Для обобщения специфической части, связанной с применением системы необходимых и достаточных признаков, даются для распознавания все типичные виды объектов, относящихся к данному понятию. Так, при формировании понятия угол важно, чтобы учащиеся поработали с углами, отличающимися по величине (от 0° до 360° и больше), по положению в пространстве и т.п. Кроме того, важно взять и такие объекты, которые имеют лишь некоторые признаки данного понятия, но к нему не относятся.
Для обобщения логической части действия распознавания даются для анализа все основные случаи, предусмотренные логическим правилом подведения под понятие, т.е. задания с положительным, отрицательным и неопределенным ответами. Можно включать также задания с избыточными условиями. Характерно, что в практике обучения, как правило, дается лишь один тип задач: с достаточным составом условий и положительным ответом. В результате учащиеся усваивают действие распознавания в недостаточно обобщенном виде, что, естественно, ограничивает пределы его применения. Задачи с избыточными, неопределенными условиями дают возможность научить учащихся не только обнаруживать те или иные признаки в предметах, но и устанавливать достаточность их для решения стоящей задачи. Последние в жизненной практике часто выступают как самостоятельная проблема.
Преобразование действия по двум другим свойствам достигается повторяемостью однотипных заданий. Делать это целесообразно, как было указано, лишь на последних этапах - шестом или пятом. На всех других этапах дается лишь такое число заданий, которое обеспечивает усвоение действия в данной форме. Задерживать действие на переходных формах нельзя, так как это приведет к автоматизации его в данной форме, что препятствует переводу действия в новую, более позднюю форму.
Во всех случаях, когда реализовались указанные условия, то есть процесс усвоения шел не стихийно, а контролировался учителем, понятия формировались с заданным содержанием и со следующими характеристиками:
Шестое условие - разумность действий испытуемых. Главное, что постоянно подтверждалось, - это ориентировка учащихся с самого начала на всю систему существенных признаков, т.е. имела место разумность действий.
Для установления разумности действий используются три вида задач:
а) задачи, в которых имеется полный состав условий, но чертеж не соответствует условиям задачи;
б) задачи с неполным составом условий и без чертежа;
в) задачи с неполным составом условий и не адекватным условию задачи чертежом. (Например, в условии сказано, что даны два равных угла с общей вершиной. Спрашивается, будут ли они вертикальными. На чертеже изображены вертикальные углы. Правильный ответ: «Неизвестно», так как нет данных о том, составляют ли стороны одного угла прямые линии со сторонами другого.) Этот вид задач объединяет в себе особенности первых двух. Проверку разумности целесообразно начинать с предъявления именно таких задач. Если испытуемый справляется с ними, то это достаточный показатель разумности его действий. В самом деле, подобные задачи могут быть правильно решены только при ориентировке на обобщенную систему существенных признаков и на логическое правило распознавания. В том случае, когда ученик ориентируется на чертеж, он обязательно ошибается. Если он учитывает лишь отдельные существенные признаки, то задача также будет решена неверно. Наконец, решение этих задач требует знания всех возможных случаев, которые могут быть при решении задач на распознавание. В частности, умения дифференцировать случай, когда ответ неопределенный, и случай, когда ответ отрицательный, то есть когда условия полные, но известно, что предмет не обладает какими-то необходимыми признаками.
Седьмое условие - осознанность усвоения. Все учащиеся при работе с понятиями должны правильно аргументировать свои действия, указывая при этом основания, на которые они опирались при ответе.
Восьмое условие - уверенность учащихся в знаниях и действиях. Учащиеся обнаруживают не только разумность и осознанность, но и большую уверенность в своих действиях.
Если действия выступают как предмет специального усвоения, где имеет место управление ходом их формирования, - действия и знания формируются как разумные, сознательные, произвольные, и это приводит к тому, что дети действуют адекватно и уверенно.
Девятое условие - отсутствие связанности чувственными свойствами предметов. При школьном обучении учащиеся лишены адекватной ориентировочной основы, поэтому они учатся дифференцировать предметы, опираясь на те их свойства, которые лежат на поверхности. Таким образом, ученики идут на поводу внешних, чувственных свойств не в силу особенностей своего мышления, а потому, что не имеют в своем распоряжении ничего более надежного. Но как только мы даем им средства опоры на существенные свойства, которые далеко не всегда являются наглядными, они успешно используют их, не попадают во власть случайных свойств, если даже последние являются яркими и постоянными в предметах.
Десятое условие - обобщенность понятий и действий. Обобщенность формируемых понятий и действий проверяется двумя путями. Во-первых, устанавливается возможность испытуемых применить сформированные понятия и действия в новых условиях, в той или иной степени отличающихся от условий обучения (например, сохраняя в процессе обучения устойчивость материала, цвета и формы объектов, в контрольных заданиях предъявляются объекты данного класса, имеющие другой цвет, другую форму, сделанные из другого материала). Во-вторых, устанавливается влияние сформированных понятий на процесс усвоения новых - как из той же области знаний, так и существенно иной.
Одиннадцатое условие - прочность сформированных понятий и действий. Сформированные знания и действия не только приводят к правильным ответам, но и сохраняют все рассмотренные качества: разум-ность, сознательность.
Используя данную систему условий можно добиться от учеников сознательного и систематического усвоения математических понятий, применения на практике.
2.2. Методическая система по формирования математических понятий: множества, величины, числа, алгебраических и геометрических понятий.
В начальных классах формируются следующие математические понятия:
1. Множество, частные случаи операций над множествами.
2. Величина.
3. Геометрический материал.
4. Число, количественный и порядковый (аксиоматический) подходы к множеству натуральных чисел.
5. Операции над натуральными числами (количественный и аксиоматический подходы), их свойства.
6. Числовые выражения. Числовые равенства и неравенства, их свойства.
7. Выражения с переменными, их область определения. Тождество.
8. Уравнения и неравенство; их область определения и множество решений. Свойства уравнений и неравенств.
9. Функции: понятие, область определения, область значений, способы задания.
Множество, частные случаи операций над множествами.
Множество - это основное неопределяемое понятие.
При формировании понятия «множество» нужно научить детей задавать множество указанием характеристических свойств, перечислением элементов, с помощью кругов Эйлера-Венна; уметь определять принадлежит ли данный элемент множеству или нет; находить мощность конечного множества (количество элементов множества).
Так, показав картину, учитель спрашивает: «Что на ней изображено?» Дети отвечают, например, «Яблоки» (то есть задается множество указанием характеристического свойства). Затем учитель показывает изображение груши и спрашивает: «Входит ли она в заданное множество?» Дети отвечают: «Нет».
Формирование смысла арифметических действий над натуральными числами и их свойств базируется на основе соответствующих операций над множествами и их законов. Здесь важно использовать множества, а не их мощности, то есть при формировании смысла арифметических действий нужно избегать возможности нахождения результата операции с помощью пересчета элементов получившегося множества.
Над множествами можно выполнять 5операций.
Рассмотрим их.
1. Объединение множеств.
Объединением двух множеств называется такое множество, элементы которого принадлежат хотя бы одному из этих множеств.
Это определение легко можно проиллюстрировать на кругах Эйлера-Венна, где заштрихованная часть является результатом объединения двух множеств (рис. 2.1):
а) б) в) г)
Рис. 2.1
Основные свойства этой операции:
а) коммуникативный закон: А В = В А
б) ассоциативный закон: {А В} C = A {B C}.
Случай а) является теоретической основой формирования смысла операции сложения натуральных чисел, а коммуникативный и ассоциативный законы выступают в начальных классах как переместительное и сочетательное свойства суммы натуральных чисел.
Операцию сложения натуральных чисел можно сформировать с помощью такой практической работы. Слева на парте лежат треугольники, а справа квадраты. Учитель просит собрать вместе и назвать получившееся множество. Дети отвечают: «Мы получили геометрические фигуры». Учитель обобщает: «Мы выполнили сложение, которое обозначается знаком «+» и называется суммой (рис.2.2).
+
сумма
Рис. 2.2
Таким образом, сложение натуральных чисел рассматривается как частный случай объединения двух чисел.
Так как объединение множеств коммунитативно и ассоциативно, то переместительное и сочетательное свойства сложения можно сформировать сразу же после введения слова «сумма». Так учитель может задать вопрос: «Изменится ли сумма, если сначала в центр парты положить квадраты, а потом треугольники?
Показать прикладную сторону использования коммунитативности сложения можно на такой практической работе.
На партах учеников выложены треугольники и квадраты. Количество квадратов в 3 - 4 раза превышает количество треугольников. Кто быстрее по одной геометрической фигуре соберет их в одну группу. После практической работы ученики должны сделать вывод, как быстрее можно выполнить работу и почему.
2. Пересечение множеств.
Пересечением двух множеств называется такое множество, элементы которого принадлежат первому и второму множеству (рис. 2.3).
а) б) в) г)
Рис. 2.3
Основные свойства этой операции:
а) коммуникативный закон: А В = В А
б) ассоциативный закон: {А В} C = A {B C}.
Пересечение двух множеств можно формировать в начальных классах при рассмотрении, например, общей части геометрических фигур: прямоугольника АВСД и квадрата КСМЕ (рис. 2.4).
В С
М
А К
Е
Рис. 2.4
3. Разность множеств.
Разностью множеств А и В называется такое множество, элементы которого принадлежат множеству А и не принадлежит множеству В (рис.2.5).
Случаи г) и д) являются теоретической основой формирования смысла операции вычитания натуральных чисел.
а) б) в) г) д)
Рис. 2.5
Операцию вычитания натуральных чисел можно сформировать с помощью такой практической работы.
В пенале лежат письменные принадлежности (ручки и карандаши), выложили на парту все ручки, а карандаши с пеналом положили в портфель. Надо узнать, сколько было карандашей. Чтобы ответить на вопрос задачи, надо знать, сколько было письменных принадлежностей всего, сколько было ручек. Разность между ними и есть карандаши. Таким образом операция вычитания натуральных чисел рассматривается как случай разности двух множеств.
4. Декартово произведение двух и более множеств.
До сих пор порядок записи элементов множества роли не играли. Однако в практике, зачастую, порядок записи элементов имеет большое значение. Например, порядок букв в слове, или порядок записи однозначных чисел в многозначном числе (23 = 32).
Кортежем длины n называется упорядоченная n - ка (а , а , …а ), где а А ,а А ,…, а А .
Декартовым произведением множеств А х А х…х А называется множество всевозможных кортежей ( а , а ,…а ), где а А , а А,… а А .
Декартово произведение обладает следующими основными свойствами:
1) А х В = В х А;
2) M (A x B) = m (B x A) - количество элементов декартова произведения В х А.
В начальных классах операция умножения натуральных чисел рассматривается как мощность декартова произведения.
Операцию умножения натуральных чисел можно сформировать с помощью такой практической работы.
На парте лежат короткие, средние, длинные палочки красного, синего, желтого и белого цветов. Надо разложить их по цвету и по размеру.
По цвету По размеру
Красные- Короткие - красная, синяя, желтая, белая
Синие - Средние - красная, синяя, желтая, белая
Желтые - Длинные - красная, синяя, желтая, белая
Белые -
В первом случае палочек 3 + 3 + 3 + 3 = 3 х 4, во втором - 4 + 4 + 4 = 4х3.
Так как в обоих случаях были разложены все палочки, то 3 х 4 = 4 х 3. Таким образом, эта практическая работа позволяет сформировать не только смысл операции умножения как мощности декартового произведения, но и переместительное свойство умножения.
5. Разбиение.
Операция разбиения на попарно непересекающееся подмножества характеризуются следующими свойствами:
1) ни одно из подмножеств не пусто;
2) любые два подмножества не имеют общих элементов;
3) объединение всех подмножеств дает данное множество.
Операция деление натуральных чисел опирается на разбиение конечного множества на попарно непересекающиеся равномощные подмножества. Она раскрывается путем рассмотрения задач на деление по содержанию и равные части. Это можно осуществить на примере таких работ.
Пример № 1. Несколько карандашей надо раздать трем ученикам. Сколько карандашей получит каждый ученик и сколько их было?
Сначала раздадим по одному карандашу, потом еще по одному и так далее. Пусть каждый ученик получил по 4 карандаша, тогда всего карандашей было: 4 кар. х 3 =12 кар.
Пример № 2. Несколько карандашей надо раздать детям по 4 карандаша. Сколько учеников получит карандаши и сколько их было всего?
Сначала 4 карандаша дали одному ученику, потом 4 карандаша дали второму и так далее. Пусть 3 ученика получили по 4 карандаша, тогда всего карандашей было : 4 кар. х 3 = 12 кар.
Затем учитель должен обобщить полученные результаты: «В первой задаче мы искали первый сомножитель, а во второй задаче мы искали второй сомножитель. Так как умножение обладает переместительным свойством, то мы выполнили в обеих задачах одну и ту же операцию, которая называется делением». После этого учитель записывает:
4 х 3 = 12; 12 3 = 4;
4 х 3 = 12, 12 4 = 3.
2. Величина
Понятие величины является фундаментальным в школьном курсе математики и, в особенности, в начальном обучении. Ведь исторически работа с величинами и привела к появлению математики как таковой. Рассматривая величину как свойство однородных предметов или явлений «быть сравнимым», учитель может с помощью конкретных предметных действий сформировать у учащихся такие важнейшие понятия, как положительное действительное число, операции над числами и их законы, измерение величин и именованные числа, тесно связать геометрический и арифметический материал.
Величины бывают трех видов: скалярные, аддитивно-скалярные, векторные.
Примером скалярных величин является свойство химических элементов быть сравнимыми по активности. Так, натрий более активен, чем железо. Однако, сказать, на сколько он более активен нельзя, то есть нельзя выполнить операцию сложения: к активности железа нельзя, например, добавить активность свинца и получить активность натрия поэтому скалярные величины не являются той основой, на которой возникла математика.
Аддиктивно-скалярные величины (аддитивность - это наличие операции сложения; аддитивная операция - операция сложения) можно не только сравнивать, но и определять, на сколько один элемент множества, обладающего величиной, больше (меньше) другого элемента этого же множества.
Таким образом, аддитивно-скалярные величины можно складывать и поэтому именно на их основе возникла в результате абстрагирования математика. Примером аддитивно-скалярных величин является множество отрезкой, площадей.
Векторные величины можно сравнивать не только с позиции «столько», «больше». «меньше», но и по направлению. Примерами векторных величин является скорость, ускорение.
В начальных классах специальным предметом изучения являются следующие аддитивно-скалярные величины: количество, длина, площадь, масса, емкость, время.
В дальнейшем, для упрощения, вместо того, чтобы говорить «аддитивно-скалярная величина», или «множество, обладающее величиной», будем говорить просто «величина».
Рассмотрим основные свойства величин.
1. Свойство быть сравнимым.
Это свойство должно формироваться в начальных классах в три этапа на основе предметных действий детей.
а) Визуальное сравнение.
Приведем примеры практических работ.
Пример 1. (рис. 2.6). Приложив полоски, выяснить, какие из них длиннее (рис. 2.6).
Пример 2. Наложив друг на друга два листа бумаги, выяснить, какой из них больше (рис. 2.7).
Рис. 2.7
Пример 3. Взяв в одну руку деревянный шар, а другую металлический шар, определить, какой из них тяжелее (шары одинаковые по размеру).
Пример 4. Сравнить два ведра одинаковой формы и ответить, в какое из них больше поместиться воды (рис. 2.8).
Рис. 2.8
б) Опосредованное сравнение.
Пример 1. Ученикам предлагается сравнить длины двух отрезков, изображенных на доске; определить по рисунку в книге, кто из детей живет ближе к школе.
Чтобы ответить на поставленный вопрос, используются две веревочки. Ими измеряют длины, а затем наложением сравнивают.
Пример 2. Ученикам предлагается сравнить массы двух тел, с этой целью используются рычажные весы.
