого. - М.: Педагогическое общество России, 2003. - 608 с.27. Петрова Е.С. Теория и методика обучения математике [Текст] / учеб.-метод. пособие для студ. мат. спец.: в 3 ч. Ч. 1. Общая методика / Е.С. Петрова. - Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2004. - 84 с.28. Погорелов А.В. Геометрия [Текст]: учеб. для 7-11 кл. сред. шк. / А.В. Погорелов. - Изд. 3-е. - М.: Просвещение, 1992. - 383 с.29. Подготовка учителя математики [Текст]: инновационные подходы: учеб. пособие / Под ред. В.Д. Шадрикова. - М.: Гардарики, 2002. - 383 с.30. Полонский В.Б. Учимся решать задачи по геометрии [Текст]: учеб.-методич. пособие / В.Б. Полонский, Е.М. Рабинович, М.С. Якир. - К.: Магистр - S, 1996.-256 с.31. Применение учебно - наглядных пособий и технических средств обучения на уроках математики. Методические рекомендации. - М., 197232. Произволов В.В. Геометрия ножниц в задачах [Текст] / В.В. Произволов // Математика в школе. - 1998. - № 2. - с. 87 - 90.33. Самодельные наглядные пособия по арифметике для 5-6 классов. / Под редакцией С.В. Пазельского. - Саратов, 1959.34. Смирнова И.М. Геометрия: Учебник для 7-9 кл. общеобразовательного учреждения./ И.М. Смирнова, В. А. Смирнов. - М.: Просвещение, 2001. -271.35. Столяр А.А. Педагогика математики [Текст]: курс лекций / А.А. Столяр. - Минск: «Вышэйшая школа», 1969. - 368 с.36. Трефилов И.П. Как заинтересовать математикой учащихся средней школы [Текст] / И.П. Трефилов. - М.: Гос. учеб.-пед. изд-во Мин-ва просвещения РСФСР, 1957.37. Фридман Л.М. Психолого-педагогические основы обучения математике в школе [Текст]: учителю математики о пед. психологии / Л.М. Фридман. - М.: Просвещение, 1983. - 160 с.38. Фридман Л.М. Наглядность и моделирование в обучении. - М.: Знание,1984.- 80с.39. Хабиб Р.А. О новых приемах обучения планиметрии. - М.: Просвещение, 1969 - 158.40. Черник О.В. Развитие эстетической воспитанности учащихся при обучении математике [Текст]: дис. … канд. пед. наук: 13. 00. 02. :защищена 22. 02. 03: утв. 15. 06. 03 / Черник Ольга Владимировна. - Киров, 2003. - 158 с.41. Чичигин В.Г. Методика преподавания геометрии [Текст]: планиметрия: пособие для учителей сред. школы / В.Г. Чичигин. - М.: Гос. учеб.-пед. изд-во Мин-ва просвещения РСФСР, 1959.42. Шубина Т.В. Новый подход к усвоению школьниками понятий геометрии / Т.В. Шубина, Н.А. Резник // Математика в школе. - 2004. - № 3. - с. 55 - 59.
