2
или . В эти интервалы значения не входят.Ответ. , где .2. Решить неравенство:.Решение. Преобразуем левую часть равенства:Остается решить неравенство , т.е. . Полагая и построив график функции (рис.2) находим или . Отсюда .Ответ. .3. Решить неравенство:.Решение. Последовательно преобразуя левую часть неравенства, получимИтак, имеем неравенство или . Полагая , с помощью графика функции (рис.3),2
устанавливаем, что , откуда , т.е. , .Ответ. , [6].2.3. Особенности решения задач с параметрамиОбщеизвестно, что на вступительных экзаменах в вузы часто встречаются задачи, которым в «традиционном» школьном курсе в силу различных причин уделяется мало внимания.Одним из видов таких упражнений являются задачи, содержащие параметры. В школьных учебниках практически нет заданий на эту тему. Однако овладение методикой их решения мне кажется очень полезным: оно существенно повышает уровень логической подготовки учащихся, позволяет чуть по-новому, как бы изнутри взглянуть на такие «банальные» функциональные зависимости, подробно анализируемые школьной программой, как, к примеру, линейные и квадратные многочлены.Уравнения и неравенства с параметрами. В подобного рода задачах встречаются два вида символов: неизвестные или переменные (обычно обозначаются буквами x, y, z,…) и параметры (a,b,c,…). Конечно разница между ними весьма условна, в известной степени можно сказать, что параметр - это переменная, значение которой считается фиксированным, и каждое значение параметра определяет относительно заданного неизвестного соответствующее уравнение (неравенство, систему). Иными словами, уравнение с параметром является фактически семейством уравнений, рассматриваемых при фиксированном значении параметра.Введение параметра способствовало появлению качественно новых типов задач, вдохнуло, если так можно выразиться, новую жизнь в такие традиционные виды задач, как решение уравнений и неравенств.1. Решить уравнение:.Решение. Возводим обе части в квадрат (условие ):Еще раз возводим в квадрат (условие ). Получаем окончательное уравнение,среди решений, которого надо найти те, для которых Получившееся уравнение имеет четвертую степень относительно неизвестного , но зато является квадратным относительно параметра . Попробуем этим обстоятельством воспользоваться:Найдем дискриминант:Теперь левая часть уравнения раскладывается на множителиНаше уравнение распадается на два: и ,каждое из которых надо решить при условии, что Начнем с уравнения . Поскольку то из того, что , следует, что . Значит, нам достаточно найти лишь те решения, для которых ; тогда неравенство будет выполняться автоматически. Но сумма корней (если они есть) равна ; следовательно, уравнение может иметь лишь один неотрицательный корень при условии . Значит, при будет .Перейдем ко второму уравнению . Из этого уравнения . Левая часть неположительная, правая неотрицательная. Равенство возможно лишь, если .Ответ. Если , то ;если , то ;при остальных решений нет [21].2. При каких значениях параметра а уравнение имеет корни сумма которых равна нулю?Решение. Это уравнение - квадратное, его дискриминант.Сумма корней уравнения равна и по условию задачи она равна нулю, т.е. , что возможно при . Теперь необходимо осуществить контроль неотрицательности дискриминанта при этих значениях . При дискриминант положителен, тогда как при дискриминант оказывается отрицательным.Ответ. [3].3. При каких значениях параметра квадратное уравнение имеет корни одного знака?Решение. Так как по условию задачи рассматриваемое уравнение - квадратное, то (иначе формулировка задачи не имеет смысла). Очевидно, условие задачи предполагает также существование корней квадратного уравнения, что означает неотрицательность дискриминанта. Если , то квадратное уравнение имеет один корень (два равных корня).Так как по условию корни должны быть одинаковых знаков, то, т.е. .Решением последнего неравенства является.С учетом условий и получим .Ответ. [7].4. Для каждого неотрицательного значения параметра решить неравенство .Решение. Левая часть неравенства представляет собой многочлен как относительно , так и относительно параметра . Степени соответственно равны 4 и 3. Однако если умножить многочлен на , а затем сделать замену , то в новом многочлене максимальная степень параметра будет равна 2. Случай дает нам ответ . Будем теперь считать, что . Умножив обе части неравенства на и сделав замену , получим.Левая часть представляет собой квадратный трехчлен относительно :,.Раскрывая левую часть неравенства на множители, получим,или.Второй множитель положителен при всех , если . Приходим к неравенству , откуда, если , ; если , _ любое. Возвращаясь к , получим ответ.Ответ. Если , то ;если , то ;если , то _ любое [21].5. Найти все значения параметра , при которых существует единственное значение , при котором выполняется неравенство .Решение. Обозначим () и перейдем к основанию 5. Получим: .Функция от , расположенная в числителе, монотонно убывает. Нетрудно подобрать значение , при котором она обращается в нуль:.Если , то решением неравенства относительно будет , а следовательно, исходное неравенство не может иметь единственного решения. (Неравенство при любом имеет бесконечно много решений.)Значит, и решением относительно будет . Возвращаясь к , будем иметь . Для того чтобы существовало единственное значение , удовлетворяющее последним неравенствам, необходимо и достаточно, чтобы наименьшее значение квадратного трехчлена равнялось бы 4, т.е. .Ответ. [5].6. Найти все значения , при каждом из которых множество решений неравенства не содержит ни одного решения неравенства .Решение. Нам надо найти все , такие, что при всех имеет место неравенство . Решение последнего неравенства при данном относительно состоит из двух лучей, исключается внутренняя часть отрезка с концами и (какой из них левый, а какой правый_неважно). Но если меняется от _1 до 1, то меняется от 0 до 1, а меняется от 1 до 3. Теперь понятно, что не может принимать значения от 0 до 3, а при всех или заданное условие выполняется.Ответ. [22].Графические методы решения задач с параметрами. Задачи с параметрами требуют к себе своеобразного подхода по сравнению с остальными - здесь необходимо грамотное и тщательное исследование. Для применения графических методов требуется умение выполнять построение различных графиков, вести графическое исследование, соответствующее данным значениям параметра.1. При каких значениях параметра уравнение имеет ровно 2 решения?Решение. Рассмотрим функцию .Графиком такой функции является ломанная из трех звеньев. Найдем точки излома:1) ;2) .Так как ; , то и _ точки излома. Заметим, что , если и имеет минимум в одной из точек или .С геометрической точки зрения количество решений уравнения _ это количество точек пересечения при каждом фиксированном значении параметра _ ломанной, состоящей из трех звеньев, и прямой .2
По рис. 4 видно, что уравнение имеет ровно 2 решения, если значение в точке минимума меньше 27. Причем значение в другой из точек излома несущественно. Значит необходимо выполнение одного из двух неравенств: или .Так как , то первое неравенство равносильно неравенству . А поскольку , то второе неравенство равносильно неравенству.Объединением полученных интервалов будет интервал .Ответ. Уравнение имеет два решения при [7].2. При любом значении параметра решить неравенство.Решение. Рассмотрим плоскость и изобразим на ней множество точек, координаты которых удовлетворяют неравенству рис.5. Сначала изобразим область, для точек которой имеет смысл . Это будет полуплоскость (правее и ниже прямой ), из которой удалены части прямых . Вне полосы, ограниченной прямыми и , будет , и, следовательно, после потенцирования неравенства получим .Последнему неравенству соответствует область под параболой (при этом ).Внутри полосы будет . На рисунке 5 область , для точек которой , заштрихована. (Заметим, что парабола касается прямой ) Теперь ось точками разбита на шесть участков, на каждом из которых легко выписывается решение нашего неравенства. Для этого берем на соответствующем участке, проводим горизонтальную прямую, находим значения , соответствующие концам отрезков этой прямой, попавших в заштрихованную зону.2
Например, если , то получаем два отрезка, концы первого: и (меньший корень уравнения ), второго: и .Ответ. Если , , решений нет;если , то ;если , то и ;если , то и ;если , то и ;если , то ;если , то и [4].2.4. Педагогический эксперимент и анализ результатовС целью практического обоснования выводов, полученных в ходе наблюдения за деятельностью учащихся 10 «А» и 10 «Б» классов был проведен частичный психолого-педагогический эксперимент в МОУ СОШ №3 г. Ставрополя.Работа предусматривала несколько этапов. На первом этапе проводился констатирующий эксперимент, направленный на выяснение уровня сформированности методов научного познания у учащихся.На следующем этапе была проведена серия экспериментальных занятий, направленных на формирование у учащихся основ методов научного познания.Заключительный этап исследования проводился теми же методами, что и первый. Затем следовало подведение итогов опытно-экспериментальной работы. Рассмотрим подробнее каждый из этапов.2.4.1. Констатирующий этап экспериментаВ опытно-экспериментальной работе участвовали два класса 10 «А» _ контрольный класс, 10 «Б» _ экспериментальный класс. В контрольном классе участвовало 18 человек и в контрольном такое же число, таким образом, участвовало 36 человек.В рамках данного этапа были использованы следующие методы:* невключенные наблюдения;* тестирование;* метод математической и статистической обработки данных.На данном этапе эксперимента были опробирваны задания. Цель их состояла в выявлении уровня общей сформированности методов научного познания. На этом этапе принимало участие два класса.Ход эксперимента1. На какие числа без остатка делятся данные числа 237237, 312312, 568568, 749749?а) 7, 11, 13, 1001б) 5, 11, 17, 101в) 3, 9, 17, 10012. Три синих попугая капитана Флинта съедают 3 кг корма за три дня, пять зеленых попугаев - 5 кг корма за 5 дней, а семь оранжевых - 7 кг корма за 7 дней. Какие попугаи самые прожорливые?а) синиеб) зеленыев) оранжевыег) все одинаковыд) невозможно определить3. Выражение 1 + 2 - 3 - 4 + 5 + 6 - 7 - 8 + … _ 60 равноа) - 60б) - 30в) 0г) 36д) 604. Известно, что Число x увеличили в 3 раза. Во сколько раз увеличилось z?а) 3б) в) г) 18д) 275. Напротив клетки попугая висят часы. Он беспрерывно говорит по-испански, когда угол между стрелками часов острый, по-португальски, когда этот угол тупой, и молчит лишь тогда, когда этот угол прямой. Что он делал дольше в течение суток?а) говорил по-испанскиб) говорил по-португальскив) молчалг) ответ зависит от момента начала наблюденияд) по-испански он говорил столько же, сколько по-португальскиПроанализировав работы, мы получили диаграмму.1 - полностью верно2 - частично верно3 - неверно4 - не приступили к выполнению заданияКак видно из диаграммы на данном этапе работы нет существенных отличий экспериментального и контрольного классов. По полученным данным можно судить, что сформированность методов научного познания находится на уровне ближе к среднему.2.4.2. Поисковый этап исследованияНа данном этапе осуществлялся подбор заданий для работы с учащимися для получения результатов исследования.С этой целью была проанализирована научная литература по проблеме исследования, отобраны, систематизированы и дополнены задания, упражнения, игры, которые бы помогли освоить методы научного познания учащимся.2.4.3. Формирующий этап экспериментаЭксперимент длился с января по март 2004 года. В течение этого времени экспериментальный класс в ходе учебно-воспитательного процесса получал дополнительные задания на уроках математики.Цель этого этапа заключалась в проверке эффективности подобранной системы заданий в реальной практике.Второй срез был проведен в конце формирующего этапа эксперимента. Целью этого среза было выявление уровня эффективности проводимой опытно-экспериментальной работы. Предложенные задания были повышенной трудности по сравнению с первым срезом.Ход эксперимента1. Уравнение не может иметьа) 3 положительных решенияб) 1 положительное и 2 отрицательных решенияв) 1 положительное решение и 0 отрицательныхг) 1 положительное и 1 отрицательное решение2. Автомат делит четное число пополам, а нечетное увеличивает на 5. Известно, что за 3 шага автомат получил из нечетного числа n число 35. Какова сумма цифр числа n?а) 8б) 9в) 10г) 12д) 153. Когда идет дождь, кошка сидит в комнате или в подвале. Когда кошка в комнате, мышка сидит в норке, а сыр лежит в холодильнике. Если сыр на столе, а кошка - в подвале, то мышка - в комнате. Сейчас идет дождь, а сыр лежит на столе. Тогда обязательноа) кошка в комнатеб) кошка в норкев) кошка в комнате или мышка в норкег) кошка в подвале, а мышка в комнатед) такая ситуация невозможна4. График функции представлен на рисунке2
Тогда c равно:а) 0б) 1в) 0,5г) - 15. Отношение углов треугольника равно 1 : 5 : 6. Длина наибольшей стороны - 6 см. Какова длина высоты, опущенной на наибольшую сторону?а) 1 смб) 1,5 смв) 2 смг) 2,5 смд) 3 смПосле анализа работ были получены следующие показатели, которые отображены в диаграмме.1 - полностью верно2 - частично верно3 - неверно4 - не приступили к выполнению заданияИз диаграммы видно, что в экспериментальном классе значительно больше учащихся полностью верно выполняют предложенные задания, нет учащихся, которые бы вообще не приступали к выполнению заданий. Результаты каждого класса позволяют сделать вывод, что уровень знаний увеличился в рамках собственного класса.Из анализа результата можно сказать, что гипотеза подтвердилась, решение задач повышенной трудности будет способствовать развитию всех познавательных процессов школьников, а также математической интуиции и творческого подхода к решению самых разнообразных задач.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Решение задачи крайне сложный процесс, при описании которого невозможно исчерпать все многообразие его сторон. Дать учащимся правила, позволяющие решить любую нестандартную задачу, невозможно, ибо нестандартные задачи в какой-то степени неповторимы, а универсального метода, позволяющего решить любую задачу, к сожалению, нет. Даже строгое выполнение всех указаний и следование советам учителя не сможет творческий процесс отыскания решений нестандартных задач уложить в определенные схемы.
Задачи повышенной трудности служат переходным мостом от классной работы к внеклассной, служат хорошим материалом для выявления наиболее способных к математике учащихся, для дополнительных заданий, как в школе, так и дома.
Последовательное осуществление органической связи между повседневной учебной работой на уроках и внеклассной работой с помощью задач повышенной трудности позволит учителю добиться больших успехов в развитии математических способностей отдельных учащихся и всего класса в целом.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Алексеев В., Бородин П., Галкин В., Панферов В., Сергеев И., Тарасов В. Разные стандартные и нестандартные задачи // Математика, 2002. _ №36. - С. 24-27.
2. Генкин Г.З., Глейзер Л.П. Преподавание в классе с углубленным изучением математики // Математика в школе, 1991. _ №1. - С. 20-22.
3. Евсеева А.И. Уравнения с параметрами // Математика, 1998. _ №2. - С. 10-14.
4. Епифанова Т.Н. Графические методы решения задач с параметрами // Математика, 1998. _ №2. - С. 17-23.
5. Ефремов В.П., Ефремова Л.И. Нестандартные задачи на уроках и после // Математика, 2003. _ №7. - С. 56-58.
6. Задачи письменного экзамена по математике за курс ср. школы: условия и решения. Вып I / Д.И.Аверьянов и др. - М.: «Школа - Пресс», 1993. - 128 с.
7. Задачи повышенной трудности по алгебре и началам анализа: Учеб.пособие для 10-11 классов сред.шк. / Б.М.Ивлев и др. - М.: Просвещение, 1993. - 46 с.
8. Кожухова С.А., Кожухов С.К. Свойства функций в задачах с параметром // Математика, 1998. _ №2. - С. 14-17.
9. Кордемский Б.А. Очерки о математических задачах на смекалку. Пособие для учителей. - М.: Учпедгиз, 1958. - 116 с.
10. Кострикина Н.П. Задачи повышенной трудности в курсе алгебры 7-9 классов: Кн. для учителя. - М.: Просвещение, 1991. - 237 с.
11. Кучугурова Н.Д. Интенсивный курс методики преподавания математики: Учебное пособие. - Ставрополь: Изд-во СГУ, 2001. - 231 с.
12. Методика преподавания математики в средней школе / Общая методика / Сост. Р.С. Черкасов, А.А. Столяр. - М.: Просвещение, 1985. - 336 с.
13. Методическое пособие по математике для поступающих в вузы №1 / Под ред. А.А. Тырымова. - Волгоград: Изд. «Учитель», 1997. - 80 с.
14. Методическое пособие по математике для поступающих в вузы №3 / Под ред. А.А. Тырымова. - Волгоград: Изд. «Учитель», 1997. - 55 с.
15. Рогановский Н.М. Методика преподавания математики в средней школе. - Минск: Высшая школа, 1990. - 267 с.
16. Руководство к решению задач по математике: Справ. пособ. для поступающих в вузы / В.А. Протасеня, Л.А. Залетаева, Г.Т. Пушкина-Варчук, Т.Н. Чуракова; Под общ. ред. В.А. Протасени. - Минск: Высш. шк., 1991. - 350 с.
17. Сборник задач по математике для поступающих в вузы. В 2-х кн. Кн.1. Алгебра: Учеб.пособие / В.К.Егорьев, В.В.Зайцев, Б.А. Кордемский и др.; под ред. М.И.Сканави. - М.: Высшая школа, 1998. - 528 с.
18. Столяр А.А. Педагогика математики: Учебное пособие для физико-математических факультетов пед. ин-ов. - Минск.: Высшая школа, 1986. - 414 с.
19. Фридман Л.М. Теоретические основы методики обучения математике: Пособие для учителей, методистов и педагогических высших учебных заведений. - М.: Флинта, 1998. - 224 с.
20. Фридман Л.М., Турецкий Е.Н. Как научиться решать задачи: Кн. для учащихся ст. классов сред. шк. - М.: Просвещение, 1989. - 191 с.
21. Шарыгин И.Ф., Голубев В.И. Факультативный курс по математике: Решение задач: Учеб.пособие для 10 кл. ср. шк. - М.: Просвещение, 1989. - 350 с.
22. Шарыгин И.Ф., Голубев В.И. Факультативный курс по математике: Решение задач: Учеб.пособие для 11 кл. ср. шк. - М.: Просвещение, 1991. - 383 с.