Пример 1. Учащимся предлагается сравнить расстояние Евпатория - Симферополь, Евпатория - Киев.
Пример 2. Ученикам предлагается сравнить две площади разной конфигурации (рис. 2.9).
Рис. 2.9
Пример 3. Ученикам предлагается сравнить возраст своих родителей.
В каждом случае ученики придут к выводу, что ни визуально, ни опосредовано провести сравнение невозможно. Они сделают вывод о том, что величины необходимо сначала измерить, а потом сравнить числа, полученные в результате измерения. Тем самым ученики подводятся к пониманию причины возникновения числа.
2. Наличие операции сложения.
Величины можно складывать, то есть имеет место операция сложения. Эта операция имеет такие важные свойства:
1) единственность суммы;
2) коммутативность сложения (переместительное свойство);
3) ассоциативность сложения (сочетательное свойство).
Операцию сложения и ее свойство нужно формировать у учащихся не только на примере такой величины, как количество, но и на примерах других величин.
Пример 1. Ученикам предлагается перевязать большой пакет имеющимися маленькими веревочками.
Ученики связывают обрывки веревок и перевязывают пакет. При этом подчеркивают, что порядок, в котором связываются обрывки веревок, роли не играет (переместительное и сочетательное свойство сложения).
Пример 2. Ученику предлагается угостить соком своих друзей, если у него имеется разное количество сливового сока и грушевого.
Ученик сливает сок в одну посуду и получает грушево - сливовый сок, которым угощает друзей. Подчеркивается, что количество сока не измениться от того, в каком порядке он сливается.
Так как сложение величин является теоретической основой формирования смысла операции сложения, а не нахождения результата сложения, поэтому при рассмотрении данных примеров учитель должен избегать возможности измерения величин, в том числе и пересчета.
3. Умножение величины на натуральное число.
Пол умножением величины а на натуральное число n понимается сумма в одинаковых величин: а + а +…+ а = а n.
Это свойство является теоретической основой операции умножения в начальных классах. Поэтому, при ее формировании необходимо подчеркивать, что одна и та же величина повторяется несколько раз, то есть именованное число нужно ставить при умножении на первое место.
Пример 1. Учащимся предлагается составить полоску из четырех одинаковых полосок и измерить ее. Дети получают в результате измерения 40 см.
Учитель предлагает найти длину полоски не измеряя ее, если известно, что она состоит из четырех одинаковых полосок по 10 см каждая.
Дети записывают: 10 см + 10 см + 10 см + 10см = 40 см.
Учитель обращает внимание на громоздкость записи и знакомит их с другой записью и новой операцией - умножением: 10 см 4 = 40 см.
Учащиеся под руководством учителя делают вывод о том, что в данном случае умножение представляют сумму одинаковых величин, то есть, что умножение есть частный случай сложения.
Пример 2. Задача. Сколько минут отводится ученику на выполнение контрольной работы, если надо решить 5 примеров и на каждый пример отводится 4 минуты?
4 мин x 5 = 15 мин (4 минуты повторятся 5 раз).
Примечание. Подход к операции умножения как к сумме одинаковых величин позволяет объяснить смысл умножения натуральных чисел, начиная с двух. Умножение на 1, на 0, умножение дробных чисел нельзя рассматривать с позиции суммы одинаковых слагаемых.
4. Свойство неограниченной делимости.
Любую величину а при произвольном натуральном числе m можно представить в виде суммы одинаковых величин b: а = b + b + …+ b или а = b m. Это означает, что b является той m -той частью а, то есть величина b есть 1/m доля величины а.
Доля является одним из случаев обыкновенной дроби, что и надо подчеркнуть при изучении доли в начальных классах. Это можно сделать, например, в ходе решения следующих задач.
Задача 1. 12 яблок разделить поровну между четырьмя детьми. Сколько яблок получит каждый ребенок?
Каждый ребенок получит четвертую часть от 12 яблок, то есть по 3 яблока.
Задача 2. Одно яблоко надо разделить поровну между четырьмя детьми. Сколько яблок получит каждый?
Каждый получит четвертую часть, то есть 1/4 яблока.
Задача 3. Пять яблок надо разделить поровну между четырьмя детьми. Сколько яблок получит каждый?
Каждый получит четвертую часть, то есть 1 яблоко и еще 1/4 яблока, что составляет 1и 1/4 яблока или 5/4 яблока.
5. Аксиома Архимеда.
Если а и b две однородные величины и а > b, то найдется такое натуральное число n, что а < b n.
Эта аксиома позволяет выполнять измерения величин, что широко применяется в начальных классах.
В ходе измерения ученики получают конкретное натуральное число (в данном случае это число 4).
Пример 2. Измерить емкость банки с помощью стакана. Сколько стаканов помещается в банке?
Пример 3. Измерить площадь многоугольника данной меркой (рис. 2.11).
Рис. 2.11
Наличие общей мерки.
Общей меркой однородных величин a и b называется такая величина c, которая помещается в a и b целое число раз: a = c x n и b = c x m.
Свойство двух однородных величин иметь общую мерку лежит в основе формирования понятия обыкновенной дроби.
В начальных классах представление об обыкновенной дроби можно сформировать с помощью следующей практической работы.
Детям предлагается измерить отрезок AB с помощью отрезка CD (рис. 2.12).
Дети убеждаются, что отрезок CD не помещается в AB целое число раз. Тогда им предлагается в качестве мерки отрезок МК, с помощью которого они измеряют отрезки AB и CD. Пусть в отрезке AB отрезок МК помещается 4 раза, а в отрезке CD - 3 раза. Значит, отрезок МК является 1/3 частью отрезка CD и поэтому в отрезке AB отрезок CD помещается 5/3 раза. Таким образом, в результате измерения отрезка AB отрезком CD получилась дробь 5/3.
Примечание. Еще в глубокой древности ученые пришли к выводу, что существуют и величины, которые не имеют общей мерки. Таким образом, в результате измерения могут получиться натуральные числа, дробные числа (положительные рациональные числа) и иррациональные числа, то есть любое положительное действительное число есть результат измерения величин. Поэтому измерению различных величин в начальных классах должно быть уделено серьезное внимание.
Требования к измерению величин.
1. Равным однородным величинам должно быть поставлено в соответствие единственное число.
Формирование в начальных классах этого требования к измерению величин осуществляется в следующей последовательности:
а) визуальное сравнение;
б) опосредованное сравнение;
в) создание проблемной ситуации: как быть, если ни визуально, ни опосредованно сравнить нельзя. Ученики подводится к выводу, что нужно сравнить числа, которые получаются в результате измерения.
Примеры практических работ на визуальное сравнение, опосредованное сравнение, необходимость измерения величин были приведены выше.
2. Из множества однородных величин выбирается одна, которой ставится в соответствие число один.
Здесь важно показать, что за единицу измерения может быть взят любой элемент. Однако, если одинаковые по величине элементы будут измеряться разными единицами измерения, то полученные числа не помогут сделать верный вывод по сравнению этих элементов. Этот момент можно сформировать у учащихся с помощью следующей практической работы.
Пример 1. Учитель показывает три одинаковые полоски красного, белого и черного цветов и просит, не накладывая их назвать, какая из них короче, а какая - длиннее. Дети называют черную полоску самой короткой, а белой - самой длинной. Тогда, раздав одному ряду красные полоски, другому - белые, третьему черные, учитель просит измерить их мерками (полосками), которые заранее розданы на парты. В результате измерения красных полосок дети получают число 3, черных - 4, белых - 2. После этого учитель наложением полосок убеждает детей, что они одинаковой длины, и задает вопрос: «Почему в результате измерения получились разные числа?» Учащиеся приходят к выводу, что нужно договориться и измерять одинаковыми мерками (единицами измерения). После этого можно провести беседу о разных единицах измерения длин.
Пример 2. Аналогичную работу можно провести по измерению площадей, взяв одинаковые листы бумаги белого, черного и красного цветов, а за единицу измерения белого листа бумаги взять 1/2 листа, красного листа бумаги -1/4 листа, черного листа бумаги - 1/8.
3. Если величина «а» есть сумма величин «b» и «c», то ее мера равна сумме их мер.
Сформировать это требование можно при помощи следующих практических работ.
Пример 1. Надо перевязать пакет с помощью нескольких коротких веревочек. Ученики связывают нужное количество обрывков и перевязывают пакет. Дается задание: какой длины веревку нужно взять оператору почты, чтобы перевязать пакет такого же размера, если веревку связали из трех кусков длиной 10 см, 15 см и 30 см. Дети находят: 10см +25см +30 см =55 см.
Пример 2. Нужно сравнить две геометрических фигуры разной формы (рис. 2.12). В ходе измерения дети приходят к выводу, что фигуры равновелики, так как они равносоставлены.
Рис. 2.12Пример 3. Учитель дает задание составить из одинакового набора геометрических фигур дом и собаку (рис. 2.13).
Рис.2.13
III. Геометрический материал.
Обычно геометрический материал рассматривается в начальных классах как некоторое вкрапление, не связанное с основным программным материалом. Однако, если обучение математике в начальных классах строить на понятии величины, то геометрический материал выступает не как изолированный, а как базовый, позволяющий формировать многие математические понятия (см. раздел "Величины").
Изучение геометрического материала должно начинаться с формирования представления о точке, линии, прямой линии, отрезке, луче, угле. Это можно осуществить с помощью, например, таких практических работ.
Пример 1. Учитель просит детей два раза ткнуть карандашом в лист бумаги и сообщает, что они получили две точки. Затем он просит, как угодно соединить их и говорит, что они получили линии, каждый свою (рис.2.14). Затем учитель просит отметить на линии красным карандашом несколько точек, синим карандашом - несколько точек над линией, зеленым карандашом - несколько точек под линией.
Рис. 2.14
Тем самым у учеников формируется представление о линии как множестве точек, о положении точек относительно линии (на, над, под).
Пример 2. Учитель предлагает детям бросить на парту веревочки, которые были им розданы. Ученики получают разные линии. Учитель предлагает взять веревочку за концы я натянуть, У детей получается отрезок прямой линии. Затем дети в тетрадях отмечают две точки и с помощью линейки проводят через них прямую линию.
Пример 3. Ученики отмечают в тетрадях три точки одна под одной и проводят через одну точку прямую линию, луч до второй точки и луч от третьей точки (рис. 2.15). Учитель вводит понятие луча и дети подводятся к выводу, что прямая, в данном случае, состоит из двух лучей.
Рис. 2.15
Пример 4. Детям предлагается соединить два луча так, чтобы получилась прямая линия, и не получилась прямая линия. Вводится понятие угла, вершины утла, сторон угла (рис. 2.16).
Рис. 2.16
Пример 5. Детям дается задание соединить три отрезка, которые заранее розданы на парты, концами так, чтобы получилась замкнутая ломанная линия. Учитель просит сосчитать углы у получившейся геометрической фигуры и говорит, что, так как у нее три угла, эту фигуру называют треугольником. Затем учитель просит составить треугольник из трех отрезков, сумма двух из которых меньше третьего отрезка (рис. 2.17).
Делается вывод, что в треугольнике обязательно две любые стороны вместе больше третьей стороны.
Аналогично учащиеся знакомятся и с другими геометрическими фигурами и их свойствами.
Вопрос об измерении геометрических фигур, о единицах измерения и взаимосвязях между ними достаточно подробно рассмотрен в разделе "Величины".
IV. Натуральные числа
Натуральное число имеет двоякую природу, так как отвечает на вопросы "сколько" и "какой по счету". Например, если стоит очередь, то
прежде, чем стать в нее, человек интересуется сколько в ней всего людей. А, когда он уже стоит в очереди, то его интересует, какой он по счету, т.е. сколько людей стоит пред ним.
Таким образом, существует два подхода к понятию натурального числа:
- теоретико-множественный (количественная теория) и аксиоматический (порядковая теория), которые тесно переплетаются в методике преподавания. Поэтому, чтобы избежать ошибок, учитель должен знать, какой из подходов лежит в основе изучения конкретного вопроса.
Теоретико-множественный подход к понятию натурального числа базируется на понятиях конечного множества и взаимно-однозначного соответствия. Приведем схему введения натуральных чисел.
1. Определение. Два конечных множества называются равночисленными, если между ними можно установить взаимно-однозначное соответствие.
2. Отношение "быть равночисленным" разбивает все конечные множества на классы эквивалентности.
3. Каждый класс эквивалентности характеризуется мощностью, поэтому каждому множеству данного класса приписывают как характеристику одно и то же натуральное число.
4. Мощность пустого множества принимается за натуральное число ноль.
Понятие "быть равночисленным" и умение разбивать конечные множества на классы эквивалентности формируется у детей в дочисловой период при изучении темы "Столько, больше, меньше". Покажем, как на основе практической деятельности учащихся можно сформировать понятия о натуральных числах от 0 до 10.
Пример 1. Тема урока "Число и цифра 3".
На одной полке наборного полотна два кружочка, на второй - три, третья полочка пустая (рис. 2.17). Учитель, показывая разные конечные множества, просит разложить их по полкам, т.е. предлагает выполнить классификацию.
Рис. 2.17
После этого задаются вопросы:
1. Одинаковые ли группы предметов на второй полке? - Нет.
2. Почему же вы их поставили на одну полку? - Количество предметов у них одинаковое.
Учитель делает вывод о том, что это свойство (количество элементов каждого множества данного класса) и есть число 3.
Затем учитель показывает написание цифры 3, т.е. значка, с помощью которого изображается число три.
Следующий этап урока - закрепление. Учитель предлагает найти в классной комнате множество, содержащее по три элемента; выполнить с помощью заданной мерки измерение длины отрезка или площади геометрической фигуры, В этом случае число выступает в новом качестве: оно выражает отношение одной величины к другой. Так, выполняя задание по измерению емкости банки с помощью кружки, ученики получают натуральное число как результат отношения одной емкости к другой. Такой подход приводит к расширению понятия о положительном числе, так как результатом измерения может быть натуральное число, дробное число (положительное рациональное), иррациональное число. Таким образом, рассматривая с первого класса натуральное число как результат измерения величин, ученики постигают причины возникновения любого положительного действительного числа, что очень важно для последующего обучения в школе.
Пример 2. Тема урока "Число нуль".
Учитель задает вопросы типа: "Сколько холодильников в классе?", "Сколько грузовых автомобилей в классе?", Дети отвечают, что этого ничего нет. Тогда учитель говорит, что это соответствует числу нуль и можно записать с помощью цифры 0.
Аксиоматический подход к понятию "натуральное число" базируется на следующих основных (неопределяемых) понятиях: "натуральное число" с выделенным числом "О" (или "I") и "непосредственно следовать за..,".
В целом ряде книг за выделенное число принимается число 1. На наш взгляд целесообразнее выделять число 0, так как методика его введения аналогична методике выделения любого однозначного натурального числа (см. примеры 1 и 2). Кроме того, легче вводить тогда использование линейки.
Свойства этих основных понятий, соотношение между ними раскрываются в аксиомах Пеано (итальянский математик). Приведем некоторые из них.
Аксиома 1. Нуль непосредственно не следует ни за каким натуральным числом.
Эта аксиома формируется у учащихся при пользовании линейкой для измерения длины отрезка: учитель подчеркивает, что линейку надо прикладывать так, чтобы начало отрезка совпадало с делением 0.
Аксиома 2. Для любого натурального числа существует только одно натуральное число, которое непосредственно следует за ним.
Эта аксиома формируется у учащихся с помощью вопросов: "Какое число идет за числом V ? "Может ли за числом 2 идти число 5 ?"
Аксиома 3. Любое натуральное число непосредственно следует не более чем за одним натуральным числом.
Эта аксиома формируется у детей с помощью вопросов: "За каким числом идет число 5 ?", "Может ли число 5 идти за числом 3 ?", "За каким числом идет число О?"
Таким образом, аксиоматический подход к понятию натурального числа позволяет охарактеризовать следующие свойства натурального ряда чисел (порядковую структуру множества натуральных чисел).
1. Множество натуральных чисел бесконечно, с начальным элементом О и без конечного элемента.
2. Множество натуральных чисел упорядочено (любые два натуральных числа можно сравнить). "
3. Множество натуральных чисел дискретно (между двумя любыми натуральными числами можно поместить конечное множество натуральных чисел).
V. Операции над натуральными числами
Ранее уже неоднократно подчеркивалось, что в методике обучения операциям над натуральными числами следует отличать саму операцию от результата операции.
Смысл операций над натуральными числами и их законы формируются на теоретико-множественной основе. Нахождение результата операций раскрывается в аксиоматической теории. Так, операции сложения и умножения натуральных чисел базируется на следующих аксиомах
Операция сложения Операция умножения.
1. а + 0 = а; 3. а * 0 = 0;
2. а + b' я (а + b)' 4. а * b' = а ' b + а . Следствие: а + 1 = а' . Следствие: а * 1 =5 а .
Аксиомы 1 и 3 и следствия из этих аксиом ученики должны твердо знать Нахождение результата сложения (до таблиц сложения) определяется путем присчитывания по одному (т.е. используется первое следствие).
Нахождение результата умножения в начальных классах нельзя рассматривать с позиции аксиом 3 и 4. Поэтому в традиционной методике умножение рассматривается как частный случай сложения, что позволяет умножать натуральные числа только начиная с двух. Естественно, такой подход к операции умножения нельзя считать удачным, так как не позволяет найти результат умножения в таких случаях, как а * 1; а - 0;
(а/b) * (с/а).
В разделах I и III достаточно подробно рассмотрена операция умножения как мощность декартова произведения и как сумма одинаковых величин. Существует и другой подход к операции умножения, с позиции которого можно обосновать не только умножение натуральных чисел, начиная с двух, но и умножение на 1 и на 0, умножение обыкновенных дробей. Этот подход заключается в том, что умножение рассматривается как переход от одной единицы измерения к другой Сформировать у учащихся смысл операции умножения с этой позиции можно на таких практических работах.
Пример 1. Нужно измерить емкость банки сначала кружками, а потом стаканами (рис. 2.18). В ходе измерения получили 5 кружек или 15 стаканов. Учитель обращает внимание на то, что стаканами измерять долго, и задает
Рис. 2.18
вопрос: "Нельзя ли узнать, не измеряя, сколько стаканов в банке?" Дети предлагают для этого измерять стаканами кружку. Так как в банке 5 кружек (старая мерка) и в одной кружке 3 стакана (новая мерка), то в банке 5 * 3 = 15 (стаканов).
Пример 2. Учитель предлагает быстро пересчитать тетради. Ученики считают по две тетради (старая мерка) и получают 15 пар, поэтому в пачке 15 - 2 = 30 (тетрадей).
Пример 3. Ученикам предлагается быстро измерить полоску и даются две мерки: в 1 дм и в 1 см Дети меряют сначала большой меркой и получают число 4. Так как 1 дм содержит 10 см (новая мерка 1 см), то вся полоска содержит 4 * 10 = 40 (см).
Пример 4. Задача. Сколько нужно плиток кафеля, чтобы обложить такую же стенку, которая изображена на рис. 31? Дети считают сначала рядами (1 ряд -старая мерка), а потом -сколько в ряду плиток (1 плитка - новая мерка). Всего плиток 4 * 9 = 36. *
Умножение на 1 можно объяснить так: пусть в примере 1 в кружке помещается ровно один стакан, тогда в банке будет 5 * 1 = 5 (стаканов).
Умножение на 0 можно объяснить на примерах, в которых новая мерка значительно больше старой мерки и измеряемой величины.
Нахождение результата вычитания основывается на следующем определении.
Определение. Разностью из натурального числа " а " натурального числа " b " называется такое натуральное число " с ", что а = b + с.
Таким образом, вычитание рассматривается как действие обратное сложению. Это позволяет находить результат вычитания не только путем отсчитывания по одному, но и используя зависимость между компонентами операции сложения: 5 - 2 = (5 - 1) -1 и 2 + П =5.
Нахождение результата деления основывается на следующем определении.
Определение. Частным от деления натурального числа " а" на натуральное неравное нулю число " b " называется такое натуральное число " с ", что а * b == с.
Так как деление есть операция обратная умножению, то для нахождения результата деления используется зависимость между компонентами операции умножения: 3 *П=6. На этом же основывается и составление таблиц вычитания и деления:
а) 2+3=5; 5 - 2=3; . б) 2 * 3 = 6; 6:2=3.
Деление с остатком в начальных классах основывается на следующем определении.
Определение. Делением натурального числа " а " на натуральное число «b» с остатком называется отыскание такого частного q и остатка г , что а = b * q + г, где г < b.
Согласно этому определению, наряду с записью, например, 23 : 5 = 4 (остаток 3), ученикам должна даваться и такая запись: 23 = 5 * 4 + 3. Это
позволяет разнообразить примеры на деление с остатком: П =5*4+3 (проверка деления с остатком); 23 = П * 4 + П; 23 == 5 * О + О. Ученик + О. Учеников должны знать не только порядковую структуру множества натуральных чисел, которая была приведена выше, но и алгебраическую структуру натуральных чисел. Приведем ее.
1. В множестве натуральных чисел всегда выполнима операция сложения.
2. В множестве натуральных чисел всегда выполнима операция умножения.
3. а + b = b + а (переместительное свойство сложения).
4. а * b = b * а (переместительное свойство умножения).
5. (а + b) +с = а + (b +с) (сочетательное свойство сложения).
6. (а * b) * с =а * (b * с) (сочетательное свойство умножения).
7. (а+b) * с =а *с+b *с (распределительное свойство умножения относительно сложения).
8. а + 0 = а.
9. а * 0 = 0.
10.а + 1 = а'.
11. а * 1= а.
Операции над многозначными числами основываются на позиционной системе счисления.
Определение. Счислением (нумерацией) называется совокупность способов устного наименования и письменного обозначения чисел.
Существуют непозиционные и позиционные системы счисления.
В непозипионной системе счисления каждый знак (цифра) служит для обозначения одного и того же числа. Примером непозиционной системы счисления является римская нумерация, которой широко пользуются в настоящее время. Например, XII - это 10 + 1 + 1 =12.
Позиционная система счисления базируется на поместном значении цифр, заключающееся в том, что один и тот же знак (цифра) означает одно и то же число единиц разных разрядов независимо от того, на каком месте в записи числа стоит этот знак. Например, в числе 737 цифра 7 означает числа семь и семьсот.
Изучение темы "Нумерация чисел" учитель должен начинать с формирования представления о позиционной системе счисления, в которой дети не только знакомятся с существованием систем счисления с разными основаниями, но и понимают необходимость существования позиционной системы счисления. Это можно осуществить в ходе такой практической работы.
Пример 1. Дается задание измерить достаточно большой отрезок маленькой меркой (рис. 2.19). Дети уже знают, что лучше взять для измерения большую мерку, им предлагается тогда мерка, которая содержит 41маленьких мерки (большая мерка может содержать какое угодно число маленьких мерок, но обязательно целое их число). Ученики получили, например, что большая мерка поместилось 3 раза, а в остатке поместилось 2 маленькие мерки. В результате у них получилось число 32 с основанием системы счисления 4.
Рис. 2.19
В зависимости от длины измеряемого отрезка можно брать для измерения большие мерки, которые содержат по 2, 3, 4, 5, ... маленьких мерок. Тем самым, ученики приходят к выводу, что существуют позиционные системы счисления с различными основаниями. Далее можно провести беседу о существовании в практической деятельности человека систем счисления с основанием 7 (число дней в неделе), 12 (число месяцев в году), 100 (число лет в веке), 60 (число минут в часе) и т. д.
В традиционном обучении при изучении нумерации чисел у учащихся отрабатываются понятия "десятки", "сотни", что приводит к смешению устной нумерации и письменной. Этого нельзя делать, потому, что это может привести к ошибкам. Например, дети часто говорят, что в числе 325 два десятка (вместо - 32 десятка), В дальнейшем это приводит к затруднениям в выполнении операций над многозначными числами, которые базируются на операциях над однозначными числами. Поэтому при изучении многозначных чисел нужно обращать внимание детей на разряды и на число единиц в разрядах. Например, в числе 6325 шесть единиц четвертого разряда, три единицы третьего разряда, две единицы второго разряда и пять единиц первого разряда. Такая работа позволит ученикам легче и быстрее усвоить операции над многозначными числами, которые производятся над разрядами. Законы операций над многозначными числами должны использоваться учителем для формирования вычислительных навыков.
VI. Числовые выражения. Числовые равенства и неравенства, их свойства
Любое число уже является числовым выражением. Если А и В -числовые выражения, то А + В, А - В, А * В, А : В также являются числовыми выражениями. Выполнив операции; которые имеют место в числовом выражении, получают значение числового выражения. Существуют выражения, которые не имеют значения. Например, выражение 28 ; 8 - 44 не имеет числового значения.
