Факультативные занятия содействуют профессиональной ориентации учащихся в области математики и ее приложений, облегчая тем самым выбор специальности и дальнейшее совершенствование в ней.
Различия в деятельности факультативных занятий и математических классов с тем, что первые не требуют перестройки системы обучения математике. Они работают на базе общего курса математики. Организация факультативных занятий значительно проще, чем математического класса. Поэтому факультативные занятия - более массовая форма повышенной математической подготовки школьников.
Факультативные занятия играют большую роль в совершенствовании школьного, в том числе математического, образования. Они позволяют производить поиск и экспериментальную проверку нового содержания, новых методов обучения.
В какой бы форме, и какими бы методами не проводились факультативные занятия по математике, они должны строиться так, чтобы быть для учащихся интересными, увлекательными, а подчас занимательными. Необходимо использовать естественную любознательность школьника для формирования устойчивого интереса к своему предмету.
Основными формами проведения факультативных занятий по математике являются в настоящее время изложения узловых вопросов данного факультативного курса лекционным методом, семинары, собеседования (дискуссии), решение задач, рефераты учащихся как по теоретическим, так и по решению цикла задач, математические сочинения, доклады учащихся и т.д.
Одной из важных форм ведения факультативных занятий по математике является разделение каждого занятия на две части. Первая часть посвящается изучению нового материала в самостоятельной работе учащихся по заданиям теоретического и практического характера. По окончании этой части занятия учащимся предлагается домашнее задание по изучению теории и ее приложений. Вторая часть каждого занятия посвящена решению задач повышенной трудности и обсуждению решений особенно трудных или интересных задач. Эта форма проведения факультативных занятий может способствовать успешному переходу от форм и методов обучения в школе к формам и методам обучения в высших учебных заведениях.
Естественно также при проведении факультативных занятий в основном использовать методы изучения (а не обучения) математики, а также проблемную форму обучения.
При выборе методов и приемов обучения на факультативных занятиях необходимо учитывать содержание факультативного курса, уровень развития и подготовленности учащихся, их интерес к тем или иным разделам программы. Одно из главнейших требований к методам состоит в активизации мышления учащихся, развитие самостоятельности в различных формах ее проявления.
Как и в работе с математическими классами, на факультативах могут использоваться разнообразные формы и методы проведения занятий: лекции, практические работы, обсуждение заданий по дополнительной литературе, экскурсии и т.п. Рассмотрим некоторые из них.
Часть материала может быть изложена лекционно, особенно при синтезе и обобщении. Цель учителя показать - как проводить подобную организацию материала: некоторые детали доказательств можно опустить, из определений привести только самые главные, но конкретные методы решения задач изложить в таком виде, чтоб ясно прослеживался путь решения. Такие лекции полезно проводить по материалу, в котором уделяется большое внимание отработки навыков.
Иной тип лекций используется, когда целью служит не систематизация навыков, а общее развитие школьников, например, в отношении понимания прикладной роли математики. Здесь важно выделить не методы решения отдельных типов задач, а идеи, служащие основой для них, или же сами методы, но в обобщенной форме. В таких лекциях большое место занимает история, примеры из современной жизни и производства.
При проведении лекции возможны беседы с учениками, обсуждение возникающих по ходу рассказа вопросов, постановка задач и др.
Последняя форма работы - подготовка учениками рефератов, выполнение таких заданий важно, прежде всего, в отношении развития навыков самообразования, удовлетворение индивидуальных интересов учеников. Одновременно индивидуальное задание должно иметь ценность для всех участников факультативной группы. Следует стремиться к тому, чтобы подготовительные доклады заслушивались и обсуждались. К подготовке доклада можно привлечь несколько ребят, заранее изучивших его. Они могут выполнять роль ассистентов лектора или его оппонентов.
Очень большое значение для успешности усвоения материала подбор задач. Вводные задачи на факультативных занятиях преследуют цель включения учащихся в самостоятельную творческую работу; подчас учитель может намеренно привести задачу, способную поставить учеников в тупик.
Следует предусмотреть также в нужных местах изложения проблемные задачи, циклы для самостоятельного решения, задачи для закрепления и формирования навыков, исследовательские задачи.
Время выделенное программой для решения задач повышенной трудности, можно распределить в течении всего учебного года. Более сложные задачи можно рассмотреть на заключительных занятиях по темам. На этих же занятиях целесообразно ознакомить школьников с программами вступительных экзаменов и особенностям обучения в вузах.
Остановимся вкратце на использовании наглядных и технических средств обучения на факультативных занятиях. Оно во многих случаях позволяет активизировать познавательную деятельность, не говоря о том, что некоторые виды технических средств обладают исключительно большими возможностями наглядного показа материала обучения.
Олимпиада одна из основных форм организации внеклассной работы по математике. Термин «олимпиада» проявился давно, хотелось бы вспомнить об истории отечественной математической олимпиады. Сначала о ней говорили в единственном числе, поскольку она организовывалась в отдельных крупных городах благодаря энтузиазму математиков - ученых и учителей, студентов и аспирантов. Кажется, именно математики первыми заговорили о подготовке математической молодежи. А все другие предметные олимпиады возникли уже вслед за математическими.
К концу ХХ в. олимпиада превратилась в целое общественное движение со сложной иерархической организацией. Это движение берет начало в школах, проходит районный, городской, региональный этапы, общероссийский этап и завершается на международном уровне.
К середине 30-х годов многие советские ученые-математики пришли к мысли о необходимости сотрудничества со школой в деле подготовки математической смены. Будущего математика необходимо воспитывать с детства, и чем раньше - тем лучше. Никого не удивляет, что подготовка будущих балерины или музыканта начинается чаще всего в раннем детстве с 6-8 - летнего возраста. Объясняется это тем, что успешное овладение тонкостями балетного искусства или музыки в юношеском возрасте невозможно без специализированной подготовки в детстве, обеспечивающей развитие слуха и чувства ритма, гибкость суставов или подвижность пальцев и т.д. И каждый год, упущенный в детстве, впоследствии удается возместить лишь многими годами упорной работы.
Не следует думать, что в науке, и особенно в математике, дело обстоит как-либо иначе. Разумеется, подготовку будущего математика вовсе не обязательно (хотя вполне возможно) начинать с 6-8 - летнего возраста. Однако перекладывать эту работу целиком на Университет тоже нецелесообразно. Здесь, так же как в балетном искусстве или музыке, годы, упущенные в детстве, трудно компенсировать впоследствии. Дело в том, что работа в области математики требует известной гибкости ума, умение абстрактно мыслить, требует определенной логической культуры, отсутствие которых к моменту поступления в Университет невозможно компенсировать даже упорной работой в студенческие годы. Разумеется, все эти данные (в совокупности составляющие то, что обычно называют «математическими способностями») могут развиваться у подростка в период обучения в общеобразовательной школе без какой бы то ни было специализированной подготовки. Это - стихийный процесс появления математических самородков, конечно имевшие место во все времена и во всех странах. Например, известнейших индийский математик С. Рамануджан (1887-1920) воспитывался в атмосфере враждебности ко всему европейскому (и особенно английскому) и не получил в детстве, по существу, никакого математического образования.
Однако в 30-е годы стало ясно, что этот процесс стихийного формирования ученых не может удовлетворять все возрастающие потребности страны в квалифицированных математиках. Правда, всеобщее среднее образование позволяет надеяться на то, что одаренные, способные дети будут замечены школьным учителем, поддержка которого создаст стимулы для углубленной дополнительной работы. Однако эти надежды не всегда оправдываются. Ведь круглые «пятерки» по всем математическим предметам - весьма маловыразительный критерий, в котором отражается не только (а иногда и не столько!) математические способности, но и внимательность, аккуратность в работе, прилежание и даже хороший почерк. Напротив, скромные оценки по математическим предметам далеко не всегда свидетельствуют о математической не одаренности. Достаточно упомянуть о том, что видный советский математик, лауреат Ленинской премии, профессор М.М. Постников (да не обидится он на нас за разглашение этого секрета!) в школьные годы не входил в числе первых математиков школы; в его дневнике, бывало, проглядывали и «двойки» по математическим дисциплинам. Но даже в тех случаях, когда учитель правильно подмечает математическую «искру» в своем ученике, он не всегда может помочь ему в подборе дополнительных задач и дополнительной литературы, помочь раздуть эту искру в большой огонь, освещающий дорогу в будущее.
Между тем математические дарования, подобно музыкальным, проявляются обычно довольно рано. Более того, при правильном развитии ученого-математика наиболее крупные открытия зачастую делаются в весьма молодом возрасте. Так, например, убитый на дуэли в возрасте 20 лет французский математик Эварист Галуа (1811-1832) успел за свою короткую жизнь создать замечательную по глубине алгебраическую теорию, произведшую целый переворот в последующем развитии математики. Девятнадцатилетний К.Ф. Гаусс (1777-1855) успел опубликовать свои классические исследования о построениях циркулем и линейкой, а через несколько лет подарил миру книгу «Disquisitiones arithmeticae», равных которой можно немного указать в истории математической науки! Закон двойственности, прославивший замечательного советского математика, академика Л.С. Понтрягина, был найден им еще в студенческие годы.
Эти обстоятельства делают необходимым участие ученых-математиков в работе со школьниками. Инициаторами такой работы выступили в Ленинграде член-корреспондент АН СССР, профессор Б.Н. Делоне и профессор В.А. Тартаковский, а в Москве член-корреспондент АН СССР, профессор Л.Г. Шнирельман и профессор (ныне член-корреспондент АН СССР) Л.А. Люстерник. Весной 1934 г. в Ленинграде была проведена первая в Советском Союзе школьная математическая олимпиада. Одновременно по инициативе Л.А. Люстерника начала выходить серия математических книг, переназначенных специально для школьников («Популярная библиотека по математике»). С осени 1934 г. в Москве, в Институте математики АН СССР, начали регулярно читаться лекции по математике для учащихся старших классов. Но, не смотря на то, что к чтению лекций привлекались крупнейшие советские математики, посещались эти лекции довольно слабо - достаточно эффективные формы работы со школьниками не были еще найдены!
В этих условиях Правление Московского Математического Общества подхватило инициативу ленинградцев и приняло решение о проведении I Московской школьной математической олимпиады. К этому мероприятию математики отнеслись с большим воодушевлением. Достаточно сказать, что почти все профессора-математики МГУ вошли в оргкомитет олимпиады (А.Н. Колмогоров, Л.А. Люстерник, Л.Г. Шнирельман, В.Ф. Каган, С.Л. Соболев, С.А. Яновская и др.); председателем оргкомитета был президент Московского Математического Общества, член-корреспондент АН СССР (ныне академик) П.С. Александров.
В олимпиаде приняли участие 314 школьников, что считалось тогда большим успехом. Во втором, заключительном туре олимпиады приняли участие 120человек, из которых трое (Игорь Зверев, Коля Коробов и Аня Мышкис) получили первые премии и пятеро - вторые премии. В качестве премий победителям были вручены небольшие математические библиотечки. Кроме того, 44 школьника получили похвальные отзывы.
В 1934 году Ленинградским университетом по инициативе группы преподавателей (профессора Б. Н. Делоне, профессора Г. М. Фихтенгольц и др.) была проведена первая в нашей стране математическая олимпиада школьников. Этот почин был подхвачен математическими коллективами многих других городов. Уже в следующем (1935 г) году математическая олимпиада была проведена в Москве. Математические олимпиады и в отдельных классах. В последнее время проводятся областные, краевые, республиканские и всесоюзные математические олимпиады.
Говоря об олимпиаде, следует отметить, что до сих пор эта форма внеклассной работы с учащимися является своеобразным итогом проделанной работы (чаще всего кружковой). Олимпиада - соревнование, которое, несомненно, стимулирует рост учащихся в смысле математического образования, воспитывает у них математическое мышление, интерес к математике, настойчивость - желание не отступать от тех, которые успешно справляются с олимпиадным заданием; часто именно участие в олимпиаде и подготовка к ней побуждает учащихся к самостоятельной работе, вырабатывает умение работать с научно-популярной литературой и т.д.
Математические олимпиады проводятся на различных уровнях: школьные, районные, городские, областные, республиканские, общесоюзные и международные. В проведении областных и республиканских олимпиад активно участвуют педагогические институты и университеты; общесоюзная олимпиада проводится под эгидой Московского государственного университета им. М. В. Ломоносова.
Олимпиады также оказывают положительное влияние и на общий уровень преподавания математики, во многом позволяют выявить качество математических знаний учащихся и, кроме того, в какой-то степени ориентируют учителя, характеризуя уровень той математической подготовки, которая считается высокой. Однако следует обратить внимание на то не мало важное обстоятельство, что олимпиады не являются серьезным источником новой, интересующих учащихся информации и потому не могут считаться основной формой углубленной математической подготовки молодежи.
Для руководства всей подготовительной работой внутришкольных олимпиад нужно уже в начале учебного года выделить оргкомитет. В состав его входят обычно два-три учителя математики и несколько учеников - представителей математических кружков.
Оргкомитет проявляет инициативу в организации математического вечера, лекций и других внеклассных мероприятий внутри школы, отбирает задачи для олимпиады и для подготовки к ней, отбирает победителей олимпиады и т.д.
Отбор задач для олимпиады необходимо начать заблаговременно, задолго до олимпиады, проводить его с учетом того, какие задачи предложены учащимся для подготовке к олимпиаде. Всей этой работой ведает специально выделенный член оргкомитета (учитель). К отбору задач к олимпиаде привлекаются также другие учителя математики.
Задачи, предлагаемые на олимпиаде, не требуют знаний, выходящих за рамки школьной программы. Обычно это задачи, требующие для своего решения проявление смекалки, самостоятельной мысли, хорошего пространственного воображения, известных навыков к логическому мышлению, а также твердого и неформального знания основных понятий и методов школьного курса математики. Задачи с громоздкими решениями, чисто тренировочные, требующие лишь формального применения теорем и формул, обычно не включаются в олимпиадные задания.
Математические экскурсии - исключительно интересная, но сравнительно редко применяемая форма внеурочных занятий. Не следует думать, что они сводятся только к геодезическим работам на местности. Во время экскурсии ученик видит, где на практике встречаются и применяются различные геометрические фигуры, изученные им в школе, знакомится с применениями математики в различных областях народного хозяйства. На экскурсии ученик видит немало случаев, когда приходится использовать известные ему формулы для вычисления тех или иных геометрических величин (длин, площадей, объемов). Хорошо поставленные экскурсии укрепят уверенность учащегося в том, что с математикой действительно сталкиваешься на каждом шагу, что «математика всюду», что она действительно необходима человечеству. У учащихся значительно повышается интерес к этому предмету. Хорошо подготовленные экскурсии приводят к лучшему пониманию учащимися отдельных вопросов курса математики.
Полезной формой внеклассной работы является также стенная математическая печать. Важно, чтобы она была действительной, т.е. содержащиеся в ней материалы использовались активно. Хорошо, когда часть материалов в газете представляет учебный интерес для всего класса; другая часть основывается на недавно пройденном в классе материале, углубляя его в определенном отношении, и, наконец, имеются занимательные задачи и задачи повышенной трудности, по которым систематически проводятся конкурсы решений.
Важное место во внеклассной работе по математике может занять изготовление учащимися различных моделей и наглядных пособий. Этот вид работы имеет большое воспитательное значение, кроме того, в процессе изготовления этих пособий учащиеся могут связать изучение математики с выработкой трудовых навыков. Желательно, чтобы подготовительные модели и пособия использовались в учебном процессе.
Для выпуска математической стенгазеты не обязательно наличие математического кружка. Иногда математическая стенгазета выпускается в период организации кружка, когда нужно привлечь внимание учащихся по кружку. Специальный номер математической стенгазеты выпускается к школьному математическому вечеру.
Однако мы будем ориентироваться на тот наиболее важный и наиболее реальный случай, когда газета выходит как орган кружка. Основная цель такой газеты - пропаганда математических знаний среди учащихся, не состоящих в кружке, повышение их интереса к математике, привлечение их к кружку, освещение опыта работы кружка. Известную часть газеты занимают материалы, которые не рассматриваются на заседаниях кружка. Газета как бы дополняет кружковые занятия.
Школьникам, выпускающим газету, эта работа приносит большую пользу, так как приходится подбирать материалы для газеты, а для этого они знакомятся с различными книгами, выбирают из них нужный материал, отделяют самое главное, литературно обрабатывают отобранное. Все это благотворно сказывается на расширении математического кругозора учащихся, на их речи и грамотности.
Содержание стенгазеты должно быть разнообразным, в противном случае она очень скоро надоест учащимся.
Каждый номер стенной газеты должен состоять из передовой статьи, посвященной какой-нибудь определенной теме или событию, ряда небольших заметок и конкурсных задач.
Если номер приурочен к юбилейной дате ученого-математика, то предложенные задачи и заметки должны быть по возможности связаны с именем этого ученого.
В коротких заметках обычно сообщают о новом в науке и технике, о результатах конкурсов и олимпиад. Полезно помещать решение отдельных задач с обязательным указанием фамилий учеников, решивших эти задачи. Конкурсные задачи должны быть разной степени трудности. Легкие задачи нужны для того, чтобы заинтересовать более равнодушных и заставить поверить в свои силы более слабых.
