№ 247. График функции y = f(x) пересекает оси координат в точках А, В и С. Найдите неизвестную координату каждой из этих точек, если:
а) ; А(0; ...), В(...; 0), С(...; 0);
б) ; А(0; ...), В(...; 0), С(...; 0);
в) ; А(0; ...), В(...; 0), С(...; 0);
г) ; А(0; ...), В(...; 0), С(...; 0);
Указание. Не следует ограничиваться формальными вычислениями; полезна будет геометрическая интерпретация. Учащиеся должны понять, что буквой А обозначена точка пересечения графика с осью у, а буквами В и С - точки пересечения с осью х. В качестве дополнительного задания можно предложить показать положение этих точек в координатной плоскости и схематически изобразить параболу (в случаях а), в) и г)).
№ 254. Постройте график функции:
а) ;
б) ;
в);
г).
Указание. В правой части каждого уравнения записано произведение двух линейных множителей; иными словами, правая часть - это квадратный трехчлен, разложенный на множители. Поэтому графиком каждой из заданных функций является парабола.
Очевидно, что для построения графиков нецелесообразно переходить к уравнению вида и вычислять координаты вершины по формулам. Проще отметить точки пресечения параболы с осью х и найти абсциссу вершины как середину отрезка с концами в этих точках. Направление ветвей параболы легко уточнить, определив (устно) знак коэффициента при х2.
№ 267. (Задача-исследование.) Исследуйте, как влияет на график изменение одного из коэффициентов a, b и с в уравнении параболы. Для этого:
1) в одной системе координат начертите параболы для с = 0; 1; 2; 4 и с = -1; -2; -4;
2) в одной системе координат начертите параболы для b = 0; 1; 4; 5 и b = -1; -4; -5;
3) в одной системе координат начертите параболы для а = ; 1; 2; 3.
Указание: Задача интересна, но достаточно трудоёмка. Её можно разбить на три самостоятельные задачи и предложить их разным учащимся. Результаты можно будет обсудить в группах, в которые войдут ученики, выполнявшие одно и то же задание, а затем, после уточнения выводов, познакомить с ними остальных.
В результате изучения этого материала учащиеся получают удобный способ нахождения координат вершины параболы: их можно вычислять по формулам. Эту формулу учащиеся должны выучить наизусть. В то же время, формулу для вычисления ординаты вершины помнить не обязательно, ее можно найти, подставив значение известной абсциссы в уравнение параболы.
На этом рассмотрение функциональной линии в основной школе по учебникам математики [36], [35], [34] заканчивается.
В этих учебниках функциональная линия не является ведущей. Понятие функции вводится лишь в 8 классе. Для определения понятия «функция» используется генетический подход, и его введение осуществляется конкретно-индуктивным путём. Исследование конкретных функций происходит графически.
Но надо заметить, что в конце каждой главы этих учебников содержится пункты «Для тех, кому интересно», в некоторых из них содержится материал, касающийся функциональной линии. Здесь рассмотрены такие темы:
Ш Геометрическая интерпретация неравенств с двумя переменными.
Ш Целая и дробная части числа.
Ш Применение свойств квадратичной функции при решении задач.
Ш Графики уравнений, содержащих модули.
Ш График дробно-линейной функции.
2.5. Опытное преподавание.
Перед тем, как проводить опытное преподавание, я изучила соответствующую математическую и методическую литературу. После чего были разработаны и проведены факультативные занятия по теме «Графики функций, аналитическое выражение которых содержит знак абсолютной величины».
Опытное преподавание осуществлялось в 2003 году в школе № 2 п. Красная Поляна Вятско-Полянского района.
Мною было проведено три факультативных занятия в 9 классе:
1) График функции .
2) График функции .
3) График функции .
Подробное описание этих факультативов содержится в приложении 2.
Цель данного факультативного курса - подготовка учащихся к конкурсным экзаменам по математике в учебные заведения, продолжение образования, повышение уровня математической культуры.
Факультатив строится как углублённое изучение вопросов, предусмотренных программой основного курса. Углубление реализуется на базе обучения методам и приёмам решения математических задач, требующих применения логической и операционной культуры, развивающих научно-теоретическое и алгоритмическое мышление учащихся.
Тематика задач не выходит за рамки основного курса, но уровень их повышенный, существенно превышающий обязательный.
Данные факультативы составлены для, проведения 1 час в неделю, в 9 классе, после того, как изучены линейная функция, обратная пропорциональность квадратичная функция, функция, содержащая знак абсолютной величины. Эти факультативы можно проводить и в 8 классе, после изучения линейной функции (убрать из примеров обратную пропорциональность и квадратичную функцию), затем вернутся к этой теме после изучения обратной пропорциональности и в 9 классе после изучения квадратичной функции, то есть осуществлять концентрическое изучение данной темы.
Занятия проводились для учащихся, интересующихся математикой, желающих получить новые знания по математике. Хотелось бы заметить, что было нелегко организовать учеников на посещение факультативов, поскольку факультативные занятия в школе не проводились. Кроме того, учащиеся сильно загружены учебой, что тоже сыграло отрицательную роль.
Данная тема давалась учащимся непросто, возникала путаница с построение функций вида и . Но, несмотря на это данный факультативный курс вызвал интерес у учащихся.
Заключение
Место изучения функциональной линии в учебниках по алгебре 7-9 классов различно. В рассмотренных в данной работе учебниках функциональная линия не является ведущей, за исключением учебного комплекта А.Г. Мордковича. В нём этой линии отводится ведущее место. Введение понятия «функция» во всех учебниках осуществляется конкретно-индуктивным путем, при использовании генетического подхода. Для исследования конкретных функций в большинстве учебников применяется комбинированный метод.
В учебном комплекте [36], [35], [34] теоретический материал изложен достаточно интересно, содержится много фактов из истории математики. Но в этих учебниках содержится много сведений, которые приведены без доказательств, хотя есть и много задач на доказательство.
Хотелось бы отметить, что в этих учебниках формулировки задач интересны, разнообразны и в них прослеживается практическая направленность и связь с другими науками (например, физикой и геометрией). Много внимания уделено вычислительной культуре учащихся, обеспечена уровневая дифференциация в обучении.
В учебниках [36], [35], [34] функциональная линия не является ведущей. Понятие функции вводится лишь в 8 классе. Для определения понятия «функция» используется генетический подход, и его введение осуществляется конкретно-индуктивным путём. Исследование конкретных функций происходит графически.
Цель, с которой проводилось исследование, достигнута: была проанализирована функциональная линия в курсе алгебры 7- 9 классов и разработаны методические рекомендации по изучению данной темы по учебному комплекту под редакцией Г.В. Дорофеева.
В ходе исследования были решены следующие задачи:
1) Проанализирована математическая, учебно-методическая и психолого-педагогическая литература, выполнен анализ школьной программы по математике.
2) Разработана методика изучения функциональной линии в курсе алгебры 7-9 классов.
3) Выявлена роль и место функциональной линии в различных учебных комплектах по математике для 7-9 классов.
4) Выявлены особенности учебников [36], [35], [34].
5) Составлены уроки по теме «Линейная функция, её свойства и график».
6) Показана возможность развития функциональной линии на внеклассной работе (было составлено 3 факультативных занятия).
7) Было проведено опытное преподавание с целью апробации разработанной методики.
Список литературы
1. Алгебра. 7 класс: Учеб. для общеобразовательных учеб. заведений / К.С. Муравин, Г.К. Муравин, Г.В. Дорофеев. - М.: Дрофа, 1999.
2. Алгебра. 7 класс: В двух частях. Ч. 1: Учебник для общеобразоват. учреждений / А.Г. Мордкович. - М.: Мнемозина, 2000.
3. Алгебра. 7 класс: Учебник для общеобразоват. учреждений / С.М. Никольский, М.К. Потапов и др. - М.: Просвещение, 2001.
4. Алгебра. 8 класс: Учеб. для общеобразовательных учеб. заведений / К.С. Муравин, Г.К. Муравин, Г.В. Дорофеев. - М.: Дрофа, 2001.
5. Алгебра. 8 класс: В двух частях. Ч. 1: Учебник для общеобразоват. учреждений / А.Г. Мордкович. - М.: Мнемозина, 2000.
6. Алгебра. 8 класс: Учебник для общеобразоват. учреждений / С.М. Никольский, М.К. Потапов и др. - М.: Просвещение, 2000.
7. Алгебра. 9 класс: Учеб. для общеобразовательных учеб. заведений / К.С. Муравин, Г.К. Муравин, Г.В. Дорофеев. - М.: Дрофа, 1999.
8. Алгебра. 9 класс: В двух частях. Ч. 1: Учебник для общеобразоват. учреждений / А.Г. Мордкович. - М.: Мнемозина, 2000.
9. Алгебра. 9 класс: Учебник для общеобразоват. учреждений / С.М. Никольский, М.К. Потапов и др. - М.: Просвещение, 2001.
10. Алгебра. Учеб. для 7 класса средней школы / Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк и др.; под ред. Теляковского. - М.: Просвещение, 1999.
11. Алгебра. Учеб. для 7 класса средней школы /Ш.А. Алимов, Ю.М. Колягин и др. - М.: Просвещение, 2000.
12. Алгебра. Учеб. для 8 класса средней школы / Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк и др.; под ред. Теляковского. - М.: Просвещение, 1999.
13. Алгебра. Учеб. для 8 класса средней школы /Ш.А. Алимов, Ю.М. Колягин и др. - М.: Просвещение, 2001.
14. Алгебра. Учеб. для 9 класса средней школы / Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк и др.; под ред. Теляковского. - М.: Просвещение, 2000.
15. Алгебра. Учеб. для 9 класса средней школы /Ш.А. Алимов, Ю.М. Колягин и др. - М.: Просвещение, 2001.
16. Гайдуков И.И. «Абсолютная величина». - М.: Просвещение, 1968.
17. Гончаров В.А. Арифметические упражнения и функциональная пропедевтика в средних классах школы//Математика в школе. - 1996. - № 3. - с. 7-14.
18. Для тех, кто работает по учебникам Г.В. Дорофеева и И.Ф. Шарыгина//Математика. - 1999. - № 15. - с. 2-8.
19. Дорофеев Г.В. и др. Об учебнике «Алгебра и начала анализа» для профильного курса математики в X классе//Математика в школе. - 2003. - № 10. - с. 38-43.
20. Евстафьева Л.П., Карп А.П. Математика 8 класс: Дидактические материалы к учебнику «Математика 8. Алгебра. Функции. Анализ данных» под ред. Г.В. Дорофеева. - 2-е изд., стереотип. - М.: Дрофа, 2000.
21. Карп А.П. Евстафьева Л.П., Математика: 7 класс: Дидактические материалы к учебнику «Математика 7. Алгебра. Арифметика. Анализ данных» под ред. Г.В. Дорофеева. - М.: Дрофа, 1999.
22. Карп А.П. Евстафьева Л.П., Математика: 7 класс: Рабочая тетрадь к учебнику «Математика 7. Арифметика. Алгебра. Анализ данных» под ред. Г.В. Дорофеева. - М.: Дрофа, 1999.
23. Козлова Г.М. Из опыта преподавания по учебному комплекту «Математика 5»//Математика в школе. - 2002. - № 3. - с. 49 - 52.
24. Колганов И.Л. Применение линейной функции к решению задач оптимизации//Математика в школе. - 2000. - № 5. - с. 62 - 64.
25. Колягин Ю.Н., Луканкин Г.Л., Норкушин Е.Л. и др. Методика преподавания математики в средней школе: Частные методики. Учеб. пособие для студентов физ.-мат. фак. пед. ин-ов. - М.: Просвещение, 1977.
26. Кузнецова Л.В. и др. Методические материалы к новому учебнику для IX класса//Математика в школе. - 2000. - № 6. - с. 27-33.
27. Кузнецова Л.В. и др. Методические материалы к новому учебнику//Математика в школе. - 1997. - № 3. - с. 34 - 39.
28. Кузнецова Л.В. и др. Тематический и итоговый контроль в VII - IX классах по учебникам под редакцией Г.В. Дорофеева//Математика в школе. - 2002. - № 5. - с. 17-25.
29. Кузнецова Л.В. и др. Тематический и итоговый контроль в VII - IX классах по учебникам под редакцией Г.В. Дорофеева//Математика в школе. - 2002. - № 9. - с. 33-38.
30. Кузнецова Л.В., Ковалёва Г.И. Методические указания к теме «Функции»//Математика в школе. - 2002. - № 3. - с. 31 - 41.
31. Кузьмин М.К. Построение графика функции //Математика в школе. - 2003. - № 5. - с. 61-62.
32. Лейкина Т. Несколько замечаний по работе с учебником «Математика 7» под ред. Г.В. Дорофеева//Математика. - 1999. - № 38. - с. 23-25, 27.
33. Математика. 6 класс: Учеб. для общеобразовательных учеб. заведений / Г.В. Дорофеев, С.Б. Суворова и др.; под ред. Г.В. Дорофеева, И.Ф. Шарыгина. - М.: Дрофа, 1998.
34. Математика. Алгебра. Функции. 9 Учеб. для общеобразовательных учеб. заведений / Г.В. Дорофеев, С.Б. Суворова и др.; под ред. Г.В. Дорофеева. - М.: Дрофа, 2000.
35. Математика. Алгебра. Функции. Анализ данных. 8 класс: Учеб. для общеобразовательных учеб. заведений / Г.В. Дорофеев, С.Б. Суворова и др.; под ред. Г.В. Дорофеева. - М.: Дрофа, 1999.
36. Математика. Арифметика. Алгебра. Анализ данных. 7 класс: Учеб. для общеобразовательных учеб. заведений / Г.В. Дорофеев, С.Б. Суворова и др.; под ред. Г.В. Дорофеева. - М.: Дрофа, 1997.
37. Математика: Учеб. для 5 класса общеобразовательных учеб. заведений / Г.В. Дорофеев, С.Б. Суворова и др.; под ред. Г.В. Дорофеева, И.Ф. Шарыгина. - М.: Просвещение, 2000.
38. Методика преподавания математики в средней школе. Общая методика. Учеб. пособие для студентов пед. ин-ов. А.Я. Блох, Е.С. Канин, Н.Г. Килина и др.; сост. Р.С. Черкасов, А.А. Столяр - М.: Просвещение, 1985.
39. Методика преподавания математики в средней школе: Частная методика. Учеб. пособие для студентов. пед. ин-ов по физ.-мат. спец. / А.Я. Блох, В.А. Гусев, Г.В. Дорофеев и др.; Сост. В.И. Мишин. - М.: Просвещение, 1987.
40. Минаева С.С., Рослова Л.О. Математика. 8: Рабочая тетрадь к учебнику под ред. Г.В. Дорофеева и И.В. Шарыгина «Математика 8. Алгебра. Функции. Анализ данных». - М.: Дрофа, 2000.
41. Моторина Л.И. Урок по теме «Функция и её график» //Математика в школе. - 1998. - № 5. - с. 24-27.
42. Первые уроки по учебному комплекту «Математика 5-8» под ред. Г.В. Дорофеева и И.Ф. Шарыгина//Математика. - 1999. - № 27. - с. 9-14.
43. Программы для общеобразовательных школ, гимназий, лицеев: Математика. 5-11 кл. / Сост. Г.М. Кузнецова, Н.Г. Миндюк. - М.: Дрофа, 2002. 320с.
44. Суворова С.Б., Кузнецова Л.В., Минаев С.С. Методические материалы к новому учебнику//Математика в школе. - 1998. - № 4. - с. 28 - 37.
45. Суворова С.Б., Тернопол А.Н. Методические указания к теме «Квадратичная функция»//Математика в школе. - 2002. - № 9. - с. 12-28.
46. Факультативные занятия по математике в школе: Методические рекомендации / Сост. М.Г. Лускина, В.И. Зубарева. - Киров: ВГПУ, 1995.
Приложение 1
Урок № 1
Тема: Линейная функция её график.
Цели урока:
1. Образовательные:
Ш повторить определение функции, способы задания функции;
Ш познакомиться с линейной функцией, как с математической моделью, описывающей разнообразные зависимости между реальными величинами;
Ш научить строить график линейной функции.
2. Воспитательные:
Ш обеспечить интерес учащихся путём акцентирования элемента новизны: учащиеся знакомятся с новой закономерностью, описывающей разнообразные зависимости между реальными величинами;
Ш стимулировать интерес учащихся к математике путём исследования;
Ш воспитание внимательности и аккуратности через построение графика линейной функции.
3. Развивающие:
Ш формировать у школьников приём обобщения при введении понятия «функция»;
Ш показать на примере особенности проведения исследования - обнаружение закономерностей и выдвижение гипотез;
