К генетическим понятиям можно отнести и определение через перечень.
Например, «Натуральный ряд чисел -- это числа 1, 2, 3, 4 и т.д.».
Некоторые понятия в начальных классах вводят только через термин.
Например, единицы времени год, месяц, час, минута.
Есть в начальных классах понятия, которые подаются символическим языком в виде равенства, например, а 1= а, а 0=0
В начальных классах много математических понятий сначала усваиваются поверхностно, расплывчато. При первом ознакомлении школьники узнают только о некоторых свойствах понятий, очень узко представляют их объем. И это закономерно. Не все понятия легко усвоить. Но бесспорно, что понимание и своевременное использование учителем тех или других видов определений математических понятий - одна из условий формирования у учеников твердых знаний об этих понятиях.
1.3. Роль, функции классификации при формировании понятий
В организации учебной деятельности младших школьников в процессе формирования математических понятий особую роль играет прием классификации. Для того чтобы решать вопрос о принадлежности предмета к данному понятию учащиеся должны уметь дифференцировать признаки на существенные и несущественные, необходимые и достаточные, выделять различные свойства - то есть владеть целой системой логических приемов (анализ, синтез, сравнение, классификация, обобщение).
Классификация - это прием умственной деятельности, представляющий собой систематическое распределение элементов данного множества по классам, согласно наиболее существенным признакам.
В теории множеств классификация - это действие распределения объектов по классам на основании сходств объектов внутри класса и их отличия от объектов других классов.
Этот прием умственной деятельности является средством упорядочения изучаемых объектов, установления закономерных связей между ними. Именно в этом случае классификация выявляет существенные сходства и различия между предметами и имеет большое познавательное значение. Классификация основывается на способности видеть общее в каждом конкретном единичном случае и преследует цель уточнить, обобщить знание о связях и отношениях между изучаемыми объектами.
Признак, который является классификационным основанием, должен быть наиболее пригодным и удобным для определения предметов в классификационной системе.
Структуру классификации, как приема умственной деятельности образуют следующие действия:
определение цели классификации объектов (понятий, отношений);
выбор основания (существенное свойство, признак) для классификации;
деление по этому основанию всего множества объектов (понятий, отношений) на непересекающиеся подмножества, входящих в объем данного понятия;
построение иерархической классификационной системы.
Разновидность объектов для классификации достаточно обширна даже в рамках одного учебного предмета, не говоря уже о всей совокупности предметов, которые изучают в школе. В теории множеств это могут быть свойства функций, понятия, виды отношений и соответствий, законы, теоремы и т.д.
В процессе овладения умением классифицировать необходимо сформировать у учеников на практических примерах представления о таких понятиях, как вид, род, класс, объем понятия, деление объема понятия.
Класс - это совокупность (разряд или группа) предметов, выделенных по некоторому общему признаку, мыслимая как единое целое.
Вид - подразделение в систематике, входящее в состав высшего разряда - род. Вид представляет собой специфическое, особенное в пределах общего.
Род - группа, которая объединяет несколько видов, обладающих общими признаками. Род представляет собой нечто общее в предметах, составляющих его виды. Видовое понятие обязательно обладает всеми свойствами родового, которое выступает по отношению к видовому как следующая ступень обобщения.
Из определений видно, что деление на виды, роды, классы весьма относительно. Одно и то же понятие в разных классификационных системах может выступать и как видовое и как родовое. Установление родовидовых отношений, выделение в понятиях рода и видового различия - один из основных этапов классификации.
При выполнении классификации должно выполнятся следующие требования:
Классификация должна проводится по одному и тому же основанию.
Образованные подмножества (классы) непересекающиеся, т.е. никакая пара их не имеет общих элементов. Символическая запись этого условия: Кi ? Kj = ? для ?i, j, где i ?j.
Классификация должна быть соразмерной, т.е. объединение всех подмножеств (классов) образует все множество. Классификация должна быть непрерывной, т.е. классами должны быть ближайшие видовые понятия по отношению к понятию, подлежащему классификации.
В качестве оснований для классификации выделяют свойства данных объектов. В связи с этим можно выделить следующие уровни классификации:
1) Классификация (типология) - деление всего объема понятия на непересекающиеся подмножества, группы (классы) согласно наиболее общего существенного свойства.
2) Ошибочная классификация - деление объектов (понятий, отношений) на группы (классы) согласно наиболее общего свойства, выделенного непосредственным восприятием объектов (понятий, отношений). Обычно такие ошибочные классификации осуществляются на эмпирическом уровне усвоения знаний.
Существуют различные способы проведения классификации:
1) Классификация по видоизмененному признаку. Элементы понятия, подлежащего классификации, обладают несколькими признаками. В качестве основания классификации могут использоваться различные признаки классифицируемого понятия.
Пример: ученики третьего класса легко могут разбить множество Х треугольников на три класса: остроугольные, прямоугольные и тупоугольные. Действительно, выделенные подмножества попарно не пересекаются (среди остроугольных нет прямоугольных и тупоугольных, среди прямоугольных - тупоугольных) и их объединение совпадает с множеством Х. Однако то, что не всякая система подмножеств данного множества представляет собой разбиение этого множества им понять сложно. Например, если из множества Х треугольников выделить подмножества равнобедренных, равносторонних и разносторонний, то разбиения множества Х на классы мы не получим, поскольку множества равнобедренных и равносторонних треугольников пересекаются (все равносторонние треугольники являются равнобедренными).
Из таблицы видно, что образовалось девять классов, из которых некоторые пусты (см. табл.1.1 ).
В случае алгебраических уравнений при одновременном использовании двух оснований классификаций получаем, например, класс уравнений первой степени с двумя переменными или класс уравнений второй степени с одной переменной и т. д. При одновременной классификации натуральных чисел по признаку делимости их на 2 и на 3 получаем класс натуральных чисел, делящихся на 6, и др.
Выбор признака классификации зависит от целей классификации, от практических задач. Важнейшим требованием к признаку (основанию) классификации является его объективность. Нельзя делить книги на интересные и неинтересные, задачи на легкие и трудные, так как такие признаки носят субъективный характер. В самом деле, одни и те же теоремы могут быть легкими для одних учеников и трудными для других.
2) Дихотомическая (от греческих слов dicha и tome «сечение на две части») классификация представляет собой деление объема классифицируемого понятия на два видовых понятия, один из которых обладает данным признаком, а другой не обладает им.
Сравнивая дихотомическую классификацию с классификацией по видоизмененному основанию, можно выделить ряд преимуществ. Эта классификация всегда удовлетворяет требованию соразмерности, так как объединение образованных классов полностью исчерпывает объем понятия, подлежащего классификации. Кроме того, образованные классы всегда исключают друг друга.
Однако дихотомическая классификация не лишена недостатков. Так, разделив объем понятий на два противоречащих друг другу видовых понятия, мы оставляем весьма неопределенным то видовое понятие, которое содержит частицу «не». Например, разделив класс тригонометрических уравнений на простейшие уравнения и не простейшие, оставляем достаточно неясным объем класса не простейших тригонометрических уравнений.
Пример. Применяя дихотомию можно провести классификацию треугольников и четырехугольников так:
Дихотомия часто используется при разбиении данного множества одновременно по нескольким основаниям.
3) Дихотомия по разным основаниям - разбиение объема классифицируемого понятия по независимым основаниям на 2п класса.
Имеет место следующая теорема: при разбиении множества М по n независимым основаниям образуется 2 n класса (n ??).
Эта теорема о разбиении множества по n независимым основаниям может быть использована для решения задач определенного типа.
Для решения таких задач целесообразно использовать наглядную интерпретацию разбиения множества на классы с помощью диаграмм Эйлера - Венна. В диаграмме заполняется числом элементов каждая ее часть (класс) в соответствии с условиями задачи, что и ведет к решению задачи.
Пример. Рассмотрим два свойства натуральных чисел: «быть кратным 3» и «быть кратным 5».При помощи этих свойств из множества натуральных чисел можно выделить два подмножества: А - подмножество чисел, кратных 3, и В - подмножество чисел, кратных 5. Эти подмножества пересекаются, но ни одно из них не является подмножеством другого.
Проанализируем получившуюся картину. Круг, изображающий множество N натуральных чисел, разбился на 4 непересекающиеся области - они пронумерованы римскими цифрами. Каждая область изображает некоторое подмножество множества N . Определим, какие числа оказались в каждом из этих непересекающихся подмножеств. Подмножество I состоит из чисел, кратных 3 и 5; подмножество II - из чисел, кратных 3 и не кратным 5; подмножество III - из чисел, кратных 5 и не кратных 3; подмножество IV - из чисел, не кратных 3 и не кратных 5. Объединение этих четырех подмножеств есть множество N.
Для формирования умений по классификации и систематизации целесообразно на практических занятиях (или в качестве самостоятельной работы) предлагать упражнения на составление классификационных схем. Порядок составления таких схем предполагает схематическое изображение изученных в данной теме понятий на основе их родо - видовых отношений.
Классификационные схемы целесообразно составлять в конце изучения темы или раздела.
При изложении математики в школе часто приходится прибегать к классификации. В процессе классификации образуется система изучаемых понятий. Полезны классификации при повторении, так как при этом систематизируется изучаемый материал, ученики получают более полное представление о взаимосвязях между понятиями и о системе математических понятий. В процессе этой работы важно широко использовать таблицы, схемы, диаграммы, иллюстрирующие вопросы классификации и их применение при решении задач.
Применение приема классификация на уроках позволяет существенно расширить имеющиеся в практике приемы работы, способствуют формированию положительных мотивов в учебной деятельности, так как подобная работа содержит и элементы игры и элементы поисковой деятельности, что в свою очередь повышает активность учащихся и обеспечивает самостоятельное выполнение работ.
РАЗДЕЛ 2.
МЕТОДИКА ФОРМИРОВАНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ПОНЯТИЙ В КУРСЕ НАЧАЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ
2.1. Общеметодический подход к формированию математических понятий в школьной практике
В школьной практике многие учителя добиваются от учеников заучивания определений понятий и требуют знания их основных доказываемых свойств. Однако результаты такого обучения обычно незначительны. Это происходит потому, что большинство учащихся, применяя понятия, усвоенные в школе, опираются на малосущественные признаки, существенные же признаки понятий ученики осознают и воспроизводят только при ответе на вопросы, требующие определения понятия. Часто учащиеся безошибочно воспроизводят понятия, то есть обнаруживают знание его существенных признаков, но применить эти знания на практике не могут, опираются на те случайные признаки, выделенные благодаря непосредственному опыту. Процессом усвоения понятий можно управлять, формировать их с заданными качествами
Достигается это через выполнение следующей системы условий.
Первое условие. Наличие адекватного действия: оно должно быть направлено на существенные свойства. Выбор действия определяется, прежде всего, целью усвоения понятия. Допустим, понятие усваивается для того, чтобы распознавать объекты, относящиеся к данному классу. В этом случае необходимо использовать действие распознавания, действие подведения под понятие. Если учащиеся не знакомы с этими действиями, то необходимо раскрыть их содержание, показать, как следует их выполнять.
Второе условие. Знание состава используемого действия. Так, действие распознавания включает: а) актуализацию системы необходимых и достаточных свойств понятия; б) проверку каждого из них в предлагаемых объектах; в) оценку полученных результатов с помощью одного из логических правил распознавания (для понятий с конъюнктивной и понятий с дизъюнктивной системой признаков). При раскрытии содержания действия особое внимание уделяется его ориентировочной основе, которая должна быть не только адекватной, но и полной.
Действие распознавания может быть использовано при формировании понятий с конъюнктивной структурой признаков; дизъюнктивные понятия требуют некоторого изменения в процессе распознавания объектов.
Для понятий с дизъюнктивной структурой признаков правило распознавания, как было показано, имеет такой вид:
- объект относится к данному понятию, если он обладает, хотя бы одним признаком из числа альтернативных;
- если объект не обладает ни одним из этих признаков, то он не относится к данному понятию;
- если ни про один из признаков неизвестно, есть он или его нет, то неизвестно, относится или не относится этот объект к данному понятию
Кроме действия распознавания можно использовать и другие, которые мы рассмотрели ранее: выведение следствий, сравнение, классификация, действия, связанные с установлением иерархически» отношений внутри системы понятий. Порядок формирования логических действий определяется как содержанием каждого из них, так и отношениями друг с другом.
Третье условие. Все элементы действия представлены во внешней, материальной (или материализованной) форме. Применительно к действию подведения под понятие это выглядит следующим образом. Система необходимых и достаточных признаков понятия выписывается на карточку, эти признаки материализуются. (При усвоении, например, понятия перпендикулярные прямые даются модели прямой линии, прямого угла.)
Учащимся разъясняют, что плюс означает наличие соответствующего признака, минус - отсутствие, знак вопроса - «неизвестно» (невозможность дать определенный ответ). Плюс после вертикальной черты означает, что определяемый предмет подходит под данное понятие, знак минус - не подходит, знак вопроса - неизвестно, подходит или нет. Кроме того, указывается, что во втором и третьем случаях ответ не изменится, если минус и знак вопроса будут относиться не ко второму, а к первому признаку. Алгоритм распознавания выписывается также на карточку.
Четвертое условие - поэтапное формирование введенного действия. В случае использования действия подведения под понятие проведение его через основные этапы осуществляется следующим образом. На этапе предварительного знакомства с действием учащемуся, после создания проблемной ситуации, раскрывают назначение действия подведения под понятие, важность проверки всей системы необходимых и достаточных признаков, возможность получения разных результатов, все это поясняя на конкретных случаях в материализованной форме. После этого учащемуся предлагается самому выполнить действие (это уже материализованный этап).
Учащиеся, используя ориентиры (признаки, правила) в материальной или материализованной форме, устанавливают наличие необходимой системы признаков у предметов, задаваемых непосредственно или в виде моделей и чертежей. Результаты выполнения каждой операции фиксируются с помощью тех же условных знаков («+», «-», «?») на заранее заготовленных схемах.
Система может, конечно, состоять из большего или меньшего числа необходимых и достаточных признаков.
Пятое условие - наличие пооперационного контроля при усвоении новых форм действия. Как было уже указано, контроль лишь по конечному продукту действия не позволяет следить за содержанием и формой выполняемой учащимися деятельности. Пооперационный контроль обеспечивает знание и того, и другого. При формировании понятий с помощью действия подведения под понятие в качестве операций выступает проверка каждого признака, сравнение с логическим правилом и так далее.
Естественно, что перед формированием действия подведения под понятие необходимо установить исходный уровень познавательной деятельности учащихся и произвести формирование необходимых предварительных знаний и действий.
Более подробно остановимся на поэтапном формировании понятий.
После выполнения пяти-восьми заданий с реальными предметами или моделями учащиеся без всякого заучивания запоминают и признаки понятия, и правило действия. Затем действие переводится во внешнеречевую форму, когда задания даются в письменном виде, а признаки понятий, правило, и предписание называются или записываются учащимися по памяти. На этом этапе учащиеся могут работать парами, поочередно выступая то в роли исполнителя, то в роли контролера.
В том случае, когда действие легко и верно выполняется во внешнеречевой форме, его можно перевести во внутреннюю форму. Задание дается в письменном виде, а воспроизведение признаков, их проверку, сравнение полученных результатов с правилом учащийся совершает про себя. Учащийся все еще получает указания типа «Назови про себя первый признак», «Проверь, есть ли он» и т.д. Вначале контролируется правильность каждой операции и конечного ответа. Постепенно контроль осуществляется лишь по конечному результату и производится по мере необходимости.
Если действие выполняется правильно, то его переводят на умственный этап: учащийся сам и выполняет, и контролирует действие. В программе обучения на этом этапе предусматривается контроль со стороны обучающего только за конечным продуктом действия; обучаемый получает обратную связь при наличии затруднений или неуверенности в правильности результата. Процесс выполнения теперь скрыт, действие стало полностью умственным, идеальным, но содержание его известно обучающему, так как он сам его строил и сам преобразовал из действия внешнего, материального.
