Методика решения задач повышенной трудности в старших классах средней школы
2
ОГЛАВЛЕНИЕВведениеГлава 1. Теоретические основы обучению решению задач1.1. Определение задачи. Классификация и функции задач в обучении1.2. Обучение поиску решения задач1.3. Методические особенности решения нестандартных задачГлава 2. Методика решения нестандартных задач в старших классах средней школы2.1. Особенности решения текстовых задач2.2. Методика решения уравнений и неравенств2.3. Особенности решения задач с параметрами2.4. Педагогический эксперимент и анализ результатов2.4.1. Констатирующий этап эксперимента2.4.2. Поисковый этап исследования2.4.3. Формирующий этап экспериментаЗаключениеСписок литературыВВЕДЕНИЕ
В жизни каждого человека постоянно возникает большое количество таких ситуаций, которые связаны с числами и требуют выполнения арифметических действий над ними, - это задачи. Каждому учителю хорошо известно, какое большое место в начальном обучении математика занимала всегда, и сейчас продолжают занимать текстовые задачи. В математических задачах осуществляется переход от жизненных ситуаций к арифметическим действиям, следовательно, в общей системе обучения математики решение задач является одним из видов эффективных упражнений.
Основной задачей обучения математике в школе является развитие математического мышления через обучение общим способам действий с математическими моделями реальной действительности и способам построения этих моделей.
Обучение построениям моделей в основном осуществляется при решении математических задач. Решение задач включается практически в каждый урок математики, поэтому очень важно правильно организовать и спланировать урок математики.
Усвоение учениками математических знаний зависит не только от правильного выбора методов работы, но и от формы организации учебного процесса и умелого его осуществления. Урок - основное звено учебно-воспитательного процесса. Планируя урок, определяя его задачи, необходимо учитывать, что он всегда является лишь частью, одним звеном более или менее длинной цепочки уроков, реализующих тему, раздел, учебный предмет в целом. Поэтому должен быть связан со всеми предшествующими и последующими уроками [10,19].
По новому определению, знания представляются не как обладание какой-либо информацией, а как умение и способность найти нужную информацию и правильно применять ее на практике. Поэтому важнейшей задачей школы является не формирование носителя определенной суммы знаний, а содействие становлению личности, ориентирующейся в потоке новой информации и умеющей ее творчески переработать, а это значит, что современной системе школьного образования соответствует лишь такая теория, которая учитывает развивающую роль обучения и воспитания в становлении личности ребенка. Школа должна готовить не только знающего, но и умеющего ученика.
При решении так называемых «развивающих задач» прививаются “привычки ума”, учителя учат тому, как думать, а не тому, что думать. Дети сами могут постигать смысл узнаваемого с помощью умения размышлять, задавать вопросы по существу, улавливать взаимосвязи, выявлять модели, решать проблемы, принимать правильные решения, понимать и ценить разнообразие, работать совместно с другими людьми, рисковать и управлять ситуацией. Акцент делается не на запоминание фактов, а на умение критически и творчески думать.
Основополагающими работами по теории развивающего обучения являются труды Л.С. Выготского, П.Я. Гальперина, В.В. Давыдова, Л.В. Занкова, Е.И. Кабановой-Меллер, А.Н. Леонтьева, Н.А. Менчинской, С.Л. Рубинштейна, Н.Ф. Талызиной, Д.Б. Эльконина, И.С. Якиманской и др. В области педагогики в теории развивающего обучения существенный вклад внесли Ю.К. Бабанский, Л.я. Зорина, И.Я. Лернер, М.И. Махмутов и др.
Разработке теоретических основ развивающего обучения математике посвящены специальные исследования Х.Ж. Ганеева, Н.Б. Истоминой, Л.Г. Петерсон, З.И. Слепкань и др. Большое внимание в работах по развивающему обучению уделяется математическому мышлению.
Формирование математического стиля мышления является важным для жизни в современном обществе. Объекты математических умозаключений и правила их конструирования должны вырабатывать умения формулировать, обосновывать и доказывать суждения, то есть развивать логическое мышление. Известный математик - педагог Д. Пойа в книге «Как решать задачу?» писал: «Что значит владение математикой? Это есть умение решать задачи, причем не только стандартные, но и требующие известной независимости мышления, здравого смысла, оригинальности, изобретательности». Поэтому важнейшей задачей школы является не формирование носителя определенной суммы знаний, а содействие становлению личности, ориентирующейся в потоке новой информации и умеющей ее творчески переработать. Основы такого умения необходимо заложить в начальной школе, где огромная роль, естественно, принадлежит учителю [20].
Всё вышесказанное говорит об актуальности проблемы исследования.
Проблема исследования заключается в более глубоком изучении темы «Методика решения задач повышенной трудности в старших классах средней школы», анализе содержания и методов решения развивающих заданий, поиске путей повышения эффективности использования задач в процессе обучения.
Объект исследования - процесс обучения математике в средней школе.
Предмет исследования - сюжетные задачи курса математики и их использование с целью интеллектуального развития обучаемых и повышения качества обучения.
Цель исследования состоит в изучении влияния задач повышенной трудности на умственное развитие обучаемых и выявлении методических особенностей использования задач указанного типа на уроках математики.
Гипотеза исследования: систематическое и целенаправленное решение задач повышенной трудности с учетом уровня развития познавательных способностей ученика будет способствовать развитию всех познавательных процессов школьников, а также математической интуиции и творческого подхода к решению самых разнообразных задач.
Исходя из цели исследования выделены задачи исследования:
1. Изучение математической, психолого-педагогической и методической литературы по проблеме исследования.
2. Поиск наиболее эффективных путей и способов организации решения задач на уроках математики.
3. Разработка методики решения задач повышенной трудности на уроках математики и во внеклассной работе в средней школе.
4. Экспериментальная проверка выдвинутой гипотезы в естественно-педагогическом эксперименте, анализ результатов.
При решении вышеизложенных задач использовались следующие методы исследования:
1. Изучение и анализ математической, методической, педагогической и психологической литературы.
2. Наблюдение, анкетирование.
3. Экспериментальная проверка.
Глава 1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ОБУЧЕНИЮ РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ
1.1. Определение задачи. Классификация и функции задач в обучении
Учебные математические задачи являются очень эффективным и часто незаменимым средством усвоения учащимися понятий и методов школьного курса математики. Велика роль задач в развитии математического мышления и в математическом воспитании учащихся, в формировании у них умений и навыков в практическом применении математики. Решение задач служит достижению всех тех целей, которые ставятся перед обучением математике.
Каждая конкретная учебная математическая задача предназначается для достижения чаще всего не одной, а нескольких педагогических, дидактических, учебных целей. И эти цели характеризуются как содержанием задачи, так и назначением, которое придает задаче учитель. Дидактические цели определяют роль задач в обучении математике. В зависимости от содержания задачи и дидактических целей ее применения из всех ролей, которые отводятся конкретной задаче, можно выделить ее ведущую роль.
Обучающая роль математических задач. Эту роль математические задачи выполняют при формировании у учащихся системы знаний, умений и навыков по математике и ее конкретным дисциплинам. Следует выделить несколько видов задач по их обучающей роли:
· задачи для усвоения математических понятий,
· задачи для овладения математической символикой,
· задачи для обучения доказательствам,
· задачи для формирования математических умений и навыков,
· задачи, предваряющие изучение новых математических фактов, создающие проблемную ситуацию.
Развивающая роль задач. Одно из основных назначений задач заключается в том, чтобы активизировать мыслительную деятельность учеников на уроке математические задачи должны, прежде всего, будить мысль учеников, заставлять ее работать, развиваться, совершенствоваться. Говоря об активизации мышления учеников, нельзя забывать, что при решении математических задач учащиеся не только выполняют построения, преобразования, запоминают формулировки, но и обучаются четкому мышлению, умению рассуждать, сопоставлять и противопоставлять факты, находить в них общее и различное, делать правильные умозаключения.
Перечислим виды задач, активизирующие и развивающие мышление учащихся:
задачи и упражнения, включающие элементы исследования,
задачи на доказательство,
задачи и упражнения на отыскание ошибок,
занимательные задачи,
отыскание различных вариантов решения и выбор лучшего из них,
составление задач учащимися.
Воспитательная роль задач заключается в формировании личностных качеств: силы воли, аккуратности и т.п.
Задача - это вопрос, требующий решения на основании определенных знаний и размышления.
Процесс решения задачи представляет собой поиск выхода из затруднения или пути обхода препятствия, - это процесс достижения цели, которая первоначально не кажется сразу доступной.
Задача предполагает необходимость сознательного поиска соответствующего средства для достижения ясно видимой, но непосредственно недоступной цели.
Найти решение задачи _ это значит установить связь между заранее дифференцированными объектами или идеями (объектами, которые у нас имеются, и объектами, которые нам требуется отыскать, данными и неизвестным, предпосылкой и заключением).
В работе выделяются задачи с дидактическими, познавательными и развивающими функциями. Задачи с дидактическими функциями (вводные, тренировочные) предназначаются преимущественно для облегчения введения или закрепления изучаемых теоретических сведений. Это задачи на непосредственное применение изучаемой теории, закрепление основных понятий и фактов. Задачи с познавательными функциями (теоретические, практические) содержат новую для учащихся учебную информацию. Они ориентированы на более глубокое усвоение основного материала школьного курса, в процессе их решения учащиеся знакомятся с новыми в познавательном отношении теоретическими сведениями: новыми понятиями, фактами, методами решения задач. К задачам с развивающими функциями относятся задачи, содержание которых несколько отходит от основного курса, посильно осложняет вопросы программы. Это задачи на сообразительность, развитие числовой и геометрической интуиции, пространственного представления и воображения, логического мышления. Часто одна и та же задача выполняет в обучении несколько функций одновременно.
Задачи являются и предметом, и средством обучения. Они способствуют достижению всех целей обучения: воспитательных, образовательных, развивающих. Возможны различные подходы к определению последовательности в изучении теоретического материала и решении задач:
а) изучается небольшой блок теоретического материала, затем решаются задачи, связанные с ним (традиционный подход);
б) ведется «опережающее» изучение теоретического материала, после изучения крупного блока теории решаются задачи сразу по всему материалу этого блока;
в) ведется «опережающее» решение задач (теоретический материал темы рассматривается вначале на ознакомительном уровне, теоремы пока не доказываются; после ознакомления с формулировками определений и теорем сразу переходят к решению задач; по мере приобретения навыков решения задач обращаются к изучению доказательств теорем теоретической части курса, причем многие из этих доказательств проводятся учащимися самостоятельно). Опыт учителей-новаторов показывает, что «крупноблочное» изучение теоретического материала позволяет решить проблему дефицита учебного времени, интенсифицировать учебный процесс, не перегружая учащихся [10,20].
Перейдем к рассмотрению классификаций задач. Сначала необходимо определить тот признак, по которому будем классифицировать.
По содержанию задачи делятся на практические (задачи с практическим содержанием) и математические. При решении практических задач используется метод математического моделирования, его суть в следующем:
а) переводим реальную ситуацию на математический язык и строим математическую модель;
б) работаем внутри математической модели и получаем результат;
в) переводим обратно на реальный язык или интерпретируем результат. При решении математической задачи используется только второй этап.
По требованию выделяют задачи на доказательство, на построение и на вычисление.
По характеру мыслительной деятельности различают стандартные и нестандартные задачи. К стандартным относятся задачи, которые имеют определенный алгоритм решения (алгоритмически разрешимые задачи). Задачи, не имеющие общего алгоритма решения, называются нестандартными. Нестандартные задачи имеют отчетливо выраженную развивающую функцию. Функции решаемой стандартной задачи зависят от того, какими теоретическими знаниями обладают учащиеся к моменту ее решения. Если учащимся известен алгоритм решения этой задачи, то ее можно считать шаблонной. Если к моменту решения стандартной задачи общий метод ее решения не известен, то такая задача является нешаблонной (при ее решении необходимо обнаружить общий метод решения или применить какой-либо искусственный прием). Нестандартные и нешаблонные задачи (вследствие общности их функции в обучении) можно объединить в одну группу - группу творческих задач.
По целям применения задач в учебном процессе выделяют задачи подготовительные, задачи на закрепление, на приобретение новых знаний, на развитие мышления.
В начальных классах ученики рассматривают и решают разнообразные задачи, большинство которых содержит числовые данные. Кроме того, учащиеся должны познакомится с решением задач, в которых значения одной - двух величин выражены буквами. Эти задачи подводят учеников к более широким обобщениям и служат вводным материалом к изучению алгебры. Сюжет некоторых решаемых в начальных классах задач построен на геометрическом материале, то есть в них идет речь о фигурах и протяженности. Большинство этих задач назвать геометрическими в полном смысле нельзя.
Таким образом, основное внимание обращается на рассмотрение задач с числовыми данными, при решении которых используют как арифметические, так и алгебраические методы. Среди математических задач различают задачи простые и составные.
К простым задачам относят те, которые можно решить одним действием. Задачи, которые составлены из нескольких простых и поэтому решаются с помощью двух и более действий, называют составными задачами.
К любой простой задаче можно составить две обратные задачи, то есть две такие задачи, у каждой из которых в тот же сюжет искомое число из прямой задачи включено в виде одного из данных, а в качестве искомого выступает число, известное из условия прямой задачи.
Кроме того, среди простых задач выделяются задачи, выраженные в косвенной форме.
В зависимости от тех понятий, которые рассматриваются в курсе математики начальных классов, простые задачи делят на три группы.
Первая группа включает простые задачи, при которых учащиеся усваивают конкретный смысл каждого из арифметических действий. 1) Нахождение суммы. 2) Нахождение остатка. 3) Нахождение суммы одинаковых слагаемых. 4) Деление на равные части; деление по содержанию.
Вторая группа включает простые задачи, при решении которых учащиеся усваивают связь между компонентами и результатами арифметических действий. Это простые задачи на нахождение неизвестного компонента.
Третья группа - простые задачи, при решении которых раскрываются понятия разности и кратного отношения.
Однако, рассматривая различные подходы к классификации простых задач, Л.В. Занков замечает, что ни одна классификация не позволяет установить последовательность, в какой следует рассматривать их при обучении детей решению задач. Это является существенным недостатком различных классификаций. Однако, зная принципы классификации простых задач, учитель с меньшей затратой труда и времени научит школьников правильно находить, каким действием решается та или иная задача [11,12].
Методика располагает достаточно обоснованными суждениями о значении и системе использования простых задач в начальных классах. Простые задачи нужны ученику для того, чтобы:
ознакомиться со структурой математической задачи;
выработать у ребенка сознательное отношение к выбору действия, которое нужно произвести для нахождения ответа на вопрос задачи; задачи помогают раскрыть смысл действий;
увидеть элементарные функциональные зависимости между величинами, входящими в условие, понять связь между компонентами действий;
связать различные математические упражнения с жизнью, что повышает у детей интерес к предмету, оживляет процесс овладения навыками;
работа с изменением текста простой задачи позволяет ученику овладеть более отвлеченными математическими понятиями, переходить к обобщениям и абстрагированию;
готовить ученика к пониманию решения разнообразных составных задач [15].
1.2. Обучение поиску решения задач
С чего начинать решение задачи? Движение вашей мысли, как заметил известный советский психолог П.Я. Гальперин, не должно быть «броуновским», т.е. беспорядочным. Главное - нужно сделать глубокий и всесторонний анализ задачи.
Решить математическую задачу _ это значит найти такую последовательность общих положений математики (определений, аксиом, теорем, правил, законов, формул), применяя которые к условиям задачи или к их следствиям (промежуточным результатам решения) получаем то, что требуется в задаче, _ ее ответ.
