· Свойства показательной и логарифмической функций.
· Преобразование графиков показательной и логарифмической функций.
Такие проекты будут иметь своей целью систематизацию знаний и полное исследование данных функций, особенное внимание должно быть обращено исследованию методами математического анализа и вопросам преобразования графиков функций.
· Использование свойств показательной и логарифмической функции при решении уравнении и неравенств.
Цель такого проекта - выделить, какие типы уравнений и неравенств можно легко решить с помощью свойств функций.
Все проекты требуют серьезной подготовки, но привлечь внимание учащихся можно, используя для реализации таких проектов информационные технологии. С проектами учащиеся выступают на занятии.
Другие вопросы элективного курса будут с интересом восприниматься учащимися, если предложить им различные доклады, то есть использовать метод реферативно-исследовательской деятельности. Например:
· Применение логарифмов в природе.
· Применение логарифмов в технике.
· Применение логарифмов в музыке.
· Применение логарифмов в живописи.
· Логарифмы и звезды.
Такие доклады наилучшим образом способствуют установлению межпредметных связей.
Не стоит забывать о таких творческих заданиях, как составление кроссвордов и чайнвордов, которые можно предложить для решения учащимся на заключительных занятиях.
Метод использования информационных технологий может применяться во всех вышеперечисленных видах работ при выборе соответствующего материала, что позволит повысить интерес к предмету, освоить некоторые компьютерные технологии (создание публикаций, презентаций), сделать свои проекты и доклады наглядными и интересными.
Мы рассмотрели, как можно реализовывать межпредметные связи за счет содержания излагаемого материала. Выше было отмечено, что также возможно осуществление связей и через частичное использование на занятиях по математике методов профилирующей науки.
У каждой науки есть свои специфические методы. В математике, например, это векторный метод, метод геометрических преобразований, метод уравнений и неравенств и другие. Рассмотрим, как методы, специфические для других наук, могут быть использованы в обучении математики.
Специфическими методами изучения экономики являются методы анализа и математического моделирования. Построение математических моделей можно широко использовать и на элективных курсах по алгебре и началам анализа, например, построение моделей работы предприятия, спроса и предложения на товары. Построение всех этих моделей нуждается в хорошем знании показательной и логарифмической функций.
В исторических науках часто применяются сравнительные методы. При изучении математики эти методы также имеют место. Особенно полезны эти методы при сравнении показательной и логарифмической функций, их графиков и свойств.
В литературе часто применяется метод художественного перевода. На уроках иностранных языков также широко используется перевод с одного языка на другой. На уроках математики можно реализовывать этот метод, предлагая учащимся задания, где необходимо перевести задание с естественного языка на язык математики, то есть записать некоторое математическое предложение с помощью формул, и наоборот.
Например: 1) Имеется график функции , требуется описать все свойства этой функции; 2) Имеется словесное описание показательной функции:
· Область определения - множество действительных чисел - R;
· Множество значений - множество всех положительных действительных чисел - ;
· Функция возрастает на всей числовой прямой;
· Известно, что .
Требуется записать функцию формулой и схематично построить ее график.
Конечно, при проведении элективных курсов в гуманитарных классах желательно использовать разнообразные, нестандартные формы, приемы и средства проведения занятий. В качестве формы проведения занятия можно использовать урок-путешествие (особенно при рассмотрении некоторых исторических фактов), урок-диспут (можно использовать такую форму на обобщающем занятии при сравнении показательной и логарифмической функции), различные лабораторные работы. На каждом таком уроке межпредметные связи будут в большей части осуществляться за счет содержания.
Выбирая формы работы с учащимися, не стоит говорить о том, какие из них предпочтительнее для реализации межпредметных связей, так как на различных уроках используются различные формы: индивидуальная, групповая и фронтальная. Выбор формы будет существенно зависеть от особенностей класса и излагаемого материала.
Таким образом, мы кратко охарактеризовали элективный курс по теме «Показательная и логарифмическая функции» с точки зрения реализации межпредметных связей. Было показано, как осуществить эти связи на основе содержания материала и методов профилирующих наук, приведены примеры задач, которые могут быть использованы на элективном курсе, даны некоторые методические рекомендации.
2.2.2 Производная и ее приложения
Для начала предложим примерный план занятий элективного курса по данной теме
№ | Тема | Краткое содержание | Часы | |
1 | Понятие производной, ее геометрический смысл. Уравнение касательной и нормали. | 1. Повторить основные понятия, связанные с производной. 2. Геометрический смысл производной. 3. Механический смысл производной. 4. Показать, как решаются задачи с использованием уравнения касательной. | 2 | |
2 | Вычисление производной. Правила дифференцирования. | 1. Показать несколько способов вычисления производной (по определению через предел, с помощью таблицы производных). 2. Решение заданий с применением правил дифференцирования. | 2 | |
3 | Как появилась производная? (Урок-экскурсия в прошлое) | 1. Интересные исторические факты, связанные с возникновением и развитием понятия производная. 2. Доклады учащихся. | 1 | |
4 | Исследование функций | 1. Показать, как применять производную для исследования функций (исследование на максимум и минимум; нахождение второй производной и исследование функции на выпуклость, построение схематических графиков функций) | 2 | |
5 | Применение производной | 1. Показать учащимся возможность применения производной в других науках и повседневной жизни | 2 | |
6 | Метод математического моделирования | 1. Дать понятие математического моделирования 2. Привести простейшие примеры использования математического моделирования | 2 | |
7 | Задачи на оптимизацию | 1. Определить класс задач на оптимизацию и показать преимущества решение таких задач с помощью производной | 2 |
Производная - одно из фундаментальных понятий математики. Основной целью проведения занятий элективного курса является показать широкое применение производной в различных науках (математике, физике и технике, естествознании и химии, сельском хозяйстве и военном деле, экономике).
В математике производная применяется для вычисления производной, исследования функций, в практических задачах оптимизации.·В физике с помощью производной находится сила, мощность, масса тонкого стержня, сила тока, скорость и ускорение, теплоёмкость.·В химии и естествознании - для нахождения дозы лекарства, при которой побочный эффект будет минимальным, а реакция максимальной.·В экономике - для анализа производственных функций, широко используемых в современных экономических исследованиях.
Кратко охарактеризуем этот курс. Элективный курс является предметным с практической направленностью, цель которого - повторение, углубление и обобщение материала, расширение кругозора учащихся, более подробное рассмотрение вопросов, связанных с применением производной в других науках, использования производной для исследования функций и решения задач на оптимизацию. Но так как курс рассчитан для проведения в гуманитарных классах, то в нем достаточно большую часть занимает материал прикладного характера, то есть, обращение к историческим фактам, решение практических, занимательных задач. Вернемся к главному вопросу - реализации межпредметных связей в рамках этого курса.
Рассмотрим применение выделенных в Главе II §2, п. 2.1 трех способов.
На занятии об истории возникновения понятия производной можно привести следующий материал. Одной из важных предпосылок появления дифференциального исчисления стали практические задачи нахождения кратчайшего пути. Первые задачи на максимум и минимум были поставлены в V веке до н.э. Эти задачи решали Евклид, Архимед, Кеплер, Герон, Ферма. Общие методы не были разработаны, каждая задача решалась индивидуально. Ферма установил, что свет в неоднородной среде движется вдоль такой траектории, чтобы время прохождения пути было наименьшим. В XVII веке были разработаны общие методы решения задач на экстремум Ньютоном и Лейбницем.
Подробный материал об этих открытиях могут подготовить и сами учащиеся.
Важным моментом является показ практического применения производной.
Подробнее можно рассмотреть следующие примеры.
Бумажный змей
Бумажному змею, имеющему форму кругового сектора, желают придать такую форму, чтобы он вмещал в данном периметре р = 80 см наибольшую площадь. Каковы должны быть размеры бумажного змея?
Рис.3
Решение.
Введем обозначения (рис.3):
Пусть радиус сектора - х, дугу обозначим за у, тогда периметр можно выразить так: и площадь равна: . Выразим и подставим в формулу площади: . Найдем производную функции S:
Исследуем функцию на интервале (0 ; 80). Получаем, что в точке функция принимает наибольшее значение, что нам и требовалось по условию задачи. Таким образом, мы нашли такие размеры кругового сектора и , при которых площадь бумажного змея наибольшая.
Ответ: 20, 40.
Примеров таких задач множество, особенно применительно к задачам экономического содержания. Приведем пример. Функция прибыли фирмы имеет вид: П(Q)=R(Q) - C(Q)=2/5 Q2 - 4Q + 20, где R(Q) - выручка, C(Q) - издержки. Сколько следует фирме производить продукции, если ее производственные мощности ограничены объемом производства Q = 3.
Решение.
Задача сводиться к исследованию функции на наибольшее значение на промежутке [0;3].
П?(Q) = 4/5 Q - 4
П?(Q) = 0
Q = 5
Таким образом, Q = 5 - критическая точка. Проанализируем характер изменения производной (Рис. 4)
Рис.4
При Q < 5 П?(Q) < 0 и прибыль убывает; при Q > 5 П?(Q) > 0 и прибыль возрастает. Следовательно, в точке экстремума прибыль принимает минимальное значение, и таким образом этот объем производства не является оптимальным. Точка Q = 5 не принадлежит промежутку [0;3], и функция на нем убывает, следовательно, она принимает наибольшее значение при Q = 0. В этом случае при Q = 3, фирме выгодно ничего не производить (например, сдавать помещение в аренду) [7].
Рассмотрим, как возможно реализовать межпредметные связи на основе задачного материала. Здесь при составлении системы задач нужно учитывать принципы, выделенные в I главе. Особое значение имеют принципы преемственности, связи теории с практикой и принцип полноты. На отработку данной темы в классах гуманитарного профиля можно предложить различные прикладные задачи, в том числе социально-экономического содержания. Содержательная сторона задач должна соответствовать реальной действительности, отвечать интересам учеников, можно использовать историко-научный материал. Например:
· Легенда об основании Карфагена гласит, что когда финикийский корабль пристал к берегу, местные жители согласились продать прибывшим столько земли, сколько можно оградить бычьей шкурой. Но хитрая финикийская царица Дидона разрезала эту шкуру на ремешки, связала их и оградила ремнем большой участок земли, примыкавший к морю. Считая берег моря прямолинейным, а огражденный участок прямоугольным, перед Дидоной встала задача: как оградить прямоугольный участок имеющимися ремешками длиной l, чтобы площадь была наибольшей? [9]
· База находится в лесу в 5 км от дороги, а в 13 км от базы на этой дороге есть железнодорожная станция. Пешеход по дороге идет со скоростью 5 км/ч, а по лесу - 3 км/ч. За какое минимальное время пешеход может добраться от базы до станции? [18]
· Командиру межгалактического космического корабля, движущемуся по закону x(t)=1+9t+3t2-t3 , сообщили о том, что приборы зафиксировали неопознанный летающий объект, стремительно приближающийся к кораблю. Чтобы избежать столкновения, необходимо максимально увеличить скорость. Каким должно быть ускорение корабля в момент, когда скорость станет максимальной? [29]
· Задача из истории математики, которую Евклид решал чисто геометрическим методом: доказать, что из всех параллелограммов, вписанных в данный треугольник, наибольшую площадь имеет тот, основание которого равно половине основания треугольника [9].
Для решения задач на оптимизацию желательно вместе с учащимися составить алгоритм, который совмещал бы в себе схему решения задач методом математического моделирования и алгоритм нахождения наибольшего (наименьшего) значения непрерывной функции. Действовать по алгоритму учащимся-гуманитариям проще, к тому же алгоритмы помогают свертывать рассуждения, избегать многословности.
Здесь важно подчеркнуть, что многие задачи на нахождение максимума или минимума можно решить и другими способами, но их, порой, очень сложно найти. А использование производной является универсальным способом для всех задач такого типа [37].
Перейдем к рассмотрению реализации межпредметных связей темы «Производная и ее приложения» с гуманитарными дисциплинами, учитывая методы самой науки, являющейся профильной.
Что касается реализации межпредметных связей на основе методов наук, то здесь нужно отметить, что особенно приложения производной используются при математическом моделировании, которое широко применяется во многих науках с целью прогнозирования и последующего принятия решений, поэтому при изучении приложений производной можно использовать и этот метод.
Также возможно использование метода наблюдения, сравнения, например, при исследовании функций.
Рассмотрим, какие методы обучения могут быть использованы в ходе данного элективного курса. Как уже отмечалось выше, лучше использовать активные методы работы с учащимися. Возможно предложить такой проект: «Производная и ее применение». Цель такого проекта - ответить на вопрос: «Мы изучаем производную. А так ли это важно в жизни?» Можно выдвинуть гипотезу: «Дифференциальное исчисление - это описание окружающего нас мира, выполненное на математическом языке. Производная помогает нам успешно решать не только математические задачи, но и задачи практического характера в разных областях науки и техники». Результатом исследования могут быть презентация или буклет.
Что касается использования реферативно-исследовательской деятельности, то можно предложить такие темы докладов:
· Исследования Ньютона и Лейбница, их роль в развитии понятия производная.
· Производная в технике.
· Производная и сельское хозяйство.
Метод использования информационных технологий может быть использован во всех вышеперечисленных работах.
Таким образом, мы охарактеризовали элективный курс по теме «Производная и ее приложения» с точки зрения реализации межпредметных связей. Было показано, как осуществить эти связи на основе содержания материала и методов наук, приведены примеры задач, которые могут быть использованы на элективном курсе, даны некоторые методические рекомендации.
Не смотря на то, что на первый взгляд сложно говорить о связи математики и гуманитарных дисциплин, возможны достаточно разнообразные способы реализации таких взаимосвязей. Самый доступный из них и простой - использование в содержании занятий объектов, изучаемых гуманитарными дисциплинами.
2.3 Опытное преподавание
Я проходила педагогическую практику в МОУСОШ № 27 г. Кирова и провела два факультативных занятия в гуманитарном 10 классе по теме «Приложения производной» (разработка одного урока представлена в приложении). Перед тем, как проводить опытное преподавание, я изучила соответствующую математическую и методическую литературу. Среди учителей математики, проводящих элективные курсы в старших классах, я провела небольшое анкетирование с целью выяснить, каким образом лучше организовать занятия. В анкетировании принимали участие двое учителей, преподающих элективные курсы по математике в старших классах. Учителям были предложены следующие вопросы:
