Всего в учебнике восемь глав: первообразная и интеграл; степени и корни, степенные функции; показательная и логарифмическая функции; уравнения и неравенства, системы уравнений и неравенств; круглые тела; объем и площадь поверхности; координаты векторы; элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей.
Необязательные параграфы: переход к новому основанию логарифмов; уравнения и неравенства с параметрами; многогранники, вписанные в сферу; многогранники, описанные около сферы; ориентация плоскости, лист Мебиуса; уравнение прямой в пространстве; аналитическое задание пространственных фигур; многогранники в задачах оптимизации.
В данном комплекте учебников есть материал, позволяющий реализовывать межпредметные связи математики и гуманитарных дисциплин, большая часть такого материала имеет геометрическое содержание (центральное проектирование, звездчатые многогранники, ориентация плоскости, лист Мебиуса и др.), также достаточно хорошо разработана система задач. Некоторые задания и примеры возможно использовать и в рамках элективного курса.
Математика: учебное пособие для 10-11 классов гуманитарного профиля / М. И. Башмаков - М.: Просвещение. - 2004 г.
Книга является учебным пособием по курсу математики для 10-11 классов общеобразовательной школы, ориентированных на гуманитарный профиль. Учебник может быть использован при 4 часах математики в неделю. Программный материал расположен по содержательным линиям и подан в форме учебных модулей - уроков, всего 44 модуля. Такая модульная структура, по-мнению авторов, облегчает работу по составлению календарного планирования. Всего в книге семь глав, все имеют интересные заглавия: «Вокруг числа», «Как это выглядит», «Глядя на график», «Учимся логике», «Движемся по кругу», «Кто быстрее», «Семь раз отмерь». В конце приведены «Беседы о математическом языке», где имеется материал по темам: «Множества», «Эквивалентность», «Упорядоченность», «Операции», «Графы», «Отображения». По всем темам предложены различные задания. Беседы также сопровождают и каждую главу, что дает возможность изучать материал на разных уровнях. Каждая глава разделена на уроки. Уроки содержат следующие разделы: текст (новый материал), примеры, приложение (дополнительные сведения), задания к уроку,
есть задания на смекалку и на выбор ответа с обоснованием. После каждой главы есть занимательная страничка и исторические сведения. Важная особенность учебника - представление урока на двух разворотах. На первом развороте помещается весь теоретический материал, на втором - практический.
При таком построении есть возможность составить представление о характеристике изучаемого материала, его объеме.
Об этом учебнике нельзя сказать, что в нем просто сокращен материал. Наоборот, в курс вошли многие понятия, сведения и целые разделы, отсутствующие в стандартном курсе (комплексные числа, статистика, вероятность, кванторы, интерполяция и др.) Все это позволяет сказать, что в учебнике есть хороший материал для осуществления межпредметных связей: беседы, занимательные странички, исторический материал. Этот учебник полезно использовать и как дополнительную литературу при подготовке к занятиям элективного курса. На мой взгляд, именно этот учебник наиболее подходит для использования в обучении математике в гуманитарном классе, благодаря достаточной простоте изложения материала и своему оформлению.
Таким образом, рассмотренные учебники и учебные пособия отличаются содержанием, уровнем обоснования, задачным материалом. Учитель математики, преподающий в гуманитарных классах, имеет возможность выбора учебника. Как было уже отмечено, в рассмотренных учебниках содержится достаточно хороший материал, на основе которого можно осуществлять связи математики и гуманитарных дисциплин, хотя для подготовки элективного курса такого материала недостаточно.
Подробнее вопрос о возможных путях реализации межпредметных связей на элективном курсе по началам анализа в гуманитарных классах будет рассмотрен в следующем параграфе на примере двух разделов начал математического анализа: «Показательная и логарифмическая функции», «Производная и ее приложения».
2.2 Реализация межпредметных связей отдельных разделов алгебры и начал математического анализа
2.2.1 Показательная и логарифмическая функции
Для начала предложим примерный план занятий элективного курса по данной теме
№ | Тема | Краткое содержание | Часы | |
1 | Как появилась показательная функция? (Урок-экскурсия в прошлое) | 1. Интересные исторические факты, рассказы, легенды, связанные с возникновением показательной функции. 2. Показ «нематематических» истоков появления показательной функции. 3. Доклады учащихся. | 1 | |
2 | Это загадочное число е | 1. История появления числа е. 2. Показ связи между числом е и формулой сложных процентов. 3. Решение задач на формулу сложных процентов. | 1 | |
3 | Свойства показательной функции и их применение к решению уравнений и неравенств | 1. Повторение свойств показательной функции. 2. Преобразование графика показательной функции. 3. Применение свойств показательной функции к решению уравнений и неравенств. | 2 | |
4 | Применение показательной функции в различных областях знаний | 1. Решение задач с историческим, практическим содержанием с применением знаний, полученных на уроках. | 2 | |
5 | Как появилась логарифмическая функция? (Урок-экскурсия в прошлое) | 1. Интересные исторические факты, рассказы, легенды, связанные с возникновением логарифмической функции. 2. Показ «нематематических» истоков появления логарифмической функции. 3.Доклады учащихся. | 1 | |
6 | Свойства логарифмическойфункции и их применение к решению уравнений и неравенств | 1. Повторить свойства логарифмической функции. 2. Преобразование графика логарифмической функции. 3. Применение свойств логарифмической функции к решению уравнений и неравенств. | 2 | |
7 | Применение логарифмической функции | 1. Решение задач с историческим, практическим содержанием с применением знаний, полученных на уроках о логарифмической функции, ее графике и свойствах. | 2 | |
8 | Урок-диспут на тему: «Чем показательная функция похожа на логарифмическую» | Главная цель урока - обобщить и закрепить имеющиеся знания о показательной и логарифмической функции, найти их общие и различные свойства. | 1 |
Кратко охарактеризуем этот курс. Элективный курс является предметным с практической направленностью, цель которого - повторение материала, обобщение понятия функции и свойства функций, расширение знаний о показательной и логарифмической функциях.
Но так как курс рассчитан для проведения в гуманитарных классах, то в нем достаточно большую часть занимает материал прикладного характера, то есть обращение к историческим фактам, решение практических, занимательных задач. Вернемся к главному вопросу - реализации межпредметных связей в рамках этого курса. Как было сказано выше, взаимосвязи в основном проявляются в содержании элективного курса. Возможно выделить такие способы установления межпредметных связей:
Использование дополнительной информации: интересных фактов, исторических сведений, легенд, особенно при введении новых понятий.
Показ применения изучаемого понятия в области предмета, являющегося профильным.
Использование практико-ориентированных задач, содержание которых отражает факты предмета, являющегося профильным.
Рассмотрим, как можно реализовывать эти способы в рамках данного элективного курса.
Например, перед изучением показательной функции можно привести следующую легенду.
По преданию шахматы были изобретены в пятом веке нашей эры в Индии. Богатый индусский царь Шерам был так восхищен этой игрой, что решил достойно отблагодарить изобретателя шахмат Сете. Сета попросил награду, на первый взгляд, поразившую своей «скромностью». Он попросил выдать ему за первую клетку шахматной доски одно пшеничное зерно, за вторую клетку два пшеничных зерна, за третью - 4, за четвертую - 8 зерен, за пятую - 16 и так далее до 64 клетки доски. При этом за каждую следующую клетку доски следует выдавать в два раза больше, чем за предыдущую. Царь Шерам был недоволен, так как считал, что Сета, прося столь ничтожную награду, пренебрегает царской милостью. Но оказалось, что Сета попросил такую награду, что никакой даже самый богатый царь не сможет ее выполнить. Давайте разберемся почему так? Попытаемся вместе с придворным царским математиком подсчитать, сколько же зерна пшеницы должен получить изобретатель Сета. Составим таблицу:
Номер Клетки | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | |
Количество Зерен | 1 |
7 | 8 | 9 | 10 | 11 | … | 63 | 64 | |
Из этой таблицы следует, что на клеточку номер n нужно положить зерен, например, на клеточку номер 11 нужно положить зерен, а на клеточку номер 21 - зерен и т. д. Для того, чтобы подсчитать величину награды, мы должны сложить зерна, лежащие на всех клеточках шахматной доски:
Заметим, что есть 64 числа , которые образуют геометрическую прогрессию, первый член которой равен 1 , последний - и знаменатель q = 2. Сумма членов такой последовательности вычисляется по формуле:
Применим к нашему случаю и получим:
Читается это гигантское число так: восемнадцать квинтиллионов четыреста сорок шесть квадриллионов семьсот сорок четыре триллиона семьдесят три миллиарда семьсот девять миллионов пятьсот пятьдесят одна тысяча шестьсот пятнадцать. Такую награду должен дать царь Шерам изобретателю шахмат Сете. Представим себе тот объем, который занимает такое количество зерна. Известно, что 15000000 зерен пшеницы вмещается в 1 кубический метр. Разделив S на 15000000, мы получим, что награда должна занять 12 000000000000 м3 - двенадцать триллионов кубических метров. Для того, чтобы поместить такое количество зерна, достаточно, например, построить амбар, в основании которого лежит прямоугольник со сторонами 8 м и 10 м, а высота равна 150000000000 м = 15000000 км, что совпадает с расстоянием от Земли до Солнца! Совершенно ясно, что такого количества зерен нет ни у какого царя и выполнить просьбу Сете невозможно!
После того, как была рассказана эта легенда, можно переходить непосредственно к самой показательной функции.
Вернемся к количеству зерен, который нужно положить в клетку номер n шахматной доски. Обозначим это число через .Тогда
Таким образом, мы определили на множестве натуральных чисел функцию f , значения которой находятся по формуле: .
Заметим, что если некоторая величина на каждом шагу увеличивается вдвое, то она очень быстро возрастает. Такой рост характерен и для живых существ, если у них нет естественных врагов и достаточно ресурсов(пищи, воды, территории и т. д.). Например, когда однажды в Австралии оказалось на воле пара кроликов, то они размножались настолько быстро, что превратились в угрозу всему сельскому хозяйству страны.[6]
Такие несложные примеры из различных областей знаний, которых можно привести множество, помогают учащимся осознать естественную необходимость существования и изучения понятия показательной функции.
Что касается второго способа, то есть показа применения изучаемого понятия в области предмета, являющегося профильным, то возможен такой вариант. После того, как будет введено число е, на занятии элективного курса нужно установить связь числа е с формулой сложных процентов.
Еще в Древнем мире было широко распространено ростовщичество - дача денег в долг под процент. В Древнем Вавилоне Лихва составляла до 20% в год. При этом, если должник не возвращал вовремя долг, на следующий год проценты начислялись уже не только на основную сумму долга, но и на наросшие проценты и т. д. Во многих случаях это приводило к тому, что должник оказывался несостоятельным и попадал в рабство.
Рассмотрим задачу:
Взята в долг сумма а рублей. Какую сумму надо отдать через n лет, если деньги взяты под р % в год?
Ясно, что за первый год нарастает сумма равна и общая сумма долга равна ???????????????(рублей). На второй год проценты начисляются уже на сумму и составляют сумму , а потому общая сумма долга равна: . Аналогично, к концу третьего года долг будет составлять , четвертого: . Вообще через n лет сумма долга составит: .
Полученное равенство называют формулой сложных процентов.
Эту формулу применяют для вычисления суммы и в том случае, когда число протекших лет не является целым. Именно, через х лет надо выплатить сумму рублей.
При а=1 эта формула принимает вид: и задает показательную функцию с основанием: .
При р=100 имеем .
Предположим теперь, что начисление процентов происходит не ежегодно, а ежемесячно, но зато процентная ставка в 12 раз меньше. Тогда через х лет сумма долга будет выражаться формулой .Вычисления показывают, что Если начисление процентов будет производиться ежедневно, но процентная ставка будет в 365 раз меньше (29 февраля начисления не производятся), то через х лет сумма долга будет выражаться формулой: . Вычисления показывают, что: .
Это значение весьма близко к значению числа е. Можно показать, что по увеличению n значение числа приближается к е.
Другие примеры применения показательной и логарифмической функции в различных областях знаний представлены в приложении 1 .
Использование таких примеров полезно при введении понятия показательной и логарифмической функции и их свойств.
Учащиеся отвлекаются от сухого изложения материала, формул, которые просто заучивают наизусть, не понимая зачем. Такие примеры позволяют осмысленно применять знания и, пожалуй, самое главное, делают изучение математики интереснее и легче.
Третий способ осуществления межпредметных связей может быть реализован с помощью задач, содержание которых связано профилирующим предметом. Отбирать задачный материал для данного элективного курса необходимо, учитывая принципы, выделенные в I главе.
После того как была установлена связь числа е с формулой сложных процентов можно предложить учащимся следующие задачи:
В романе М. Е. Салтыкова-Щедрина «Господа Головлевы» есть такой эпизод. Порфирий Владимирович сидит в кабинете, исписывая цифирными выкладками листы. На этот раз его занимает вопрос: сколько было бы теперь денег, если бы маменька подаренные ему при рождении дедушкой на зубок сто рублей не присвоила себе, а положила их в ломбард на имя малолетнего Порфирия? Выходит, однако, немного: всего 800 рублей. Предполагается, что Порфирию в момент счета было 53 года. Попробуйте установить, по скольку процентов платил в год ломбард.
На покупку новой техники фермер взял в банке 20000 рублей. Вычислите сумму долга, если деньги были взяты 6,5 лет тому назад и процентная ставка равна 4%.
В новелле О. Бальзака «Гобсек» один из героев, господин Дервиль, взял у ростовщика Гобсека сумму в 150000 сроком на 5 лет по 15% годовых. Какую сумму вернул Дервиль Гобсеку по прошествии этого срока?
В магазине «Обувь для Вас» цену на весь товар сначала повысили на 10 %, а через месяц снизили на 10 %. Дороже или дешевле стал товар по сравнению с начальной ценой?
За 3 года работы количество читателей в библиотеке увеличилось со 100 человек до 1080. Найдите средний годовой процент увеличения количества читателей.
Участник лотереи выиграл 5000 рублей и положил их на хранение в банк. За хранение денег Сбербанк начисляет 8% годовых. В течении 5лет вкладчик не снимал деньги со счета. Сколько денег будет на счете вкладчика через год, через два года, через пять лет? Запишите формулу для вычисления количества денег на счете через n лет.
В автоинспекции города подсчитали, что число легковых автомобилей увеличивается на 15 % ежегодно. Во сколько раз увеличилось число автомобилей за 5 лет?
Соответствие предложенных задач с выделенными в I главе принципами достигается за счет:
· связи задач с материалом, изученным на уроке: формула сложных процентов уже известна учащимся;
· сюжета задач;
· используемых методов работы с задачей. Главным образом применяются эвристические приемы: беседа, поиск сходной задачи среди ранее решеных, переформулировка задачи и др.
· формулирования вопросов задачи, то есть использования задач просто на нахождение какой-то величины, на оценку величины, на вывод закономерности.
