Ш формировать умение сравнить имеющуюся формулу с общей формулой линейной функции;
Ш закрепить вычислительные навыки при заполнении таблицы.
Ш развитие математической речи (краткость, точность, лаконичность).
Оборудование: [10], [35].
Описание урока:
Введение понятия линейной функции можно мотивировать рассмотрением нескольких примеров (желательно, чтобы среди этих примеров содержались такие, в которых коэффициенты k и b отрицательны или равны нулю).
Пример 1: Если тело движется с постоянным ускорением 0,2 см/сек2, а его начальная скорость равнялась 4 м/сек, то зависимость скорости движения v (в см/сек) от времени движения t (в сек) выражается формулой v = 4 + 0,2t.
Пример 2: Ученик купил тетради по 10 р. за штуку и ручку за 5 р. Задайте формулой зависимость стоимости покупки от числа тетрадей.
Учащиеся должны получить формулу у = 10х + 5.
Пример 3: В полном баке легкового автомобиля 30 л. бензина. На каждый километр пути в среднем расходуется 0,1 л. Количество литров бензина r, которое останется в баке после s км пути, выражается формулой .
Пример 4: Поезд движется из Москвы в Санкт-Петербург со скоростью 120 км/ч. какой путь пройдёт поезд за t часов?
Учащиеся должны получить формулу у = 120t.
После рассмотрения этих примеров учитель должен обратить внимание учеников на то, что полученные в этих примерах формулы по структуре одинаковы, а отличаются лишь буквами и числовыми коэффициентами, то есть величины разной природы фактически связаны между собой одной и той же зависимостью. Можно предложить ученикам самим сделать этот вывод. Далее нужно заключить, что эти, а также многие другие процессы описываются линейной функцией, которая является их общей математической моделью. После этих выводов вводится определение линейной функции: функция, которую можно задать формулой вида , где k и b - некоторые числа, называется линейной. После введения определения проверить, что эта формула действительно задаёт функцию, т.е. надо проверить однозначность операций.
Необходимо обратить внимание учеников на то, что коэффициенты k и b могут быть, как положительными, так и отрицательными (пример 3). Так же эти коэффициенты могут быть нулевыми (пример 4), в этом случае линейная функция носит особое название. Если b = 0, то формула принимает вид и называется прямой пропорциональностью, а если k = 0, то и линейная функция называется постоянной.
После этого можно перейти к упражнениям на отработку понятия «линейная функция».
1. Установите, задаёт ли формула линейную функцию, и назовите, чему равны коэффициенты k и b:
a) a) ;
b) ;
c) ;
d) ;
e) ;
f) ;
g) ;
h) ;
i) ;
j) ;
k) ;
l) ;
m) ;
n) .
1. 2. (№ 293, [10]). Длина прямоугольника х см, а ширина на 3 см меньше. Задайте формулами зависимость периметра прямоугольника от его длины и зависимость площади прямоугольника от длины. Какая из этих зависимостей является линейной функцией?
Затем можно перейти к упражнениям на выведение первичных следствий. В данном случае - это упражнения на конструирование линейной функции.
Задайте линейную функцию, если известны коэффициенты k и b:
a) a) k = 5, b = 1;
b) k = -2,5, b = 0;
c) k = 10, b = -4,3;
d) k = -5, b = -11;
e) k = 0; b = 6,2;
f) k = -4,1; b = 15.
После этого можно разобрать упражнение, в котором по известному аргументу надо найти значение функции и наоборот по известному значению функции найти аргумент:
№ 756 ([35]). Дана линейная функция .
а) Найдите , , , ; .
б) Найдите значение х, при котором , , , .
Затем рассматривается вопрос о графике линейной функции. Здесь можно предложить построить несколько графиков (коэффициенты k и b должны быть, и положительными, и отрицательными, и равными нулю) и сделать вывод, что графиком линейной функции является прямая. Обратить внимание учащихся на то, что для построения графика линейной функции достаточно знать две точки. Это можно связать с геометрией: через две точки можно провести прямую и при том только одну.
Построить два или три графика прямой пропорциональности.
Пример 5: Построить графики функций , и .
Сделать выводы, что график прямой пропорциональности проходит через начало координат и что график функции можно получить из графика функции с помощью параллельного переноса.
Аналогично построить несколько графиков постоянных функций и сделать вывод, что график постоянной функции параллелен оси х.
Затем разобрать несколько примеров на построение графика линейной функции:
1. (№ 759 [35]). Постройте график функции:
а) , где ;
г) , где .
2. (№ 324, [10]). Постройте график прямой пропорциональности у = 2х. Найдите значение с помощью графика:
a) какое значение принимает функция при х, равном 2; 2,5; 3; 4;
b) при каком х значение функции равно 7.
В заключение урока можно рассмотреть прикладное значение линейной функции: применение линейной функции в физике. Многие физические процессы описываются с помощью линейной функции, например, при равнопеременном движении скорость является линейной функцией времени: v = v0 + at.
Для домашнего решения можно предложить следующие упражнения:
1. (№ 757, [35]). Найдите значение линейной функции при указанных значениях аргумента и заполните таблицу:
x | -2,5 | -1 | 0 | 1,5 | 8 | 10 | |
f(x) |
2. (№ 759, [35]). Постройте график функции:
б) , где ;
в) , где .
3. (№ 762, [35]). У вас имеется 10 р., и есть два способа увеличить эту сумму: ежедневно добавлять к ней 5 р. или ежедневно добавлять к ней 2 р. Составьте для каждого случая формулу зависимости имеющейся суммы денег у от числа дней х. В каком случае сумма будет увеличиваться быстрее?
Урок № 2
Тема: Свойства линейной функции.
Цели урока:
1. Образовательные:
Ш повторить определение линейной функции;
Ш вспомнить свойства функций, известные ученикам к этому времени;
Ш изучить свойства линейной функции;
Ш научиться читать свойства линейной функции по графику;
Ш научиться соотносить график функции с данной формулой.
2. Воспитательные:
Ш стимулировать интерес к математике через решение задач, связанных с жизненными ситуациями;
Ш воспитание настойчивости, трудолюбия через решение сложных задач.
3. Развивающие:
Ш показать связь математики со статистикой;
Ш учиться исследовать функцию по её графику (открыть зависимость между коэффициентами линейной функции и её свойствами: возрастанием и убыванием);
Ш развивать у учащихся математическую речь.
Оборудование: [10], [35].
Описание урока:
Прежде, чем формулировать свойства, нужно построить несколько графиков линейной функции. Можно рассмотреть следующие свойства: область определения, множество значений, возрастание и убывание функции. Учащиеся должны попытаться самостоятельно сформулировать эти свойства.
1) Область определения линейной функции - это любое действительное число, то есть промежуток .
2) Множество значений линейной функции - это все значения, которые принимает зависимая переменная.
3) Если k > 0, то линейная функция является возрастающей, если k < 0, то линейная функция является убывающей.
Точки пересечения с осями координат и промежутки знакопостоянства целесообразнее находить на конкретном примере. Не стоит тратить время на вывод этих формул из формулы .
В сильных классах можно обратить внимание учеников на то, что линейная функция используется в статистике, а именно там используется идея линейной аппроксимации (приближение).
Для закрепления изученного материала целесообразно рассмотреть следующие упражнения:
1. Найдите нули функции и промежутки знакопостоянства:
a) a) ;
b) .
1. 2. (№ 758, [4]). Постройте график линейной функции. В каждом случае укажите: 1) возрастающей или убывающей является функция; 2) при каких значениях х значения функции равны 0; больше 0; меньше 0.
а) ;
б) ;
в) .
1. 3. (№ 760, [35]). На рисунке 1 изображены графики линейных функций. Соотнесите каждую из них с одной из формул: , , , .
4. (№ 766, [35]). На каком из рисунков (рис. 2) изображён график движения пешехода, который шёл с постоянной скоростью? Найдите скорость движения этого пешехода. Рис. 1
Рис. 2
5. (№ 763, [35]). Андрей планирует поработать во время летних каникул, и у него есть две возможности. На работе А он будет получать 20 р. в день. На работе В он в первый получит 10 р., а затем ежедневно будет получать 20 р. Какой вариант выгоднее? Составьте формулу зависимости полученной суммы денег у от числа рабочих дней х для вариантов А и В. В одной системе координат постройте прямые, которым принадлежат точки графика каждой из функций, и отметьте эти точки для . Существует ли значения х, при которых значения у равны?
Для домашнего решения можно предложить следующие упражнения:
1. (№ 755, [35]). Николай заработал в каникулы 200 р., работая на почте. Он тратит эти деньги в среднем по 5 р., в день. Запишите формулу, выражающую зависимость оставшейся у него суммы денег у от числа прошедших дней х. объясните, почему эта функция является линейной. Укажите область определения функции. Возрастающей или убывающей является функция? Найдите значение функции при х = 1; 10; 25. в каждом случае объясните с точки зрения условия, что вы находите.
2. (№ 758, [35]). Постройте график линейной функции. В каждом случае укажите: 1) возрастающей или убывающей является функция; 2) при каких значениях х значения функции равны 0; больше 0; меньше 0.
71
г) ;
д) ;
е).
3. (№ 755, [35]). Сумма углов выпуклого многоугольника, имеющего п сторон, вычисляется по формуле М = 180п - 360. Объясните, почему эта функция является линейной. Укажите область определения функции. Возрастающей или убывающей является функция? Найдите сумму углов выпуклого многоугольника при п = 3; 4; 10.
На следующих уроках решить упражнения на закрепление изученного материала. В сильных классах можно взять задания на линейную аппроксимацию.
Приложение 2
Развивать функциональную линию можно и на факультативных занятиях. Во многих школах функция, содержащая знак абсолютной величины не изучается, а если и изучается, то недостаточно хорошо. Поэтому цель этих факультативов состоит в изучении функции, содержащей знак абсолютной величины более детально.
Факультатив 1.
Тема факультативного занятия: График функции .
Описание занятия:
Необходимо объяснить ученикам, что график функции симметричен относительно координатной оси Оу. Поэтому достаточно построить график функции для , а затем достроить его левую часть, симметричную правой относительно оси ординат.
Если графиком функции , является кривая, изображённая на рис. 1, то графиком функции будет кривая, изображённая на рис. 2.
Рис. 1 Рис. 2
После этого учитель разбирает три примера на доске.
Пример 1. Построить график функции .
а) Строим график функции для .
б) Строим для часть графика, симметричную построенной относительно оси ординат.
Пример 2. Построить график функции .
а) Строим график функции для .
б) Достраиваем для часть графика, симметричную построенной относительно оси ординат.
Пример 3. Построить график функции .
Заметим, что .
а) Для строим график функции . Известно, что это парабола, обращенная ветвями вверх. Ось ординат она пересекает в точке (0; -3). Ось абсцисс пересекает в точках (- 2; 0) и (6; 0). Вершина параболы находится в точке (2; - 4).
б) Достраиваем для часть графика, симметричную построенной относительно оси ординат.
Далее можно заметить, что для построения графика функции можно применить другой способ. По определению абсолютной величины числа, данную функцию можно представить совокупностью двух функций:
Следовательно, можно строить графики самостоятельно на правой и левой полуплоскостях.
Затем можно предложить ученикам решить самостоятельно следующие примеры (но с дальнейшим разбором).
Построить графики функций.
1. .
2. .
3. .
4. .
Домашнее задание:
Построить графики функций:
1. 1. .
2. .
3. .
4. .
Факультатив 2.
Тема факультативного занятия: График функции .
Описание занятия:
Занятие можно начать с проверки домашнего задания, а затем перейти к изучению новой темы.
Под абсолютной величиной функции (то есть под записью ) принято понимать функцию вида:
Отсюда вытекает практическое правило построения графика функции .
а) Строим график функции .
б) На участках, где график расположен в нижней полуплоскости, строим кривые, симметричные построенным относительно оси абсцисс. Значит, на промежутках , (b; c), (d; + ?) график функции остаётся без изменений, а на промежутках (a; b) и (c; d) график снизу преобразовывается вверх симметрично оси абсцисс.
После изучения новой темы учитель рассматривает два примера.
Пример 1. Построить график функции .
а) Строим график функции .
б) График нижней полуплоскости преобразовываем вверх симметрично оси абсцисс.
Пример 2. Построить график функции .
а) Строим график функции. Графиком этой функции будет парабола, пересекающая оси координат в точках (0; - 6), и (3; 0), имеющая вершину в точке и обращённая ветвями вверх.
На участке, где , чертим график пунктиром.
б) Симметричной пунктирной кривой относительно оси абсцисс достраиваем линию графика данной функции.
После этого ученикам предлагается решить самостоятельно следующие примеры, но с дальнейшим разбором.
Построить графики функций.
1. 1. .
2. .
3. .
Домашнее задание:
Построить графики функций:
1. . 2. . 3. .
Факультатив 3.
Тема факультативного занятия: График функции .
Описание занятия:
Занятие можно начать с проверки домашнего задания, а затем перейти к изучению новой темы.
График данной функции может быть построен в следующем порядке:
а) Строим график функции для .
б) Строим график функции для (или строим кривую графика, симметричную построенной относительно оси ординат, так как данная функция чётная).
в) Участки графика, расположенные в нижней полуплоскости, преобразовываем на верхнюю полуплоскость симметрично оси абсцисс.
Затем разобрать пример.
Пример: Построить график функции .
а) Строим график функции при .
б) Строим график функции .
в) Строим график функции .
После этого предложить ученикам самостоятельно решить следующие примеры с дальнейшим разбором на доске.
Построить графики функций.
1. . 2.. 3..
Домашнее задание:
Построить графики функций:
1. . 2. . 3. .
